בתשובה לליאור, 02/06/03 1:32
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני לא רואה צורך לבחור סדרות של מספרים "בעייתיים" (כי ממילא איננו מתעניינים בשכיחות שלהם, אלא רק בקיומו של אחד כזה). אחת הנקודות החלשות בנימוק ההיורסטי שהבאתי קודם לכן היא ההנחה ש(עבור x נתון) הסיכוי של a להיות ראשוני "בלתי תלוי" בסיכוי של x-a להיות ראשוני. זה כמובן לא נכון; למשל, אם x אי-זוגי, שני המרכיבים אינם יכולים להיות ראשוניים בו זמנית (אלא אם a=2). ומאידך, כאשר x זוגי, ועוברים רק על ערכי a אי-זוגיים, הסיכוי שגם a וגם x-a ראשוניים מוכפל. ומה לגבי השארית של x בחלוקה לראשוניים (קטנים) אחרים? כאן מתייצב לעזרתנו משפט דיריכלה, שמדגים את ההתנהגות האקראית של הראשוניים בכלל: בסדרה חשבונית {a+dn}, יתכן שאין בכלל ראשוניים (כי ל- a ו- d גורם משותף >1), אבל בכל מקרה אחר, *צפיפות* הראשוניים שווה למה שהיינו מצפים שתהיה (דהיינו, עבור d קבוע, הראשוניים מתפזרים באופן שווה בין הסדרות החשבוניות בעלות הפרש d). נקבע ראשוני (קטן) p. כדי שמספר יהיה ראשוני, הוא צריך להמנע מלהתחלק ב- p; הסיכוי לזה הוא כמובן p-1)/p). כעת, הסיכוי ששני גורמים (שסכומם קבוע ושווה ל- x) אינם מתחלקים ב- p תלוי בתכונות של x: אם x מתחלק ב- p אז כאשר אחד הגורמים אינו מתחלק, גם השני לא מתחלק. ואחרת, יש שתי שאריות (מודולו p) שצריך להמנע מהן. הסיכוי של a וגם x-a להיות ראשוניים בעת ובעונה אחת הוא, אם כן, המכפלה של p-1)/p) עבור הראשוניים p שמחלקים את x, ושל p-2)/p) עבור הראשוניים שלא מחלקים את x. זה שווה למכפלה של p-2)/p) עבור כל הראשוניים (פרט ל-2) עד x (שזה בערך אחד חלקי log(x)^2), כפול המכפלה של (p-1)/(p-2) עבור הראשוניים (פרט ל-2) שמחלקים את x. מכאן מקבלים את תוחלת מספר הזוגות, על-ידי הכפלה ב- x/2 כמו בנימוק הקודם. סיכום: החישוב המדויק מאשש את ההערכה הקודמת (סדר גודל של x חלקי log(x)^2). מספרים עם הרבה גורמים ראשוניים קטנים אפשר לכתוב כסכום שני ראשוניים ב*יותר* צורות מאשר מספרים אחרים. לדוגמא, את 2310 אפשר להביע כסכום ראשוניים בפי 3.5 יותר דרכים מאשר מספרים זוגיים אחרים באותו גודל. |
 |
 |
 |
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |