בתשובה לדורון שדמי, 26/10/05 12:31
 |
|
 |
||
|
||||
 |
דורון: מה שהראתי הוא ששיוויון וזהות הם שני מושגים שונים במתמטיקה, והדגמתי זאת על ידי אי-הנרדפות של מושגים אלה, כאשר הם מיוחסים לשתיי קבוצות. אני: אולי הראית את זה, אבל מה לעשות שזה פשוט לא נכון. דורון: קרא נא את תגובה 340989 . אני: קראתי. ועכשיו למה שהמתמתיקה המודרנית חושבת: הסימן "=" מסמל זהות. תמיד. הסימן של שלושה קוים מסמל יחס שקילות כלשהו, בהתאם להקשר. למשל 3 שווה 5 מודולו 2. כאן השוויון יסומן בשלושה קווים, אבל זה לא באמת שוויון, כי הם לא זהים. לעומת זאת, בשדה Z מודולו 2Z אפשר לכתוב 3=5, כי הם אותו איבר - 1. דורון: אי-תלות זו הופכת את ה-axiom of extensionality למיותרת בתכלית (האקסיומה הזו "מגלה את אמריקה"). אני: אבל בלי האקסיומה הזו קשה להבין את הקשר בין יחס השוויון לבין יחס השייכות. חוץ מזה, קל למצוא קבוצות שלא חושבות שאקסיומה זו מתקיימת בהן. למשל A={{1},{2}} ברור ש {1} שונה מ {2} אבל אין איבר ב A שמבדיל ביניהם.
|
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"אני: אבל בלי האקסיומה הזו קשה להבין את הקשר בין יחס השוויון לבין יחס השייכות. חוץ מזה, קל למצוא קבוצות שלא חושבות שאקסיומה זו מתקיימת בהן. למשל A={{1},{2}} ברור ש {1} שונה מ {2} אבל אין איבר ב A שמבדיל ביניהם."ב-http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality נאמר בפירוש כי האקסיומה הנ"ל משמשת לקביעת ייחודה של קבוצה עפ"י איבריה, אך מכיוון שה-axiom of extensionality מבוססת על יכולתנו המובנית להבחין בייחודיות של קבוצה עפ"י איבריה תוך שילוב *הכרחי* של זהות ושונות, אין שום צורך להגדיר יכולת זו ע"י אקסיומה, כי אם עושים זאת הריי שאנו מסתמכים על התכונה המובנית הקיימת בנו, כדי להגדיר אקסיומה המשתמשת בתכונה זו כבסיס להגדרה שלה, ולמצב זה קוראים *הנחת המבוקש*. כמו כן לא צריך איבר שלישי כדי להבחין בין שניי אברי A ,ומצב זה נכון לכל תכולה (או אי-תכולה, במקרה של הקבוצה-הריקה) של קבוצה כלשהי. לגבי זהות ושיוויון, זהו ויכוח משני שאינו מעלה ואינו מוריד מאי-נחיצותה של ה-axiom of extensionality ואם שיוויון וזהות הם מילים נרדפות למושג אחד במתמטיקה-המודרנית, אז ניתן להבין מיד עת כמה שפה זו אינה מדוייקת, כי ברור לחלוטין שזהות חלה גם על ההרכב וגם על הקרדינל של קבוצה, בעוד ששיווין חל רק ואך ורק על הקרדינל. הבחנה זו היא קריטית לקיומה של שפה מדוייקת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: לגבי זהות ושיוויון, זהו ויכוח משני שאינו מעלה ואינו מוריד מאי-נחיצותה של ה-axiom of extensionality ואם שיוויון וזהות הם מילים נרדפות למושג אחד במתמטיקה-המודרנית, אז ניתן להבין מיד עת כמה שפה זו אינה מדוייקת, כי ברור לחלוטין שזהות חלה גם על ההרכב וגם על הקרדינל של קבוצה, בעוד ששיווין חל רק ואך ורק על הקרדינל. אני: חושב אני שהבנתי סוף סוף את מה שאתה לא מבין. במתמתיקה מותר לשים סימן שוויון גם בין אוביקטים שאינם מספרים, כגון קבוצות (למעשה כל האובייקטים הם קבוצות). דורון: .... ולמצב זה קוראים *הנחת המבוקש*. אני: נכון שהאקסיומה הזו מאוד טבעית, וברור שבאופן טבעי אתה חושב שקבוצה אמורה להקבע על ידי התכולה שלה. עם זאת זה לא אומר שלא צריך להוסיף אותה לאקסיומות, או שהיא "מניחה את המבוקש" (את זה אני פשוט לא מבין - זו אקסיומה, לא טענה, היא לא "מבקשת" דבר). עכשיו כשאתה מבין מה זה שוויון תוכל להבין שבדוגמא שנתתי אקסיומה זו אינה מתקיימת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"חושב אני שהבנתי סוף סוף את מה שאתה לא מבין. במתמתיקה מותר לשים סימן שוויון גם בין אוביקטים שאינם מספרים, כגון קבוצות (למעשה כל האובייקטים הם קבוצות)." כפי שאני טוען, יש להבחין קטגורית בין זהות שבה אנו עוסקים באותו אלמנט עצמו, לבין שיוויון, שבו אנו עוסקים בשניי אלמנטים שונים. אם a הוא {1,2,3} ו-b הוא {4,5,6} אז אין ביניהם זהות אך יש ביניהם שיוויון בערכו של הקרדינל שלהם, שזוהי תכונה חלקית של a ו-b . שתיי קבוצות הן זהות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל הלמוני מתגובה קודמת הוא אני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: שתיי קבוצות הן זהות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן. אני: שתי קבוצות הן שוות (הן למעשה אותו אלמנט) אם ורק אם יש התאמה מוחלטת בין תכונותיהן. דורון: אם a הוא {1,2,3} ו-b הוא {4,5,6} אז אין ביניהם זהות אך יש ביניהם שיוויון בערכו של הקרדינל שלהם, שזוהי תכונה חלקית של a ו-b . אני: ולכן הם לא שווים! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ולכן הם לא שווים!" הבדל בין זהות לשיוויון באריתמטיקה: 2 זהה ל-2 2 שווה (אך אינו זהה) ל- 1+1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עכשיו כשאתה מבין מה זה שוויון תוכל להבין שבדוגמא שנתתי אקסיומה זו אינה מתקיימת." שוב: The axiom of extensionality: בשורה תחתונה, האקסיומה הנ"ל קובעת שייחודה של קבוצה נקבעת עפ"י איבריה, אבל איבריה של קבוצה (לפי ZF) תמיד מובחנים זה מזה ללא תלות בקיומה של האקסיומה, ולכן יכולת ההבחנה המוגדרת ע"י האקסיומה, נובעת מיחודיות איבריה ולא מקיומה של האקסיומה, ולכן אקסיומה זו מגדירה ייחודיות על ידי שימוש בייחודיות.
Given any set A and any set B, A is equal to B if and only if, given any set C, C is a member of A if and only if C is a member of B. what the axiom is really saying is that two sets are equal iff they have precisely the same members. The essence of this is: A set is determined uniquely by its members. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על מה אני מסתמכים (ב-ZF) כאשר אנו טוענים כי {a,a,b}={a,b} ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאקסיומה הזו יש שם בעברית: אקסיומת ההקפיות. ועליה אנו מסתמכים, כי ההגדרה של {a,a,b} היא על ידי יחס השייכות. כלומר אנו אומרים שקבוצה זו מכילה את a, בנוסף היא מכילה את a ובנוסף את b, ואלו כל איבריה. כלומר אנו אומרים שאיבריה הם a ו b בלבד. בעצם אנו משתמשים באקסיומת ההקפיות כבר כאן, כי אחרת מי אמר שיש רק קבוצה אחת כזו? כלומר כבר בעצם השאלה שלך השתמשת בהקפיות. (הנה - הנחת המבוקש - אצלך). וראה איזה פלא: אלו גם איבריה של {a,b}. לכן הן שוות. בלי האקסיומה הזו תהיה לך בעיה להראות ש {a,b} בכלל יחידה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כלומר אנו אומרים שאיבריה הם a ו b בלבד." זאת אומרת, שאנו משתמשים באקסיומה זו כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה, אך לשם כך אנו משמיטים איברים יתירים ללא שימוש באקסיומה אלא ע"י היכולת המובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, ובכך אנו "מכשירים את הקרקע" כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה, וזאת ללא השימוש באקסיומת ההיקפיות. "הכשרת קרקע" זו של קביעת יחודיות של קבוצה עפ"י איבריה ללא אקסיומת ההיקפיות, הופכת את האקסיומה הנ"ל למיותרת, ואם אנו מתעקשים להשתמש בה, הרי שאנו קובעים ייחודיות ע"י שימוש בייחודיות מותנית מראש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: זאת אומרת, שאנו משתמשים באקסיומה זו כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה, אך לשם כך אנו משמיטים איברים יתירים ללא שימוש באקסיומה אלא ע"י היכולת המובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, ובכך אנו "מכשירים את הקרקע" כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה, וזאת ללא השימוש באקסיומת ההיקפיות. אני: 1. בעצם ההגדרה של {a,b} יש שימוש באקסיומת ההקפיות. 2. לא מבין מה הכוונה "מכשירים את הקרקע". 3. ההגדרה של זהות ושוני בין איברים לא קשורה לאקסיומת ההקפיות. דורון: "הכשרת קרקע" זו של קביעת יחודיות של קבוצה עפ"י איבריה ללא אקסיומת ההיקפיות, הופכת את האקסיומה הנ"ל למיותרת, ואם אנו מתעקשים להשתמש בה, הרי שאנו קובעים ייחודיות ע"י שימוש בייחודיות מותנית מראש. אני: אבל הראיתי לך שקיימים מודלים שאינם מקיימים אקסיומה זו. למה אתה מתעקש? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה *אתה* מתעקש? למה? זה כיף? אתה לומד משהו? אתה מאמין שתזכה לקבל איזה "ואו אתה צודק" אי-פעם? יאלה, חאלאס. ניסיתם וניסיתם וניסיתם וניסיתם וניסיתם וניסיתם, ולא הולך. בלוק. אז די, תעזרו לו להיגמל מהמקום הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז ככה: לומד משהו? כן אני לומד המון. מה בדיוק אני לומד? אני מעדיף לא לפרט כאן, בכל אופן זה לא כל כך קשור למתמטיקה כמו שזה קשור לפסיכולוגיה. לקבל "ואו"? משום מה עדיין יש בי את התקווה הזו. אבל כנראה שאתה צודק. אני באמת קרוב לכניעה. פשוט אין לי יותר מדי מה לעשות עכשיו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אבל הראיתי לך שקיימים מודלים שאינם מקיימים אקסיומה זו. למה אתה מתעקש?" סביר להניח כי התעקשותי נובעת ממסלול חשיבה שאינו קשור למסלול החשיבה שלך. אנא קרא את תגובה 341176 והסבר נא לי: 1. אם אתה אומר שאקסיומות ZF אינן מגדירות דבר, אז למה אתה מתכוון כאשר אתה כותב: "בעצם *ההגדרה* של {a,b} יש שימוש באקסיומת ההקפיות" ? 2.כיצד ייתכן הדבר שהמושגים זהות ושוני אינן קשורות לאקסיומת ההיקפיות, אם אקסיומה זו קובעת את ייחודה של קבוצה עפ"י איבריה. 3. הסבר נא מדוע {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת היחידות? תודדה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון להודעה קודמת: 3. הסבר נא מדוע {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות? תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוספת לתיקון: 3. הסבר נא מדוע {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות? כך בחשבון כי כתבת, ואני מצטט "בעצם *ההגדרה* של {a,b} יש שימוש באקסיומת ההקפיות" {a,b} הינה צורה כללית המייצגת בין השאר את {{1},{2}}, אז הסבר נא איך {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות וגם מבוססת על הגדרה המשתמשת באקסיומת ההקפיות ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שכאן הגענו למבוי קצת סתום. אני לא מבין את השאלה שלך. מה שאני כן מבין הוא שאתה צריך ללמוד קורס בסיסי בלוגיקה מתמטית כדי להבין שהשאלה שלך חסרת הגיון. אין שום סתירה במה שאמרת. משתמשים באקסיומה כדי לבנות מודל שבו האקסיומה הזו אינה מתקיימת. אין בכך שום סתירה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"נראה לי שכאן הגענו למבוי קצת סתום. אני לא מבין את השאלה שלך. מה שאני כן מבין הוא שאתה צריך ללמוד קורס בסיסי בלוגיקה מתמטית כדי להבין שהשאלה שלך חסרת הגיון." אח של סמיילי, אם אתה לא מבין את השאלה, אז כיצד אתה מסיק מסקנות ונותן תשובה בסגנון "...השאלה שלך חסרת הגיון" ? אינך חושב כי יש סתירה בסיסית במתן תשובה קטגורית לשאלה שאינך מבין? אם זו דרכך, אז אין הרבה טעם לדון איתך בעיניני שפה ולוגיקה. שאלותי אליך הן פשוטות בתכלית ומבוססות על סתירות פנימיות בתשובותיך, שתגובתך האחרונה לא סיפקה תשובות להן. אכתוב מחדש בתגובה זו את כל הניסוחים שמצאתי כי הן סותרות אחת את השניה, והפעם תנסה לענות ולפרש את היתכנותן. נתחיל: "רק אומרת משהו" בשפתך, זהה ל-"מגדירה את התכונות של" בשפתי, ולכן אקסיומת ההיקפיות מגדירה (משורש ג.ד.ר שמשמעותו: קביעה קטגורית חד-משמעית של תכונות הקיום של אלמנט נתון) את התכונות לייחודיות קבוצה עפ"י איבריה ע"י שימוש בייחודיות מותנית מראש הנובעת מיכולת מובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, אשר איננה תלויה ב-"אמירת המשהו" של האקסיומה. לדוגמא, אם נתונים {a,a,b} ו- {a,b}, אז אנו משתמשים באקסיומת ההיקפיות כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה, אך לשם כך אנו משמיטים איברים יתירים ללא השימוש באקסיומה אלא ע"י היכולת המובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, ובכך אנו "מכשירים את הקרקע" כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה, וזאת ללא השימוש באקסיומת ההיקפיות. "הכשרת קרקע" זו של קביעת יחודיות של קבוצה עפ"י איבריה ללא אקסיומת ההיקפיות, הופכת את האקסיומה הנ"ל למיותרת, ואם אנו מתעקשים להשתמש בה, הרי שאנו קובעים ייחודיות ע"י שימוש בייחודיות מותנית מראש. שייכות מתקיימת אם ורק אם אנו משתמשים ביכולת מובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, ואז ורק אז אנו יכולים לשייך את תוצרי הבחנה זו לקבוצות, כאשר זהות ואי-זהות משמשות במשולב כאמצעי לשיוך, ללא שום תלות בקיומה או אי-קיומה של אקסיומת ההיקפיות. עתה נשוב לניסוחים הסותרים שלך במהלך הדיון ביננו, ואבקש את הבהרותיך: 1.אם אתה אומר שאקסיומות ZF אינן מגדירות דבר, אז למה אתה מתכוון כאשר אתה כותב: "בעצם *ההגדרה* של {a,b} יש שימוש באקסיומת ההקפיות" ? הריי במו פיך טענת כי אין להשתמש במילה "הגדרה" בקשר לאקסיומות ZF, אז מדוע אתה משתמש במילה זו בקשר לשימוש באקסיומת ההיקפיות? 2.אתה טוען:"ההגדרה של זהות ושוני בין איברים לא קשורה לאקסיומת ההקפיות." היות ואקסיומת ההיקפיות קובעת את ייחודה של קבוצה עפ"י איבריה, אז הסבר נא כיצד ייתכן הדבר שהמושגים זהות ושוני אינן קשורות לאקסיומת ההיקפיות? במילים אחרות הדגם נא כיצד אקסיומה זו פועלת ללא כל זיקה למושגים זהות ושוני. 3. הסבר נא מדוע {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות? כך בחשבון כי כתבת, ואני מצטט "בעצם *ההגדרה* של {a,b} יש שימוש באקסיומת ההקפיות" {a,b} הינה צורה כללית המייצגת בין השאר את {{1},{2}}, אז הסבר נא איך {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות *וגם* מבוססת (כדבריך) על *הגדרה* המשתמשת באקסיומת ההקפיות ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תשובות: 1. האקסיומות לא מגדירות דבר. זה לא אומר שאי אפשר להגדיר שום דבר. גם כשאנו אומרים "להגדיר" אנחנו מתכוונים שאת הנוסחה הנ"ל רק איבר אחד מקיים. תנסה לחשוב מה הנוסחה המגדירה את {a,b}. למה רק איבר אחד מקיים נוסחה זו? בגלל ההקפיות! 2. או! סוף סוף נגענו בנקודה. זהות ושוני בין איברים במודל כלשהו של תורה מסדר ראשון כלשהו פשוט מוגדרים כזהות ושוני. 2 איברים הם שונים אםם הם אינם שווים. בהנתן מודל כלשהו לתורה, 2 ביטויים הם שווים במודל אםם הם אותו איבר. למשל 1+1 ו 2 מתפרשים כאותו איבר ב N - מודל של המספרים הטבעיים, ולכן הם שווים. (למרות שכמחרוזת תווים הם שונים - זהו ההבדל בין הסינטקס לבין הסמנטיקה). אקסיומת ההקפיות רק אומרת מהו הקשר בין השוויון לבין השייכות. לא יותר מזה. 3. אני לא יודע מה זה אקסיומת היחידות. אנחנו מדברים על אקסיומת ההקפיות. והנה, למרות שאין אף איבר בעולם (שהוא כרגע {{1},{2}} כלומר יש בו 2 איברים) שמבדיל ביניהם (כלומר שייך לאחד ולא לשני), {1} שונה מ {2} (למעשה שניהם יחשבו כקבוצה ריקה - והנה לך דוגמא למה גם האקסיומה ש"מגדירה" את הקבוצה הריקה לא מגדירה אותה כלל - כי יש שתיים כאלו כאן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אנחנו מדברים על אקסיומת ההקפיות. והנה, למרות שאין אף איבר בעולם (שהוא כרגע {{1},{2}} כלומר יש בו 2 איברים) שמבדיל ביניהם (כלומר שייך לאחד ולא לשני), {1} שונה מ {2} (למעשה שניהם יחשבו כקבוצה ריקה" The axiom of extensionality: מכיוון שאקסיומה זו קובעת את הייחודיות של קבוצה ע"י איבריה, ניתן לנסח אותה גם בדרך הבאה:Given any set A and any set B, A is equal to B if and only if, given any set C, C is a member of A if and only if C is a member of B. what the axiom is really saying is that two sets are equal iff they have precisely the same members. The essence of this is: A set is determined uniquely by its members. A ו- B הן קבוצות שונות אם ורק אם קיימת קבוצה C ב-A ולא ב-B , או ב-B ולא ב-A . אם אנו בוחנים את יכולתה של אקסיומת ההיקפיות לקבוע את היחודיות בין {1} ל- {2}, אז (אם הבנתי את דבריך) אתה טוען כי היות ו-C אינו משתנה חופשי הריי שהוא חייב להיות שונה מ |{{}}|(=1) או שונה מ- |{{{}},{}}|(=2), אך היות וב-{1} ו-{2} אין יותר מאיבר אחד בכל קבוצה, הריי ש-C אינה יכול הלהתקיים כלל (אפילו לא כקבוצה ריקה), ולכן אקסיומת ההיקפיות תקיפה רק אם A או B הן קבוצות זהות או שיש הפרש של לפחות איבר אחד בין A ל-B המקיים את C. בזאת אתה מחזק את דברי, שבהם אני טוען כי אקסיומת ההיקפיות אינה מבצעת את מלאכתה נאמנה "בכל תנאי מזג האוויר" ואיננה מסוגלת לקבוע את הייחודיות של קבוצה לפי איבריה, ללא תנאי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: אם הבנתי את דבריך אני: לא הבנת את דברי. דורון: אתה טוען כי היות ו-C אינו משתנה חופשי הריי שהוא חייב להיות שונה מ |{{}}|(=1) או שונה מ- |{{{}},{}}|(=2), אך היות וב-{1} ו-{2} אין יותר מאיבר אחד בכל קבוצה, הריי ש-C אינה יכול הלהתקיים כלל (אפילו לא כקבוצה ריקה), ולכן אקסיומת ההיקפיות תקיפה רק אם A או B הן קבוצות זהות או שיש הפרש של לפחות איבר אחד בין A ל-B המקיים את C. אני: אני לא טוען שום דבר כזה. בעולם יש רק 2 איברים. אף אחד מהם לא שייך ל {1}, ואף אחד מהם לא שייך ל {2}. לכן אם אקסיומת ההקפיות היתה נכונה, 2 הקבוצות הנ"ל היו שוות. אבל הן לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בעולם יש רק 2 איברים. אף אחד מהם לא שייך ל {1}, ואף אחד מהם לא שייך ל {2}. " אינני מבין את האופן שבו אתה משתמש במושג השייכות במקרה הנדון. על איזה 2 איברים אתה מדבר, שאף אחד מהם לא שייך ל-{1} או ל-{2}? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האיברים הם: {1} - זה האיבר הראשון, ו {2} - זה האיבר השני. יחס השייכות הוא אותו יחס שייכות שאתה מכיר, כלומר זה שהם יורשים. עכשיו, האם {1} שייך ל {2}? לא. האם {2} שייך ל {2}? לא. לכן שניהם יחשבו כקבוצה ריקה בעולם הזה, ובפרט אקסיומת ההקפיות לא נכונה, משום ש {1} שונה מ {2}. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקסיומת ההיקפיות אמורה לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה. כדי לדעת ש-{1} לא שייך ל-{2} או ש-{2} לא שייך ל-{2}, אתה אמור להבחין בין {1} ל-{2} ובין 1 ו-2 הקיימים ב-{{1},{2}}. לפי דבריך, אתה עושה זאת ללא אקסיומת ההיקפיות, מכיוון שלדבריך אקסיומה זו אינה תקיפה ב-{{1},{2}}. בכך אתה מחזק את טענתי, הגורסת כי אנו מבחינים ביחודיות הקיום של קבוצות ללא כל תלות בקיומה או באי-קיומה של אקסיומת ההיקפיות, ולכן אקסיומה זו קובעת יחודיות תוך הסתמכות על יכולתנו להבחין ביחודיות, ללא כל תלות באקסיומה. כתוצאה מאי-תלות זו, מסתמכת אקסיומת ההיקפיות על תכונה מובנית שלנו להבחין ביחודיות, כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה. היות וגם התכונה המובנית להבחין ביחודיות וגם האקסיומה, מקור שתייהן בנו, הרי שעל-ידי שימוש באקסיומה אנו משתמשים בלוגיקה מעגלית המניחה את המבוקש. ללא קיום התכונה_המובנית_להבחין_ביחודיות הטמונה בנו, לא נוכל להבחין ביחודיות קבוצה עפ"י איבריה, עם או בלי האקסיומה, ולכן אקסיומה זו מיותרת בתכלית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההבחנה בין {1} ל-{2} נעשית בעולם הגדול, ושם כן מתקיימת אקסיומת ההקפיות. בעולם הקטן לעומת זאת, אקסיומה זו אינה מתקיימת, ושתי הקבוצות יחשבו ריקות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אך היות ו-{1} ו-{2} אינן ריקות, אקסיומת ההיקפיות יוצרת אין מיש ובכך היא כופה מצב מעוות ושיקרי על מציאות פשוטה ואלגנטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקיצור, מה הטעם באקסיומה אשר אינה מאפשרת לנו להבחין בין קבוצה לא-ריקה לקבוצה ריקה, או גרוע מכך, היא כופה אלינו להתייחס אל קבוצה לא-ריקה כאל קבוצה ריקה, והכל בגלל קוצר-ידה ומוגבלותה המובנית בהבחנת יחידות קבוצה עפ"י איבריה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהתחלה אמרת שזו אקסיומה מיותרת. הראיתי לך שלא. עכשיו אתה אומר שהיא ''כופה'' עלינו וכו'. האקסיומה לא כופה כלום. בלעדיה לא היית יכול להגיד ''הקבוצה הריקה'' עם ה' הידיעה. אני די בטוח שאתה עדיין לא ממש מבין מה זה אקסיומה, או לחילופין בוחר שלא להבין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בהתחלה אמרת שזו אקסיומה מיותרת. הראיתי לך שלא." אתה לא הראית. נהפוך הוא, הראית שהיא מוגבלת ולכן אנו נאלצים להשתמש בתכונה המובנית שלנו להבחין בין איברים כאשר אקסיומה זו אינה פועלת. לעומת זאת אני הראיתי כי התכונה המובנית שלנו להבחין בין איברים מתקיימת ללא כל קשר לקיומה או אי-קיומה של אקסיומת ההיקפיות "בלעדיה לא היית יכול להגיד "הקבוצה הריקה" עם ה' הידיעה." באמת? קיימת קבוצה ללא כל תכולה, כאשר אי-תכולה זו אין לה את תכונת הריבוי ולכן נכנה קבוצה זו בשם "הקבוצה-הריקה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו-כן נגדיר את הקבוצה המלאה: קיימת קבוצה עם תכולה, כאשר תכולה זו אין לה את תכונת הריבוי ולכן נכנה קבוצה זו בשם "הקבוצה-המלאה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אני די בטוח שאתה עדיין לא ממש מבין מה זה אקסיומה, או לחילופין בוחר שלא להבין.'' אני גדי בטוח שאתה לא מבין מזה תודעה, או לחילופין בוחר שלא להבין. הראה נא לי קיומן של אקסיומות מתמטיות, ללא קיומה של תודעה בבסיסן. מצד שני אין שום בעיה להראות קיומה של תודעה ללא קיומן של אקסיומות מתמטיות בבסיסה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הראה לי אקסיומה מתמטית שהתודעה משחקת בה תפקיד מבני (דהיינו, שלא תהיה אפשרות להגדירה בלי שימוש בתודעה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הראה נא לי דוגמא כלשהי (לאו דווקא מתמטית) שניתן להגדירה ללא תודעה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''האייל הקורא'' הוא עיתון מקוון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ללא קיומה של תודעתך לא יכול היית לכתוב את הנ''ל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובכל זאת אין לי כל צורך לטפל בתודעתי כדי להבין את המשפט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''ובכל זאת אין לי כל צורך לטפל בתודעתי כדי להבין את המשפט.'' אם נלך בדרך המחשבה שלך, אז אפשר לוותר על כל המחקרים במדעי-החיים, כי החיים קיימים גם בלי שנחקור אותם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק, אבל כדי ללמוד ספרות אני לא חייבת להקדים לה את מדעי החיים, משום שבלי לחיות קשה לקרוא ספרים או לכתוב אותם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את לא חייבת להקדים או לאחר דבר, בנושא הנדון. אני מדבר על שימוש בשפת המתמטיקה ככלי לפיתוח אמצעים לחקירת התודעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נכון. אם נלך בדרך המחשבה שלו, אז אפשר לוותר על ההנחה שיש לערב את התודעה כשמדברים על מתמטיקה. זה לא אומר שלא צריך לחקור את התודעה - רק כדאי להיות מודעים להבדל שבין חקר התודעה הזה ובין המתמטיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדי, המתמטיקה במקרה דנן הינה רק אמצעי אחד מני רבים, שבטיפול מתאים יכול לתרום לחקר התודעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שאתה הצבת את חקר התודעה כתנאי מקדים לעיסוק במתמטיקה ועל סמך זה פסלת את המתמטיקה ה"רגילה". השלב הבא הוא לשכנע אותך שבזה שאתה מציב את חקר התודעה כתנאי מקדים לעיסוק בדבר מה *כלשהו*, אותו דבר מה הוא כבר לא מתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוב, אני טוען כי הכלת תודעת החוקר ותהליך החקירה של שפת המתמטיקה כחלק ממרחב החקירה של שפת המתמטיקה, יכולים לתרום רבות הן לחקר התודעה באמצעים מדוייקים, והן להעמקת והרחבת המושגים המכוננים של שפת המתמטיקה. מדובר פה בתהליך של היזון-חוזר הקיים באופן טבעי בתודעה ומאפשר לה לחרוג מעבר לתנאי-האיתחול של היזונים-חוזרים קודמים שלה, וכל תחום מחקר המנצל תכונה מובנית זו של התודעה, יכול לצאת נשכר מכך. אני חוזר וטוען, שאין שום סיבה שבעולם שהמחקר המתמטי יוגבל רק ואך ורק לשיטה דדוקטיבית טהורה המבוססת רק ואך ורק על לוגיקת סתירה בין הפכים, כאשר לוגיקה זו היא בפירוש הגבלה של התודעה לעיסוק בחשיבה סידרתית (אנליטית) בלבד , תוך התעלמות מוחלטת מתהליכי חשיבה מקבילית (אינטואיטיבית). כדי להיטיב להבין את דבריי אנא ראה את הקישור לאתר אוניברסיטת באר-שבע, בנושא הנדון: http://forum.bgu.co.il/index.php?showtopic=46751 . אחד מההדגשים במתמטיקה טהורה מושם על הצורך שהבחנה בין הייצוג של אלמנט מתמטי לבין האלמנט המתמטי עצמו. מתוך תפיסה זו ...999. 0 (בסיס 10) ...222. 0 (בסיס 3) וכו' נחשבים לייצוגים שונים של האלמנט המתמטי 1 . ייצוגים אלה הם תוצר של שיטת ייצוג לינארית הנובעת מחשיבה סדרתית בלבד. כאשר משתמשים בשיטות ייצוג המבוססות על שילוב של צורת חשיבה מקבילית וצורת חשיבה סדרתית, נחשפת טעות יסודית אשר לא ניתן להבחין בה מזווית הראיה המבוססת על צורת חשיבה סדרתית בלבד, לדוגמא: http://www.geocities.com/complementarytheory/no1.pdf הטעות שנחשפת מראה את חולשתה של החשיבה הסדרתית להבין לעומק את האלמנטים המתמטיים שהיא חוקרת, ולכן יש לחתור לשילוב של חשיבה מקבילית עם חשיבה סדרתית, המאפשר פיתוח שיטות ייצוג הנובעות משילוב מקבילי/סדרתי (כפי שמוצג בקישור הנ"ל), והמעמיק את יכולתה של התודעה להבין טוב יותר את שהיא חוקרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו כן, כדאי לך לעיין ב: תגובה 343602 תגובה 343279 תגובה 343308 תגובה 343215 תגובה 342686 תגובה 343244 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה הכי מהותית אותה אינך מצליח להבין, היא שהאקסיומטיקה המתמטית היא טיפוגרפית במהותה. אין לה, לכשעצמה, שום קשר ל-''תודעה'' או למשמעות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה הכי מהותית שאינך מבין היא שאקסיומה מתמטית לא קיימת ללא תודעה, אך תודעה קיימת אף קיימת ללא אקסיומה מתמטית. התודעה איננה משמעות, אלא סינתיזה בפועל בין מצבים סותרים, המקיימים היזון-חוזר ביניהם, ומאפשרים למערכת המקיימת אותם לחרוג מעבר לתנאי-האיתחול שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''תודעה איננה משמעות, אלא סינתיזה בפועל בין מצבים סותרים, המקיימים היזון-חוזר ביניהם, ומאפשרים למערכת המקיימת אותם לחרוג מעבר לתנאי-האיתחול שלה''. זה פשוט לא נכון, אין לי מושג מאיפה הבאת את ההסבר הזה לתאור המושג תודעה, מה שברור הוא שלמילה תודעה יש מובן אחר לחלוטין ממה שאתה מתיימר לייחס לה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''זה פשוט לא נכון, אין לי מושג מאיפה הבאת את ההסבר הזה לתאור המושג תודעה, מה שברור הוא שלמילה תודעה יש מובן אחר לחלוטין ממה שאתה מתיימר לייחס לה.'' תודעה אינה מילה או מושג אלא קיום בפועל של סינתיזה בין מצבים סותרים, המקיימים היזון-חוזר ביניהם, ומאפשרים למערכת המקיימת אותם לחרוג מעבר לתנאי-האיתחול שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה עושה פה הטיפוגרפיה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש מתמטיקאים שמאוד גאים בכך שהם "בסך הכל משחקים באותיות" (טיפוגרפיה) ושאין שום קשר בין מה שהם עושים למציאות. מי שטוען אחרת מוקע מיד על ידיהם אל עמוד הקלון כ"אפלטוני", רחמנא ליצלן. שוב ושוב אותה מציאות ארורה טופחת על פניהם, כשהיא מתאימה בדיוק מופלא אל הקשקושים שהם מציירים בגיר. ולדוגמה, סיפורו העגום של פרסי פ': |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, לא לשווא קראו לו פרסי ביש... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמתטיקאים, כולל תודעתם ומשחקי הסימנים שלהם, קיימים כולם במציאות, כאשר מציאות זו יכולה להיות מופשטת או מוחשית, ולתודעה יש את היכולת לגשר בין מצבי מציאות אלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הראה נא לי קיומו של שיר, ללא קיומה של תודעה בבסיסו. הראה נא לי פסק דין משפטי ללא קיומה של תודעה בבסיסו. הראה נא לי תחזית מזג אויר ללא קיומה של תודעה בבסיסה. הראה נא לי רצפט של בית מרקחת ללא קיומה של תודעה בבסיסה. הראה נא לי מפה מדינית, ארוע הסטורי, מחקר באנתרופולוגיה, עבודה סוציאלית ללא קיומה של תודעה בבסיסם. אין שום תחום בעולם שאתה יכול לחשוב עליו שאפשרי ללא קיומה של התודעה. נו, אז מה? האם מי שכותב שיר עוסק בתודעה? לא גם מי שעוסק באקסיומות מתמטיות אינו עוסק בתודעה. האם עורך דין או שופט עוסק בתודעה? לא גם מתמטיקאי לא עוסק בתודעה. האם מטאורולוגיה, רוקחות, רפואה, גאוגרפיה, הסטוריה, אנתרפולוגיה עבודה סוציאלית, פיסיקה גרעינית, ביולוגיה מלקולרית, אסטרונומיה, סיפרות, פיסול, ציור, מדעי המחשב, הוראה, פקידות, אסטרטגיה, דיפלומטיה ועוד ועוד ועוד... עוסקים בתודעה? לא גם מתמטיקה אינה עוסקת בתודעה. מי עוסקת בתודעה? מדע הפסיכולוגיה עוסק בתודעה! על פעילות התודעה משפיעים גורמים שונים , גופניים, נפשיים וסביבתיים- בתוך האורגניזם ומחוצה לו. לתקינות הגורמים האלה נודעת חשיבות רבה בפעילות התקינה של התודעה. חולי גופני- בעיקר אם הוא מלווה חום - וחולי נפשי לסוגיו פוגעים בתודעה. איך כל זה מתקשר למתמטיקה? זה לא! למתמטיקה אין קשר לתודעה. להתפתחות היחיד והחברה משקל רב בהתפתחות התודעה, ככל שהילד מתפתח, כן מתרחבת ומשתפרת תודעתו, תוך גיבוש ההבחנה בין התודעה העצמית לבין התודעה של האחר. איך כל זה מתקשר למתמטיקה? זה לא. מתמטיקה אינה מסייעת בשום צורה ואופן לחקר התודעה. יש הבחנה בדרגות של התודעה, ערה ובהירה, מטושטשת, מעורפלת ואף מעוותת- כמו בחזיונות שווא. האם יש לזה קשר למתמטיקה? לא. אבל יש לזה קשר לפסיכולוגיה, ואולי למישהו שטוען שהוא עוסק במתמטיקה והוא לא, יתאים להכיר את העובדים המקצועיים וללמוד קצת דוקא על תחום הזה. בשינה ובמצבים קשים כמו עילפון נוכחים באובדן התודעה. התודעה עשויה להיות רחבה או מצומצמת על פי מספר מושאיה והקפם. יש לזה קשר למתמטיקה? לא, אין לזה קשר למתמטיקה. התודעה היא מונח בפסיכולוגיה, המציין את תכונת המוכר, שמייחסים למושאים שונים- כולל המושאים בעלי תכונה זו- וכן את התפקוד הנפשי המאפשר היווצרות המצב של מוכרות. מונחים שמובנם דומה הם מודעות, מודע והכרה. מה הקשר למתמטיקה? אין שום שמץ של קשר למתמטיקה ולו הזערורי ביותר! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עיין נא בתגובה 343653 תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אתה גדי, אח של סמיילי הוא (כנראה) לא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שבמקרה הזה גדי = גם די. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, זה ''די'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם המחלוקת כאן היא לגבי נכונות הטענה {a,b}={a,a,b}
? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. המחלוקת כאן היא לגבי השאלה האם יש ''הנחת המבוקש'' בניסוח של ''אקסיומת ההיקפיות''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דורון: בשורה תחתונה, האקסיומה הנ"ל קובעת שייחודה של קבוצה נקבעת עפ"י איבריה, אבל איבריה של קבוצה (לפי ZF) תמיד מובחנים זה מזה ללא תלות בקיומה של האקסיומה. אני: נכון, אבל אקסיומת ההקפיות קושרת בין יחס השוויון ויחס השייכות. בלעדיה קשה לדעת ששתי קבוצות הן שונות. (ראה את הדוגמא שנתתי). דורון: אקסיומה זו מגדירה ייחודיות על ידי שימוש בייחודיות אני: אף אקסיומה לא מגדירה שום דבר. רק אומרת משהו על התכונות של המודל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"רק אומרת משהו על התכונות של המודל." שמה תסביר מה זה "רק אומרת משהו"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמה תסביר מה זה "בתגובה לדורון שדמי"? שמה תסביר מה זה "דורון שדמי"? שמה תסביר מה זה "תגובתכם להערה"? שמה תסביר מה זה "שמה תסביר"? שמה תסביר סוף סוף משהו שלא רק גננות יכולות להבין אלא גם טפשים גמורים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל אלמוני, מתגובתך ניתן להבין כי אתה מבין את המונח המתמטי המסתתר מאחורי ''רק אומרת משהו'', אז עזור נא לי ופרש מונח זה, כי אני לא מבין את פישרו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית אומרים שמא, ולא שמה. שנית, מה לא ברור? למשל אם מדברים על קבוצה של אנשים, האקסיומה האומרת שיש 30 אנשים בקבוצה אומרת משהו על הקבוצה, ולא מגדירה שום דבר. נניח שאפשר להסיק מהאקסיומה הזו משהו לגבי הקבוצה הזו, אזי קבוצות שלא יקיימו אותה לא בהכרח יקיימו את המשהו הזה. אקסיומת ההקפיות, וכל האקסיומות ב ZFC אומרות משהו על המודל המדובר, ולא מגדירות כלום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על התיקון (שמא). נו, אז "רק אומרת משהו" בשפתך, זהה ל-"מגדירה את התכונות של" בשפתי, ולכן אקסיומת ההיקפיות מגדירה את התכונות לייחודיות קבוצה עפ"י איבריה ע"י שימוש בייחודיות מותנית מראש הנובעת מיכולת מובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, אשר איננה תלויה ב-"אמירת המשהו" של האקסיומה. לדוגמא, אם נתונים {a,a,b} ו- {a,b}, אז אנו משתמשים באקסיומת ההיקפיות כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה, אך לשם כך אנו משמיטים איברים יתירים ללא השימוש באקסיומה אלא ע"י היכולת המובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, ובכך אנו "מכשירים את הקרקע" כדי לקבוע את היחודיות של קבוצה עפ"י איבריה, וזאת ללא השימוש באקסיומת ההיקפיות. "הכשרת קרקע" זו של קביעת יחודיות של קבוצה עפ"י איבריה ללא אקסיומת ההיקפיות, הופכת את האקסיומה הנ"ל למיותרת, ואם אנו מתעקשים להשתמש בה, הרי שאנו קובעים ייחודיות ע"י שימוש בייחודיות מותנית מראש. שייכות מתקיימת אם ורק אם אנו משתמשים ביכולת מובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, ואז ורק אז אנו יכולים לשייך את תוצרי הבחנה זו לקבוצות, כאשר זהות ואי-זהות משמשות במשולב כאמצעי לשיוך, ללא שום תלות בקיומה או אי-קיומה של אקסיומת ההיקפיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, אז אם השפה שלך לחלוטין שונה מהשפה שלי, אז אין לנו על מה לדבר בכלל. אני לא מאמין בכך. אני חושב שכשאתה אומר ''מגדירה'' אתה מתכוון למילה ''מגדירה'' כמו שאני מבין אותה. אבל זו טעות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"נו, אז אם השפה שלך לחלוטין שונה מהשפה שלי, אז אין לנו על מה לדבר בכלל." תגובה מוזרה, כי הריי גישרתי בין ניסוחיך לניסוחיי בכך שאמרתי כי: "רק אומרת משהו" בשפתך, זהה ל-"מגדירה את התכונות של" בשפתי. בזאת נתתי לך את האפשרות לבחון את דברי ע"י שימוש בניסוחיך, אך משום מה הבנת את דברי בדיוק ההיפך מכוונתם המקורית. בכל אופן, הסבר נא לי בפירוט מהי הגדרה באינך ומהו ההבדל בין "הגדרה" ל-"רק אומרת משהו" ? תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיקון להודעה קודמת: בכל אופן, הסבר נא לי בפירוט מהי הגדרה בעיניך ומהו ההבדל בין "הגדרה" ל-"רק אומרת משהו" ? תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהסבירו לך כמה פעמים. ובכל זאת: הגדרה = נוסחה שיש רק איבר אחד שמקיים אותה. הכוונה ב "רק אומרת משהו" היא שהנוסחה הזו, אם מתקיימת, אומרת משהו על המודל. כמו למשל אקסיומת ההקפיות אומרת שהמודל מקיים איזה שהוא קשר בין שוויון לשיכות. שני הדברים - שוויון ושייכות הם יחסים כלשהם במודל, כששוויון הוא יחס הזהות, ושייכות הוא יחס אחר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אומר זאת שוב: שייכות מתקיימת אם ורק אם אנו משתמשים ביכולת מובנית שלנו להבחין בין זהה לשונה, ואז ורק אז אנו יכולים לשייך את תוצרי הבחנה זו לקבוצות, כאשר זהות ואי-זהות משמשות במשולב כאמצעי לשיוך, ללא שום תלות בקיומה או אי-קיומה של אקסיומת ההיקפיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כמו למשל אקסיומת ההקפיות אומרת שהמודל מקיים איזה שהוא קשר בין שוויון לשיכות. שני הדברים - שוויון ושייכות הם יחסים כלשהם במודל, כששוויון הוא יחס הזהות, ושייכות הוא יחס אחר." מה המשממעות של "איזה שהוא קשר" ? מה המשמעות של "ושייכות הוא יחס אחר" ? מה ניתן להבין מתוך הנוסח המעורפל: "אקסיומת ההקפיות אומרת שהמודל מקיים איזה שהוא קשר בין שוויון לשיכות." ? מזה "מקיים איזה שהוא קשר" ? מזה "מודל" ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, בעברית כותבים "מה זה", ולא "מזה". 1. מה המשממעות של "איזה שהוא קשר" ? המשמעות היא הקשר הכתוב באקסיומה הזו. (כלומר יש שוויון בין קבוצות אםם כל איבר ששייך לאחת שייך גם לאחרת). זה די דומה לחוק הדיסטריביוטיבי במספרים השלמים שקושר בין הכפל לחיבור. 2. מה המשמעות של "ושייכות הוא יחס אחר" ? שייכות היא איזה שהוא יחס דו מקומי. אם מדובר על מודל כלשהו של ZFC, אזי הוא מקיים את כל האקסיומת שכתובות שם. 3. מה ניתן להבין מתוך הנוסח המעורפל: "אקסיומת ההקפיות אומרת שהמודל מקיים איזה שהוא קשר בין שוויון לשיכות." חזור ל1. 4. מזה "מקיים איזה שהוא קשר" ? כנ"ל. 5. מזה "מודל" ? מודל הוא קבוצה בה האקסיומות של תורה כלשהי מתקיימות. למשל, כל קבוצה היא מודל של התורה הריקה (שלא אומרת דבר). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקסיומת ההיקפיות: 1) יש זהות בין קבוצות אםם כל איבר ששייך לאחת שייך גם לאחרת. 2) יש שוני בין קבוצות A ו-B, אם קיימת קבוצה C ב-A אך לא ב-B או ב-B אך לא ב-A. מ-(1) ו-(2) אנו למדים כי זהות בלבד אינה מספיקה כדי להבחין בייחודיות קבוצות עפ"י הקבוצות המוכלות בהן, ולכן אקסיומת ההיקפיות אינה יכולה לומר משהו הקשור רק ליחס שבין זהות לשייכות. (1) ו- (2) מתקיימות אםם ניתן להבחין בין זהות לשונות, לדוגמא: אם אנו מבחינים *רק* בשונות הריי ש-{a,a,a,a} מובחן כ-{}. אם אנו מבחינים *רק* בזהות הריי ש-{a,b} מובחן כ-{}. לכן מובחנות היא שילוב של זהות ושונות לכלל מערכת אחת (זיהוי-שונות) המאפשרת הבחנה בייחודיות קבוצה עפ"י איבריה (שלפי ZF הן קבוצות). אקסיומת ההיקפיות "לא תמיד עובדת" ב-(2) לדוגמא: אם אנו בוחנים את יכולתה של אקסיומת ההיקפיות לקבוע את היחודיות בין {1} ל- {2}, אז היות ו-C אינו משתנה חופשי הריי שהוא חייב להיות שונה מ |{{}}|(=1) או שונה מ- |{{{}},{}}|(=2), אך היות וב-{1} ו-{2} אין יותר מאיבר אחד בכל קבוצה, הריי ש-C אינו יכול להתקיים כלל (אפילו לא כקבוצה ריקה), ולכן אקסיומת ההיקפיות תקיפה רק אם A או B הן קבוצות זהות, או שיש הפרש של לפחות איבר אחד בין A ל-B המקיים את C. איזה טעם יש לשמר אקסיומה זו, עם בכל מקרה היא מבוססת על יכולת זיהוי-השונות הטמונה בנו, ואנו משתמשים בכל מקרה ביכולתנו כדי "לסתום חורים" שבהם אקסיומת-ההיקפיות לא-עובדת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 ו2 הם אותו דבר. דורון, אפילו כשאתה כותב {a,b} אתה משתמש באקסיומת ההקפיות. בלעדיה, אולי יש עוד קבוצה שאיבריה הם רק a ו b ? ואם יש כזו למה אתה מתכוון כשאתה כותב {a,b}? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אח של סמיילי: "אפילו כשאתה כותב {a,b} אתה משתמש באקסיומת ההקפיות" אח של סמיילי: "בעולם יש רק 2 איברים ({{1},{2}}). אף אחד מהם לא שייך ל {1}, ואף אחד מהם לא שייך ל {2}. לכן אם אקסיומת ההקפיות היתה נכונה, 2 הקבוצות הנ"ל היו שוות. אבל הן לא." אח של סמיילי הסבר נא את הסתירה הקיימת בדבריך כי אתה טוען דבר והיפוכו, במקרה דנן: {a,b} הינה צורה כללית המייצגת בין השאר גם את {{1},{2}}, אז הסבר נא איך {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות (כדבריך) *וגם* מבוססת (כדבריך) על *הגדרה* המשתמשת באקסיומת ההקפיות ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר שאלת אותי את זה ועניתי לך. לא זוכר איפה, אז אני עונה שוב: מותר להשתמש באקסיומה כדי למצוא מודל שבו היא אינה מתקיימת. אין כאן כל סתירה. במקרה שלנו מגדירים את המודל (= העולם) בעזרת אקסיומת ההקפיות, ובעולם זה אקסיומה זו אינה מתקיימת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפעם הבנתי אותך, תודה. אנא עיין בתגובה 341846 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אומר זאת שוב: אתה צריך לנסח את המשפטים שלך בצורה קצת יותר ברורה. אני לא מסוגל להבין את מה שכתבת למעלה. מה זה "זהות ואי-זהות משמשות במשולב כאמצעי לשיוך"? וחוץ מזה, נתתי לך דוגמא לעולם בו יש 2 קבוצות שאינן שוות אבל מכילות בדיוק את אותם איברים. אני מקווה שיש כאן מישהו שקורא את זה ויכול להסביר לדורון את הדברים האלו יותר טוב, או לחילופין מישהו שמבין מה דורון אומר ויכול להסביר לי. אז אם אתה אי שם, בבקשה תענה! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הייתי עושה את זה ברצון, אבל יותר מזה אני רוצה לראות את הדיון שובר את רף 10000 התגובות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא ענה ל: תגובה 341266 תגובה 341278 תודה. בהמשך לתגובות הנ"ל, אחזור על דברי בשנית: אקסיומת ההיקפיות קובעת שייחודה של קבוצה נקבעת עפ"י איבריה, אבל איבריה של קבוצה (לפי ZF) תמיד מובחנים זה מזה ללא תלות בקיומה של האקסיומה, ולכן יכולת ההבחנה המוגדרת ע"י האקסיומה, נובעת מיחודיות איבריה של קבוצה ולא מקיומה של האקסיומה, ולכן אקסיומה זו מגדירה ייחודיות על ידי שימוש בייחודיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"איבריה של קבוצה (לפי ZF) תמיד מובחנים זה מזה ללא תלות בקיומה של האקסיומה" - נכון, אבל אין כאן סתירה. העובדה ש-a ו-b יכולים להיות *שונים*, לא אומרת בהכרח ש-{a,b} ו-{a,a,b} הן קבוצות זהות. יותר חשוב, היא לא אומרת שלא יכולות להיות שתי קבוצות שיהיו בהן *בדיוק* אותם איברים, אבל הן יהיו שתי קבוצות שונות. בשביל זה צריך את האקסיומה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אומר זאת שוב: אקסיומת ההיקפיות אינה קובעת את היחס שביו זהות ושייכות. יחס זה נקבע ע"י תכונה מובנית של תודעתנו של *זיהוי-שונות* (שילוב בין המושגים "זהות" ו-"שונות" לכלל מערכת בעלת יכולת הבחנה) המאפשרת לנו לשייך אלמנטים לקבוצה עפ"י תכונותיהם, כאשר שני המצבים הבסיסיים הם זהות או שונות בין קבוצות. היות ולפי ZF אלמנט של קבוצה לא-ריקה, הוא בעצמו קבוצה, אנו משתמשים ביכולת מובנית זו בכל רמה כבסיס לקביעת היחיודיות של קבוצות, ללא כל צורך באקסיומה מיוחדת. יותר מכך, אקסיומת ההיקפיות אינה "מבצעת את תפקידה בכל תנאי מזג האוויר" שבהם יש לקבוע את מיוחדותה של קבוצה עפ"י איבריה, ואז אנו מבינים מייד כי מי *שמבצע את העבודה" אינו אקסיומת ההיקפיות אלא תכונת *זיהוי-השונות* של תודעתנו: The axiom of extensionality: מכיוון שאקסיומה זו קובעת את *הייחודיות של קבוצה עפ"י איבריה* ולא יחס בין זהות לשייכות (כדברי האח של סמיילי), ניתן לנסח אותה גם בדרך הבאה:Given any set A and any set B, A is equal to B if and only if, given any set C, C is a member of A if and only if C is a member of B. what the axiom is really saying is that two sets are equal iff they have precisely the same members. The essence of this is: A set is determined uniquely by its members. A ו- B הן קבוצות שונות אם ורק אם קיימת קבוצה C ב-A ולא ב-B , או ב-B ולא ב-A . אם אנו בוחנים את יכולתה של אקסיומת ההיקפיות לקבוע את היחודיות בין {1} ל- {2}, אז (אם הבנתי את דבריך) אתה טוען כי היות ו-C אינו משתנה חופשי הריי שהוא חייב להיות שונה מ |{{}}|(=1) או שונה מ- |{{{}},{}}|(=2), אך היות וב-{1} ו-{2} אין יותר מאיבר אחד בכל קבוצה, הריי ש-C אינה יכול הלהתקיים כלל (אפילו לא כקבוצה ריקה), ולכן אקסיומת ההיקפיות תקיפה רק אם A או B הן קבוצות זהות או שיש הפרש של לפחות איבר אחד בין A ל-B המקיים את C. בזאת אתה מחזק את דברי, שבהם אני טוען כי אקסיומת ההיקפיות אינה מבצעת את מלאכתה נאמנה "בכל תנאי מזג האוויר" ואיננה מסוגלת לקבוע את הייחודיות של קבוצה לפי איבריה, ללא תנאי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מתסכל שאתה עושה העתק-הדבק של טקסטים מתגובות קודמות, בייחוד שהן כוללות פנייה בגוף שני לאדם אחר (אח של סמיילי). אם אנחנו אכן לא נזקקים לאקסיומה, כדבריך, הרי שהכלל "ייחוד הקבוצה ע"פ זהות האיברים" חייב לחול בכל מערכת. האם הוא פועל עבור קבצי זיפ? לא. יכולים להיות שני קבצי זיפ *שונים* שיש בהם בדיוק את אותם איברים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פשששש. יפה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"יכולים להיות שני קבצי זיפ *שונים* שיש בהם בדיוק את אותם איברים." אם האיברים של הקבצים הנ"ל נמצאים במקומות שונים על ה-HARDDISK שלך, אז אין הם בדיוק אותם איברים. אם האיברים של הקבצים הנ"ל קיימים פעם אחת בלבד על ה-HARDDISK שלך אז שניי הקבצים הם אותו קובץ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל האלמוני בתגובה קודמת הוא אני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על מה אתה מדבר? השאלה "איפה הקבצים נמצאים על ההארד-דיסק" היא חסרת משמעות. אין שום סיבה שעותק של האיברים בכלל יהיה על ההארד-דיסק. יש אפשרות שקובץ יתקיים בקובץ זיפ בלבד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהכוונה היא שהביטים של קובץ הזיפ עצמו (שהם הקבצים המכווצים) צריכים להיות באותו מקום על ההארד דיסק. כמובן שכל סיפור הזיפים מיותר. פשוט תחשוב על שני מצביעים לאותו מערך בשפת התכנות האהובה עלייך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה יפתיע אותי אם לכך הוא התכוון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"זה יפתיע אותי אם לכך הוא התכוון." מדוע זה מפתיע אותך שלכך אני מתכוון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פתאום נזכרתי בתוכנת ELIZA :-) I: My friend is an idiot. דורון, אני אשמח אם נחזור לנושא הדיון: תגובה 341872.
Eliza: Why do you say your friend is an idiot? http://www-ai.ijs.si/eliza/eliza.html |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יקירי, אם אתה מתייחס אלי מתוך עמדה של התנשאות, אינך פנוי להבין את דבריי כי אתה עסוק יותר מדיי באגו שלך. ולכן אשאל אותך בשנית, מדוע אתה חושב שאיני מסוגל להבין את ההבדל שבין קיומם של שניי העתקים בלתי-תלויים (היכולים לעבור שינויים בנפרד) של תוכן זהה, לבין קובץ אחד ויחיד ששני פויינטרים נפרדים מצביעים אליו ( וכל שינוי בקובץ יתבטא בצפייה דרך הפויינטרים, מכיוון שאנו עוסקים בקובץ אחד ויחיד)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
" העובדה ש-a ו-b יכולים להיות *שונים*, לא אומרת בהכרח ש-{a,b} ו-{a,a,b} הן קבוצות זהות. יותר חשוב, היא לא אומרת שלא יכולות להיות שתי קבוצות שיהיו בהן *בדיוק* אותם איברים, אבל הן יהיו שתי קבוצות שונות. בשביל זה צריך את האקסיומה." שמעת פעם על דבר כזה שנקרא "המינימום ההכרחי"? אם אתה משתמש בו אתה יכול לחסוך את הסיבוכיות במה שכתבת לעיל, לדוגמא: 1) a הוא לא b . 2) אם קיים {a,a,b} אז נשאיר רק את המינימום ההכרחי ונקבל {a,b} . 3) אם a הוא b , אז נשתמש או ב-{a} או ב-{b} בהתאת לצורך. 4) בשביל הנ"ל לא צריך שום אקסיומה, כי אנו משתמשים ביכולת *זיהוי-השונות* הטמונה בנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
" הגדרה = נוסחה שיש רק איבר אחד שמקיים אותה." הפנה אותי בבקשה למקור מהימן המגדיר "הגדרה" באופן הנ"ל. הפנה אותי בבקשה למקור מהימן המשתמש ב-"רק אומרת משהו" כביטוי מתמטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב''מתמטית'', במקום ''רק אומרת משהו'' אומרים ''טענה'' או ''פסוק''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם קיימת הגדרה למושג "הגדרה" בשפת המתמטיקה? אם כן, אז הפנה נא אותי למקור מהימן המגדיר "הגדרה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר ציינתי שעכש''י אין הגדרה ל''הגדרה'' בלוגיקה מתמטית, ואני גם לא רואה סיבה שתהיה. הרי, בהינתן מושגי יסוד, אפשר להסתדר גם בלי הגדרות (טוב, בני אדם לא יכולים שלא להשתמש בהגדרות ובכל זאת להישאר שפויים, אבל לוגיקה מתמטית לא עוסקת בבני אדם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, האם לדעתך תוכן תגובה 341345 הינו המצאתו האישית של האח של סמיילי, ואיננה מקובלת על קהילת המתמטיקאים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא מדויק. יש הגדרה ל "הגדרה". וזה מה שכתבתי (בערך - אפשר להרחיב את זה גם לסימני יחס ופונקציה ולאו דווקא קבועים). ואפילו יש משפטים שמתעסקים עם זה, למרות שרובים אומרים דברים שנראים אולי מובנים מאליהם, הם בכל זאת מעניינים (כמו למשל משפט בת' Beth). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |