בתשובה לירדן ניר, 26/02/03 10:49
 |
|
 |
||
|
||||
 |
איך מפריעים לזנון קטעים מתמטיים? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את השאלה. מה זה "מפריעים"? לזנון יש פרדוקס, שעובד באותה צורה על מקלות פיזיים ועל קטעים של קו (אוביקטים מתמטיים). התשובה של דמוקריטוס עונה לראשון, ולא לשני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי את הניסוח שלך לפרדוקס ("ניקח מקל באורך מטר, ונחלק אותו לאינסוף קטעים שווים. אם אורכו של כל קטע כזה גדול מאפס, אז סכום האורכים הוא אינסופי. אם אורכו של כל קטע הוא אפס, אז הסכום הוא אפס - ובכל מקרה לא מטר. ") למה הכוונה ב"סכום האורכים" של אינסוף הקטעים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע, כאן כבר צריך לשאול את זנון, וזה קשה טכנית (מישהו כאן יודע יוונית עתיקה?) האמת, גירית אותי מספיק כדי לחזור למקורות: לריכוז שיש לי של קטעי מקור המיוחסים לזנון. מהם נזכרתי שאין כאלה, וכל מה שיש זה כמה פרגמנטים ממה שאריסטו כתב על זנון, ועוד כמה פרגמנטים ממה שאחד סימפליקיוס כתב על מה שאריסטו כתב על זנון. סך הכל מעט טקסט, אבל צריך לנבור הרבה כדי להפיק משם משהו ברור. קראתי בערך פעמיים, ולא ממש איתרתי משהו שדומה לפרדוקס חלוקת הקטע. היתכן שמדובר בכלל באיזו אבסטרקציה מודרנית של סוג הטיעון הכללי של זנון? מכל מקום, חלק מהתשובות של אריסטו לזנון אכן מנסות לדון יותר לעומק על הבנת מושג האינסוף. אבל נדמה לי שאם מתאמצים לשכוח את אריסטו ואת לייבניץ ואת קושי, אז נדמה שאפשר להבין *אינטואיטיבית* מה זה סכום אורכים של אינסוף קטעים, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכלל לא. ראה תגובה 131379. זו הזדמנות להגיד משהו כללי על מושג ה"אורך", שאתה עשוי למצוא בו ענין. ברור לנו מהו האורך של קטע - אבל פחות ברור מה האורך של קבוצות יותר מסובכות. אותה בעיה קיימת גם ל"שטח" או "נפח". כדי להתגבר על הבעיה, נאמר ש"מידה" היא פונקציה שהקלט שלה הוא קבוצה, והיא מחזירה מספר חיובי1 או "אינסוף", המקיימת את התכונה הבאה: * אם {A_n} היא סדרה של קבוצות זרות (ללא נקודה משותפת) ו- A הוא האיחוד של כל הקבוצות האלה, אז המידה של A שווה לסכום2 המידות של ה- A_n. (בפרט, עבור מספר סופי של קבוצות זרות, מידת האיחוד שווה לסכום המידות). עד כאן, יש לקוות, הכל אינטואיטיבי. מסתבר, שאפשר להגדיר בשיטה הזו "אורך" (על הקו הישר), וגם "שטח" (על המישור), באופן כזה שלכל קבוצה יש אורך (או שטח). לעומת זאת, הפרדוקס של בנך-טארסקי3 מראה שלא ניתן להגדיר "נפח"4 שלא ישתנה כשמסובבים את הקבוצות במרחב. הדרך היחידה היא להגדיר את הפונקציה באופן חלקי ולקבל את קיומן של קבוצות שאין להן מידה. 1 אפשר להגדיר מידות שליליות או מרוכבות באותה קלות. 2 הסכום הזה תמיד קיים; הוא מספר חיובי או אינסוף. 3 ("הסבר ינתן לפי דרישה"). 4 אלא אם הנפח של כל קבוצה הוא אפס; קצת משעמם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, זה מעניין. בכל אופן, אני כן עומד מאחורי הטענה מקודם: עבור אדם "תמים", שלא היה בכיתת המתמטיקה באלפיים השנה האחרונות, יש כוח שכנוע אינטואיטיבי בדיבור על סכום אורכיהם של אינסוף קטעים. מה שכתבת גם כאן וגם בתגובה המקושרת שייך למה שלמדנו בכיתה. הערות: 1. אני לא בטוח שהטענה הזו נכונה (על כוח השכנוע האינטואיטיבי). 2. היא כל כך עמומה, שלא ברור לי איך אפשר בכלל לדון עליה. 3. היא לא מעניינת במיוחד. אבל אני רוצה לעדן אותה: אני (כלומר, זנון ודמוקריטוס) לא צריך שיהיה ברור אינטואיטיבית (לאדם התמים וגו') מה זה סכום של אינסוף קטעים. מספיק לי שיהיה ברור לו אינטואיטיבית שסכום של אינסוף קטעים שאורכם שווה וגדול מאפס הוא אינסוף, ושסכום של אינסוף קטעים שאורכם אפס הוא אפס. על הטענה הזו (שברור אינ' לאדם התמים ש...) אני קצת יותר חזק באמונתי שהיא נכונה; הערות 2 ו-3 עדיין בתוקף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב יעשה האדם התמים שלך אם יבחין בין אינסוף בן-מניה לאינסוף שאינו בן מניה. במקרה הראשון, לסכום של אינסוף קטעים באורך אפס יש אורך אפס, אבל (לכן) אי אפשר לחלק את קטע לאינסוף קטעים שווים באורכם. במקרה השני, אפשר לחלק את הקטע, אבל אין שום משמעות ל''סכום'' של אינסוף האורכים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התאפקתי בפעם הקודמת שאמרת את זה, אבל ממילא לא נותר לי הרבה כבוד לאבד, סו וואט דה הל: אתה מוכן להסביר להדיוט כמוני מה המשמעות של "לחלק את הקטע ל ..." אם אי אפשר באותה נשימה (או כמה נשימות אח"כ) להגיד שחיבור כל החלקים האלה נותן את הקטע המקורי ולכן סכום אורכיהם *כן* מוגדר, והוא אורכו של אותו קטע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לחלק את הקטע לקטעים (שאורכם אפס). חיבור כל הקטעים האלה נותן את הקטע המקורי. אורכו של החיבור הזה שווה לאורך הקטע המקורי. את אורכי הקטעים אי-אפשר לסכם, כי הם רבים מדי. נניח שמחלקים את הקטע מ-0 עד 1. אם מכפילים כל מספר בשניים, מתקבל הקטע מ-0 עד 2 שאורכו כפול. מכיוון שהאורך של כל תת-קטע בחלוקה שלנו הוא אפס, גם לאחר ההכפלה האורך הוא אפס. אם אפשר היה לסכם את אורכי הקטעים, היינו מצפים לקבל אותו סכום בכל פעם (כי בשני המקרים מסכמים אותו מספר של אפסים), ולכן אי-אפשר להגדיר את הסכום הזה כ"אורך הקטע המקורי". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמונה לחלק לאינסוף זה אפס. אפס כפול אינסוף, לא נותן לנו בחזרה את השמונה (כי זה לא מוגדר). לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, כשלימדו אותי את העניין הזה אמרו לי רק ששמונה חלקי X שואף לאפס כאשר X שואף לאינסוף, אבל הבנתי מאיזו הודעה אחרת כאן שיש דרך להגדיר פעולות מתמטיות על אינסוף עצמו כאילו היה מספר. כנראה המתמטיקה בכל זאת התקדמה במאתיים השנים האחרונות (או שאני הלכתי אחורה באותה תקופה). ולעוזי: אין שום בעיה להגיד "נכפול את כל אברי הקבוצה בשתיים" כשהקבוצה אינסופית, ובפרט כשהיא בעלת עוצמה גדולה מאלף-אפס? אני יודע ש*אפשר* להגיד את זה, אבל נדמה לי שמישהו יותר חכם ממני היה יכול להקשות כאן: ראשית, אתה צריך לבחור מספר (וכבר השתמשת באכסיומת הבחירה המעצבנת), ושנית אתה צריך לעשות את זה הרבה, ואני מתכוון ממש הרבה, פעמים. מי אמר לך שזה אפשרי? (הערה: אם הדיון הפסאודו-מתמטי הזה חורג מסבלנותך האינסופית, פשוט תעבור הלאה) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אפשר "לצרף" את אינסוף למערכת המספרים, ולהגדיר פעולות על המערכת החדשה. הבעיה היא שאפשר לעשות זאת בהרבה דרכים, וכדי לא לבלבל עדיף לא לעשות זאת כשמנתחים "פרדוקסים". 2. כשמכפילים את כל האברים של קבוצה, אין צורך להשתמש באקסיומת הבחירה (כי עוברים על כל האברים). 3. אחת האקסיומות של תורת הקבוצות קובעת שבהנתן פונקציה ("כפל ב- 2") וקבוצה, הפעלת הפונקציה על הקבוצה נותנת קבוצה חדשה. לאנשים שלא מאמינים באקסיומה הזו קוראים "קונסטרקטיביסטים" ואף אחד לא מזמין אותם למסיבות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהה, זה מסביר הרבה דברים. ________________ שכ"ג, שלא מוזמן גם ליומולדת של עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ביום שהאדם התמים (זנואית) שלי יבחין בין אינסוף בן-מניה ללא-בן-מניה, הוא כבר לא יהיה תמים. למעשה, הוא כבר יהיה רחוק הרבה צעדים1 מתמימות. 1 הכנס כאן בדיחה על אכילס והצב2. 2 בפרגמנטים שדיברתי עליהם בתגובה 132462 אין זכר לאכילס והצב. הפרדוקס עצמו מוצג מאוד בבירור - להבדיל מטיעונים אחרים המיוחסים לזנון - אבל מדובר סתם על שני רצים באצטדיון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על הפרדוקס של בנך-טרסקי אני יודע רק שהוא הדרך הטובה ביותר לייצר זהב: ניתן לחתוך כדור מוצק (משלושה ממדים או יותר) למספר סופי של פיסות, ואז להרכיב את הפיסות לכדור גדול פי 2 בנפחו. אפשר פרטים? בפרט, האם זה עובד גם אם מתכות רדיואקטיביות ועם אבני-חן? האם אפשר להשתמש בפרדוקס כדי להבטיח שהיקום יתפשט לעד? או כתחליף לסיליקון בניתוחים פלסטיים מסוימים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. את הפיסות אפשר להרכיב לשני כדורים בנפח שווה לכדור המקורי (ולא לכדור אחד כפול בנפחו). 2. מספר הפיסות אינו גדול במיוחד: עשר. מוציאים, מפרידים לחמש בצד אחד וחמש בצד שני, מסובבים, ומרכיבים שני כדורים חדשים (בלי חורים). 3. אותו פירוק קיים גם בכדורים ממימד גבוה יותר מ-3. המשפט שלפיו הפירוק הזה קיים מניח את "אקסיומת הבחירה" (בהנתן קבוצה של קבוצות לא ריקות, אפשר לבחור איבר אחד מכל קבוצה). בלעדיה, אין פירוק כזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוטעיתי (בעניין הכדור היחיד) ע"י המקור ממנו שמעתי לראשונה על הפרדוקס: The Magic Machine: A Handbook of Computer Sorcery / A. K. Dewdney (הבנתי שיש בקהל אנשים שנהנו מ-Metamagical Themas. הספר לעיל הוא אסופה של הטורים שהחליפו את MT ב-Scientific American).ולעניין: אקסיומת הבחירה היא שמובילה לפרדוקס. אני מניח שהיא בעייתית רק כשמדובר בקבוצות אינסופיות, או במספר אינסופי של קבוצות. מדוע אם כך היא נותרה כאקסיומה, ולא הורדה מגדולתה בעקבות הפרדוקס? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. היא בעייתית רק בקבוצות טרנספיניטיות. 2. כי בלעדיה קשה לעשות הרבה דברים נחוצים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האקסיומה בעייתית רק כשמדובר על מספר אינסופי של קבוצות1 (אינסופיות הקבוצות עצמן אינה רלוונטית). בנך וטרסקי אכן קיוו שהפרדוקס שלהם ישכנע אנשים לוותר על האקסיומה, אבל המזימה לא עלתה בידם. האקסיומה הזו שקולה למספר תוצאות "טבעיות" אחרות: * הלמה של צורן (בקבוצה עם יחס סדר, אם כל סדרה עולה היא חסומה, אז יש לקבוצה איבר מקסימלי). * אקסיומת הסדר הטוב (כל קבוצה אפשר לסדר באופן כזה, שלכל תת-קבוצה יש איבר ראשון). רוב התחומים במתמטיקה יכולים להתפתח פחות-או-יותר באותה צורה בלי להניח את האקסיומה הזו, אלא שזה מסרבל את הניסוחים ולכן מקובל לצרף גם אותה למערכת. 1 הגירסה החלשה מדברת רק על בחירה מתוך אינסוף בן-מניה של קבוצות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב"אתה בטח מתלוצץ, מיסטר פיינמן!" (מעיין ביוגרפיה לא רשמית ולא שלמה של ריצ'רד פיינמן) פיינמן מנצח בויכוח עם אנשי טופולוגיה בשאלה "האם ניתן לקחת תפוז ולבנות ממנו כדור בגודל של השמש מבלי לחתוך אותו". פיינמן מנחש שאי אפשר וכשהטופולוגיסטים אומרים שכן אפשר בגלל טיעונים כאלה וכאלה, הוא מזכיר להם שהם דיברו על תפוז ותפוז לא ניתן לחלק מתחת לרמת האטומים. אני מניח שזה עונה גם לשאלה שלך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מדויק: "...אנחנו חותכים את התפוז למספר סופי של חלקים מחברים אותם מחדש, ומקבלים צורה בגודל השמש..." המתמטיקאים ביקשו לחתוך את התפוז ועל נקודה זו עומד הקטע |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בחייך! לא יכולת לתת מספר עמוד ולחסוך לי את החיפוש (83 אגב)? אתה כמובן צודק, מותר לחתוך. זה עדיין עונה לטל, לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבתי שלא קיימת פונקצית נפח שמוגדרת על כל הקבוצות במרחב אם דורשים שהנפח לא ישתנה בסיבוב. הנימוק הוא למעשה פשוט בהרבה מהפרדוקס של בנך-טארסקי, והתוצאה נכונה לא רק לנפח: 1. לא קיימת פונקצית אורך (על הקו הישר) שבה מידתה של קבוצה אינה משתנה כשמזיזים אותה (אלא אם קיימות קבוצות שאורכן אינו מוגדר). 2. כנ"ל לשטח (על המישור) וכל מימד גבוה יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח אם זה קשור לנושא האורך, המידה או לאקסיומת הבחירה או סתם למוגבלות השכלית שלי, אבל מהבוקר אני מוטרד מן השאלה הבאה: מה הסיכוי שבחירה אקראית של נקודה בין 0 ל1 תיפול בין 0 לp, כאשר p בין 0 ל1. לכאורה, הסיכוי הוא p. במחשבה שנייה, עוצמת הנקודות בשתי הקבוצות המשלימות זהה. ניתן אפילו להשתעשע ולפזר את אחת הקבוצות או את שתיהן בפיזורים שונים על פני ציר הממשיים ולשאול אז מהו הסיכוי. רעיון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדר "בחירה אקראית". רמז: התחל בהגדרת המושגים סיגמא-אלגברה (של קבוצות), מרחב מדיד, מידה חיצונית, מידה ומידת-הסתברות. עבור מידת Lesbegue על הקטע, התשובה היא אכן p. כאמור, זה כיוון שבדיון כזה מדברים על "מידה" ולא על "עוצמה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לבושתי הגדולה לא לקחתי את הקורס בתורת המידה (הלכתי לשעור הראשון והמרצה דיבר מהר מדי אז לקחתי קורס אחר). הייתי שמח לתשובה יותר אינטואיטיבית. אגב, אני לא שואל את זה רק מתוך סקרנות. יתכן שיש לתשובה השלכות על עניינים אחרים בהם אני עוסק לאחרונה, מתוך סקרנות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהעניין היותר לא-אינטואיטיבי הוא דווקא העוצמות האינסופיות. דווקא מידת לבג היא הדבר הכי קרוב שיש למושג האינטואיטיבי של "נפח" ("אורך" במקרה של הישר), וקל לראות שהקטע עד p פחות ארוך מהקטע עד 1. לעומת זאת, העובדה שבשני הקטעים האלה, כמו גם בישר, כמו גם במישור יש אותה "כמות" של נקודות, היא באמת קסם קטן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב. אז אבדוק מה זו מידת לבג. אז כל עניין העוצמות זה פארש? זה רק מחזק את נטייתי לאחרונה בהירהורי הכפירה שלי בתורת הקבוצות ואקסיומותיה. אני מרגיש לא שייך, מחוץ למחנה וקר שם, קר שם בחוץ ואין את מי לא להזמין למסיבות שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שבתור התחלה אתה יכול לשאול1 את האלמוס. עניין העוצמות זה לא פארש בכלל (אמרתי לך שיש שם קסמים!), אבל חוששני שהוא לא מספיק בשביל תורת-הסתברות מעניינת. 1 מהספרייה, מהספרייה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. אנסה קודם באוניברסיטה הגוגליאנית :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה מעוניין לנסח בעיה קונקרטית, אשמח לנסות לגאול אותך מן ההרהורים האלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתוספת לתשובתו של מיצ, הסתברות היא לא-פחות-ולא-יותר מפונקצית מידה על המרחב שלך (מנורמלת כך שמידת המרחב שווה ל-1). ההתפלגות ה"אחידה" שאנחנו רגילים לה מוגדרת היטב על קטעים (ולכן הסיכוי ליפול בין 0 ל- p שווה ל- p), אבל יש קבוצות שעבורן היא לא מוגדרת. בפרט, יש קבוצות שלא ניתן לענות על השאלה "מה ההסתברות" ליפול לתוכן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתוספת לתשובתי למיץ, מה אם עניין העוצמות? כלומר, אם במקום נקודות הקטע שבין 0 לp ניקח אוסף נקודות השקול לו (חח"ע) - למשל הקטע שבין 1 ל2 ובמקום הקטע שבין p ל1 ניקח את הקטע שבין 2 ל3 ונגריל נקודה - התוצאה תשתנה! הסיכוי יהיה הפעם חצי. למה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי ההעתקה החד-חד-ערכית ועל שבין הקבוצות אינה שומרת על ההסתברות. הסבר לפיזיקאים: אם מותחים גומיה, האורך שלה משתנה. הכיצד? הרי זו אותה גומיה! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז זה תלוי באינטגרל הנירמול. מממ.. נקודה חשובה. עוד אחזור לזה (במקום אחר). בכל אופן, ה"הוכחה" שחשבתי עליה בעניין הסיכוי בין p ל0 לעומת הסיכוי בין p ל1 היא כזו (בקצרה): כדי להגריל מספר ממשי בין 0 לp מגרילים את ספרותיו אחת אחת: צריך שהראשונה שלו תהיה קטנה מזו של p, והסיכוי לזה הוא...הראשונה של p, חלקי 10. אפשרות אחרת היא שספרתו הראשונה היא כשל זו p (בסיכוי 1 ל10), אך ספרתו השנייה קטנה מן השנייה של p. הסיכוי לכך הוא זו השנייה של p חלקי 10 וכך ממשיכים ומקבלים שהסיכוי להמצא משמאל לp הינו סכום שהוא הפיתוח העשרוני של p. איכשהו, יש לי הרגשה שההוכחה בעייתית קצת, כי ניתן אולי לסכום את הסיכויים באופן אחר. אבל אני לא בטוח, אולי היא בסדר. בכל אופן, שימוש באינטגרל נראה לי יותר כללי ויותר מתאים לצרכי. בעניין הריקבון בממלכת קנטור ובאימפריה הפרנקל-זורמלית יורשתה, זו היתה הערת אגב. אם אבסס את התחושה במידה מספיקה, אחזור לזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגרלת הספרות בזו-אחר-זו נותנת התפלגות אחידה, וההוכחה שלך בסדר במקרה הזה. אפשר להעזר בהתפלגות אחידה כדי לייצר כל התפלגות: נסמן ב- F את פונקצית ההצטברות של ההתפלגות הרצויה (F שווה לאינטגרל ממינוס אינסוף עד x), וב- U משתנה אחיד (שהוגרל בשיטת הספרות, למשל). המשתנה (F^{-1}(U מתפלג לפי ההתפלגות המתאימה ל- F. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. אני מקווה שזה יאפשר לי שהות מה בטרם אצטרך למשנתו של לבג. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי ההגדרה (אינטגרל של פונקציה חיובית), F היא מונוטונית עולה ולכן יש לה פונקציה הופכית (שגם היא מונוטונית עולה). הנקודות שבהן הפונקציה ההופכית אינה מוגדרת היטב מתאימות לקטעים שבהם פונקצית הצפיפות שאנחנו מסכמים היא אפס. בנקודות האלה אפשר להגדיר את הפונקציה ההופכית להיות כל מספר מן הקטע המתאים, שכן ממילא ההסתברות שלהן אפס (תחת ההתפלגות האחידה). (אם רוצים לדייק, צריך לזכור שכל פונקצית צפיפות היא מדידה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מיץטער, הייתי צריך לכתוב "איפה כתוב שהאינטגרל הוא של פונקציה חיובית?" (או איפה בכלל כתוב של מה האינטגרל), אבל עכשיו אני כבר יכול לשאול מי בכלל דיבר על פונקציית צפיפות. בקיצור, כיוון שהפתרון שלך עובד (כשמגדירים אותו היטב) גם עם התפלגויות שאין להן צפיפות, ממש לא ברור לי למה בחרת להוסיף את הסיבוך הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מההתחלה: כל התפלגות מוגדרת על-ידי פונקצית הצטברות, שהיא מונוטונית עולה (אבל אינה בהכרח רציפה). אפשר *להגדיר* פונקציה הופכית לפי F^{-1}(a) = inf {x | F(x)>=a}. כעת, אם U משתנה אחיד, אז (F^{-1}(U מתפלג לפי F.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי כי עוזי ו., שבהירות כתיבתו ודיוקו המתמטי מרשימים אותי שוב ושוב, התבלבל מעט הפעם. אין צורך להרחיק עד ל- R^3 כדי להוכיח כי לא קיימת "פונקציית אורך" (או נפח) ראויה לשמה המוגדרת על *כל* תתי-הקבוצות של המרחב. ניתן להראות זאת יחסית בקלות (אם כי תוך שימוש באקסיומת הבחירה) כבר ב- R^1. הפרדוקס של בנך וטרסקי עוסק בנושא קרוב, אך שונה. הגרסה שאני מכיר היא כי (שוב, תחת אקסיומת הבחירה) קיימת תת-קבוצה F של ספירת היחידה S^2 (ב- R^3), כך שלכל 3 =< k, הספירה S^2 שווה לאיחוד הזר של k עותקים של F (תחת הטרנסלציות המתאימות). הפואנטה היא ש- F אינה תלויה ב- k! במילים יותר פשוטות: ניתן "לגזור" פיסה מסוימת משטח הפנים של כדור, ואז לשחזר את הכדור המקורי על ידי הטלאה (ללא חפיפה!) של שלושה עותקים של הפיסה, או, אם רוצים, של ארבעה עותקים שלה, או של חמישה, וכך הלאה. ה"פרדוקס" כאן הוא שאם אנו רוצים להעניק "שטח" לקבוצה F, אזי שטח זה צריך להיות גם 4pi/3, גם 4pi/4, גם 4pi/5, וכו'. ה"פתרון" הוא, במילותיו של ההסתברותן (או שמא הסתברותאי? איך אומרים בעברית probabilist?) דייויד ויליאמס: "בנך וטרסקי לא הפרו את חוק שימור השטח; הם פשוט פעלו מחוץ לתחום שיפוטו". אכן, קבוצות כגון F נקראות במתמטיקה "בלתי מדידות", ומסתבר שכמעט לכל צורך שהוא, ניתן להסתדר היטב גם בלעדיהן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אופס, רק עכשיו ראיתי את תגובה 132755. אלפי סליחות. והלקח שלמדתי: קרא את כל התגובות האחרות בטרם תגיב, פן תצא טמבל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מכיוון שכבר הועלו כאן מספר גרסאות לפרדוקס, כדאי להבהיר מאיפה הוא בא. במקור, בנך וטארסקי ביקשו להדגיש את האבסורדיות שבאקסיומת הבחירה (כל כך אבסורדית, עד שמי שמאמין באקסיומה הזו נדרש להאמין גם בתוצאות משונות כמו האפשרות לפרק כדור לעשרה חלקים שמהם אפשר להרכיב שני כדורים באותו גודל, ועוד דברים משונים כאלה). התוצאה היתה, (כך נראה,) שמתמטיקאים אימצו בחדווה את המשפט החדש, ואף נתנו שם לתופעה (''קבוצות פרדוקסליות'', שנחקרות במסגרת תורת המידה). כמה מוצלחת אקסיומת הבחירה, אם אפשר להוכיח ממנה כאלו תוצאות יפות. לעניין הגרסאות השונות שהוזכרו, ה''פרדוקס'' נובע מהעובדה שלחבורת הסיבובים של הכדור (בכל מימד משלוש ומעלה) יש תת-חבורה חופשית (מאינדקס סופי). לחבורה החופשית יש הרבה תת-חבורות שגם הן חופשיות, ומכאן בעצם מתחילה החגיגה. כל הוריאציות של הפרדוקס נובעות מפירוק החבורה החופשית למחלקות שהן ''בעצם'' החבורה כולה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, אז למה בעצם לקבל את אקסיומת הבחירה? מה ה"מחיר" של אי-קבלתה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתר מצוין שעונה בשפה פשוטה על שתי שאלותיו של גיל (ועל רבות אחרות): |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראה תגובה 132635. הלמה של צורן שקולה לטענה "לכל חוג (עם יחידה) יש אידיאל מקסימלי", ובלי זה תורת המבנה של חוגים תהיה מוגבלת לחוגים "קטנים" (שבהם אפשר להוכיח את קיום האידיאלים המקסימליים בדרכים אחרות). פרקטית, זו הסיבה שאני מקבל את אקסיומת הבחירה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |