בתשובה לעוזי ו., 27/02/03 5:05
 |
|
 |
||
|
||||
 |
נדמה לי כי עוזי ו., שבהירות כתיבתו ודיוקו המתמטי מרשימים אותי שוב ושוב, התבלבל מעט הפעם. אין צורך להרחיק עד ל- R^3 כדי להוכיח כי לא קיימת "פונקציית אורך" (או נפח) ראויה לשמה המוגדרת על *כל* תתי-הקבוצות של המרחב. ניתן להראות זאת יחסית בקלות (אם כי תוך שימוש באקסיומת הבחירה) כבר ב- R^1. הפרדוקס של בנך וטרסקי עוסק בנושא קרוב, אך שונה. הגרסה שאני מכיר היא כי (שוב, תחת אקסיומת הבחירה) קיימת תת-קבוצה F של ספירת היחידה S^2 (ב- R^3), כך שלכל 3 =< k, הספירה S^2 שווה לאיחוד הזר של k עותקים של F (תחת הטרנסלציות המתאימות). הפואנטה היא ש- F אינה תלויה ב- k! במילים יותר פשוטות: ניתן "לגזור" פיסה מסוימת משטח הפנים של כדור, ואז לשחזר את הכדור המקורי על ידי הטלאה (ללא חפיפה!) של שלושה עותקים של הפיסה, או, אם רוצים, של ארבעה עותקים שלה, או של חמישה, וכך הלאה. ה"פרדוקס" כאן הוא שאם אנו רוצים להעניק "שטח" לקבוצה F, אזי שטח זה צריך להיות גם 4pi/3, גם 4pi/4, גם 4pi/5, וכו'. ה"פתרון" הוא, במילותיו של ההסתברותן (או שמא הסתברותאי? איך אומרים בעברית probabilist?) דייויד ויליאמס: "בנך וטרסקי לא הפרו את חוק שימור השטח; הם פשוט פעלו מחוץ לתחום שיפוטו". אכן, קבוצות כגון F נקראות במתמטיקה "בלתי מדידות", ומסתבר שכמעט לכל צורך שהוא, ניתן להסתדר היטב גם בלעדיהן. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אופס, רק עכשיו ראיתי את תגובה 132755. אלפי סליחות. והלקח שלמדתי: קרא את כל התגובות האחרות בטרם תגיב, פן תצא טמבל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מכיוון שכבר הועלו כאן מספר גרסאות לפרדוקס, כדאי להבהיר מאיפה הוא בא. במקור, בנך וטארסקי ביקשו להדגיש את האבסורדיות שבאקסיומת הבחירה (כל כך אבסורדית, עד שמי שמאמין באקסיומה הזו נדרש להאמין גם בתוצאות משונות כמו האפשרות לפרק כדור לעשרה חלקים שמהם אפשר להרכיב שני כדורים באותו גודל, ועוד דברים משונים כאלה). התוצאה היתה, (כך נראה,) שמתמטיקאים אימצו בחדווה את המשפט החדש, ואף נתנו שם לתופעה (''קבוצות פרדוקסליות'', שנחקרות במסגרת תורת המידה). כמה מוצלחת אקסיומת הבחירה, אם אפשר להוכיח ממנה כאלו תוצאות יפות. לעניין הגרסאות השונות שהוזכרו, ה''פרדוקס'' נובע מהעובדה שלחבורת הסיבובים של הכדור (בכל מימד משלוש ומעלה) יש תת-חבורה חופשית (מאינדקס סופי). לחבורה החופשית יש הרבה תת-חבורות שגם הן חופשיות, ומכאן בעצם מתחילה החגיגה. כל הוריאציות של הפרדוקס נובעות מפירוק החבורה החופשית למחלקות שהן ''בעצם'' החבורה כולה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, אז למה בעצם לקבל את אקסיומת הבחירה? מה ה"מחיר" של אי-קבלתה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתר מצוין שעונה בשפה פשוטה על שתי שאלותיו של גיל (ועל רבות אחרות): |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראה תגובה 132635. הלמה של צורן שקולה לטענה "לכל חוג (עם יחידה) יש אידיאל מקסימלי", ובלי זה תורת המבנה של חוגים תהיה מוגבלת לחוגים "קטנים" (שבהם אפשר להוכיח את קיום האידיאלים המקסימליים בדרכים אחרות). פרקטית, זו הסיבה שאני מקבל את אקסיומת הבחירה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |