בתשובה ליזהר, 15/05/05 19:47
 |
|
 |
||
|
||||
 |
מושג הגבול כנראה אלמנטרי למתמטיקאים, אך אני מרשה לעצמי לאשש את הסטריאוטיפ על ביולוגים ולהקשות במופלא ממני: יופי, אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*. מה לזה ו*לעולם האמיתי*, וכל עניין ההתכנסות והאינסוף הם בעייתיים ביותר ונעשו נסיונות עקשים (וכושלים אאל"ט) לסלק את האינסוף מן המתמטיקה ע"י ענקי מתמטיקה בעבר. אך עקרוני מכך, מה הם אותם האיברים של הסדרה האינסופית שתיארת? אם המרחק בין היד המשליכה את האבן לקיר הוא 2 מטר, האיברים 1,0.5,0.25 וכו' הם המרחקים שהאבן עברה כבר. אולם זה בדיוק מה שאנו באים לבדוק, ולא יכולים להתלות בכך. אם כבר עלינו לומר משהו כמו: האבן עברה 1 מטר. לא. היא עברה 0.5 מטר. לא. היא עברה 0.25 מטר. איפה זה יעצר? 1 האמנם המושגים שהגו מתמטיקאים בדורות שחלפו כמושג הגבול, הינם מספיק ממשיים עבור העולם האמיתי בו אנו חיים? מספיק ממשיים כדי לפייס אותנו עם הפרדוקס הזה? בדיחה נושנה היא ששמים מתמטיקאי ופיסיקאי בקצה אולם כשבצד השני שאפה ומאפשרים להם בכל דקה לסגור מחצית מהמרחק ממנה. המתמטיקאי אומר "למה לטרוח? ממילא לא אוכל להגיע" ואילו הפיסיקאי אומר "לצורך העניין, זה יספיק לי בהחלט". אלא שלאבנים אין צורך להגיע קרוב לקירות. הן פשוט מגיעות. 1 רקורסיה, זה לא יגמר אם לא תספר : ) |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זהו, שגם בעולם האמיתי סדרות אינסופיות יכולות להתכנס. הוכחה (לביולוגים): האבנים שאנחנו זורקים מגיעות לקיר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא מושג הגבול נראה לי ממשי הרבה יותר מכל הטיעונים המשונים ("האבן חייבת לנוע במשך זמן אינסופי") שמשתמשים בהם כדי להסביר למה הפרדוקס הוא פרדוקס. בוא נחשוב שנייה איך עובד מושג הגבול, מבחינה "פיזיקלית". אני טוען שבעזרת הגבול אני מסוגל לתת לך סרט צילום שבו רואים את האבן בכל נקודה מאינסוף הנקודות במסלול שלה. אתה, בתור בן אדם, מסוגל לעשות רק דברים סופיים, ולכן תסתכל בסרט רק על תמונה אחת בפעם (זה לא משנה אם זו תמונה אחת או מיליארד תמונות). עכשיו, אתה רוצה להיווכח שהסרט באמת מתאר את כל התנועה של האבן אל הקיר. אתה חושב על מרחק כלשהו של האבן מהקיר (זה האפסילון שבהגדרת הגבול), ואז אני מביא לך את התמונה בסרט שהחל ממנה האבן קרובה יותר לקיר מאשר המרחק הזה (זה ה-N שבהגדרת הגבול), יחד עם הזמן שבו התמונה נלקחה. אתה מניד בראש ואומר וואלה. את זה אני יכול לעשות כמה פעמים שרק תרצה, עד שתשתכנע שהסרט באמת מתאר את כל המעוף של האבן אל הקיר. אמנם, ככל שאנחנו מתקדמים בסרט כך הולכים הפרשי הזמנים בין התמונות וקטנים, אבל עדיין יש אינסוף כאלה. עד כאן תיארתי את ה*יכולת* לומר על משהו שהוא הגבול, כלומר את היכולת לתת N לכל אפסילון. הפואנטה היא שאני מוסיף לסרט הצילום את התמונה האחרונה, שבה האבן פוגעת בקיר וכתוב זמן הפגיעה הסופי בהחלט שלה. אתה, כזכור, מסוגל להסתכל רק על תמונה אחת בפעם. האם יראה לך לא הגיוני או "לא נכון" שזו התמונה האחרונה? המקום היחיד שבו זה חורק הוא אם תביט על התמונה ותגיד לי "יופי, תביא את התמונה שלפניה". אופס, את זה אי אפשר לעשות. כמובן, כמו שה"אופס" הזה מראה, גם התיאור של הגבול לא מצליח להתיישב לגמרי עם האינטואיציה שלנו. השאלה היא האם הוא לא מתיישב איתה הרבה יותר מכל הסבר אחר. לדעתי הוא הרבה יותר טוב מכל הסבר אחר (לא שאני מכיר הרבה הסברים), ולכן מושג הגבול הוא בהחלט ממשי מספיק עבור העולם האמיתי שבו אנו חיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, התיאור שלי כאן מתאים להגדרת הגבול עבור סדרה, ואולי זה לא בדיוק מה שאתה מחפש כשזה מגיע לזריקת האבן. לא קשה לתקן את זה: עכשיו במקום סדרה של תמונות יש לי אוסף (לא בן מנייה אפילו) של תמונות כשלכל חלקיק זמן (שמיוצג על ידי מספר ממשי) יש תמונה, כך שבכל פעם שבו תדרוש מרחק כלשהו מהקיר של האבן, אני אוכל לתת לך פרק זמן מרגע כלשהו ועד לרגע שבו האבן פוגעת בקיר כך שכל התמונות של פרק הזמן הזה מראות את האבן קרובה לקיר לפחות במרחק שדרשת. כאן האנומליה של "אין איבר קודם" קיימת עבור כל האיברים, כי הרי אם יש לך תמונה של מה שקרה בשנייה מס' 1 אז לפניה יש תמונה של מה קרה בשנייה מס' 0, אבל ביניהן יש תמונה של שנייה 0.5 וכו', כך שזה נראה אפילו פחות חריג שאין קודם מיידי לתמונה ה"אחרונה", שמראה את האבן פוגעת בקיר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי אם הצליחו לפתור לך את הבעייה? "אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*. מה לזה ו*לעולם האמיתי*?...האמנם המושגים שהגו מתמטיקאים בדורות שחלפו כמושג הגבול, הינם מספיק ממשיים עבור העולם האמיתי בו אנו חיים? מספיק ממשיים כדי לפייס אותנו עם הפרדוקס הזה?" יש, בערך, שתי אפשרויות. או שאתה מניח שה"עולם האמיתי" הוא דיסקרטי (הכל עשוי מפיקסלים בגודל זעיר, והשעון מתקתק), או שלא (בין כל שתי נקודות שונות יש עוד נקודה). הטיעון של האבן אינו יכול בשום אופן לקבוע עבורך מי משני אלה הוא הנכון. (למעשה, ככל הידוע לי אין בכלל דרך לקבוע מי משני אלה נכון). אם אתה דיסקרטאי, הטיעון נופל, כמובן. אם אתה רציפאי, תהיה רציפאי עד הסוף. זה לא עקבי (או, לפחות, לא מעניין במיוחד) להחזיק בשתי הדעות: בעולם האמיתי אפשר לחתוך כל מרחק לשניים, אבל "התכנסות" הוא מושג רלוונטי רק לתאוריטקנים המתמטיקאים. אם יש אינסוף אורכים שונים בין "מטר" ל"שני מטר", אז כמובן ששני מטר זה יותר ממטר, וגם יותר ממטר וחצי, וגם יותר ממטר ושלושת-רבעי, וכו'. אם מישהו "מסיק" מכך ששני מטר זה אינסוף, זו בעיקר בעייה בדרך הסקת המסקנות שלו. אני לא רואה כל סיבה להסיק את זה, וודאי לא רואה למה זה "מוכיח" שאין מרחקים רציונליים עדינים כרצוננו (לא צריך, אגב, להסתבך עם מספרים ממשיים). במילים אחרות: אם אתה *מניח* (ואתה לא חייב) שיש מרחקים קטנים כרצוננו, אתה בהזדמנות זו גם מניח שמרחק סופי גדול מאינסוף מרחקים קטנים יותר. גם להניח את זה וגם לא להניח את זה נראה לי מוזר. "כל עניין ההתכנסות והאינסוף הם בעייתיים ביותר ונעשו נסיונות עקשים (וכושלים אאל"ט) לסלק את האינסוף מן המתמטיקה ע"י ענקי מתמטיקה בעבר." אני לא בטוח שאני יודע למה אתה מתכוון. (אני זוכר שאני חייב לך עוד את השערת-רימאן, אבל האמת שעוד לא מצאתי דרך סבירה להציג אותה במגבלות המדיום הזה. יש כמה ספרים חביבים ופופולריים שיצאו לאחרונה...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני לא בטוח שאני יודע למה אתה מתכוון" לדעתי הכוונה לנסיונות של המתמטיקאים להיפטר ממושגים כמו אינפיניטסימל בעזרת ה"אינסוף האקטואלי" (ככה קוראים לזה?) בגלל שהגדרת הגבול של קושי לא באמת משתמשת באינסוף אלא רק בדברים סופיים, אוהבים לרדת עליה שהיא לא *באמת* מתארת את האינסוף. לאחרונה ניסיתי לקרוא ספר של זאב בכלר בשם "שלוש מהפכות קופרניקיות", ושם הוא קוטל את ההגדרה של קושי לסכום של טור אינסופי (שלו הוא קורא "סכום" ואומר שהוא לא מתאר כלום ובפרט לא פותר את הפרדוקס של זנון, זה עם אכילס), אז אולי יש דברים בגו (אצל הפילוסופים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לי איזה קושי עם התגובה שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ציטטת אך לא השבת על האופטופיק שלי, האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות (בפרט אחרי שברה בפטישו של גדל)? האם בעצם לא יתכן ייצוג שכזה? ואם כך איך זה יכול להיות ומה יש לפילוסופים להגיד על זה? אני מתקשה לעקוב אחרי ההסבר, לא הבנתי בעיקר את: "אם אתה *מניח* (ואתה לא חייב) שיש מרחקים קטנים כרצוננו, אתה בהזדמנות זו גם מניח שמרחק סופי גדול מאינסוף מרחקים קטנים יותר. גם להניח את זה וגם לא להניח את זה נראה לי מוזר." אם אני דיסקרטאי, הפרדוקס נופל כי לא לכל קטע אמצע. עד כאן, בסדר. אם אני רציפאי ומניח אינסוף נקודות, מה אז? איפה התחלתי לפסוח על שתי הסעיפים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעייה איתך זה שכל פעם שאתה שואל שאלות אפשר לכתוב מאמר :-) "האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות?" נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות. למשל, נראה שחיצים מתעקשים לעוף כמו המודלים המתמטיים שנבנו עבורם, למרות פלפוליהם של כל מיני יוונים. "(בפרט אחרי שברה בפטישו של גדל)" זה אחד החלקים הכי מתסכלים עבורי בדיונים האלה. לא שבר, לא משבר, וקשר פעוט אם בכלל ליכולת של המתמטיקה לתאר את העולם. אני יכול לפרט, אם תרצה, אבל זה תהליך בעייתי: במקום להסביר מה משפט גדל אומר (שזה דבר די מעניין עבור חלק מהאנשים), צריך להסביר מה הוא לא אומר, ולמרבה הפלא זה יותר קשה - במיוחד אחרי שהוא כיכב, שלא בטובתו, באינספור ספרים, מאמרים ומסות שהקשר בינם לבינו הוא מטפורי במקרה הטוב ולא קיים במקרה הגרוע. "האם בעצם לא יתכן ייצוג שכזה?" לא יודע. למה לא? "ואם כך איך זה יכול להיות ומה יש לפילוסופים להגיד על זה?" מה זה "אם כך"? אם יש ייצוג, או אין ייצוג? לגבי הרציפאי: במקום להסתכל על העולם, אפשר להסתכל ישר על המתמטיקה שלו - כבר בתוכה יש "פרדוקס": 1 זה יותר מ-0.7 וגם יותר מ-0.77 וגם יותר מ-0.777 וכו' וכו'. מסקנה - 1 זה אינסוף. לא? למה לא? איך זה שונה מהטיעון "החץ צריך להיות גם פה, וגם פה, וגם פה, מסקנה - החץ לא יגיע לעולם"? או מ"אכילס לא ישיג את הצב פה, וגם פה לא, וגם פה לא, מסקנה - אכילס לא ישיג את הצב לעולם"? אם אתה דן במספרים הרציונליים, או הממשיים, אתה צריך להתרגל לרעיון של סדרות מתכנסות. זה מבלבל בהתחלה, זה קצת משונה, אבל זה לא נורא, וחשוב יותר - זה בלתי נמנע. אם אתה עכשיו גם משליך את הרציונליים על העולם - כלומר, אתה רציפאי - מה קורה שפתאום "התכנסות" מפסיקה למצוא חן בעיניך? אתה כתבת: "אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*. מה לזה ו*לעולם האמיתי*"? אני לא יודע מה לזה ולעולם האמיתי, שהוא אולי דיסקרטי; אבל אם *אתה* אומר שהוא רציף, אז *אתה* מכניס סדרות אינסופיות מתכנסות לעולם. אני לא מבין את המשחק שבו מוכנים להכניס הביתה את החצי הקדמי של החתול אבל דוחים כלא-רלוונטי את החצי עם הזנב, ואח"כ עוד מתפלאים שהוא מת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הייתי מאד שמח אם הייתי נתקל במאמר על מה משפט גדל לא אומר. החתול שלי, אגב, מגלה יותר עניין במשפט האחרון שלך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''הייתי מאד שמח אם הייתי נתקל במאמר על מה משפט גדל לא אומר.'' קשה להאמין. אין מחשב בעולם שיכול להכיל את כל האינפורמציה הזאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לי משהו כזה בראש, אבל כבר הבטחתי הבטחות בעבר ולא קיימתי. נראה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם החתול שלך לא לקה בקטטוניה אחרי תיאורו המפורט של הניסוי של שרדינגר, נראה שהוא בריא בנפשו במידה יוצאת דופן, והעניין שהוא מגלה בתיאור של אלון יכול להיות אקדמי בלבד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
: ) I'll take it as a compliment "נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות."הפיסיקה נסמכת על מודלים מתמטיים המבוססים כל פעם על אקסיומות שונות (גיאומטריות שונות למשל, אני לא יודע אם יש עוד דוגמאות כאלה). יוצא מכך לפי הבנתי, שאין מתמטיקה אחת שהיא *הנכונה* , המייצגת של המציאות, אלא אוסף גדול (ואולי אינסופי?) של מתמטמיקות אלטרנטיביות אשר הפיסיקאים עושים שימוש תועלתני ופרטי בהן בלבד. ואם כך, לא ניתן להסיק מנכונות של סט אקסיומות מסויים עבור פתרון בעיה פיסיקלית כלשהי, שיש בסט זה ערך אוניברסלי לכלל האתגרים בעולם הפיסי. אני עם שכ"ג. מאמר! מאמר! (או לפחות הסבר קטנטן) "לא יודע. למה לא?" חשבתי שזו הפרשנות למשפטי גדל. "מה זה "אם כך"? אם יש ייצוג, או אין ייצוג?" אם אין ייצוג. "לגבי הרציפאי: במקום להסתכל על העולם, אפשר להסתכל ישר על המתמטיקה שלו" קשה לי לדבר ברצינות על חיצים מבלי להסתכל על העולם. מה זה בכלל חץ בלי קונטקסט פיסי? ובקונטקסט פיסי זה, ממנו אני מתקשה להפרד (חרף כל הוראותיו של הבודהא, הקבלה ו-neo) לוקח זמן בכדי לעבור מנקודה לנקודה, אפילו אם זהו מרחק קטן ככול שנרצה. אם יש אינסוף מעברים כאלו, הלא יש אינסוף זמנים כאלו. מה עושים? האם הסדרות המתכנסות הן שמלמדות אותנו שבניגוד לאינטואציה הרגילה, סכום זמנים זה אינו אינסופי כי אם סופי בהחלט? האם סדרות מתכנסות מתייחסות בכלל להנחה (הפיסיקלית) שהזכרתי? אני מרגיש שאתה מאד משתדל להסביר ואני אסיר תודה על כך. אולי אני כופה עלייך הליכה סחור סחור סביב חור שחור שהוא בסופו של דבר מחסום אינטואציה,שפה והשכלה שלי. אם כך הדבר, הרי שזה בודאי מתסכל למדי עבורך, ואני מוכן לחדול ולקבל את בורותי בהכנעה. תנו לחיות לחיות!! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעצם, מה הבעיה? האם יש לך בעיה, אינטואיטיבית, להבין או לדמיין חלוקה של דקה ללא הגבלה - חלוקה לאינסוף חלקים? אם כן, אז הנה לך אינסוף פרקי זמן שמסתכמים לדקה אחת סופית. מה אני מחמיץ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן.. אני חושב שאני מבין עכשו מה שאלון ואתה אומרים, אם אני דיסקרטאי - אין פרדוקס כי ההנחה של נק' אמצע לכל מקטע אינה תקפה. אם אני רצפאי - אין פרדוקס כי ביחד עם הרצף אני מתחייב לקבל גם את נכונות הכלי "סדרות מתכנסות" אשר מבטיח לי שגם סכום של אינסוף מספרים חיוביים יכול להיות מספר סופי, ולכן האבן לא תעצר אלא תנוע. אמרתי נכון? זה כמובן, בהסתמך על ההנחה (החתולית) שרצפים אינסופיים מחייבית טיפול של סדרות מתכנסות. האמנם איך שלא הופכים בזה, זה הולך ביחד? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, בתגובה לעיל אני רוצה להגיד משהו אחר. אתה לא חייב לדעת שום דבר על סדרות מתכנסות כדי להבין, בצורה אינטואיטיבית לחלוטין, שאינסוף דברים גדולים מאפס יכולים להסתכם למשהו סופי. הניסוח שלי היה, במודע, חסר שחר מבחינה מתמטית: המתמטיקאים הרי למדו להתרחק בגועל ממשפטים כמו "חלוקה של דקה ללא הגבלה - לאינסוף חלקים". עכשיו שאני חושב על זה, כנראה זנון לא היה קונה את זה כפתרון: יש לו הרי פרדוקס (חלוקת הקטע) שמזקק בדיוק את הרעיון הזה, וטוען שזה פרדוקס. אבל בעיני הזיקוק הזה יכול לעבוד בכיוון ההפוך: מכיוון שחלוקת קטע לאינסוף כל כך לא קשה לאינטואיציה, אפשר להשתמש בהבנה הזו כמנוף להשתחרר מהתפיסה לפיה אינסוף דברים חייבים להסתכם לאינסוף. אבל יכול להיות שלמדתי מספיק מתמטיקה כדי לקלקל את האינטואיציה שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה משתמש פה בתפיסה ובהכרה כבסיס להוכחת קיום. אין בעיה עם זה. השאלה היא למה אתה קורא "תפיסה ברורה"? הלו אם אבקש ממך לדמיין נקודה, ויזואלית יצוץ בעיני דמיונך משהו בעל אורך ורוחב וצבע. מתמטית תגדיר נקודה כגוף חסר מימד. גוף לפי הבנתי הוא משהו נתפס. הנקודה שאתה תופס בדמיונך היא גוף ויש לה 3 מימדים ברורים. מאיפה באה ההגדרה המתמטית? גם יום מתבסס על הכלים עליהם אתה מתבסס אבל קובע שמושגים אמיתיים (כאלה שיש להם זיקה לעולם כפי שהוא) הם מושגים ברורים הנובעים מרושם של תחושה או הרהור. לדעתו המושג של חלוקה אינסופית נובע דווקא מהקושי שלנו לתפוס את החלקיק הסופי בצורה מוגדלת, למרות שהגיוננו מצביע על קיומו. לדוגמא, נדמיין קיום של יצור הקטן פי 1000 מפשפש הגלוי לחושינו (אמבה ודאי תתאים). יום אומר שאנו מסוגלים להעלות לפנינו באופן ברור את חלקיו של יצור זה זעירים ככל שיהיו, המקבילה לפה, עין וכו. הקפיצה לחלוקה אינסופית נעשית משום שאנו חשים שהיות וקודם לא צפינו ביצור כזה (או בחלקי הפשפש), כלומר דמיוננו וחושינו כשלו בתפיסתו ומכך שיש חלקיקים זעירים אף ממה שאנו מסוגלים לדמיין. העובדה היא לפי יום שאנו מסוגלים לדמיין חלקיק מינימלי ובלתי ניתן לחלוקה, ואם היינו מתאמצים היינו מדמיינים תווים מינימליים של פה עיניים וכו'. (כנ"ל לגבי אטומים - ברוחך אתה רואה חלקיק זעיר עם גרעין מסביבו מסתובבים אלקטרונים, את הגרעין אתה מחלק לפרוטונים ונוירונים, אותם אתה מסוגל לחלק לתת חלקיקים אבל בכל מקרה יש סוף לחלוקה הזו בעיני רוחך, ומכאן שיש לה סוף במציאות). איננו מסוגלים לתפוס חלוקה אינסופית. היות ומושגינו נשענים על בסיס הכרתנו מובן שאיננו תופסים חלוקה כזו. אני וגם אתה (קרוב לוודאי) מסוגלים לדמיין (דמיון פגום שכן אנחנו סופיים) פעולה אינסופית של חלוקה אבל לא את תוצריה שייצוגם בעינינו בהכרח סופי (הנקודה לעיל). מכאן שיש לנו כשל אינטואיציה ואיננו מסוגלים להפוך את הכיוון ולומר שהיות ואינטואיטיבית זה כל כך קל, משמע זה ייתכן ואף קיים. טענה שאינה מתבססת ישירות על הכרה היא טענת היחידה. אם יחידה היא מושג אמיתי אז היא גוף סופי שניתן להכפיל אותו עד אינסוף ולקבל גוף אינסופי. אם היחידה היא מושג יחסי וכל נקודה מורכבת מאינסוף נקודות הרי שאין נקודה בודדת (אין יחידה אמיתית) ואי אפשר להרכיב שום גוף, סופי או אינסופי. בגרסה הזו נראה שהרצף לא באמת קיים יש סופיות ודיסקרטיזציה, וזנון צדק למרות שטיב הקשר בין מצב א' (אכילס מפגר אחרי הצב) למצב ב' (הצב מפגר אחרי אכילס) עדיין לא ברור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהלן ירדן, התגובה של האייל הבדוי (תגובה 306249) שיקפה את רחשי ליבי (חוץ מהפיסקה האחרונה שהיתה קשה מעט לעיכול..). מה פתאום לחלק לאינסוף?! מה אני כבר מכיר שאני *יודע* שמתחלק כך? שאלתי את עצמי למה מתעקשת האינטואיציה שלי שסכומם של אינסוף מספרים חיוביים הוא אינסוף, והיא (אחרי התפתלויות לא מעט) ענתה לבסוף שזה מפני שהיא רגילה שכאשר מוסיפים משהו חיובי, אז הסכום גדל, ואם מוסיפים אינסוף פעמים, הסכום גדל באופן אינסופי. ככה נראה מפנים (כנראה) הקורטקס של הלא-מתמטיקאי הממוצע. דומני שאכן לימודי המתמתיקה שלך הרחיקו אותך מה-main streem האנושי : ) אגב, בדיוק אתמול ציין חבר באזניי כי נראה כי לעולם לא יוכל להפנים באמת חשיבה רקורסיבית (אשר בלא תנאי עצירה ראוי יכולה להיות אינסופית). "אינטואיציה היא סכום כל הדעות הקדומות שלנו" -היתה לי תחושה חזקה שאינטשיין אמר את המשפט הבא אבל לא מצאתי תימוכין ברשת |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שאתה עדיין קצת מבלבל את עצמך. אתה לא "מתחייב" לקבל "כלי"; אין פה איזה מנהל עבודה שמכריח אותך לעשות דברים. סדרות מתכנסות זה לא כלי, זו אבחנה: הבט על המספרים הרציונליים. רואה אותם? רואה שם בקצה את המספרים 0.9, 0.99, 0.999, ...? כמה כאלה יש? (אינסוף). כולם קטנים מאחד? (כן). כולם קטנים ממשהו יותר קטן מאחד? (לא). זהו, לזה קוראים סדרה מתכנסת - זה סתם שם, קיצור, במקום להגיד כל פעם מחדש את התכונות האלה. אתה מדבר גם על סכומים, שזה משהו טיפה אחר: תסתכל על 0.9, 0.9+0.09, 0.9+0.09+0.009, ... זו אותה סדרה כמו קודם, רשומה כסכום שהולך וגדל. כמו קודם, הוא מתקרב והולך ל-1, ואנחנו אומרים בקיצור שהטור האינסופי מסתכם לאחד. בסוף כתבת "ולכן האבן לא תעצר אלא תנוע". זו אולי הנקודה הבסיסית: הרי לאבן לא באמת אכפת מההגדרות שלנו, נכון? היא לא נעה או עוצרת בגלל ההגדרה של סדרה מתכנסת. היא פשוט נעה. לשמחתנו, המודל המתמטי של מספרים ממשיים (או רציונליים), כולל הקיצורים המקובלים ל"סדרה מתכנסת" ו"טור מתכנס", מתארים את התנועה שלה יופי. לעומת זאת, המודל המתמטי שאומר "יש מספרים רציונליים, אבל כל סכום אינסופי הוא אינסוף" הוא מודל לגיטימי, מאוד משעמם, ולחלוטין לא מתאים לתיאור חיצים ואבנים. אז מי צריך אותו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי צריך אותו? כל מי שמתקשה לחשב אינטגרלים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהלן אלון, (רק עתה גיליתי שירדן ואתה טרחתם על תשובות עבורי, תודה) "אין פה איזה מנהל עבודה שמכריח אותך לעשות דברים. סדרות מתכנסות זה לא כלי, זו אבחנה" אהממ.. דימיתי אותך כמנהל העבודה שמכריח בעת שאמרת: "אבל אם *אתה* אומר שהוא רציף, אז *אתה* מכניס סדרות אינסופיות מתכנסות לעולם" (תגובה 304273). הסדרה 0.9+0.99+0.999 מתכנסת אף היא למספר סופי? נראה לי שלא. (אז למה היא נקראת מתכנסת בעצם?) ואם לא, מדוע היא עונה לאינטואיציה (הכוזבת, אולי) שלי ואילו הסדרה 0.9+0.09+0.009 לא? יתכן שכאשר אבין את ההבדל בינהן, אדע גם מדוע סכומם של אינסוף חצאים הינו השלם. "לשמחתנו, המודל המתמטי של מספרים ממשיים (או רציונליים), כולל הקיצורים המקובלים ל"סדרה מתכנסת" ו"טור מתכנס", מתארים את התנועה שלה יופי..אז מי צריך אותו?" הוא שאמרתי, אנחנו *צריכים* את המודל המתמטי הזה כדי לעשות סדר בעניינים. היה לנו פרדוקס: הדיסקרטאי פתר אותו בכך שפסל הנחה (=לא ניתן לחצות כל דבר לשניים). הרציפאי פתר אתו בכך שהוסיף הנחה (=מודל סדרה מתכנסת/טור מתכנס). לפחות עפ"י התער של אוקהם, ידו של הדיסקרטאי על העליונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. מי קורא לסדרה 0.9+0.99+0.999 סדרה מתכנסת? 2. הדיסקרטאי שלך מראה איך הפרדוקס נעלם בעולם דיסקרטי (הוא מניח הנחה על העולם לפחות באותה מידה שהוא פוסל הנחה). הרציפאי מראה איך הפרדוקס נעלם *גם* בעולם רציף. אי לכך, הוא נותן תיאוריה רחבה יותר באותו מחיר. אני קונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוץ מלהצטרף לשכ"ג, אני רק מוסיף שבכלל לא ברור שהתורה הרציפה מסובכת יותר מהדיסקרטית. במתמטיקה, הרבה דברים נהיים קלים הרבה יותר כשעובדים בממשיים במקום בשלמים. חוץ מזה, היה נדמה לי (אולי בטעות) שאתה רואה בניסוי המחשבתי של זנון *הוכחה* שהעולם חייב להיות דיסקרטי. אם אתה מדבר על אוקהם, אני מתאר לעצמי שאתה מסכים ששתי האפשרויות קיימות...? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עברתי על התכתובת מאזכור "המנושל" (ספר נהדר גם לדעתי) ואני מוצא משהו לא ברור בז'רגון הרציף. כמובן שאפשר לומר שנוח לראות את העולם כך או אחרת ולהשאיר את הפרדוקס בצד, אבל עדיין איני מבין איך אתם רואים אותו כמוכרע "רציפית". אם ניקח את רצף התמונות של גדי, מה זה משנה שעל כל תמונה עוברים פעם אחת? יש אינסוף תמונות שמראות את האבן באינסוף מקומות ועלי לעבור על כל תמונה. אין שום סיבה שבמהלך חיים אינסופיים אני אצליח להגיע לתמונה שכתוב בה - האבן מצויה בנקודה 0.1. משום שגם בינה לנקודה 0 יש אינסוף תמונות. אם אני לא עובר על כל תמונה, אני מבצע הוקוס פוקוס או דיסקרטיזציה. אם מדברים על האפסילון סביבה של האבן והקיר, נאמר שהאבן רצה מימין לשמאל, ונאמר שרואים את האבן והקיר באותו תצלום, אם יש אינסוף נקודות לעבור, האבן תמיד תהיה באפסילון סביבה ימנית של הקיר, ותמיד אוכל למצוא אפסילון קטן כרצוני, להגדיל את התמונה כך שתכיל רק את אפסילון סביבה זה, ולראות רק קיר בלי אבן. נניח שצולם הרגע הרציף המיוחל בו הסיוט נגמר והאבן נגעה בקיר. האבן היא גוף שמורכב מאינסוף נקודות, האם קיימת נקודת קצה של האבן ונקודת קצה של הקיר שנוגעות זו בזו? למה אי אפשר לחלק אותן? הרי הכל רציף, גם המרחב וגם החומר שמצוי במרחב. איך שתי נקודות בעלות מימד אפס (לא משהו קטן כרצוננו, פשוט אפס) נוגעות זו בזו? אם הן יצליחו לעשות זאת, מה קורה להנחת צפיפות המספרים הרציונליים (כמדומני זה שמה)? יוצא שקיימות שתי נקודות שביניהן לא קיימת אף נקודה לא? ובעניין ההתכנסות, מה מתכנס לאן? אם האבן עוברת אינסוף נקודות לאורך מרחב תנועתה, למה שהגבול יהיה בנקודת הקיר? למה לא ב-0.1, או בכל נקודה אחרת? יש שם אינסוף גבולות פוטנציאליים. זרקתי אבן וטענתי אותה באנרגיה. אם האנרגיה סופית, והאבן מצויה במצב אנרגטי שונה בכל נקודה ונקודה (אחרת יש לנו חוסר רציפות אנרגטי) וכן יש אינסוף נקודות, לא ייתכן כאן קוואנט של אנרגיה. ושוב אפשר לעשות אנלוגיה אנרגטית לטענת המרחק וכו'. אם אנו רוצים לבחון מרחקים קטנים כרצוננו, הרי שבסוף אנו צריכים לבחון את המרחק שגודלו 0 (לא חייבים, אפשר להלביש את הפרדוקס על בחירת המרחקים ורצוננו נתקע גם הוא). למה את המרחק הזה מאשרים בנגיעת האבן בקיר, אבל מתעלמים ממנו במעבר בין נקודה לנקודה? כשאבן עוברת בין שתי "נקודות סמוכות שמימדן 0" (אין דבר כזה למיטב הבנתי, או שהן לא סמוכות או שמימדן סופי ואינו 0) איך בדיוק היא מבצעת את המעבר? היא נעה? לא נעה? מאבדת אנרגיה? קורה שם משהו בכלל? והרי הדרישה הזו קיימת לאורך כל הקטע, ולא רק בנגיעה בקיר. אם מקבלים את הנחות הפרדוקס, או שאין ריבוי, או שהעולם הוא דיסקרטי ויש לנו בעיה במעבר בין חלקיקים סופיים של זמן ומקום. אם לא מקבלים את ההנחות, אז בסדר. בעייה בקשר הלוגי בין הטענות של זנון (בקבלת ההנחות) אני לא רואה, ולמיטב ידיעתי אף אחד לא הצביע על כזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עדיין איני מבין איך אתם רואים אותו כמוכרע "רציפית"." מי זה "אתם"? אני, למשל, לא רואה את שאלת דיסקרטי/רציף כמוכרעת, ונדמה לי שגם ציינתי זאת בפירוש. לגבי כל ההמשך - לפני שניגע בפרטים, אני מנסה להבין מה אתה רוצה להראות. על זה שחיצים עפים ואבנים פוגעות בקירות אנחנו מסכימים, נכון? עכשיו מה הטענה? 1. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים מכילה סתירות פנימיות. 2. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים אולי לא סותרת את עצמה, אבל היא סותרת את ההגיון הבריא. 3. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים אולי טובה כתרגיל מופשט, אבל לא ייתכן שיש קשר כלשהו בינה לבין חיצים ואבנים בעולם האמיתי. 4. משהו אחר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק :) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במה? (לא כל כך הבנתי את התשובה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק בזה שאמרת שהעניין בלתי מוכרע. לגבי הבעיות שהעלית כאופציונליות, יהיה מעניין לקרוא את הניתוח לגבי כל אחת (אבל אני מניח שעשית זאת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. התורה המתמטית של הממשיים (או הרציונליים) לא מכילה שום סתירה, ככל הידוע לנו, ומי שטוען שיש כזו יצטרך להסביר את עצמו מאוד מאוד במדוייק. 2. התורה הנ"ל מאוד הגיונית, ואם יש בה דברים הנראים לא אינטואיטיביים, אפשר בד"כ להתגבר עליהם די מהר. הרבה אנשים עשו זאת בהצלחה. 3. אם משתמשים במשוואה x=vt לתיאור תנועתו של כדור הנע בקו ישר (נניח), מתקבלת התאמה נהדרת בין המודל המתמטי למדידות האמפיריות. כנ"ל עבור חיצים, אבנים שפוגעות בקירות, וכו'. התהיות שהעלית לגבי נקודות 0-ממדיות, חלוקת המרחב, תנועה מנקודה לנקודה וכו' - כולן נפתרות בקלות במודל המתמטי הדי-פשוט הזה. כאמור, ייתכן שבעצם הכל דיסקרטי; לא נורא. אבל אני לא רואה איך אחת מהשאלות שהעלית מחייבת אותנו לפסול את המודל הרציף (וכאמור, לא הצלחתי אפילו להבין אם זה מה שאתה טוען). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, יש באמת צורך להבהרה של מה שאני טוען. איני טוען שזנון צדק. התורה של פרמנידס רחוקה מלהסביר את המציאות. פרמנידס טען לבסוף שהחושים מטעים והמחשבה מגיעה לאמת, לפיכך גרסת המחשבה היא העדיפה. עם זאת, המחשבה של פרמנידס מניבה קפאון טוטלי ושום דבר מעבר לזה. לו הייתה מביאה הסבר לתודעה, הייתה פותרת אותנו מהפרדוקסים ונותנת תשובה טוטלית. במקום הסבר היא רק מעלה שאלה. אפשר לדחות את השאלה בדחיית ההנחות. אפשר לקבל את ההנחות ונשארת בעיה. הבעיה הזו מובילה אותנו לספקנות. קיימת התאמה נהדרת כמו שכתבת בין המודל המתמטי למדידות האמפיריות. עם זאת, ההתאמה לא מושלמת, יש בעיות ואין בטחון שמדובר רק בחוסר בפרטים המוכנסים למודל ולא בפגמים בסיסיים יותר כמו מודל לא שלם או שגוי בחלקו. מדובר במודל תיאורטי ולא בתיאור נאמן של המציאות. כשקראתי את תגובתך האחרונה הבנתי מה בלבל אותי בפתיל הזה. מצד אחד אתה גורס (תגובה קודמת שלך) שהפרדוקס לא מוכרע, ואף כתבת זאת קודם. מצד שני יש תחושה של נחרצות לגבי נכונות התורה המתמטית של הממשיים, והסיוג ''ככל הידוע לנו'' נראה לי סתמי לעומת הטון הכללי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ההתאמה לא מושלמת, יש בעיות" - במכניקה של תנועת גופים? אילו בעיות? "תחושה של נחרצות לגבי נכונות התורה המתמטית של הממשיים" - הנחרצות מתייחסת לדברים שציינתי: הפרדוקסים-לכאורה אינם באמת פרדוקסים, ואינם מצביעים על כשל בתורה המתמטית או בהתאמתה למציאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
It was meant as such... "הפיסיקה נסמכת על מודלים מתמטיים המבוססים כל פעם על אקסיומות שונות". זה לא ניסוח מדוייק; הפיסיקה לא "נסמכת" על מודלים מתמטיים, אלא פיסיקאים בוחרים (או ממציאים) מודל מתמטי המתאר היטב את העולם כפי שהם מבינים אותו. מודל כזה יכול להיות מוחלף, עקרונית, רק מסיבה אחת: תגליות אמפיריות הסותרות את המודל הקיים. זה קורה מדי פעם, אבל אני לא רואה סיבה להסיק מכך שיש אוסף "גדול" של מודלים אלטרנטיביים, רלוונטיים כולם - בטח שלא אוסף אינסופי. ברור שגם אם יום אחד יתגלה המודל המתמטי הגדול והמאוחד, הרבה פיסיקאים ימשיכו לעבוד עם מודלים אחרים משיקולי נוחות, כמו שכיום לא משתמשים בתורת היחסות במערכות לניווט מטוסים. זה לא סותר את ההנחה הסבירה שיש מציאות פיסיקלית אחת והיא ניתנת לתיאור ע"י מודל מתמטי יחיד - כנראה, מודל די מסובך.אולי צריך להדגיש: גם אם הגאומטריה של היקום היא, נניח, היפרבולית, ופיסיקאים ממשיכים להשתמש בגיאומטריה אוקלידית כשהם מסתכלים על כדורי גולף, זה לא בגלל שאין מתמטיקה "נכונה". יש אחת כזו (ההיפרבולית) ויש אחרת (האוקלידית) המהווה קירוב טוב מספיק, והיא יותר נוחה. "חשבתי שזו הפרשנות למשפטי גדל." לא ממש. בכלל, פרשנויות למשפט גדל הן דבר מסוכן: אם אתה רואה אחת, כדאי לסגת אחורה בזהירות ולקרוא למישהו (נגיד, לי. אני אשמח לנסות להתיר את הסבך). אני אנסה לנסח את ההתנגדות שלי לפרשנות הזו. אפשר לומר (בצורה פשטנית) שהפיסיקאים חולמים להגיע לרשימה ממצה של אבני-הבניין של היקום ותיאור מדוייק של ההתנהגות שלהם, עד שניתן יהיה "לנבא את העתיד" - לומר מה יהיה מצב העולם, או חלק שלו, בכל נקודה בזמן. יש כמה מכשולים מאוד עקרוניים בדרך להגשמת החלום הזה - למשל, בעיית האינדוקציה (אנחנו צופים רק בחלק זערורי של העולם, וכל השאר זו אקסטרפולציה לא מבוססת), בעיית דיוק המדידה, הסיבוכיות העצומה של פתרון המשוואות המתארות אפילו מצבים פשוטים מאוד ו(כנראה) גם הקשיים שמערימה מכניקת הקוונטים. לאף אחד מאלה אין כל קשר למשפט גדל. אם אתה מוכן לקבל את הגשמת החלום בתור הכרה פיסיקלית מלאה של העולם - גישה סבירה, להערכתי - אז אין כל סתירה בין המשפט להכרה כזו. אם מתעקשים, אפשר לדמיין מצב שבו כל הבעיות הקטנות הללו כבר נפתרו, ואנו מביטים במודל פורמלי ומדוייק של העולם. אפשר לתאר, במצב כזה, שתהיינה שאלות שאין לה תשובה מסיבות "גדליות" (יש כמה דוגמאות מתחת לתגובה 175910), אבל יש הרבה סייגים: ראשית, אין כל ערבות שאכן תהיה בעייה כזו שיש בה איזשהו עניין פיסיקלי קלוש, ושנית, מדובר רק על בעיות הכוללות באיזשהו אופן את מושג האינסוף, שהוא אולי בכלל לא רלוונטי. יש עוד, אבל נשאיר משהו לאחר-כך. כדי לחדד את העניין, שאל את עצמך - מה קורה אם כל היקום היה רק מערכת פשוטה, דטרמיניסטית, נניח מכונת טורינג בינונית, או המשחק "לייף". נניח שה"פיסיקאים" בחנו ולמדו ופיענחו לחלוטין את כל ה"יקום" הזה. זה אומר שאין להם שום בעייה לחזות *בדיוק* מה יהיה מצב כל היקום עוד שנייה, מחר או בעוד שבעת-אלפים שנה ויומיים. האם הם זכו להכיר את עולמם? הייתי אומר שכן. אבל ייתכן שהם לא יוכלו לענות על שאלה כמו "האם היקום שלנו ימשיך להתפתח לנצח, או שמא הוא יקפא מתישהו". זה אפשרי, אבל - הסיכוי לזה כנראה קטנטן, ובעצם עד כמה זו בעייה עקרונית? שים לב שעל השאלה "האם היקום עדיין יתפתח בעוד מיליארד מיליארדי שנים" אין שום מניעה (גדלית) להשיב. חוץ מזה, אם היקום שלהם הוא, במקרה, לא אינסופי (למכונת הטורינג יש "רק" 10 בחזקת 1000 משבצות על הסרט), גם השאלה הזו נפתרת. וממילא אין לפיסיקאים, הצופים בסביבתם הקטנה, כל דרך לדעת אם הסרט באמת אינסופי, או סתם ענק. לסיכום, יש לפיסיקה מספר אתגרים יסודיים הרבה יותר ממשפט גדל להתמודד איתם, ורק לשוליים הסהרוריים שלה יש (אולי) עניין מסויים בו (ליתר דיוק, בדודנים שלו). על השאר (חיצים וזנון וכאלה) אני אענה, אם עוד יש צורך, בפתיל שהתחיל ירדן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>>"האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות?" נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות.>> אבל המציאות, דומני, מתקשה לתת יצוג הולם למתמטיקה. ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות. בהם מיני יצורים שכבר הוזכרו בדיון זה. יוצא שהמתמטיקה מצליחה לייצג את המציאות תוך שימוש בכלים שאין להם אח ורע במציאות. זה עובד. נכון. אבל אנחנו לא יודעים איך. האם המתמטיקה היא המצאה אנושית ? האם היא "קיימת" בכלל ? היא קיימת בתודעתנו, אבל המתמטיקה עצמה, לרבות 2=1+1, לא נמצאת בעולם התופעות. היא רק החוקיות שאנחנו מגלים מאחורי התופעות. איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות ? אני מסכים עם הסיפא - המציאות היא רציפה או דיסקרטית. אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא ? מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן. אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה. מאז היחסות הכללית הם שלובים זה בזה. לכן קל יותר להאמין שגם למרחב זמן יש קוואנטום מינימלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות". נכון, אבל... אז מה? "זה עובד. נכון. אבל אנחנו לא יודעים איך". אני לא בטוח שאני מבין את השאלה "איך זה עובד?", אז אני לא נורא מתפלא שאנחנו לא יודעים להשיב עליה. "האם המתמטיקה היא המצאה אנושית?" בוודאי. "האם היא "קיימת" בכלל?" כאן אין ברירה אלא להיאנח ולשאול, למה אתה מתכוון ב"קיימת". תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט, אבל אני מתנצל מראש ומזהיר ששאלות מסוג זה נראות לי עקרות. "איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות?" זה סוג של קיום שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות. מין קיום שכזה. "אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא?" גם דיסקרטית יכולה להיות אינסופית (מה הקשר?). מה זה "סופיות היקום מכל העברים"? איך (בשם שמיים) מתחייב ממשהו מסוג זה קיום "בורא עולם"? "מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן." אתה *בטוח* שאתה מתכוון למאמר על האפקט הפוטו-אלקטרי? למה נובע ממנו שהחומר, נניח, לא יכול להיות רציף? "אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה." למה? "לכן קל יותר להאמין שגם למרחב זמן יש קוואנטום מינימלי." זו אפשרות. אני לא בטוח שרוב הפיסיקאים יסכימו עם הניחוש הזה, אבל אולי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם לא הראה אינשטיין במאמרו על אפקט הפוטואלקטרי שאור מתנהג באופן חלקיקי, כלומר דיסקרטי? "אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה"(תגובה 306060) שאלה: מה קיים מלבד חומר ואנרגיה (אשר חד הם אם להאמין לאינשטיין)? אינפורמציה? תודעה? אלוהים? מה עוד יכול מרחב לאכלס? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאיפה באה הדרישה שמרחב יאכלס משהו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, זה נשמט מעיני. תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרמנידס, שוב. אה, וגם היחסות הכללית אומרת על זה משהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא הראה שאפשר להסביר התנהגות של תופעות מסויימות בעזרת ההנחה שאור מתנהג כחלקיק (בתופעות אחרות עדיף דווקא לחשוב על האור כגל). אין בעיני קשר ברור לשאלה אם המרחב רציף או דיסקרטי. אני רק רוצה להזכיר שהמשפט ''למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה'' הוא לא שלי... אני לא ממש יודע איך להשיב על השאלות האחרות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. - ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות". - נכון, אבל... אז מה? - אז השימוש בדברים שאינם קיימים במציאות הפיזיקלית (= מטאפיזיים) לתאר דברים פיזיקליים באופן שיוכל לנבא את התנהגותם בעתיד טוען לאיזה קשר או לפחות קורלציה ביניהם. טענה שאינה טריוויאלית כלל. 2. - אני לא בטוח שאני מבין את השאלה "איך זה עובד?" - העולם הפיזי מתנהג בצורה מסוימת. אנחנו בונים מודל מתמטי להתנהגות זו בתודעתנו. המודל מצליח לנבא את ההתנהגות העתידית בעולם הפיסי. הוא עושה זאת ע"י שהוא מגלה חוקיות מסוימת בהתנהגות העולם הפיסי. האם החוקיות הזו נמצאת באמת בעולם הפיסי או רק במודל ? אם רק במודל, כיצד ממשיך העולם הפיסי לעקוב אחר הניבוי ? אם החוקיות עצמה נמצאת בעולם התופעות, אז המתמטיקה נמצאת שם גם. 3. - האם המתמטיקה היא המצאה אנושית? - בוודאי. - כלומר שאין לה דבר עם עולם התופעות ולכן סעיף 1. ו 2. לעיל. 4. - איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות? - זה סוג של קיום שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות. מין קיום שכזה. - קיום מטאפיסי 5. - אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא? - גם דיסקרטית יכולה להיות אינסופית (מה הקשר?). מה זה "סופיות היקום מכל העברים"? איך (בשם שמיים) מתחייב ממשהו מסוג זה קיום "בורא עולם"? - קח יקום עם מרחב זמן דיסקרטי והרץ קדימה מהמפץ הגדול עד היום. האם אין זו מטריצה סופית ? ואם מושג האינסוף אינו קיים במציאות הפיסיקלית עד כה כיצד יוכל להופיע ? ואם מושג האינסוף אינו קיים במציאות הפיסיקלית אך כן קיים במתמטיקה (המטאפיסית) אשר במערכת ההפעלה שלו אז ... (קפיצת הדרך מנטאלית לא מסודרת עדיין) יש אלוהים. 6. - מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן." - אתה *בטוח* שאתה מתכוון למאמר על האפקט הפוטו-אלקטרי? למה נובע ממנו שהחומר, נניח, לא יכול להיות רציף? - מודה ועוזב. אבל ראה את הדיון מ תגובה 312698 והלאה, העוסק ברציפות התכונות הבסיסיות, ובסיומו תגובה 313054 "מה שנותן את ההרגשה שהמודל הנוכחי הוא חלקי בלבד (כמו הפיזיקה של ניוטון ביחס ליחסות) וקיים מודל סופי שיקוונטט את הגרביטציה ויסביר באופן טבעי את כל האיברים המאולצים." 7. -אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה. למה? - תגובה 310533 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי יכולת להתייחס להכל; זה או מסובך לי מדי, או שאני לא מבין אותך. אציין רק ש"המתמטיקה" איננה אטום שאינו ניתן לחלוקה; יש בה כל מיני חלקים, חלקם דורשים את מושג האינסוף, חלקם לא. אם היקום דיסקרטי וסופי, מסתמא אין צורך במושג האינסוף המתמטי כדי לתאר אותו. לא צריך לרוץ לאלוהים. באותו אופן, המתמטיקה היא המצאה אנושית, שחלקים ממנה נבעו מהרצון לתאר את עולם התופעות, וחלקים אחרים לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט," מדוע דווקא הטבעיים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש מושגים מתמטיים יותר ראשוניים ופחות מעורפלים מאחרים. אני אישית מאמין שלבעייה כמו "האם יש אינסוף twin primes" יש תשובה חד-משמעית; לבעייה כמו השערת-הרצף, אני פחות בטוח: היא נשענת (באחד הניסוחים) על המושג "קבוצה-שרירותית-של-מספרים-טבעיים", שהוא מושג פחות ברור מ"מספר טבעי". בכל אופן, אני לא מתכוון לומר שהטבעיים "קיימים" במובן שניתן למצוא אותם זרוקים באיזה מחסן במעלה-החמישה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה לא הכי קשורה על משהו שמציק לי: יש שמועות מרושעות שהשערת גולדבך עלולה להתגלות בתור אחד מהדברים הללו שאי אפשר להוכיח או להפריך במערכת של ZFC. עכשיו, אני יכול לקבל את זה שייתכן שלא נוכל להוכיח שההשערה נכונה אף פעם, אבל לא ברור לי האם זה גורר שקיימת מערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה נכונה, ומערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה לא נכונה. אם תגיד לי שזה לא גורר את זה, אני אשתוק. אחרת, יש לי שאלת המשך. לצורך ההקבלה - אם הבנתי נכון, יש מערכת שמכילה את ZFC (או אולי ZF? או פאנו? אני לא ממש יודע) שבה השערת הרצף נכונה, ואחת שמכילה את ZFC שבה היא לא נכונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשמועות מרושעות אסור להאמין. הם עוד ישכנעו אותך להתנתק מ-ZFC או לנתק את C מ-ZF, ואז אנא אתה בא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דיברנו על זה פעם, חפש "גולדבך" בדיון על הטרחנים הכפייתיים. יש פה כמה דקויות שצריך להיזהר מהן. השערת גולדבך GC היא פסוק מהצורה "לכל n מתקיים ש-...", כש-"..." היא נוסחה הניתנת לבדיקה פשוטה בזמן סופי לכל n נתון. לכן, אם GC אכן לא תלויה באיזושהי אקסיומטיזציה של המספרים הטבעיים כמו PA או ZFC, אז בפרט היא *נכונה* עבור המספרים הטבעיים הסטנדרטיים (כי אם לא, היתה דוגמה נגדית, ודוגמה כזו ניתנת להוכחה בכל מערכת סבירה כזו). מכאן שאם אפשר *להוכיח* ש-GC לא תלויה ב-PA, למשל, זו תהיה הוכחה (משונה קצת) לנכונותה של השערת גולדבך הטבעית. המצב הוא אחר לגמרי עבור טענות אחרות על הטבעיים, כמו twin primes. שים לב גם שאם *מוכיחים* ש-GC לא תלויה במערכת X, זה גורר שהמערכת X היא עקבית, ולכן לא ניתן לבצע את ההוכחה ב-X עצמה. אפשר, למשל, להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-PA, אבל אי אפשר להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-ZFC - בשביל זה צריך מערכת אחרת שבה אפשר להוכיח את עקביות ZFC, ואין מי יודע מה מערכות כאלה שאנשים נוטים לקבלן כמובנות-מאליהן. הניסוח שלך, "מערכת שמכילה את ZFC" אינו מדוייק. צריך לומר "מודל של ZFC שבו השערת הרצף נכונה, ומודל אחר שבו לא". וכן, זה אכן המצב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי הוכחות אי תלות ועקביות, אתה כמובן צודק, אבל הטיעון הנ"ל נכון לכל משפט שעליו אומרים "הוכחנו עקביות" או "הוכחנו אי תלות". בדרך כלל לא מתחילים ממערכת פורמלית חזקה יותר, אלא עובדים ב-ZFC ומוכיחים עקביות יחסית כלומר מוכיחים את המשפט הפורמלי: Con(ZFC)->Con(ZFC+CH)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, במיוחד ל-ZFC. נדמה לי שהוכחות אי-תלות ב-PA דווקא לעיתים נעשות פשוט ב-ZFC (או בחלק שלה), למשל משפט גודסטין הזכור לטוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אני לא יודע מה רוצים מהשערת גולדבך. קצת קשה אז נשברים? אני לא רואה שום סיבה לחשוב שהמשפט הזה לא נובע (הוא או שלילתו, אבל רק האפשרות הראשונה סבירה) מ- ZFC. 2. השערת גולדבך אינה סימטרית. אם היא *לא נכונה*, אז אפשר להשתכנע בכך בזמן סופי (יש מספר זוגי N כך שלכל מספר ראשוני קטן יותר, N-p אינו ראשוני), ולכן זה נובע מ- ZFC. לעומת זאת אם היא כן נכונה אבל משום-מה לא יכיחה ב-ZFC, אפשר לצרף אותה (או טענה אחרת שההשערה נובעת ממנה) כאקסיומה נוספת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. תאשים את הספר ההוא על "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", שהמרצה שלי ללוגיקה אהב לרדת עליו. תמים ככל שיהיה, שמעתי שמועות מרושעות על שני אנשים שעזבו את הפקולטה למתמטיקה אחרי שקראו אותו. כן, אני בטוח שהם היו עוזבים גם ככה. כן, אני לא צריך להקשיב לשמועות מרושעות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקשר ל-1 של עוזי, כדאי גם להזכיר (שכחתי קודם) שהשערת גולדבך כבר "כמעט" הוכחה (ביותר ממובן אחד), והיא נראית בהישג-יד. לאור זאת היא באמת לא מועמדת מוצלחת מדי להשערה-אולי-לא-תלויה. מועמדות מוצלחות הרבה יותר הן P=NP או בעיית ה-3n+1, למשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שהבחירה בגולדבך היא בגלל שקילקלו לנו את פרמה ואין שום קשר לסבירות של תלותיותה. אתה יכול לפרט (או ללנקק) בקשר לכמעט הוכחה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "קלקלו לנו את פרמה"? בזה שהוכיחו אותו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. תגובה 212764. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב שהבהרת שזה לא במעלה החמשה. נדמה לי ששם מחזיקים רק את האלכסון של קנטור. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |