 |
|
 |
||
|
||||
 |
החידה הבאה ניתנת לפיתרון ע"י תלמיד בכיתה ט': שוברים מוט בשתי נקודות אקראיות. מה הסיכוי שמשלושת החלקים שנוצרו ניתן להרכיב משולש? אפשר, כמובן, להסתבך עם אינטגרלים (בהצלחה!) או לרוץ לגוגל, אבל מי שמעדיף לחשוב קצת ואז לקבל רמז או שניים עשוי להנות מאד מהפתרון שהוא, כמובן, החלק היפה בכל העניין. יפה, אני אומר? יותר יפה מבלה חדיד! |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
היי, צבע העיניים שלי מאוד דומה לשלה. אני רץ להירשם אצל בטי רוקאווי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי שאי אפשר יהיה לבנות משולש סכום שני החלקים הקטנים יותר צריך להיות קטן מהחלק הגדול. כלומר שהשבר השני צריך להיות בחלק הקטן, אחרי ששברנו את השבר הראשון. אז אתה מסתבך. אבל אפשר להסתכל על זה בצורה יותר פשוטה: 1. בכל המקרים ששני השברים יהיו מאותו צד של אמצע המוט אי אפשר לבנות משולש, וההסתברות לכך היא חצי. 2. אפשרות שניה היא ששני השברים יהיו משני צדדים של האמצע, אבל המרחק ביניהם יהיה גדול מחצי המוט, ואלו חצי מחצי האפשרויות שנותרו אחרי המקרה הראשון. אז בסך הכל רק רבע מהאפשרויות יתנו שלשה חלקים שאפשר לבנות מהם משולש. נכון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון (אם כי 2 מצריך נימוק). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנימוק הוא שבאקראי המרחק ביניהם יהיה בין 0 וכלום ל 1 פחות כלום ולכן ב(כמעט1) חצי המקרים יהיה גדול או שווה ל 0.5 __________ 1 אם מדובר באמת במקל |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהינתן ששתי הנקודות בשני החצאים השונים של המקל, התפלגות המרחק בינהן אינה אחידה ולכן צריך עוד משהו נוסף כדי להסיק שההסתברות היא חצי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההנחה שלי הייתה שבוחרים את הנקודה הראשונה באקראי ואחריה את השנייה באקראי. בהסתברות חצי, השנייה בחצי של הראשונה. ואז נשאר המקרה שהשנייה אינה בחצי של הראשונה: מהי ההסתברות שהמרחק ביניהן גדול מחצי? כאן כבר „אינטגרל״ פשוט (משולש) עובד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "השנייה בחצי של הראשונה"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הראשונה, בה״כ, קטנה מחצי. השנייה קטנה מחצי בהסתברות חצי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון. מתקן את הנימוק, אבל משאיר את זה פשוט- מספר אחד באקראי בין 0.0 ל 0.5 והשני באקראי בין 0.5 ל 1.0 במחצית המקרים ההפרש ביניהם יהיה גדול מ 0.5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, לאור התיקון שלי התפלגות המרחק ביניהן כן אחידה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההפרש בין שני מספרים כמו שתארת אינו מתפלג אחיד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי האחד מתפזר באופן אחיד בין 0.0 ל 0.5, השני מתפזר באופן אחיד בין 0.5 ל 1.0, וההפרש ביניהם מתפלג באופן סימטרי בין 0.0 ל 1.0 עם מקסימום ב 0.5. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, זה מה שהתכוונתי (אין חשיבות למקסימום, רק לסימטריה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון אבל לא כל כך יפה וכפי שהעיר אורי 2 לא לגמרי טריביאלי. הפתרון היפה מסתמך על משפט שקל להוכיח בדבר סכום שלושת המרחקים מהצלעות של נקודה כלשהי בתוך משולש שווה צלעות. זה גם רומז להכללה של אורי (שוב הוא עושה זאת, ואני מריח את הצעד הבא שייקח אותנו למרחב n ממדי, ממנו מי יודע אם נמצא את הדרך חזרה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(במרחב n מימדי, n דרך חזרה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מהנN. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דרך אגב, בשני הפתרונות יש "בעיה" - הם מסתמכים על כך שיש רק התפלגות אחת "אחידה". כלומר שלבחור שתי נקודות באופן אחיד על המקל ולבחור באופן אחיד שלושה אורכים שמסתכמים לאחד ולבחור באופן אחיד שלוש נקודות על המעגל ולהסתכל על אורכי הקשתות ביניהן, כולן מייצרות את אותה התפלגות. במקרה זה ההנחה נכונה, אבל לפעמים זה בעייתי. דוגמא מפורסמת היא הפרדוקס של ברטראן [ויקיפדיה]. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוי ואבוי. הפתרון היפה אליו כיוונתי (שמודגם למשל <קישור https://services.math.duke.edu/education/webfeatsII/g... כאן) ושבזכותו טרחתי להביא הנה את החידה סובל כנראה מבעיה דומה (בחירת שתי נקודות שבירה של מקל לעומת בחירה של נקודה בתוך משולש שווה צלעות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה יפה, אבל גם האינטגרל טריביאלי. ברגע שבחרת נקודת שבירה ראשונה, נניח במרחק x מן הקצה של מקל שאורכו 1, הנקודה השנייה חייבת להיות בקטע שאורכו x, מן המחצית בכיוון הקצה השני ולכן ההסתברות המותנית היא x. האינטגרל מ-0 עד 0.5 יוצא 1/8. רק שצריך לזכור שאותו דבר אפשר לעשות מן הקצה השני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אמנם יפה, אבל אם אחד מקריטריוני היופי הוא פשטות, אני לא בטוח שזה יותר פשוט מהפתרונות האחרים. זאת מאחר וזה דורש שני שלבי ביניים - המשפט הגאומטרי (לא ממש מהמוכרים יותר), ולמה המשולש האמצעי פותר (זה אכן הדילוג הנאה בהוכחה הזו). ועל כל זה נטל ההוכחה שההסתברויות זהות בשני המקרים. לו היינו צריכים לנסח את הפתרון ברמה של מבחן במתימטיקה, הפתרון הזה היה לוקח יותר עמודים מאינטגרל קטן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, על טעם וריח... בעיני הפשטות היא בכלים הנדרשים. תלמיד בכיתה ט' לא יודע אינטגרלים בעוד את המשפט הגיאומטרי קל להוכיח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי קל להוכיח אבל תלמיד כיתה ט' לא יכיר אפילו את המשפט הזה. ואת ההסתברות המותנה ההיא גם תלמיד כיתה ט' יכול להבין באינטואיציה עם קצת נפנופי ידיים ובלי אינטגרל (אם אני לא טועה דה-פקטו האיטגרל יוצא שטח של מולש, ואת זה אפשר לחשב בלי אינטגרל). בכל מקרה, אני מחבב את הפתרון הגיאומטרי כי הוא אכן נעים לעין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מעלה הכללה אחרת: אם שוברים מקל ל-n חלקים בנקודות אקראיות, מה ההסתברות שניתן להרכיב מהחלקים מצולע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החידה הזו היא מקרה פרטי של (הכללה של) החידה הבאה: בוחרים באקראי 4 נקודות על פני כדור. מה ההסתברות שהטטרהדר שנוצר מהן מכיל את מרכז הכדור? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שלשני הכחולים והחום יש סרטון ארוך ומפורט שעוסק בחידה הזו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי, אבל אני נתקלתי בה אצל Presh Talwalkar, גם הוא ביוטיוב. ממנו למדתי שבסין משפט פיתגורס נקרא "משפט גוגו". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן וגם: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא שני כחולים אלא שלושה, והנה הסרטון: https://www.youtube.com/watch?v=OkmNXy7er84 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נישמע כאילו אתה מכוון לפתרון באמצעות בחירת שלוש נקודות אקראיות על מעגל והסתכלות "המצאות/אי הימצאות" מרכז המעגל בתוך משולש ששלוש הנקודות הנ"ל יוצרות. חשבתי על כיוון כזה אבל איני בטוח שאי אפשר לפתור ברמת קושי שווה את הניסוח המקורי (דהיינו הניסוח של שתי נקודות שמחלקות קטע). יתכן שיש לי פתרון לגבי הניסוח המקורי (שתי נקודות בקטע, וכולי ... ). מין טיוטא של פתרון. זאת על סמך שימוש פשוט במושג של "הסתברות מותנית". צריך לבדוק זאת שוב, במיוחד משום שעניין ההיסתברות המותנית נימצא בזכרון רחוק שלי. בכל מקרה: בניסוח המקורי קיום משולש כמבוקש , או אי קיומו המבוקש — שקול לחלוקת הקטע לשלושה קטעים כך שסכום האורכים של כל שניים מהקטעים גדול מאורך הקטע השלישי . (אם עקבתי נכון אריק לא ניסח במדוייק תנאי זה.). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במחשבה נוספת, אולי בכל זאת עדיף להשתמש במעבר לניסוח על מעגל. לאוו דווקא למשהו דומה למקרה המוכלל (4 נקודות על פני כדור) אלא , אולי, שימוש אחר במעגל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם התשובה היא 1/8? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה טעיתי בחישוב. האם התשובה היא 1/4? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |