בתשובה לאריק, 20/08/20 12:03
 |
|
 |
||
|
||||
 |
נכון אבל לא כל כך יפה וכפי שהעיר אורי 2 לא לגמרי טריביאלי. הפתרון היפה מסתמך על משפט שקל להוכיח בדבר סכום שלושת המרחקים מהצלעות של נקודה כלשהי בתוך משולש שווה צלעות. זה גם רומז להכללה של אורי (שוב הוא עושה זאת, ואני מריח את הצעד הבא שייקח אותנו למרחב n ממדי, ממנו מי יודע אם נמצא את הדרך חזרה). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
(במרחב n מימדי, n דרך חזרה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מהנN. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דרך אגב, בשני הפתרונות יש "בעיה" - הם מסתמכים על כך שיש רק התפלגות אחת "אחידה". כלומר שלבחור שתי נקודות באופן אחיד על המקל ולבחור באופן אחיד שלושה אורכים שמסתכמים לאחד ולבחור באופן אחיד שלוש נקודות על המעגל ולהסתכל על אורכי הקשתות ביניהן, כולן מייצרות את אותה התפלגות. במקרה זה ההנחה נכונה, אבל לפעמים זה בעייתי. דוגמא מפורסמת היא הפרדוקס של ברטראן [ויקיפדיה]. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוי ואבוי. הפתרון היפה אליו כיוונתי (שמודגם למשל <קישור https://services.math.duke.edu/education/webfeatsII/g... כאן) ושבזכותו טרחתי להביא הנה את החידה סובל כנראה מבעיה דומה (בחירת שתי נקודות שבירה של מקל לעומת בחירה של נקודה בתוך משולש שווה צלעות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה יפה, אבל גם האינטגרל טריביאלי. ברגע שבחרת נקודת שבירה ראשונה, נניח במרחק x מן הקצה של מקל שאורכו 1, הנקודה השנייה חייבת להיות בקטע שאורכו x, מן המחצית בכיוון הקצה השני ולכן ההסתברות המותנית היא x. האינטגרל מ-0 עד 0.5 יוצא 1/8. רק שצריך לזכור שאותו דבר אפשר לעשות מן הקצה השני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אמנם יפה, אבל אם אחד מקריטריוני היופי הוא פשטות, אני לא בטוח שזה יותר פשוט מהפתרונות האחרים. זאת מאחר וזה דורש שני שלבי ביניים - המשפט הגאומטרי (לא ממש מהמוכרים יותר), ולמה המשולש האמצעי פותר (זה אכן הדילוג הנאה בהוכחה הזו). ועל כל זה נטל ההוכחה שההסתברויות זהות בשני המקרים. לו היינו צריכים לנסח את הפתרון ברמה של מבחן במתימטיקה, הפתרון הזה היה לוקח יותר עמודים מאינטגרל קטן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, על טעם וריח... בעיני הפשטות היא בכלים הנדרשים. תלמיד בכיתה ט' לא יודע אינטגרלים בעוד את המשפט הגיאומטרי קל להוכיח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי קל להוכיח אבל תלמיד כיתה ט' לא יכיר אפילו את המשפט הזה. ואת ההסתברות המותנה ההיא גם תלמיד כיתה ט' יכול להבין באינטואיציה עם קצת נפנופי ידיים ובלי אינטגרל (אם אני לא טועה דה-פקטו האיטגרל יוצא שטח של מולש, ואת זה אפשר לחשב בלי אינטגרל). בכל מקרה, אני מחבב את הפתרון הגיאומטרי כי הוא אכן נעים לעין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מעלה הכללה אחרת: אם שוברים מקל ל-n חלקים בנקודות אקראיות, מה ההסתברות שניתן להרכיב מהחלקים מצולע? | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |