בתשובה לעוזי ו., 09/10/05 3:30
 |
|
 |
||
|
||||
 |
חשוב לראות את הדברים בהקשרם: בתגובה 335224 הביא ד.ק. (בשם פסקל) את הטענה הבאה: "אם אין לנו שום מידע על טענה מסוימת, אזי הסיכוי לה הוא 50%". אני טענתי שכדי להגדיר הסתברות, המצב צריך למלא כמה דרישות, ובמקרה זה ההסתברות בכלל לא מוגדרת. הבאתי את הדוגמה הבאה: נתונה קופסה ובה שני כדורים, שכל אחד מהם שחור או לבן. מה ההסתברות ששניהם שחורים? חשוב לשים לב שלא ידוע לנו *כלום* על שני הכדורים. לא ידוע לנו שהצבע של כל אחד נבחר אקראית, לא ידוע לנו שקביעת הצבעים הייתה בלתי תלויה, וכו'. אני, תוך שימוש בכלל של ד.ק., שאותו רציתי להפריך, הראיתי שתי דרכים סותרות לחשב את ההסתברות: א. הטענה "שני הכדורים שחורים" היא טענה שלא ידוע לנו עליה כלום, ולפיכך ההסתברות לה הוא 50%. ב. הדרך היותר אינטואיטיבית לחשב את ההסתברות, שלפיה (ע"פ אותו כלל) ההסתברות היא 25%. מאחר שאין שום סיבה מתמטית (אלא אם כן פספסתי משהו) להכריע בין הדרכים, בהסתמך *רק* על הנתונים לא ניתן להגדיר הסתברות לטענה. אם כך, מה שאותי מטריד (ובגלל זה אני שמח שהצטרפת לדיון) הוא הדוגמה של המדגם מתגובה 335244 (הפיסקה האחרונה בהערת השוליים). האם במצב המתואר שם מוגדרת ההסתברות המתוארת? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, בהרבה מאד מקרים ההסתברות לא מוגדרת. זה קצת מבלבל, כי אנחנו רגילים לקבל החלטות גם בסיטואציות כאלה, ולפעמים נדמה לנו שעצם ההחלטה (כמו בעלילות שכ"ג והחייזרים) פירושה שהיתה שם הסתברות ובחרנו באפשרות היותר מסתברת. לגבי המדגם, השאלה הזו שייכת לתורת ההסקה הסטטיסטית. בהנחה שאכן (מלכתחילה) קיימת הסתברות מסויימת לתופעה באוכלוסיה, הנתונים מן המדגם אינם יכולים לשמש כדי לקבוע באופן חד משמעי מהי ההסתברות; אין לנו אפשרות להפוך את התהליך. במקום זה, אפשר *לאמוד* את ההסתברות, בין אם מדובר באמידה נקודתית (שאז אפשר לחשב אומד נראות מקסימלית, 60% במקרה הזה, או אומדים חסרי הטיה), או באמידת רווח בר-סמך (נאמר, "בין 45% ל- 85%, ברמת מובהקות של 90%"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ייתכן, אולי, שההסתברות *לעולם* אינה מוגדרת? למי יש הגדרה טובה ל"הסתברות" (הגדרה שלא משתמשת בעצמה במונחים הסתברותיים)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כמה גישות שונות למושג ההסתברות. אחת היא "תדירותית" (ההסתברות של מטבע ליפול על "עץ" היא חצי מפני שאם נטיל אותה N פעמים נמצא שהיא נפלה על "עץ" בערך N/2 פעמים, והדיוק ישתפר עם N). אחרת מדברת על "ידיעה חלקית", והיא מתאימה למשל לביטוי "הסיכוי שמחר ירד גשם הוא 30%" שהוא חסר-משמעות בגישה הראשונה. ויש עידונים ושיפורים שונים ומשונים, וגם לא מעט מחלוקת. הגישה הראשונה מיוחסת, בבסיסה, לפון-מיזס, והשנייה הודגשה (נדמה לי) ע"י ג'יינס. עבור המתמטיקאים, כרגיל, השאלה "הסתברות מהי?" היא בד"כ לא מאוד רלוונטית ("תורת ההסתברות" היא, בקירוב טוב, "תורת המידה כשמידת המרחב היא 1"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם זה מענין מישהו, אחת הביקורות על הניסויים של כהנמן וטברסקי (מהם עולה שיש לנו אינטואיציה הסתברותית גרועה) היא שהם השתמשו בהגדרה הראשונה, בעוד האינטואיציה שלנו עובדת עם השניה. לצערי לא ממש הבנתי את הטיעון הזה, כי בלי קשר להגדרה התוצאות המספריות אינן במחלוקת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגישה הראשונה שאתה מציע מכניסה את מושג ההסתברות בדלת האחורית (כי "הדיוק ישתפר עם N" לא בהכרח, כלומר רק ב*סבירות גבוהה*). בגישה השניה אני לא מוצא הגדרה להסתברות. השאלה שלי היתה גם אינפורמטיבית, אבל בעיקר נורמטיבית. ניסיתי להציע שהבעיה שהאייל הצעיר (תגובה 335244) מעלה אופיינית לא רק למקרה הספציפי שהוא מציג, אלא לכל (או כמעט לכל) יישום-בפועל של מונחים הסתברותיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק ניסיתי לעזור. 1. אלו לא גישות "שאני מציע". לא מגיע לי הקרדיט הזה. 2. כאשר N שואף לאינסוף, הסטייה מ-N/2 תשאף ל-0. לא בסבירות גבוהה, אלא בהכרח. 3. לא ניסיתי לתת הגדרה להסתברות (אין כזו, ע"ע 4), אלא להסביר איך מפרשים את המושג, וגם את זה לא ממש עשיתי מפאת קוצר-זמן וחוסר עניין לציבור (שכחתי להזכיר שהגישה הזו מכונה "בייזיאנית"). 4. להגדיר "הסתברות", כמו להגדיר "זמן", זו בעייה פילוסופית קצת צדדית ודי בעייתית (להגדיר דרך מה? ממה מתחילים?). יותר מעניין לבחון את השאלה "מה זה עושה" או "איך עובדים עם זה", וזה המקום בו נכנסות הגישות השונות למושג. 5. אני לא חושב שאני מסכים עם "הבעיה... אופיינית לא רק למקרה הספציפי שהוא מציג, אלא לכל (או כמעט לכל) יישום-בפועל של מונחים הסתברותיים", אבל אולי אני לא מבין את הטענה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם ההוכחה של 2 לא מסתמכת על מושגים הסתברותיים - ולכן, לצרכינו, זו הגדרה מעגלית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, זו אינה הוכחה. אני לא מוכיח שהמטבע תיפול על "עץ" 50% מהפעמים בדיוק משתפר והולך; אני אפילו לא יודע אם זה נכון. אני רק אומר שהתופעה הזו, אם היא מתרחשת, קוראים לה בקיצור "המטבע נופלת על עץ בהסתברות 50%". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפעמים, לאותו הצד יש שני מטבעות. המלצה: http://www.imdb.com/title/tt0100519/ עץ, עץ, עץ, עץ, עץ, עץ... אולי עכשיו? הממ... עץ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טרם הספיקותי לעיין בסרט, אבל ראיתי את ההצגה (ב''גשר'', מזמן). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב"גשר" מזמן? אני ראיתי את זה ב"חאן" כשיבגני אריה אפילו לא חלם לעלות לארץ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא בהכרח מקלקל את הטיעון. אני חושב שצריך להיות יותר קל להגדיר לאילו דברים יש הסתברות 0 (או 1) מאשר להגדיר מה זו הסתברות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שבלבלת בין שתי בעיות. אחת היא האם וכיצד *מושג* ההסתברות מוגדר. בעיה פילוסופית קשה, אין פתרון. השניה היא - בהינתן מושג ההסתברות המתמטי, האם בתיאור מצב נתון מוגדרת ההסתברות1, כלומר מידת ההסתברות. בעיה מתמטית, לרוב לא קשה, לפעמים כן ולפעמים לא. 1 ואני נזכר בפתיל אחר שבו השתתפתי לאחרונה, לשוני בכלל, על היידוע של מושגים מופשטים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח ששתי הבעיות כל כך נפרדות במקרה של ההסתברות, אבל אני התכוונתי בעיקר לבעיה השניה. הקשר בין הבעיות מתבטא, למשל, במה שאלון כותב בתגובה 337068 (אם הבנתי אותו נכון): הרי לא קיימים מקרים שקורים אינסוף פעמים; אני מתקשה לראות איך מקרה יכול לקרות פעמיים. יוצא מכאן שההסתברות לא מוגדרת באף מקרה ספציפי, *וגם* שיש בעיה בהבנה שלנו את מושג ההסתברות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל במתמטיקה כמו במתמטיקה, גם אם לא ניתן להגדיר הסתברות לאף מאורע מציאותי, זה לא מונע מאיתנו להגדיר את המושג "הסתברות" ולטעון לגביו טענות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אבל (נדמה לי ש) כל הדיון התחיל מזה שאתה טענת לגבי מאורע מציאותי ספציפי, שההסתברות להתרחשותו איננה מוגדרת. בהקשר הזה, לטענה ''לשום מאורע מציאותי לא מוגדרת הסתברות'' יש השלכות מרחיקות לכת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהחלט. אני רק "פרשנתי" את תגובה 337044. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבה נחדד: "אני הולך לזרוק קוביה הוגנת פעם אחת. מה ההסתברות שיצא שש?" - לשאלה הזו יש תשובה מתמטית, ההסתברות מוגדרת (גם אם מבחינה פילוסופית היא בעייתית). "אין לנו טיעון חזק בעד או נגד קיום אלוהים; מה ההסתברות שהוא קיים?" - אין תשובה מתמטית, ההסתברות לא מוגדרת (בפרט, התשובה של ד. ק. "חצי" היא שגויה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא כל כך הבנתי למה ההסתברות לא מוגדרת. נניח שאני אומר "לפני שתי דקות זרקתי קוביה לא הוגנת. מה ההסתברות שיצא שש?" האם במקרה הזה ההסתברות מוגדרת, ופשוט לא ידועה? אם כן, מה ההבדל? בשני המקרים מדובר על אירוע ש*כבר קרה* ושאין דרך מתמטית פשוטה (שיקולי סימטריה במקרה של הקוביה) להסיק מה ההסתברות שלו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול להטיל שוב את הקוביה בתנאים מספיק דומים כמה פעמים שרק תרצה, ואז תיווכח שהיחס בין התוצאות השונות, אם תזניח את הפעמים הבודדות שהקוביה נעמדה על מקצועה או קודקוד, הוא 1:1:1:1:1:1, או שכל פאה הייתה העליונה בערך בשישית מההטלות. האם זה ימשיך ככה? אני מקבל את זה כאקסיומה (או כהיסק קצר מאקסיומה כללית יותר), אתה תקבל את כאקסיומה, כולנו נקבל את זה כאקסיומה. זה מתאים לאינטואיציה שלנו, וזה מוכח אמפירית בכל ניסוי כמעט. אם נטיל ספק בזה, מה כן נקבל כמובן מאליו? אבל אתה לא יכול להתחיל את היקום מחדש, ולבדוק בכמה מהפעמים היה בבסיסו אלוהים העונה על הגדרתך, ובכמה פעמים לא. ואם אתה לא יכול לעשות את זה, איך תמדוד את ההסתברות של המאורע? אתה לא יכול להניח כברירת מחדל שמרחב ההתסברות הנידון הוא סימטרי בין "יש אלוהים (כהגדרתי)" ו"אין". חשוב לרגע מה היה קורה אם היית עושה הנחה דומה עם הטלת הקוביה - "או שהקוביה נחתה על שש, או שלא - הסתברות של חצי לכל אחת משתי האפשרויות." כשאתה מצמיד הסתברות למאורע, אתה אומר בעצם מה תהיה ההסתברות שהוא יקרה, לא שהוא כבר קרה. אחרי שהוא קרה, ההסתברות שהוא קרה היא אחת או אפס[*]. בגלל שאתה לא יודע איזה מן השניים, צומחת לך תועלת מהתרגיל המחשבתי של העמדת פנים שהמאורע טרם קרה. [*] - וגם לפני כן, אם המציאות דטרמיניסטית. אבל זה עדיין לא הופך את התרגיל המחשבתי הנ"ל לפחות מועיל עבורך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, אבל אני לא מסכים עם ההפרדה שאתה מבצע. ראשית, אין בעיה להגיד "נזרקה קוביה לא הוגנת לפני מאה שנים, ולפני חמישים שנה היא נגרסה לחצץ" ואז היכולת שלי להטיל שוב ושוב את הקוביה זהה ליכולת שלי להתחיל את היקום מחדש שוב ושוב (כמובן שאפשר לעשות זאת בניסוי מחשבתי - אבל אפשר לעשות זאת גם לקוביה וגם ליקום). שנית, אמרתי בפירוש שהקוביה נזרקה *בעבר*. אם אתה מצמיד הסתברות שאינה או 0 או 1 בהכרח אליה, אין שום סיבה לא להצמיד גם לאלוהים הסתברות שכזו. שלישית, אני בהחלט מסכים שאני לא יכול למדוד את ההסתברות של המאורע "אלוהים קיים" וחס ושלום שאני אניח שהוא סימטרי. אבל בין "ההסתברות ניתנת למדידה על ידי והיא סימטרית" ובין "ההסתברות לא מוגדרת" יש הרבה מרחק. גם במקרה של הקוביה (מכיוון שאיננה הוגנת) אי אפשר לעשות משהו דומה ולכן לא ברור איך אפשר לדעת את ההסתברויות במקרה שלה פרט למה שהצעת - להטיל שוב ושוב, וזה בלתי אפשרי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אתה יכול להטיל קוביה דומה מספיק, בתנאי הטלה מספיק דומים. אתה לא יכול לעשות שום דבר דומה ליקום ול"אלוהים". הקוביה אכן נזרקה בעבר, והסתברות יש רק לאירועים שטרם התרחשו. אבל מבחינת *השימוש* שאתה עושה בערך ההסתברותי שאתה מחשב, מעניינת אותך ההסתברות שהייתה למאורע (יצא שש) להתרחש טרם רגע ההכרעה (ההטלה). יש לערך הזה שימוש עבורך, גם עכשיו, אחרי שהקוביה הוטלה. אתה אומר "ההסתברות שיצא שש", אבל מה שאתה באמת מתכוון, או מה שאתה צריך להתכוון, הוא "ההסתברות שהייתה טרם ההטלה שהיא תניב שש". פסקה שלישית - לא לכל דבר מוגדרת הסתברות. ל"שוקי ירוק ביצה אדומה" יש הסתברות? אפילו משמעות אין לזה. כשאני מחשב את ההסתברות של תוצאה מסויימת להטלת קוביה, אני יוצא מההנחה שאני מסוגל לשחזר את התנאים. בלי ההנחה הזאת, המשפט "ההסתברות שיצא שש היא שישית" הוא סתם בליל מילים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זו "קוביה דומה מספיק"? איך אני יודע שהקוביה באמת דומה? לא ידעתי כלום על הקוביה המקורית חוץ מזה שהיא לא הוגנת. בלי שתהיה לי קוביה דומה מספיק אני צריך להסתמך על ניסוי מחשבתי, שניתן להחיל גם על היקום ואלוהים. גם במקרה של אלוהים מעניינת אותי ההסתברות שהייתה למאורע (יהיה אלוהים) טרם רגע ההכרעה (היווצרות היקום). בוודאי שלא לכל דבר יש הסתברות, אבל אני לא מסכים עם ההפרדה שאתה מבצע שאומרת שבמקרה של הקוביה יש הסתברות ובמקרה של אלוהים אין. כאמור, גם במקרה של הקוביה אני לא מסוגל לשחזר את התנאים אבל לא נראה לי בעייתי לדבר על זה שקיימת הסתברות במקרה הזה - אני פשוט מוגבל מדי מכדי לדעת מה היא הייתה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המאורע "יש אלוהים" לא מוגדר היטב, "טרם היווצרות היקום" לא מוגדר היטב, לא ברור אם בכלל האחד היה לפני השני, או מה זה בעצם אומר... הדיון פשוט עקר. אני לא אומר שבמקרה של הקוביה יש הסתברות. אני אומר *שהייתה*, ושערכה עדיין מעניין אותנו גם אחרי ביצוע הניסוי, לפחות עד הרגע שבו אנחנו מסתכלים בקוביה ומגלים מה אכן קרה בניסוי. מה היה "לפני שנוצר היקום" או "לפני שאלוהים נוצר, או לפני שהוא לא נוצר"... איך אפשר לדבר על זה, ולמה בכלל כדאי? [צ] "אני לא מסוגל לשחזר את התנאים אבל לא נראה לי בעייתי לדבר על זה שקיימת הסתברות במקרה הזה - אני פשוט מוגבל מדי מכדי לדעת מה היא הייתה." [/צ] - אולי כדאי שנסכים על הגדרה של "הסתברות" לפני שנמשיך את הדיון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שהדיון די מיצה את עצמו ואין מה להמשיך. מעכשיו זה סתם ויכוח על הגדרות יסוד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המאורע ''יש אלוהים'' לא יכול להיות מוגדר כי לא ידוע מהו אלוהים. ''לפני שנוצר היקום'' מניח היווצרות וזוהי השערה ולא עובדה מוכחת. הסתברות זה מונח סטטיסטי שאינו קיים אצל מאמין, מאמין שמניח הסתברות חייב להניח גם אפשרות שלילית, לשם כך הוא מפסיק להאמין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שתי שורות ראשונות שלך - אז אנחנו חוזרים אחד על הדברים של השני עכשיו? זה מה שאנחנו עושים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנטייה שלי היא לומר שאכן גם במקרה זה ההסתברות *לא* מוגדרת. תנאי הכרחי לכך שההסתברות מוגדרת הוא שיהיו לנו מספיק נתונים. אני מניח שיש דרכים אחרות להסתכל על זה, וגם זו של דורפל מקובלת עלי. כדי להיות יותר זהיר, אני מוכן לסגת מהעמדה כי ההסתברות לא מוגדרת, לעמדה כי כל תשובה מספרית לשאלה "מהי ההסתברות" בשני המקרים, ואפילו מתן חסם יותר הדוק מאפס או אחד, היא שגויה. אני מוכן, באי-נוחות, לחיות עם הקביעה שההסתברות לקיומו של אלוהים היא בין אפס לאחד (כולל). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך אז אנחנו מסכימים: גם לדעתי ההסתברות קיימת, אבל לא ידועה לנו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אבל אני לא רואה משמעות אחרת לביטוי "קוביה הוגנת" מלבד "קוביה שה*הסתברות* מתחלקת שווה-בשווה בין כל צלעותיה". ההסתברות מוגדרת כאן, אמנם, אבל באופן מעגלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון שההסתברות מוגדרת מתוך משיכה בציצת הראש שלה עצמה, ושהנחת הקוביה ההוגנת היא הנחה על הסתברות. אבל אין כאן בעיה *מתמטית*: הנחנו הסתברות אחידה, ועכשיו אנחנו יכולים להמשיך לעבוד. מה זה אומר שההסתברות היא אחידה? זה אצל פופטיץ הפילוסוף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זה לא רק שהנחת הקוביה ההוגנת היא הנחה על הסתברות. הנחת הקוביה ההוגנת היא הנחה שלוקחת את המקרה שאתה מתאר מהתחום המציאותי אל תחום ההפשטה המתימטית. הרי אם אתה לוקח את ההנחה הזאת כהנחה אודות המצב המציאותי שבו מתרחש הניסוי ("הקוביה בנויה כך שהיא נוטה ליפול על פאותיה בהתפלגות בערך-שוויונית") ולא כהנחה מתימטית ("לצורך השאלה אנחנו מניחים שההתפלגות היא שוויונית"), תמיד יישארו לך תרחישים שאותם לא חזית מראש ולא הכנסת להנחות שלך, שעשויים לשנות את התוצאה: הקוביה היא אמנם הוגנת, אבל המשטח שהיא נופלת עליו לא הוגן (למשל), או שהזורק התמחה בלרמות בעזרת קוביות הוגנות (עוד משל), וכו'; ואז בכלל לא בטוח שההסתברות היא באמת 1/6. לכן ברגע שאתה מכניס את הנחת ההסתברות ההוגנת אתה בסך הכל מצליח להגדיר הסתברות לאירוע *מתימטי*, לא לאירוע במציאות. לאירועים מציאותיים אף פעם לא מוגדרת הסתברות, באותו מובן (ומאותם נימוקים) שבו לאירוע של "מציאות האל" לא מוגדרת הסתברות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהחלט. אבל כשאתה בוחן אירועים מציאותיים, יש לך אפשרות לדון עד כמה סביר להחיל עליהם את המודל המתמטי. אם אתה קונה משחק חדש מהחנות, ותוהה על הקוביה שהגיעה בתוכו, אתה יכול לבצע כל מיני היסקי סבירות ולהגיע למסקנה שסביר להניח שהקוביה קרובה מאוד להיות הוגנת (למשל: לפי המראה שלה היא קרובה להיות סימטרית במידותיה; לפי הידע שלי בפיזיקה סימטריה או כמעט-סימטריה במידות של עצם דמוי-קוביה1 מבטיחות התפלגות כמעט אחידה בתוצאה; (סיטואציה אחרת) בקזינו יש מפקח מטעם המשרד לרגולציית הימורים שבודק את התקינות של הקוביות; וכו'). אתה יכול להוסיף גם את ההנחה מהפתיל שלי עם שכ"ג, לפיה אי-ידיעה, בתנאים מסוימים, גוררת סימטריה של הסתברות. אני לא רואה אילו היסקים דומים אפשר לעשות בנוגע למציאות האל - חוץ משלל הנימוקים המוכרים לעייפה למה חייב להיות אלוהים או לא ייתכן שיש אלוהים, ומה זה בכלל אלוהים, אבל אם נכנסים לדיונים כאלה ממילא יוצא העוקץ מהשאלה ההסתברותית. 1 קוביה כאן במשמעות של הצורה ההנדסית, להבדיל מקובית משחק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שניסיתי לומר זה שההנחה של "אי-ידיעה, בתנאים מסוימים, גוררת סימטריה של הסתברות" היא הכרחית *תמיד*, כדי שתוכל להתעלם בנוחות מכל הדברים שאתה בהכרח לא-יודע ברקע של המקרה שעומד להתרחש (אולי הצליחו לרמות את המפקחים של הקזינו וכו'). ואני לא רואה דרך לבצע את התיקון שאתה מחפש בתגובה 337929 , תיקון שיסביר למה אפשר להחיל את ההנחה הזו במקרים מסויימים (זריקת קוביה) ואי אפשר להחיל אותה במקרים אחרים (קיום האל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני איתך בעניין הזה (וראה תגובה 337867 ). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז אתה כן חושב שהסיכוי לקיום אלוהים הוא חצי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פתאום נשמע לי ממש מטופש לומר "ההסתברות לקיום אלוהים היא חצי". איזה אלוהים? אלוהי היהודים, אלוהי הנוצרים או אלוהי המוסלמים? (הם לא אותו אחד, כי כל אחד הפסיק לשלוח נביאים בשלב מתקדם יותר). האם ההסתברות לקיום כל אחד מהם היא חצי? לא מסתדר לי כל כך מבחינה מתמטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הוא איתי, אז לא. אני לוקח ברצינות את הטענה שלי: הסתברות מוגדרת רק למצבים מתימטיים, לא למצבים במציאות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אני חושב שיש לנו מספיק ידע (''פיזיקלי'' אם תרצה) כדי להעדיף אחת האפשרויות, בדיוק כמו בהחלטה לגבי הדרקון הוורוד ההוא. זאת הסיבה שאינני מגדיר את עצמי כאגנוסטיקן אלא כאתאיסט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(ברור. רק רציתי שתבהיר שלחלק הזה אצל עומר אתה לא מסכים. ולאור הבהרתו האחרונה של עומר, כנראה שאתה לא מסכים איתו גם על כל השאר.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היי, "לחלק הזה אצל עומר" גם אני לא מסכים! (תגובה 338092) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזשהו תיקון אתה צריך, אחרת תיקלע לאבסורדים: מישהו הולך לשים על כף אחת של המאזניים משקולת שנראית כמו 5 קילו, ועל הכף השנייה משקולת שנראית כמו חצי קילו; האם ההסתברות לנטייה לשני הצדדים שווה? אני בינתיים קונה את התיקון ששכ"ג מציע בתגובה 337991 (עם התיקון שלי לתיקון). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אני נקלע לאבסורדים, כי אני פוסל לגמרי את השפה ההסתברותית בתיאורים של המציאות. אני מקבל את הערך התועלתני (''כדאי לי להמר על שש'') או ההסברי-פסיכולוגי (''המהמר יעריך שכדאי לו להמר על שש'') של השפה הזו, אבל לצורך הבנה של העולם - שהיא מה שמעניין אותי באמת - אני חושב שזו שפה מיותרת ואף מזיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע אחד. אם יש כד עם שני כדורים שאינך יודע עליהם כלום, כשאני מציע לך התערבות ביחס 1:3 ששניהם שחורים, תקבל אותה או לא? (התחמקות בנוסח "אני לא נוהג להתערב" תיחשב בדיוק למה שהיא: התחמקות, ותאלץ אותי לקרוא שוב לחייזרים ההם). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נגיד שהוא אינו מתחמק ואומר כן. מה למדת? ואם הוא אומר לא? מה למדת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז זהו, שאני חושב שהוא יאמר "כן".יתר על כן, אני חושב ש[כמעט?] כל מי שיודע הסתברות/סטטיסטיקה מרמה של תלמיד תיכון עד רמת פרופסור יגיד "כן". יתר על כן, אני חושב שהם יזכו בהתערבות הזאת. ומכאן שגם אם ה"הסתברות בלתי מוגדרת" יש בכוחה לנבא לא רע מה הולך לקרות, ולכן אני מניח שכדאי לשנות את ההגדרה כך שתכלול אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו לא כל-כך השאלה של "לשנות את ההגדרה". זה יותר דומה לבעייה של מתן הסתברויות א-פריורי בהיעדר מידע. הרבה תהליכים בהסקה סטטיסטית מאפשרים לך לקחת את מה שאתה חושב כרגע על ההסתברויות לאפשרויות השונות, ולעדכן את דעתך זו בהתאם לנתונים חדשים. אבל מאין מתחילים? מה חשבת על הסיכוי שהאות הבאה בדנ"א תהיה T, או שכדור הביליארד יהיה שם, או שיש חיים על הכוכב ההוא, רגע לפני שהיה לך *איזשהו* נתון? התפלגות אחידה זו אופציה שיש לה יתרונות לא מבוטלים, אבל לא תמיד היא סבירה או אפילו אפשרית (מה אתה עושה כשיש אינסוף מצבים?). יש כל מיני פתרונות לבעייה הזו, חלקם מתוחכמים למדי, ואין דרך אחת מנצחת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להזכירך, אנחנו מדברים על מקרה מאד ספציפי: יש כד, יש בו שני כדורים שכל אחד מהם לבן או שחור, וזהו. מטעמי סימטריה (אני מקווה שזה לא יביא הנה את ד.ש.) אני אהיה מוכן להתערב בתנאים שציינתי, ולהערכתי כך גם הצעיר וגם עוזי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בסדר, אבל זה לא כזה מקרה ספציפי. אני מניח שטעמי הסימטריה שלך לא ייפגמו אם אחד הכדורים יהיה ורדרד, דווקא? זה שיקול מאוד סביר, אבל אין לו קשר הכרחי להגדרה של מושג ההסתברות. הנה שאלה שגנבתי מספר על סטטיסטיקה בייזיאנית (של Saha, אם כבר שאלת). יש קוביה לא הוגנת, וכל מה שאתה יודע עליה הוא שכשמטילים אותה יוצא, בממוצע, 4.5 (במקום ה-3.5 המקובל. כאמור, היא לא הוגנת). אילו נתבקשת לנחש מה הסיכוי לקבל 1 בקובייה הזו, מה היית מנחש? מה שחשוב זה לא כל כך התשובה המספרית אלא הגישה. ברור שכאן אין סימטריה, בניגוד למקרה הכדורים בכד. אז מה עושים? איזה שיקול מפעילים? (יש לזה לפחות תשובה אחת מאוד מקובלת שאפשר לסכם בשתי מילים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"גישה בייסיאנית"? "תוחלת מותנית"? "הוקוס פוקוס"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי לפתוח בחידון (''אנטרופיה מקסימלית''). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הייתי צריך לנחש. במחשבה שניה, הגישה הבייסיאנית נראית לי יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? ("מה שחשוב זה לא כל כך התשובה המספרית אלא הגישה", ציטט אלון את עצמו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו התוצאה אם מניחים ש-5 הוא הצד ה"כבד" וכל האחרים שוים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ופרשנות עם "אנטרופיה מקסימלית" (אולי) - אפשר לחשוב על מצב "אחיד" בו שלישיית הגבוהים מופיעה יותר משלישיית הנמוכים, אך בתוך השלישיות הפילוג אחיד. ממוצע הנמוכים - 2, ממוצע הגבוהים - 5. לממוצע של 4.5 שלישיית הגבוהים צריכה להופיע פי 5 יותר פעמים מאשר הנמוכה (15/18 לעומת 3/18). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ציטט אלון את עצמו". זה נראה לי מצב קצת בעייתי. כשמתחילים עם ציטוטים עצמיים, אין לדעת איפה זה נגמר. הישמר לנפשך! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עלי להחליט מהו אותו דבר עלום שלגביו אני רוצה לעשות את ההנחה בדבר הסתברות שווה: 1. אעבור על כל המשקלים האפשריים של המספרים שנותנים ממוצע 4.5, ואמצֵע את מס' ה "1" בהם. או, 2. אעבור על כל המיקומים האפשריים של מרכז המסה שנותנים את הנ"ל, וכו'. מאחר והתוצאות תהיינה כנראה שונות, אני באמת צריך להכניס הנה הנחות לא מתמטיות בעליל לגבי אותו משהו. לרגע נטיתי לקבל את הטענה שבמקרה זה ההסתברות לא מוגדרת, אבל אז עלה בדעתי שאני יכול להעריך את ההסתברות של המקרה הראשון והשני (נניח 50:50 אם אין לי ידע נוסף) ולמצע את שתי התוצאות מקודם. כולה, הסתברות מותנית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש אלף (האחד שאחרי אלף אפס, לא האחד שאחרי תשע מאות תשעים ותשע) אפשרויות לחלק הסתברויות לקוביה כך שהתוחלת של ההטלה תהיה 4.5, אז אתה לא יכול לעשות את מה שהצעת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשהייתי צעיר היה דבר כזה שנקרא "אינטגרל" ובעזרתו היה ניתן לסכם אָ' מספרים בלי יותר מדי בעיות. אני מניח שבלי לגשת לחישוב ממש אני לא אראה איפה העסק יוצא מכלל שליטה אבל בטוחני שמישהו יאיר את עיני. בסה"כ זרזתי קצת את התהליך שבסופו אלון מסביר הכל לשביעות רצוני, גם אם זה במחיר פגיעה בדימוי הציבורי שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינטגרל של מה בדיוק? מאז ימיך נשכחה האומנות של שליפתם יש-מאין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הראשון אינטגרל שסוכם את המשקלות של כל ספרה (שש פעמים מ 0 עד 1, כך שהממוצע 4.5 ושאר אילוצים). ההנחה המובלעת היא שהמשקלות האלה הם שווי-סיכוי. במקרה השני איטגרל בו המשתנה "מרכז המסה" עובר על כל נפח הקוביה וממוצע ההטלות הוא 4.5 (ההנחה כאן היא שמרכז המסה יכול להמצא בכל נקודה בנפח בהסתברות שווה). אג"ג אומר שזה מספיק דומה למה שהוא אמר, ואני בשמחה רבה אפנה את המקום להסברים שלו, בתקוה שבמקום לזרוק מילות קוד כמו "בייסיאני" או "אנטרופיה" הוא יסביר ממש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדברים שתיארת הם בדיוק מה שנקרא שיקול בייסיאני. מניחים הנחה אפריורי ומעדכנים אותה על פי התצפיות. במקרה הראשון (שאליו כיוונתי) ההנחה אפריורי היא שנבחרה התפלגות שמתפלגת אחיד בין כל ההתפלגויות על שישה ערכים. התצפית היא שלהתפלגות הזו יש ממוצע 4.5 . כאשר לוקחים את התצפית בחשבון מקבלים התפלגות חדשה על קבוצת ההתפלגויות (המתוארת ע"י האינטגרל שלך). זה נותן לנו התפלגות על ההסתברות להטיל 1 בקוביה. הגישה האחרת ("אנטרופיה מקסימלית") אומרת שבהנתן הידע שלנו (ממוצע 4.5) נניח שההתפלגות היא זו שממקסמת את האנטרופיה. נראה לי שאניח לאלון להגן על הגישה הזו, שהרי הוא זה שהעלה אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הראשון(?) - אם אני קורא נכון, לא הגדרת אינטגרל, אלא סכום סופי של שישה מספרים בין 0 ל-1, שאנחנו כבר יודעים ששווה לאחת (הסכום הסופי). במקרה השני(?) - אני לא מבין איך זה קשור למקרה הראשון. בכל אופן, הדרך הזאת בעייתית בפני עצמה - אפשר לדמיין בקלות שתי קוביות (ויותר) בעלות מרכז מסה זהה והתפלגות תוצאות הטלה שונות (כשתוחלת ההטלות עודנה 4.5). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהמ? ספרור המקרים מתייחס ל תגובה 337717 . בשני המקרים אני מניח שהקוביה נראית תקנית (מבחינת צורתה ההנדסית ומבחינת הספרות שרשומות על פיאותיה). אני לא רואה שום קושי עקרוני1 למצע גם על מצבים בהם ההנחה לא מתקיימת. במקרה הראשון אני מסכם את *המשקלות* האפשריים של כל אחת מהספרות, תחת האילוץ שהממוצע נותן 4.5. המשקלות האלה הם מס' ממשיים בין 0 ל- 1. במקרה השני אני לא מבין את הטענה שלך. אנא דמיין לעיני שתי קוביות כאלה. ____________ 1- כדי להלביש את העקרון הזה בבגדים מעשיים נחוצה בעיקר הפונקציה שנותנת את ההסתברות לכך שפאה X יוצאת למעלה כפונקציה של מרכז המסה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני עדיין לא מבין מה אתה מנסה למדוד במקרה הראשון, או איך. יש לך: ת1, ת2, ת3, ת4, ת5 ות6. ידוע - הם כולם מספרים ממשיים בין אפס לאחת. ידוע - סכומם 1. ידוע - ת1*1 + ת2*2 + ... ת6*6 = 4.5. למה אתה מסכם את המשקלות? אם ב"משקלות" אתה מתכוון להסתברויות (ת1-ת6), הרי שידוע שהסכום הוא 1. אם אתה מתכוון למכפלת ההסתברות שיצא המספר בהטלה במספר עצמו, ידוע שהסכום 4.5. אין צורך בשום אינטגרל. להוכיח את ההנחה שלי בלי ניסוי זה מעבר ליכולתי. אני מנחש שגם אתה לא יודע להוכיח ההנחה שלך. אם ההנחה שלי נכונה, מה שהגדרת הוא לא פונקציה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני עובר בסכימה על כל הערכים האפשריים של כל אחד מה''ת'', מאפס ועד אחד תוך שמירת שני האילוצים שציינת. נראה לי שאני נכשל כאן בהסבר של עניין פשוט למדי, כך שאקבל בשמחה עזרה ממישהו שמבין מה אני אומר ויכול להסביר את זה טוב יותר. אני לא אומר שאני יודע לחשב את הפונקציה ההיא, ייתכן שבעיות כאוטיות מונעות אפשרות למצוא אותה באופן אנליטי, ואז לא תהיה לי ברירה אלא להשתמש בקירוב כלשהו. את הקירוב אני אעשה ע''ס הרבה ניסויים עם קוביות שמרכז המסה שלהם נמצא במקומות שונים. אם אגלה שההתנהגות כאוטית מאד, יש להניח שאצטרף לתשובה של אביב (האינטואיציה שלי אומרת שזה לא מה שיקרה, אבל אפילו אני לא הייתי סומך עליה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הקוביות ומרכזי המסה - אני די בטוח שזו לא פונקציה, אבל אם אני טועה, ומרכז המסה באמת קובע באופן חד ערכי את התפלגות התוצאות, אז גם לי קשה להאמין ששינויים קטנים במרכז המסה יכולים לגרום לשינוי גדול בהתפלגות, ואני אסכים להסתפק במציאת פונקציה קרובה דיה בעזרת רצף ניסויים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, זה מה שאמרתי בתגובה 337153. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 337996 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שבתי לרגע. איבדתי קשר עם הפתיל - מה קורה? יש עוד משהו שטעון הסבר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדאי אולי לחכות לעוזי, אבל אנסה לנתח את זה קצת לעומק. ראשית, צריך להבין שהדעות הקדומות שלנו הם רלוונטיות. אם היו אומרים לך שמאחורי דלת מסוימת או שיש או שאין ג'ירפה, היית לוקח בחשבון את ה"סבירות" שמישהו יטרח להביא ג'ירפה למשרד רק כדי להתקיל אותך. מצד שני, על הכדורים אתה לא יודע כלום פרט לתנאי ההתערבות המוצעת. ברור שהתנאים הם גם אינפורמציה, ולכן נשאל את השאלה קצת אחרת (קביעה עצמית של יחס ההתערבות): יש שני כדורים: על איזה יחס אתה מתערב איתי שהם שניהם שחורים? שיטת חשיבה מסוימית היא להפוך את האקראיות: בידי שתי אפשרויות הימור: כן או לא. אם אטיל מטבע כדי *להחליט* מובטח לי שאזכה בהסתברות 50% *בלי שום קשר* לצבע הכדורים. מכאן שהסתברות 50% על אירועים שאין אינפורמציה לגביהם היא הנחה נכונה אם באמת *בחרת* את האפשרות באופן אקראי. אבל, אם הנחת הנחות "פיסיקליות" על הבעיה ( לא הגיוני שיביאו לכאן כדורים לבנים "דווקא"), אין לתורת ההסתברות מה להגיד. לדוגמא: אינך יודע בוודאות אם השמש תזרח מחר, ודורשים ממך לנחש. אם תזרוק מטבע ותבחר, הרי שהבטחת *מתמטית* זכיה של 50%, אבל אם אמרת: אני מאמין בחוקי הפיזיקה, קוונטים, מכניקה שמימית, ראקציות תרמו גרעיניות וכולי, ולכן אנחש "כן", אין שום דרך "מתמטית" לקבוע את תוחלת הזכיה שלך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובכן, על איזה יחס אתה מתערב איתי ששניהם שחורים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קודם תראה את הכד, אבל בעיקרון, השאלה היא האם לעשות שיקול מתמטי, ואז, יחס של 1:1 (שים לב שזה תקף גם אם היו מליון כדורים בכד), או שיקול פיזיקלי, ואז אני מעדיף לרשום במעטפה את ההימור שלי ולחשוף אותו רק *אחרי* שאתה שם את הכדורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מישהו בקהל מתנדב לשים שני כדורים בכד ולחתום אותו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתנדב. כמה כדים אתה רוצה? כבר בחרתי מנגנון אקראיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, לא, אנא חזור על כך בלי לספר לנו אם בחרת באופן אקראי או לא - אחרת ראובן ישתפן כאן. במקום כדורים (ה"אלמנט הפיזיקלי" של ראובן עלול לרמוז לו שיש לך בבית יותר כדורי אופטלגין מאשר כדורי פחם) אנא בחר שני מספרים שיכולים, מטבע הדברים, להיות זוגיים או לא. אח"כ חשוב על איזה מס' גדול שהפרוק שלו לגורמים ראשוניים יוכל לספר לראובן ולי מה היתה הבחירה שלך (שני גורמים ראשוניים - שני המספרים זוגיים, שלושה אומר ששניהם פרט, וארבעה שהם בזוגיות שונה). אני מניח שמס' בן 500 ספרות יספיק לצרכינו אלא אם כן פרוייקט המחשב הקוואנטי של ראובן הגיע לשלב יותר מתקדם ממה שאני מעריך. זה סיכון שאני מוכן לקחת (אבל בבקשה אל תתחכם כאן עם גורמים קטנים). כדי למנוע הטיות השאלה אם ראובן ואני נתערב על זוגים, פרט או מעורב טרם נקבעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השורה האחרונה שלך ניטרלה אל כל אמצעי הזהירות הקודמים. איך נקבע על מה נתערב? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על צלחת פסטה שבושלה במים בלי מלח? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צוחק או שבאמת לא הבנת מה שאלתי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי כרגע את האמצעים לבצע את החישובים האלה. זה יצטרך לחכות קצת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמצעים לביצוע החישובים נמצאים בפרינסטון, הה? (אבל זה לא חשוב. תקתק מספר ארוך, ותראה שהוא משתפן) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה רואה, בסוף אתה מאלץ בחירה אקראית. שאלה למתמטיקאים ( נדמה לי שדנו בזה פה פעם): מספר בעל N<<1 ספרות, כמה גורמים ראשוניים יהיו לו באופן טיפוסי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדול מאוד מ-. אני חושב שיש הגדרה יותר מדוייקת, אבל אני לא ממש מכיר אותה (והיא יכולה גם להיות שונה בהקשרים שונים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היכן הזכרתי בחירה אקראית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובה 336491 "אבל זה לא חשוב". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בערך (ln(N, אם אתה סופר גורמים ראשוניים שונים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמצעים שלי לביצוע החישובים נמצאים בבית. האמצעים שבפרינסטון הרבה יותר נגישים כרגע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמצעים שבפרינסון עסוקים כרגע. בואו נניח שבחרתי. נסמן את הבחירה שלי ב-<המכפלה>. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נקצר תהליכים: האם ה"קו" שלך יהיה 25% לשני מספרים זוגיים? אם לא, אנא ספר לי מהו. (ובעניין ה"על מה נתערב" כנראה לא הבנתי מה אתה שואל) |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |