בתשובה לטל כהן, 15/02/04 0:00
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197559
אלון עמית • בתשובה לטל כהן יום א', 15/2/2004, 2:24
נכון, התמזגות של דפנות אכן מאפשרת הקטנה של מספר הדפנות הכולל. דוגמה פשוטה: קחו שתי קוביות (6 דפנות כל אחת) והדביקו אותן לאורך דופן. לתיבה המתקבלת אין 10 דפנות אלא 6: ארבע דפנות בכל קוביה התמזגו עם בנות-זוגן בקוביה השנייה.

וינקלר משער שמי שחיבר את השאלה על שתי הפירמידות היה מודע לאפשרות זו, וכמו האלמוני הוא פסל אותה מייד - לא נראה שכשמחברים פירמידה מרובעת לפירמידה משולשת זה קורה.

אמה מה, זה בדיוק המצב. והתשובה הנכונה, כפי שאמרת, היא 5. השאלה היא, איך רואים שזה כך?
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197679
האייל האלמוני • בתשובה לאלון עמית יום א', 15/2/2004, 12:51
מטורף לחלוטין! אולי גאוס בונה יכול לעזור?
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197713
easy • בתשובה לאלון עמית יום א', 15/2/2004, 14:06
הבעיה היא במילה "רואים". בפירמידה אנחנו "יודעים" שהדפנות יוצרות זוית קהה עם מישור הבסיס. אבל אם ניקח פירמידה מרובעת ו"נפיל" אותה על צידה, קל "לראות" (גם בדמיון) שהדפנות החדשות, פרט לדופן המרובעת, יוצרות זווית חדה עם מישור הבסיס החדש. לא מאמינים? בנו פירמידה מנייר ותבדקו. אם מישור הבסיס הוא המישור שיוצרת הפאה המשותפת לשתי הפירמידות, אז הפאות של הפירמידה המשולשת יוצרות איתו זווית קהה והפאות של הפירמידה המרובעת יוצרות איתו זווית חדה ולכן אפשר להבין למה יתכן שסכום הזוויות הוא 180 מעלות. מסימטריה נובע שזה יקרה בשני זוגות של פאות ולכן המספר הנכון הוא 5. אין לי הסבר טוב למה הסכום יוצא בדיוק 180 מעלות.
יתכן שיותר קל לראות את זה אם מדביקים שתי פירמידות משולשות על פאות נגדיות של פירמידה מרובעת. מקבלים מעין מנסרה שמהבסיס שלה נחתכו שני משולשים בצדדים.
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197744
הקשה המקשה • בתשובה לeasy יום א', 15/2/2004, 14:52
לא ברור לי לחלוטין איך אתה מודד את הזויות, אבל אם הצלחתי לעקוב חלקית אחר ההסבר, אז יש לי הרגשה (ז"א: לא הרהרתי בענין עד תומו) שפירמידה "על הצד" צריכה לתת זויות ישרות עם מישור הבסיס (פרט, כאמור, לפאה המרובעת).

הסבר אחר (למעשה וריאציה של תגובה 197380) הוא לקחת גוף דמוי טובלרון (או דמוי עזריאלי המשולש, בשביל הפטריוטים שבחבורה) שבו הגובה כפול מכל צלע של משולש הבסיס. מבצעים חיתוך מקדקוד כלשהו של הגוף עד למרכז הדופן הנגדית (לא הבסיס!). מבצעים חיתוך מקביל (לחיתוך הראשון) מקצה אותה דופן נגדית ועד מרכז הצלע שעליה יושב הקדקוד הנ"ל. מתקבל גוף בעל חמש פאות: שתיים משולשות מקבילות (תוצאת החיתוכים), אחת רבועה, ושתיים בצורה של מקביליות שוות צלעות. גוף זה הוא תוצאת ההדבקה. כדי לראות זאת, נבצע כעת חיתוך נוסף במישור הנקבע ע"י שני האלכסונים הקצרים של המקביליות ונקבל שתי פירמידות שלאחת מהן בסיס ריבועי.
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197745
easy • בתשובה להקשה המקשה יום א', 15/2/2004, 15:05
ממש לא. הזווית (הפנימית) בין שתי פאות של פירמידה ריבועית היא קצת פחות מ110 מעלות. אם אתה רוצה ערך מדויק, זה יוצא:
2ArcSin(sqrt(2/3))
איך מחשבים? תחתוך את הפירמידה לחצי לאורך האלכסון הראשי של הבסיס ותבנה דופן חדשה במקום החתך. קיבלת גוף שבנוי משני משולשים שווי שוקיים עם בסיס בגודל שורש שתיים כפול אורך השוק ומשני משולשים שווי צלעות. תחתוך את הגוף בציר הסימטריה לאורך הבסיס המשותף לשני המשולשים שווי השוקיים ותקבל שהחתך הוא משולש שווה שוקיים שאורך הבסיס שלו הוא שורש שתיים כפול אורך השוק והגובה שלו הוא סינוס 60 מעלות כפול אורך השוק. זווית הראש היא המספר שנתתי לך.
יותר קל לחשב את הזווית (הפנימית) בין הפאות של הפירמידה המשולשת. התוצאה היא:
ArcCos(1/3)
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197747
הקשה המקשה • בתשובה לeasy יום א', 15/2/2004, 15:17
איך מחשבים היא שאלה משנית. חשוב יותר להגדיר קודם באיזה מישור נמדדת הזוית (כשמדובר בשתי פאות). אם פירמידה מצרית (''אידאלית'') תתהפך על הצד, אדם שיקרב אליה מכיוון הפאות המשולשות, יראה לפניו קיר אנכי שגבהו אינו אחיד.

בכל אופן, תודה.
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197751
easy • בתשובה להקשה המקשה יום א', 15/2/2004, 15:23
אם תפיל פירמידה שוות צלעות עם בסיס מרובע על צידה, תקבל שני קירות לא אנכיים, אלא בזווית של קצת יותר מ70 מעלות כלפי חוץ, שגובהם אינו אחיד וקיר אחד בזווית של כ125 מעלות בגובה אחיד.
(אני לא יודע אם פירמידות מצריות הן שוות צלעות)
צודק. 197756
הקשה המקשה • בתשובה לeasy יום א', 15/2/2004, 15:33
יאללה, לירוחם :)
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197770
צמא דעת • בתשובה לאלון עמית יום א', 15/2/2004, 16:01
הנה וריאציה נוספת על הפתרון הקודם, אבל אולי יותר אינטואיטיבית:
נניח שלרשותנו שתי פירמידות עם בסיס ריבועי (ופאות שהן משולשים שוי צלעות). נניח אותן על שולחן, ונצמיד את אחד ממקצועות הבסיס שלהן. קל להשתכנע שהמרחק בין שני ה"שפיצים" הוא בדיוק יחידה אחת (כל שפיץ נמצא בדיוק מעל מרכז הבסיס הריבועי).
כעת נתבונן בחלל שקדקדיו הן קצוות המקצוע שהצמדנו, וכן שני השפיצים. חלל זה הוא טטרה-אדר, והראינו כבר שכל ששת מקצועותיו הם באורך יחידה. במלים אחרות: פירמידה משוכללת (שבסיסה ופאותיה כולן משולשים שווי צלעות) תתאים בדיוק בחלל זה.
אבל אם נוסיף שם פירמידה כזו - ברור ששתים מפאותיה "ייבלעו" בפנים של הגוף הנוצר, וכי השתיים האחרות יחברו בצורה מישורית את פאות שתי הפירמידות הקיימות (וייצרו טרפזים בשני הצדדים). מכאן שהפאות אכן מתמזגות (כל שנותר הוא "להעלים" אחת מהפירמידות המקוריות כדי לקבל את הבניה שבשאלה).

איך זה?
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197816
טל כהן • בתשובה לצמא דעת יום א', 15/2/2004, 17:24
נהדר - תודה!
התשובה ה''צפויה'' נראית נכונה 197817
אלון עמית • בתשובה לצמא דעת יום א', 15/2/2004, 17:24
בדיוק.

זו לפחות דרך אחת לראות את הפירמידה המשולשית (טטראדר) מוצמדת לריבועית באופן כזה שבו ברור ששתים מדפנותיה מתמזגות עם אלו של אחותה, בלי אף חישוב.

פתרון בית-ספר, רק לסיכום:

התשובה הצפויה: שבע דפנות. חמש מהאחת, ארבע מהאחרת, פחות שתיים שהודבקו ונמצאות בפנים הגוף.

התשובה של התלמיד: לגוף המתקבל יש רק חמש דפנות. שני זוגות של דפנות משתי הפירמידות מתמזגות לכדי דופן אחת.

דרך לראות זאת: לוקחים שתי פירמידות "מצריות" (בסיס ריבועי) עומדות איתן בצמוד זו לזו, ומביטים בחלל הנוצר ביניהן, כלומר בגוף שקדקודיו הם שני הקדקודים הצמודים ושתי הפסגות. בגוף זה המרחק בין כל זוג קדקודים הוא 1, לכן הוא בדיוק פירמידה משולשית משוכללת (טטראדר) כמו בשאלה. יש לפירמידה זו דופן אחד צמודה לפירמידה א' (זו דופן פנימית), דופן אחת צמודה לפירמידה ב' (זו דופן חיצונית חדשה, כי תיכף נעלים את פירמידה ב'), ועוד שתי דפנות שבדיוק "ממשיכות" דפנות של פירמידות א' ו-ב', ולכן הן לא חדשות. זהו.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות