בתשובה לגלעד ברזילי, 21/03/03 19:32
 |
|
 |
||
|
||||
 |
נדמה לי שאתה מגדיר "מתמטיקה" כ"לא מדברים על העולם", ואז מתפעל מכך שמתמטיקה אינה תורמת היגדים על העולם. מדוע ההיגדים שלי מקודם אינם מתמטיים? את הקריטריון שלך על רשות הרבים אני לא מבין. את הטענה השניה שלי (לא תצליח לכתוב את 90007 כסכום של שלושה ריבועים) כל אחד יכול לבדוק. היא יותר קלה לבדיקה מאשר כמעט כל ניסוי בפיזיקה או כימיה. מדוע זו טענה על "רשות היחיד" שלך? הטענה השלישית היא טענה מתמטית שאומרת משהו על המציאות (בניגוד להערה שלך). אני יכול לתת עוד עשרות דוגמאות כאלה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זה מה שניסיתי לומר קודם: מתמטיקה כן מדברת על כל מיני "עולמות": קבוצות בעלות תכונות מסויימות (תורות). אתה מן הסתם מכיר את כל הסיפור טוב בהרבה ממני. ברגע שאתה מציג מערכות אקסיומות וחוקר אותה, אתה מתמטיקאי. אבל ברגע שאתה מצביע על משהו שנמצא שם בחוץ (=מדיד, אמפירי) ואומר "העולם המתמטי A מתאר את זה" אתה כבר לא מתמטיקאי, אתה מדען. וברגע שאתה מצביע עליו ואומר "דברי-ימיה של כל חברה עד כה הם דברי-הימים של מלחמות מעמדות" אתה מיותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא אשר אמרתי: אתה מגדיר מתמטיקה כתחום שאסור לו לומר דברים על העולם, ואז קובע שזה לא מדע. ברשותך, אני דוחה את ההגדרה הזו. היא רחוקה מלתאר את הדברים שמתמטיקאים עשו לאורך ההסטוריה, וודאי שהיא רחוקה מלתאר את הדברים שמתמטיקאים עושים היום. את המשפט האחרון (והמלה הראשונה) לא הבנתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לטמבל יש איזו בעיה עם המרקסיזם, כנראה. אותה בעיה שיש לי עם הבלבניזם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אשמח אם תגיב ל א. ב תגובה 136708 . אני חושב ששם הניסוח הכי חד של ההבדל ביננו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רשותי נתונה לך רק בתנאי שתציע הגדרה משלך. אחרת שכח מזה, או שתקבל אותה או שאין היום טלוויזיה. (אזהרה: בהמשך ההודעה ועד סופה אני כותב על דברים בהם יש לי רק מושג קלוש) למיטב הבנתי מתמטיקאי מגדיר לעצמו עולם (קבוצה המקיימת תכונות מסויימות) מנסח את התכונות האלה (אקסיומות) וקורא להן "תורה". מאותו רגע והלאה הוא חוקר את התורה הזו. הוא כמובן רשאי להאמין שהעולם שלו מתאר חלק מן העולם האמיתי (כלומר שהאקסיומות שלו חלות על דברים שקיימים שם בחוץ), וסביר להניח שבמקרים רבים האמונה הזו היא מלכתחילה המוטיבציה לחקירה המתמטית שלו - אבל הקישור הזה הוא לא חלק מן המתמטיקה. בעולם מושלם, למשל, הפיזיקאי אמור לנסח מערכת אקסיומות על חלק מן העולם (הפיזי) על סמך תצפיות, והמתמטיקאי אמור להמשיך משם. בעולם האמיתי כנראה שכל הפיזיקאים הם גם מתמטיקאים למעשה, והרבה מתמטיקאים הם גם פיזיקאיים בפועל. אבל אם נרצה (בלי שום סיבה, בשביל הכיף) להגדיר את המילה "מתמטיקה" כך שתקבל משמעות חד חד ערכית...מה אתה מציע? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרה: מאמר מתמטי הוא מאמר שמתקבל לפרסום בעיתונים המקצועיים שמכוסים על-ידי ה- Mathematical Reviews. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר כל מסמך שחובר לפני <תאריך-הוצאתו-של-העיתון-המתמטי-המקצועי-הראשון> אינו יכול להיות מסמך מתמטי, בלי שום קשר לתוכנו? ועבודתו של פרמה, שלמיטב התנגד לפרסומה, גם אינה כזו? יש לך איזושהי הגדרה על פיה review הוא mathematical? (אמנם וויכוחים על הגדרות נוטים להיות מטופשים, אבל עמדך, כמתמטיקאי, על תחום עיסוקך - מסקרנת אותי למדי. אם בכל זאת נמאס לך - רק תגיד). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרות הן דבר שימושי להפליא. בתנאי שיש להן משמעות, כמובן. ההגדרה המקובלת למתמטיקה היא זו שהציע G.H.Hardy: מתמטיקה היא מה שמתמטיקאים עושים. זו לא (רק) התחכמות; אין שום אפשרות לבחון האם מקרי-קצה הם "מתמטיקה" או לא, וגם אין בכך צורך. בכאילו-הגדרה, במקום שמושגי היסוד ממילא אינם מוגדרים, אין לדעתי תועלת. אם אתה יכול להציע הגדרה שהמונחים שהיא משתמשת בהם מוגדרים היטב, אשמח לשמוע (אבל אני חושד שאין כזו). "יסודות" של אוקלידס הוא ללא ספק מסמך מתמטי, וכן כתבים רבים של לייבניץ וניוטון. דווקא לגבי העבודה של פרמה, אני בכלל לא בטוח. סיימתי לא מזמן לקרוא את ה"היסטוריה של תורת המספרים" (L.E.Dickson); הוא מסכם בשלושה כרכים, כ- 1500 עמודים, את כל העבודה שנעשתה בתורת המספרים עד שנת 1910 (כ- 2-4 שורות לכל מאמר, ספר או מכתב). ידוע שפירוש המושג "אקסיומה" השתנה עם הזמן; גם הסטנדטים של "מהי הוכחה" השתנו באופן משמעותי (נראה שהם התייצבו לקראת סוף המאה ה-19). בנוסף לזה, מעניין לשים לב שהגדרה של "מתמטיקה" (ובפרט, באילו כיוונים כדאי להתאמץ) השתנתה מאד עם הזמן. הדמויות המרכזיות במתמטיקה של המאה ה-17 וה-18 עסקו בעיקר (כך נראה) בשטויות (מהי הספרה האחרונה של מספר משוכלל; מצא פתרון למשוואות x^2-2y^2=1 ו- y^2-2z^2=1). ועם זאת, העבודות היותר עקרוניות שלהם נחשבות היום ליסודות של המתמטיקה המודרנית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. ממתי תפוז, או אלקטרון, זה אובייקט במתמטיקה? גם מטבע לא. הטענה השלישית שלך, בשפה מתמטית תהיה: בהנתן סדרה של 1000000 ניסויי ברנולי עם p=0.5 מעל {Omega={H,T אזי הסיכוי של המאורע H לקרות בין 496000 ל504000 פעמים גדול מ0.999999. זו טענה במתמטיקה. להגיד "מדידת ספין של אלקטרון זה בעצם ניסוי ברנולי" - פיזיקה. זה כל העניין במדע - לתת לאובייקט המתמטי את הפרוש של משהו בעולם. מה, באמת לא שמת לב? ב. הממ. אני חושב שאני נאלץ לחזור בי מהטענה ש2' אינה ברת הפרכה, ולחזור לטענה שהיא לא הגד מתמטי. הרי 2' בניסוח מלא תהיה משהו כמו "בהנתן שאדם מקבל את חוקי הלוגיקה, ואת הגדרות A B C, ואת הנחות היסוד א' ב' ג', אז הוא לא יוכל להוכיח לי את פסוק 2 בעשרים השנים בקרובות". כאן עשיתי הכל כדי להפוך את הטענה שלך לברת הפרכה, ולבעלת ערך אמת יחיד (הרי בניסוח הקודם יכולתי לטעון שאני עובד בבסיס בו 2 לא מתקיים, או שאני לא מקבל את ההגדרה של ריבוע, או שאני בכלל לא מסכים לחוקי הלוגיקה. בלי החסם הזמני יכולתי לטעון שאני עוד עובד על זה, ורק מחפש שוליים מספיק גדולים, והטענה שלך הייתה נשארת בלתי מוכרעת לעד). אבל ברגע שחייבים להכניס פנימה אותי, אותך, ואת גורם הזמן כדי שהטענה תהיה ברת הפרכה, גם הופכים אותה להגד על החשיבה האנושית, ולא להגד מתמטי. ההגד המתמטי יהיה הגד 2. שלך, או בניסוח מלא יותר: "בהנתן חוקי הלוגיקה, הגדרות A B C, הנחות א' ב' ג', אזי 2 אמת". אני חייב לציין שהדיון בא' חשוב בעיני יותר, ואשמח אם לא תזניח אותו, כי הוא המחלוקת בינינו הרבה יותר חדה בו, בניגוד לב', בה זו אותה מחלוקת, יותר במעומעם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי א': נניח ששני אנשים עובדים על אותה בעיה במתמטיקה ומנסים להוכיח אותו משפט מתמטי באותן שיטות, כאשר המוטיבציה של אחד מהם היא שהבעיה לדעתו היא מודל של משהו בעולם, והמוטיבציה של השני היא שהבעיה פשוט מעניינת אותו. האם הראשון מדען והשני לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שניהם לא עושים עבודה מדעית. המוטיבציה לא משנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זאת נראית לי עמדה משונה. למשל, אם מישהו מוכיח ש P=NP אז הוא לא עשה עבודה מדעית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע מספיק מדעי המחשב כדי לקבוע אם P=NP זו טענה במתמטיקה או לא. אם לא (זה קשור קשר הדוק למכונת טיורינג, נדמה לי, לא?), אז כן, ואם כן, אז לא. שוב, אין קשר למוטיבציה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקיצור, מתמטיקה היא לא מדע מעצם היותה מתמטיקה. פשוט תגיד שזאת הנחת יסוד וככה לא יהיה לך על מה להתווכח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתערב, תתערב, אבל למה לא בשמך? אני לא נושך כשלא מבקשים. זו הנחת יסוד בתת דיון הזה, בו בועז אומר "אוקיי, אז נגיד שזה ככה, אבל מה עם המוטיבציה?", ואני עונה שהיא לא משנה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא זאת הנחת היסוד. הנחת היסוד היא שדבר מה שאינו עוסק באמפיריקה איננו מדע ולכן המתמטיקה (שאין לה שום קשר לאמפיריות) איננה מדע. הבעיה היום שהמילה מדע מזוהה עם *טוב* בעוד לא מדעי מזוהה עם *רע*. יש איזו הילה של יוקרה סביב המילה ולכן יש עניין לבעלי עניין להכניס את עניינם תחת המטריה המדעית וזה ממש לא לעניין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעצם מהנחת היסוד הזאת ברור שמתמטיקה אינה מדע. אין שום מקום לוויכוח על השלכות ההנחה הזאת אלא מדוע דווקא הנחה זו היא המקובלת (או הלא מקובלת, על עוזי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את ההגדרה של מדע בתור מה שעוסק באמפיריקה אני מוכן לקבל. הטענה המקורית היתה שמתמטיקה ''אינה אומרת שום דבר על העולם'' וזה נראה לי תלוש מהמציאות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, טענה מתמטית, הנוגעת למודל מכונת הטורינג, אם כי לפי צ'רץ' והרחבותיו, היא נוגעת לכל מודל חישובי ''טוב'' שאנחנו מכירים. אגב, אמרת ''אם לא, אז כן, אם כן, אז לא.'' סתירה. מש''ל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו טענה במתמטיקה שלשאלה האם היא נכונה או לא נכונה יש השפעה גדולה מאוד על העולם. דרך אחרת להסתכל על אותה טענה היא שזו טענה על העולם שהדרך היחידה שאנחנו יודעים לברר אם היא נכונה או לא היא ע''י חקירתה בשיטות מתמטיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
> הטענה השלישית שלך, בשפה מתמטית תהיה: > בהנתן סדרה של 1000000 ניסויי ברנולי עם p=0.5 מעל > {Omega={H,T אזי הסיכוי של המאורע H לקרות בין 496000 > ל504000 פעמים גדול מ0.999999. אני מתנגד לרמיזה שמתמטיקאי יעדיף לתאר 1000000 הטלות מטבע בצורה כל כך מסורבלת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
> אני מתנגד לרמיזה שמתמטיקאי יעדיף לתאר 1000000 הטלות מטבע בצורה כל כך מסורבלת. ומכאן אני מסיק שלא יצא לך ללמוד הסתברות בטכניון. זו בהחלט הצורה בה לימדו אותי. "ולהמחשה" אמר המרצה, "נסו לדמיין 1000000 הטלות מטבע". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יכול להבין את החלוקה שלך לאובייקטים "מתמטיים" ו"לא מתמטיים", אלא שהיא מפספסת את העיקר. בפועל, שאלות על אובייקטים "לא מתמטיים" הם לעתים קרובות מאד שאלות מתמטיות, שמטפלים בהן בכלים מתמטיים ושהעיסוק בהן הוא מתמטיקה. כמובן שאם תתעקש לגזום את המתמטיקה מן השורש, היא לא תשאר מחוברת לעולם. אבל הגיזום הזה הוא מלאכותי (פירוש: אין לי שום כוונה להתווכח על ההגדרה של "מהי מתמטיקה"). לדוגמא, כתבת שניסויים של זריקת מטבעות הם "לא מתמטיים" כי המתמטיקאי צריך להחליף את המטבע בניסוי ברנולי. יש עוד שאלות על מטבעות: מהו המספר הקטן ביותר של מטבעות זהים שאפשר להניח על שולחן, כך שכל מטבע נוגע בדיוק בשני מטבעות אחרים? (ושלושה? וארבעה?) כמובן שאפשר לשאול את אותן שאלות על שיכון של עותקים איזומורפיים של עיגול היחידה במישור האוקלידי; עדיין מדובר באותן שאלות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא מדובר על אותן שאלות. מדובר על קונוונציה נוחה בלבד. הרי אם היית מדבר באמת על מטבעות, כדי לפתור את הבעייה היית חייב לשאול "מכמה ואיזה חומר המטבעות, ומה הטמפרטורה?" כדי לקבוע את גודלן, להתחשב בהבדלי הייצור שלהן, וכהנה וכהנה שטויות שלא רלוונטיות לשאלה, שהיא באמת על עותקים זהים של עיגול היחידה, רק שיותר קצר וברור לקרוא לזה מטבע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלו כן אותן שאלות. הטמפרטורה אינה רלוונטית, בדיוק כמו שפיזיקאי שעושה ניסוי אינו צריך לברר איך קוראים לייצרן המדחומים שלו. ולנושא יותר מעניין - מהו המספר המינימלי של מטבעות בשאלה שלי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה רוצה מינימום מטבעות כך שכל מטבע נוגע בשניים אחרים אז פשוט קח שלושה מטבעות. אם אתה רוצה מינימום מטבעות כך שכל מטבע נוגע ב d אחרים אז נראה שערכי ה d הרלוונטיים הם 1,2,3,4,5. מתחת לקו - טיעונים שעלולים להיות לא מובנים לחסרי רקע מתמטי ---------------- זאת מאחר והגרף השכנות של המטבעות הוא מישורי ולכן חייב להיות בו צומת מדרגה <= 5 (אם אני זוכר נכון) עכשיו מתעוררות כמה שאלות טבעיות שרצוי יהיה לחשוב עליהם (אם יהיה זמן): 0) מה הפתרון לשאלה שלך עבור d=3,4,5? 1) מה מספר הצמתים המינימלי בגרף מישורי d-רגולרי? 2) נראה שלא כל גרף מישורי הוא גם "גרף מטבעות" אבל האם זה נכון למקרה של גרפים רגולריים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(עכשיו כל ההודעה מתחת לקו, ואפשר להמשיך). התשובה למקרה d=2 נכונה (כמובן). בלי להדרש למישוריות של הגרף, אי-אפשר למקם יותר מששה מטבעות סביב מטבע נתון, ולכן כל הדרגות בגרף שלנו הן לכל היותר 6. 0) תנסו לבד (אפשר להגיע למסקנות יפות בעזרת ערימת מטבעות קטנה). 1) שאלה טובה. 2) לא (דוגמא נגדית: ארבעה מטבעות לא יכולים לגעת זה בזה, בעוד שהגרף שהסיטואציה הזו מתארת הוא מישורי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי לבדוק אותה אמפירית עליך לבצע אינסוף ניסויים, מכיוון שהטענה מנוסחת בשלילה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא נכון. הטענה היא ש- 90007 אינו סכום של שלושה ריבועים (שלמים). יש רק מספר סופי של צירופים שעשויים לקלוע לסכום הנכון (אם a*a+b*b+c*c=90007 אז a,b,c כולם קטנים מ- 301), ולכן אפשר לבדוק את הטענה בזמן סופי. למעשה, *זו מתמטיקה* - אפשר להוכיח שהצירוף הזה בלתי אפשרי ולחסוך הרבה מאד זמן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל עוד לא הוכחת כלום דדוקטיבית, ואתה עובד אמפירית *בלבד*, אינך יכול להניח את החסם; אתה צריך לבדוק את השלמים עד אינסוף. (מצד שני, איך בכלל בודקים בלי מסקנות דדוקטיביות? איך עושים את החשבון לכל שלושה מספרים, בלי להשתמש בטכניקות מוכחות דדוקטיבית כמו כפל ארוך? האם אוספים מספיק תפוזים, ומקווים לא להתבלבל בספירה?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני דווקא בעד הוכחות דדוקטיביות. הנקודה היא שבמקרה הזה, הטענה הדדוקטיבית (בעברית: משפט) היא טענה מדעית (שמנבאת מה יקרה למי שינסה לאסוף 90007 תפוזים בשלושה מערכים ריבועיים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי הקריטירון הפופרי הקלאסי, כדי שהיא תהיה טענה מדעית לא מספיק שהיא תנבא משהו, צריך שתהיה קיימת תוצאה אמפירית אפשרית שתפריך אותה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוצאה אמפירית אפשרית: סידור של 90007 תפוזים בשלושה מערכים ריבועיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל היא לא *אפשרית*. הוכחה לא-פורמלית: דוקטור אחד למתמטיקה אמר לי שיש לו הוכחה מתמטית (כן פורמלית) שזה לא אפשרי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זהו בדיוק, שתיאורטית, היא כן אפשרית. היא לא אפשרית *אמפירית* מכיוון שהטענה לא שגויה. דוגמא מתחום אחר: אפשרות לתוצאה אמפירית שתפריך את קיומו של כוח המשיכה - אם נחזיק תפוח מעל האדמה, ואז נעזוב אותו - הוא יעוף למעלה. זה לא *אפשרי* כי אכן יש כוח משיכה. אני בטוח שאם תחפש (לא הרבה) מישהו יתן לך הוכחה פורמלית שיש כוח כזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשרית תאורטית? יש לי הוכחה תאורטית שזה לא אפשרי. אם אתה טוען שכן, אני אבקש ממך לתאר לי את הסיטואציה שבה זה קורה, יותר בפירוט מסתם לומר "הסיטואציה היא שהתפוזים מסודרים בשלושה ריבועים". לשם השוואה, את תפוח האדמה שעף למעלה אני יכול (עקרונית) לתאר בפרטי פרטים, אטום אטום אם ידרש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שהמשפט לגבי התפוזים, או משפט דומה, הוא שאלה פתוחה שטובי המוחות נאבקים להוכיח אותה במשך 300 שנה ולא יודעים אם היא נכונה, לא נכונה, או שאולי אין לה הוכחה בכלל. ונניח שלשאלה הזו יש חשיבות פרקטית מכרעת בהובלת מזון ומיגור הרעב באפריקה. האם במקרה הזה השאלה הזו היא מדעית? אם היא מדעית, האם היא תישאר מדעית לאחר שימצאו הוכחה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני לא משנה את הבנת השאלה, תשובתי היא כנראה שהשאלה לא מדעית - פשוט, אין שום דבר בתיאור המצב שלך שמחליש את טענתי המקורית שהשאלה לא מדעית. איני אומר שלשאלות מתמטיות לא תיתכנה השלכות פרקטיות. אבל האמת היא שאני לא מצליח באמת לדמיין את הסיפור שלך. האם אתה יכול לתאר את הסיטואציה יותר בפירוט? אם חלילה לא תצליח, אני מזמין אותך להרהר למה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"חמש הבעיות של ימי קדם" החזיקו מעמד עד 1830: האם אפשר (בסרגל ומחוגה) להכפיל את (נפח) הקוביה, לשלש את הזווית, לרבע את המעגל ולבנות משובע משוכלל1. את כולן אפשר בנקל לתרגם לתפוזית. 1 את הבעיה החמישית, "הוכח את אקסיומת המקבילים", נשאיר בצד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין, אבל מה הקשר לענייננו? לחילופין, האם הבנת את האתגר של בועז יותר ממני? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון שאין בין קושי הבעיה והמדעיות שלה ולא כלום; כתבת שקשה לדמיין בעיה תפוזית ש"טובי המוחות נאבקים להוכיח אותה במשך 300 שנה ולא יודעים אם היא נכונה, לא נכונה, או שאין לה הוכחה בכלל". הבאתי ארבע דוגמאות לבעיות כאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה שלי לא היתה לדמיין בעיה תפוזית קשה; הבעיה שלי היתה לדמיין בעיה תפוזית מתמטית שפתרונה יהיה קריטי להאכלת הרעבים באפריקה. אבל בינתיים אני מתקדם עם בועז. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יכול בהחלט לדמיין את המצב הזה. בהחלט ייתכן שיש השלכות פרקטיות לבעיות שעוזי הציג1. אם אתה רוצה בעיה יותר קונקרטית, אז הזכרתי בתגובה 137080 שאלה מתמטית פתוחה, וכנראה קשה מאוד, שלפתרונה יש השלכות פרקטיות מרחיקות לכת. ------ 1 למשל, הפתרון של הבעיה החמישית (הוכח את אקסיומת המקבילים) הוא שימושי מאוד בפיסיקה המודרנית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן: במערכת מתמטית מסוימת, או במערכת פיזיקלית מסוימת (רב-ממדית, נגיד), זה אפשרי. זה שזה בלתי אפשרי במערכת המתמטית שלנו לא אומר שאי אפשר לנסח אקסיומות אחרות (שאינן תואמות את העולם שלנו), שם זה כן אפשרי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסכים - את המשפט על 90007 התפוזים1 אי-אפשר להפריך בניסוי. אבל נדמה לי שכאן אנחנו רותמים את העגלה על הראש של הסוסים (או משהו כזה). הכלל של קרל פופר נועד להפריד בין הסברי-מציאות שאפשר לבחון אותם ("מדע"), לבין הסברים שאי-אפשר לבחון באופן אמפירי (ולכן הם לא מעניינים). משפטים שאפשר *להוכיח* נמצאים במדרגה גבוהה עוד יותר: הם מסבירים את המציאות באופן משכנע כל-כך, עד שאין שום צורך (ביכולת) לבחון אותם בניסוי. 1 זו הזדמנות להביע (מיני-)אכזבה מכך שבינתיים אף אחד לא התנדב להוכיח את הטענה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סתם הערה. עד כמה שזכור לי פופר לא אמר שהסברים לא מדעיים הם גם לא מענינים. הוא אפילו כתב שלאסטרולוגיה יש לפעמים תובנות פסיכולוגיות מענינות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שים לב ש: א) כאשר הוצגה השאלה, לא היה ברור כלל שזה בלתי אפשרי תיאורטית לסדר כך את התפוזים. ב) ייתכן לחשוב על שאלה דומה שכאשר היא מוצגת, זה אפילו לא ברור שהיא ניתנת למידול מתמטי. לכן, נראה לי שע"פ הפרשנות שלך לקריטריון הנ"ל, ייתכן ויהיו שאלות שמצב ה"מדעיות" שלהן לא יהיה ברור בזמן שהן מוצגות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מגדיר מדעי כמה שלא ניתן למידול מתמטי. יהיה לי יותר קל להגדיר "מדעי" מאשר להגדיר "מתמטי". ההגדרה למדעיות (או ההבחנה בינה לבין מתמטיות) לא כוללת שום מרכיב של קושי השאלה, וגם לא בהשלכות הפרקטיות. ההבחנה היא בסוג השיקולים שמופעלים כדי לפתור אותה. אחד ההבדלים - אולי הכי חשוב, אולי היחיד (או המקור לכל השאר) - הוא האם השיקולים קשורים לאמפיריקה. לתגליות מתמטיות יש השלכות קריטיות על החקירה האמפירית (פיזיקה), אבל סוג השיקולים שמופעלים בתגליות הללו אינו פיזיקלי, ובאופן כללי אינו מדעי1. אני ממתין לדוגמה נגדית. 1 ואם לא הבהרתי עד עכשיו את המובן מאליו - "אינו מדעי" כאן הוא לא קללה. אני מכבד ומסמפט את שני התחומים במידה שווה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קשה לי להאמין שהצלחתי להיסחף עד כדי כך לויכוח על הגדרות... אבל אני לא מצליח להתאפק אז בכל זאת: בעיני המדעיות1 היא תכונה של ה*שאלה* ששואלים. לכן, קריטריון למדעיות צריך לתת לי דרך להחליט האם שאלה מסוימת היא מדעית או לא. וזה, ללא קשר לצורה שבה אני "מתקיף" את השאלה ומנסה לפתור אותה, שיכולה להיות ע"י ניסויים, ע"י הוכחה מתמטית ועוד דברים שונים ומשונים. ---- עכשיו אולי אפרט יותר לגבי השאלה של P מול NP, שלעניות דעתי היא שאלה מתמטית *וגם* מדעית, ואולי אחת השאלות הפתוחות המעניינות ביותר שיש גם במדע וגם במתמטיקה: השאלה הזו עוסקת בבעיות חישוביות. דוגמא לבעיה חישובית: נניח שאתה מנהל בבית-סוהר ויש לך 100 אסירים ואתה צריך לחלק אותם ל3 מחלקות. ונניח שרשומה לך ההיסטוריה של כל זוגות האסירים שהיה בינהם בעבר סכסוך ואסור לשים אותם באותה מחלקה. הבעיה החישובית שעומדת בפניך היא זו: בהנחה שקיימת חלוקה של האסירים ל3 מחלקות כך שלא יהיה באף מחלקה זוג מסוכסך, איך אפשר למצוא חלוקה כזו? יש לבעיה הזו פתרון טריוויאלי שהוא לעבור על כל החלוקות האפשריות של 100 אסירים ל 3 מחלקות עד שנמצא את החלוקה המתאימה. הבעיה היא שמספר החלוקות האפשריות הוא כל כך עצום, עד שגם למחשב-על ייקח משהו כמו 1000 שנים לעבור על כולן. לכן, הפתרון הטריוויאלי הזה ממש לא מעניין. ניסוח שקול לשאלה "האם P=NP?" הוא "האם אפשר לפתור את 'בעית מנהל בית-הסוהר' ביעילות סבירה?".2 הערות לגבי השאלה הזו: 1) התברר שזוהי שאלה מתמטית שאפשר לנסח אותה במדויק בתור שאלה על אוביקטים מתמטיים לחלוטין. 2) התברר שלפתרון לשאלה הזו יש השלכות פרקטיות עצומות, מעבר להקלה על חייהם של מנהלי בתי-סוהר: א) אם אכן יש לבעיה החישובית הנ"ל פתרון יעיל, אז אפשר יהיה לפתור ביעילות מגוון עצום של בעיות חישוביות אחרות: בפרט תהיה לנו אינטילגנציה מלאכותית ברמות שמתוארות במדע הבדיוני. מחשבים יוכלו להחליף מתמטיקאים ולהוכיח משפטים במקומם. בכלל, כנראה שמחשבים יוכלו להחליף בני-אדם ולהיות טובים יותר מהם בכל תחום שהוא כולל מדע, אמנות, ניהול וכו'. ב) לאור המשמעויות המדהימות של זה, לא פלא שרוב החוקרים מאמינים שאין לבעיה החישובית הזו פתרון יעיל. עדיין, אם יצליחו להוכיח שאין פתרון יעיל3, אז גם במקרה זה ייפתחו בפנינו אפשרויות פרקטיות חדשות. בפרט אפשר יהיה לבנות שיטת הצפנה שאף אחד לא יכול לשבור, ועוד כל מיני דברים מופלאים בתחום של הצפנה כגון בחירות אלקטרוניות ששומרות על סודיות באופן מוכח ועוד. בנוסף יהיה אפשר לערוך ניסויים מדעיים שדורשים הגרלות אקראיות מבלי להשתמש כלל במקור אקראיות, או להשתמש במעט מאוד אקראיות. ----- 1 ברור לי ש"מדעי" פה הוא לא ציון לשבח. 2 ההגדרה הפורמלית של "יעילות סבירה" היא לפתור את הבעיה עבור n אסירים בזמן שהוא n בחזקת איזשהו קבוע שלא תלוי ב n. 3 או חיזוקים מסוימים של המשפט הזה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההשלכות הפרקטיות שאתה מתאר נשמעות לי לא קשורות לשאלה. תוכל להסביר אולי איך P=NP נותן אינטיליגנציה מלאכותית? אני, למשל, אשמח לראות אלגוריתם AI שעובד אפילו בזמן EXP, יש לך כזה? איך "P שונה מ- NP" נותן אלגוריתם הצפנה או דה-רנדומיזציה? כמובן אלא אם לדעתך "קיום פונקציה אקספוננציאלית שקשה למעגל אקספוננציאלי" הוא "חיזוק מסוים" של "P שונה מ- NP" (וכרגע לא נראה שזה המצב אלא שמדובר בטענות לא תלויות). למעשה מפתיע עד כמה מועטה החשיבות של P=NP בפתרון בעיות "אמיתיות" יחסית למשקל שהשאלה הזו מקבלת במדעי המחשב. אני חושב שאנשים פשוט מעוצבנים מזה שמשנות השישים עובדים על אותה שטות שמסרבת להפתר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרבה בעיות מדעיות אפשר לנסח בצורה הבאה: נתונה לך סדרה של נתונים, מצא את הכלל הכי פשוט1 שמסביר את הסדרה. דוגמאות לבעיות מהצורה הנ"ל: נתונה לך סדרה של תצפיות על תנועות כוכבים, מצא את הכלל הכי פשוט שמסביר אותן. נתונה לך סדרה של מאמרים שהתקבלו ל mathematical review, מצא את המערכת הכי פשוטה שמייצרת את הסדרה הנ"ל, והשתמש במערכת זו ע"מ לנבא את המאמר הבא בסדרה. נתונה לך סדרה של סרטים שזכו באוסקר, מצא את הנוסחא שעומדת מאחורי כל הסרטים הנ"ל, והשתמש בנוסחא ע"מ לייצר סרט חדש שיזכה באוסקר. כנ"ל אפשר לחשוב על סדרת הציורים של רמברנדט, או סדרת המאמרים של פיינמן וכו' אם P=NP אז אפשר יהיה לפתור ביעילות כל בעיה מהסגנון הזה, וזאת הסיבה שאני אומר שמחשבים יוכלו כנראה להחליף אנשים כמעט בכל תחום. ----- 1 ההגדרה של פשוט יכולה להשתנות לפי ההקשר. למשל: הכלל שיש לו את התיאור הכי קצר, מערכת מתמטית שמשתמשת במינימום של אקסיומות, רשת נוירונים הקטנה ביותר האפשרית וכו' |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(זה נראה איום ונורא) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי ההשלכות של P שונה מ NP : אם P שונה מ NP אז יש בעיה קשה ב NP ב worst-case. חיזוק טבעי הוא שיש one-way-function שהיא בעיה ב NP שהיא קשה ב average case , וגם שיש דרך לייצר עבוד הבעיה הזו מקרים קשים ביחד עם הפתרון להם. במקרה כזה תהיה לנו גם הצפנה וגם דה-רנדומיזציה. חיזוק טבעי אחר הוא שיש בעיה ב NP (ןלכן בפרט ב EXP) שקשה ב worst-case למעגלים לא יוניפורמיים (ולא רק למכונות יוניפורמיות). זה נותן דה-רנדומיזציה. בנוסף יש עבודות שמשיגות דה-רנדומיזציה חלקית תחת הנחות קושי יוניפורמיות (על מכונות הסתברותיות יוניפורמיות). ברור שהאיכות של ההצפנה והדה-רנדומיזציה תלויים ברמת הקושי המדוייקת של NP, כאשר את מקסימום האפליקציות נקבל כאשר הקושי הוא אקספוננציאלי. עם זאת, חשוב לזכור שאם הקושי יתברר להיות סופר-פולינומי אבל קטן, אז בהחלט ייתכן ועדיין אפשר יהיה לקבל חלק מהאפליקציות שקיימות כאשר P=NP (למרות שפחות ביעילות). מלבד זאת, אם "יש אלוהים"1 אז הוא דאג שהקושי של NP יהיה או פולינומי או אקספוננציאלי ולא איזה פונקציה מכוערת באמצע... ----- 1 אני מאמין ב"אלוהי המתמטיקאים" שדואג שהמתמטיקה לא תצא אף פעם מכוערת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקיצור, אם יהיו לנו הרבה תוצאות במדעי-המחשב שעכשיו אין לנו, נוכל לעשות הרבה דברים. יש לי שתי הערות בקשר למסקנה הזו: 1. היא לא ממש קשורה לשאלה P=NP. כרגע המצב ההדדי של 3 השאלות P=NP, קיימת One-way function, קיים Pseudo-random generator יכול להיות כלשהו מבלי לסתור אף תוצאה ידועה. במובן זה (כלומר בהתאם לידע שיש בידינו כעת) ייתכן ושלוש השאלות בלתי תלויות והכרעת P=NP לא תעזור כלל בשתי השאלות האחרות. 2. עליך לזכור כי הכרעת P=NP לא חייבת להיות קונסטרוקטיבית. כלומר ייתכן שנדע להוכיח כי P=NP אבל לא נקבל אלגוריתם יעיל לבעיה NP קשה כתוצאה ישירה מההוכחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תראה, אם תצא בת-קול מהשמיים ותגלה לנו ש P שונה מ NP אז זה באמת לא יעזור לנו מיידית ליותר מדי דברים (למרות שיש דברים שנוכל להסיק מזה, כגון קושי של קירוב). אבל, בהחלט יש תקווה שכשנראה את ההוכחה ש P שונה מ NP, היא תיתן לנו קצת יותר מאשר עצם המשפט. לגבי מה שאמרת: 1. השאלות לא ממש בלתי-תלויות. מה שידוע הוא: א. אם יש one-way-function אז P שונה מ NP וכן קיים pseudorandom generator ב. אם יש בעיה ב NP שקשה למעגלים לא יוניפורמיים אז קיים pseudorandom generator (מסוג שונה מא' אבל עדיין מתאים לדה-רנדומיזציה). באופן קצת יותר מוגבל זה נכון גם אם יש בעיה ב NP שקשה למכונות יוניפורמיות הסתברותיות. ג. אם NP=P אז גם קיים pseudorandom generator (שים לב שבמקרה זה BPP=P). 2. אם אנחנו יודעים ש P=NP, אפילו בדרך לא קונסטרקטיווית (למשל ע"י בת-קול מהשמיים..), אז אפשר לתת אלגוריתם מפורש שמוצא witness בזמן פולינומי ע"י ליכסון על כל האלגוריתמים האפשריים.1 אני מניח שאם אכן תהיה תוצאה כזו, אז ישקיעו הרבה מאוד בלנסות ולבנות מכונה שתריץ את האלגוריתם הזה בצורה היעילה ביותר. אל תשכח שכבר היום אנשים משקיעים הרבה מאמץ בלבנות מכונות שמריצות אלגוריתמים סאב-אקספוננציאלים, רק בשביל לפתור את הבעיה של פירוק מספר לגורמים. דרך אגב, אני מניח שיהיה מאמץ דומה אם נגלה ש NP מוכל ב P/poly. ----------- 1 צריך יהיה לתת מנגנון timeout לאלגוריתם הזה ע"מ שלא ירוץ בזמן אינסופי. אפשר לעצור אותו אחרי כל מספר סופר פולינומי של צעדים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כבר נהיה קצת מדי טכני בשביל המדיום הזה. אני מתחיל להרגיש כמו עתודאי (סליחה כליל, גולגר). בכל אופן תודה על התשובה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יכול להיות שהמדעיות היא תכונה של השאלה. מהי בדיוק השאלה שאותה אפשר לפתור גם מדעית וגם מתמטית, על פי טענתך (אם זו טענתך)? האם השאלה היא "מהי חלוקה אפשרית של האסירים בכלא שלי?" על פניה, זו נשמעת לי שאלה מתמטית טהורה (לאו דווקא מעניינת, בהיותה מקרה פרטי): האם אתה יכול להציע דרך חקירה מדעית (=תלויה אמפירית)? אני לא משוכנע שאי אפשר למצוא בעיות או דרכי חקירה שיהיה קשה להכריע אם הן מתמטיות או פיזיקליות. האם מזה נובע שאין הבחנה,או שהקריטריון לא ברור? לא נראה לי: מכך שיש אפור לא נובע שאין הבחנה בין שחור ללבן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד משהו: מה זה "תלויה אמפירית"? יש לך רשימה של האסירים שהיו ביניהם סכסוכים. הרשימה הזו היא נתון אמפירי. אבל בתנאי הבעיה שלך, הרשימה הזו *נתונה*. את הבעיה אתה יכול לפתור (אם אתה יכול בכלל) ספון במשרדך, בלי ללכת לבדוק שוב את האסירים (או את העולם החיצון בכלל). לכן החקירה הזו אינה אמפירית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא לא לפתור את בעית מנהל-בית הסוהר אלא השאלה היא "האם קיימת שיטה (= אלגוריתם) יעילה לפתור את 'בעית מנהל בית-הסוהר'?" כאשר שוב, מה שמעניין בשאלה הזו היא ההשלכות שלה על פתרון של המון בעיות אחרות, כפי שהזכרתי למעלה. דרך חקירה מדעית אחת להתקיף את השאלה היא לנסות לחשוב על כל מיני אלגוריתמים לפתור את בעית מנהל בית-הסוהר, למצוא כל מיני נתונים מהחיים ולהריץ את האלגוריתמים הנ"ל על הנתונים ולראות אם הם עובדים. כמובן שגם אם נמצא אלגוריתמים שעובד על כל רשימה שנתנו לו, אז לא תהיה לנו וודאות של 100% שהוא אכן עובד גם על רשימות שלא נתנו לו, אבל זה לא נורא, מאחר ובשיטות לא מתמטיות ממילא לעולם לא נגיע לוודאות של 100%. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שחקירה בשיטת ניסוי וטעיה היא בהכרח אמפירית. למשל, בדיקת השערת גולדבאך על מיליארד הטבעיים הראשונים היא חקירה מתמטית, ולא אמפירית. כלומר, אין לי התנגדות שיקראו לזה אמפירית, אבל יש הבדל מהותי ומעניין בינה לבין חקירות שממש בודקות את העולם הפיזיקלי. שיטת החקירה שאתה מציע לשאלת קיום האלגוריתם, בהנתן נתונים, נראית לי מתמטית במובן זה, ולא אמפירית. היא תהיה אמפירית אם, כדי לבדוק את נכונות האלגוריתם, ננסה את החלוקה שהאלגו' מציע, עם אסירים ממש, ונבדוק אם הם דוקרים זה את זה. נניח שיתברר שבמאה ניסויים כאלה האסירים כן או לא דקרו זה את זה. האם תסיק מכך שהאלגו' נכון (או שגוי)? נראה לי שלא. אתה לא באמת תחקור באופן הזה. אם אני מבין נכון, שיטת החקירה שלך היא שנכונות השיבוץ נבדקת גם היא על-פי נתונים *ידועים מראש*. כאמור, אפשר לעשות אותה מהכורסה במשרד, בלי להטריח את העולם הפיזיקלי הרלוונטי (אסירים בשר ודם); לא אמפיריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל לקרוא לה טענה מדעית אתה צריך להניח שקבוצת כל התפוזים עם פעולות כמו "לשים\לקחת תפוזים" מתנהגת כמו חוג השלמים עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. מה אם אסחוט את התפוזים ואגרוס את הקליפות? זו הפרכה של הטענה שלך (פשוט מכיוון שתפוזים *לא* מתנהגים כמו מספרים: אפשר לסחוט אותם). אבל בשביל לדעת דברים כאלה צריכים לשחק עם תפוזים -> למדוד אותם -> לא להתעסק במתמטיקה (ולכן הטעות שלך נסלחת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מה שצריך הוא לדעת לספור. אני לא מכפיל תפוזים בתפוזים ולא הופך אותם לרסק בשום שלב בבעיה. שים לב שאת הפעלולים (ומה אם ירסקו לך את כל המבחנות, ויקראו לחומרים בשמות האכדיים שלהם, ויתרגמו כל "כן" ל"לא" ולהיפך) אפשר להחיל על כל ניסוי, וזה לא הופך אותו לפחות מדעי. עוד על מתמטיקה ותפוזים אפשר למצוא כאן: http://www.its.caltech.edu/~juggling/mathematics.htm... . אגב, כדאי שתשקול את היתרונות שבגישה התוקפנית שלך אל מול החסרונות שלה (שאחד מהם נובע מכך שהזהות האמיתית שלך נחשפה זה מכבר). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה רבה על ההפניה לאתר. משעשע (אותי, לפחות) שאת הכתוב שם ניסיתי עם תפוזים, שהיו החפצים העגולים הראשונים שמצאתי, ורק לאחר מכן שמתי לב להקשר של הקישור. בכל מקרה, חיפוש קצר בגוגל העלה שזה תחום מתמטי(?) די מפותח. אז בנתיים הרושם המתקבל הוא שעיקר העיסוק שלכם הוא בתפוזים ועוגות1, כך שכנראה בועזז לא צריך להתאמץ במיוחד על מנת להשיב לירדן2. התוקפנות הקלה שלי (אמורה הייתה להיות) על דרך ההלצה, כי הרי ברור שהטעות היא שלי, אני רק מנסה להבין היכן. אך תמהני, זהותי נחשפה? אמנם הגבתי באייל פעמים ספורות בעבר, אולם מעולם לא תחת כינוי קבוע. ובכל זאת, אשמח לשמוע את מי אני מזכיר לך (ואני מבטיח לא להעלב). ולעניין: א. הטענה שלי לגבי התפוזים לא הייתה ניסיון לא מוצלח של התחכמות, אלא ניסיון לא מוצלח של העלאת טיעון רציני. ב. הטענה היתה: ב.1. העולם המתמטי לא אומר דבר על העולם הפיזי. ב.2. מי שכן אומר משהו על העולם, הוא האיש שאומר "נראה לי שחלק מסויים של העולם הפיזי (תפוזים) מתנהג כמו חלק מסויים של העולם המתמטי (מספרים)". ב.3. האיש הזה אינו מתמטקאי (לפחות לא אחד בתפקיד). ג. הוכחה: תפוזים *לא* מתנהגים כמו מספרים. כלומר האיש שאמר "נראה לי ש... וגו"' טעה (לא מפתיע, הוא לא מתמטקאי). ולמרות זאת העולם המתמטי של המספרים נשאר יציב3 כשהיה. מה שהופך את המתמטיקה ל"פחות מדעית" היא שהטענות המועלות במסגרתה נכונות או שגויות ללא קשר לעולם האמפירי ("האמיתי"). אבל ברור לי שהבנת שזה מה שניסיתי לומר, ולכן לא נותר לי אלא לנסות לברר מה הן המטרות האמיתיות שלך מתחת לכל הרטוריקה. האם אתה מנסה לומר שמכיוון שהמתמטיקה אומרת משהו על כל העולמות, היא בהכרח מתייחסת גם לעולם הממשי? האם ניסית לומר שמכיוון שהמוטיבציה של המחקר המתמטי כל כך מובנית בניסיון של המתמטיקאים, עד שכל הפרדה היא מלאכותית למעשה? ואם "מתמטיקה היא מה שמתמטקיאים עושים" ו"מתמטיקאי הוא מי שאין לו מושג על מה הוא מדבר, ואף פעם אינו בטוח אם מה שהוא אומר נכון" אז "מתמטיקה היא ג'יבריש"? וואו, פתאום הכל מתחבר. לסיכום: נראה לי (תקן אותי אם אני שוב טועה) שהדיונון מיצה את עצמו. המסקנה היא כתמיד: "וויכוח על הגדרות לא שימושיות הוא וויכוח מיותר", אבל להגנתו יאמר שנראה כי קצת מתחת לכל זה מונח נושא שהוא דווקא כן מעניין, אבל אני לא מצליח להגדיר אותו4. 1 תגובה 79488 2 כן, אני יודע. מצטער. 3 כמעט וכתבתי "שלם". חה. 4 משהו כמו "מגבלות הרציונלית וגבולות ההכרה", רק הרבה פחות הירואי. __________________ טמבל, גונב אלמנטים מההודעות של כ-ו-ל-ם על מנת לבלבל את האוייב. ואת עוזי. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |