בתשובה למנסה להבין, 09/11/02 14:47
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106088
עוזי ו. • בתשובה למנסה להבין יום א', 10/11/2002, 3:52
אל תאמין לכל הפיזיקאים - הם רק מנסים לבלבל אותנו.

פונקצית הגל היא פונקצית התפלגות בתחפושת; זו פונקציה של מרחב המצבים (כלומר, לכל מצב מותאם מספר), וסכום ריבועי המספרים האלה הוא 1. כל עוד איננו יודעים איך נפלה הקוביה, היא נמצאת ב"סופרפוזיציה" (1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6). נפלה ומספרים לנו שהתוצאה היא 1 או 2 - היא עוברת לסופרפוזיציה (1/2,1/2,0,0,0,0). וכשאנחנו סוף-סוף רואים מה קרה, היא נדגמת לסופרפוזיציה (0,1,0,0,0,0) המתאימה למצב אחד מכל האפשרויות.

ההבדל היחיד הוא שבסטטיסטיקה עומד לרשותנו כלל ההסתברות השלמה ונגזרותיו, ולכן אפשר לחשב השלכות של אירוע על-ידי סיכום ההשלכות בכל מקרה, משוקלל לפי ההסתברות. כפי שמסביר היטב המאמר, חלקיקים אלמנטריים לא מתנהגים כך - האופרטורים שגוזרים התנהגות מפונקצית הגל אינם ליניאריים (אחרת הם *כן* היו מצייתים לאותם כללים).
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106105
סמילי • בתשובה לעוזי ו. יום א', 10/11/2002, 8:55
אתה מוכן, בבקשה, להסביר את משפט הסיכום.
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106127
עוזי ו. • בתשובה לסמילי יום א', 10/11/2002, 9:36
זה מה שהבנתי מניסויים 5 ו- 7. לפני שאני מסביר - מה גודל מרחב המצבים במאמר, שניים או ארבע?
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106130
סמילי • בתשובה לעוזי ו. יום א', 10/11/2002, 9:43
גודל מרחב המצבים בכל כיוון הוא 2.

הנקודה היא שמתבצעים מספר ניסויים בכיוונים שונים, ובין המצבים בכיוון X לכל המצבים בכיוון Y קיימת יחס אי וודאות (ז"א, ברגע שאחד ידוע בוודאות, השני לא ידוע). שים לב שכל ניסוי משנה את המצב של המערכת.
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106134
עוזי ו. • בתשובה לסמילי יום א', 10/11/2002, 9:52
אם המדידה בכיוון y משנה את הפונקציה של הספין בכיוון x, אז נראה שהמדידה כן ליניארית (אבל לא ברור לי איך המדידה משנה את הפונקציה). מה עושה אופרטור מדידה? האם הוא פונקציה ממרחב פונקציות הגל? (אני רוצה להצליב גרסאות בינך לבין ליאור).

‏1 "איך" במובן של "באיזה אופן", ולא "כיצד".
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106143
סמילי • בתשובה לעוזי ו. יום א', 10/11/2002, 10:20
המדידה בכיוון Y משנה את הפונקציה בכלל. "מדידה", במכניקה קוונטית, משמע שינוי של פונקצית הגל.

אופרטור הוא אופרטור מתמטי שמופעל על וקטור במרחב המצבים, ועקב כך, יכול גם לשנות את הוקטור. אופרטור מדידה הוא אופרטור ליניארי והרמיטי. כשהאופרטור (נגיד O) פועל על אחד מהמצבים העצמיים שלו (נגיד <o|, מקבלים מספר רציונלי ז"א
O|o>=o|o>
ו
<oj|oi>= (0 | i!=j; 1 i==j)
אם נציג וקטור במרחב בעזרת
|a> = sum(a_o |o>)
ו
<a| = sum(<o|a_o*)
(במקרה הרציף, מחליפים את הסכום באינטגרל) אז ערך המדידה הממוצע יהיה
<O> = <a|O|a>/<a|a>=<a|Oa>/<a|a>=(sum(|a_o|^2*o)/sum(|a_z|^2))
אבל, המדידה עצמה, כאשר לא מדובר על ממוצע של אנסבל גדול, אלא על מערכת יחידה, היא, למעשה, הפעלת אופרטור המדידה, ו*קריסה*‏1 לאחד הערכים העצמיים של המערכת.
-------------------------------------------------
‏1 קריסה, אני מניח שיהיה הסבר מוצלח יותר במאמרי ההמשך, אומרת שהחלקים בוקטור המצב שלא מתאימים לערך המדידה "נעלמים", ופונקציית הגל נהפכת רק לחלקים המתאימים (באותו יחס הסתברותי שהם היוו בסך כל וקטור המצב, רק בפני עצמם).
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106147
גלעד ברזילי • בתשובה לסמילי יום א', 10/11/2002, 10:37
תגיד, אתה יכול לדייק את הזכרון שלי מתגובה 106115 בסוף? זו באמת אקסיומה? הנורמה באמת 1?
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106151
סמילי • בתשובה לגלעד ברזילי יום א', 10/11/2002, 10:52
מצטער, אני לא זוכר דבר כזה. אופרטור ההתפתחות בזמן הוא פיתרון משוואת שרדינגר (תגובה 106114) ז"א,
O=e^(-iHt)
ביחידות בהן h באר הוא אחד.
H הוא הרמיטי, ואני לא זוכר מה זה אומר על O.
אנאלוגיה לסופרפוזיציה, בבקשה 106110
ד. פר • בתשובה לעוזי ו. יום א', 10/11/2002, 9:08
לחדד את הרעיון:
במידה רבה, חלק נכבד מה"עוקץ" של האינטרפרטציה ההסתברותית לתורת הקוונטים טמון בכך שההסתברות מיוחסת לריבוע הנורמה של פונקציית הגל ולא לפונקציה עצמה.

לדוגמא: נניח שהאופרטור המשוייך למדידה הוא A (כל המשתנים הניתנים למדידה נקראים observables ומיוצגים לפי הפוסטולט ע"י אופרטורים הרמיטיים הניתנים לליכסון, אך לא בהכרח קומפקטיים (בעיני, העסק תמיד נראה תמוה ודי פישי, אבל התוצאות שזה נותן משכנעות ביותר, וזה הקריטריון הקובע בפיסיקה)). נניח של-A יש ערך עצמי מסוים x עם וקטור עצמי יחיד ומנורמל ("מצב") X . כעת נניח שהמערכת נמצאת בסופרפוזיציה של מצבי בסיס אורתונורמלי כלשהו {Ki}, לאו דוקא של וקטורים עצמיים:
|psi>=c1|K1>+c2|K2>
כאשר:
|c1|^2+|c2|^2=1
כעת, במקרה של הקוביה שתארת (כשהמערכת כבר מראש באחד מהמצבים, רק שלא יודעים מיהו), היה צריך להתקבל:
P(x)=|c1|^2*|<X|K1>|^2+|c2|^2*|<X|K2>|^2
כלומר: ההסתברות שהמערכת ב-K1 כפול ההסתברות "ליפול" מ-K1 על X פלוס אותו דבר רק עם K2.
לפי מכניקת הקוונטים, ההסתברות בפועל היא:
P(x)=|<X|(c1|K1>+c2|K2>)|^2
ותוצאה זו נבדלת מקודמתה ב"איבר ההתאבכות":
2*Re{c1*conj(c2)*<X|K1><K2|X>}
רחמנות על הלא פיסיקאים, בבקשה 106122
ליאור גולגר • בתשובה לד. פר יום א', 10/11/2002, 9:32
בוא ננסה ליצוק קצת מובן למושגים מתימטיים כמו וקטור-עצמי וערך-עצמי. כשלוחצים פיסיקאי לקיר ושואלים מאיפה באה הקוונטיזציה, הוא תמיד יכול להזכיר מיתר של גיטרה. לכל מיתר יש מתיחות אופיינית, מסה נתונה ליח' אורך ואורך קבוע. המתיחות והמסה קובעים את מהירות התפשטות התנודות במיתר, וממהירות זו נגזר כמה זמן לוקח להפרעה להגיע מקצהו האחד לקצהו האחר. המיתר מוחזק בקצוות, כלומר אמפליטודת ההפרעה בקצות המיתר היא בהכרח 0. תנאי שפה זה פועל כמו מראה על הפרעה המתקדמת לעבר קצה המיתר - היא מוחזרת מן הקצה כלעומת שבאה, בפאזה הפוכה.
כשפורטים על מיתר מחוללים למעשה הפרעות במגוון רחב של תדרים, ואלה מתפשטים לעבר קצות המיתר במהירות אחידה. אך רק המרכיבים בהפרעה שיפגעו בקצות המיתר בפאזה של תשעים מעלות (כלומר - ללא רכיב הניצב לכיוון המיתר) יוחזרו על-ידו, בעוד היתר יעברו הנחתה. לרכיבים מסוימים אלה נקרא 'אופנים עצמיים' של המיתר, והם יתאימו לתדירויות מוגדרות של תנודה אותן נכנה 'תדרים עצמיים'.
כל גל עומד שיופק באמצעות המיתר ניתן לפרק לסכום (סופי או אין-סופי) של אופני תהודה עצמיים, כל אחד עם ערך עצמי משלו. וזהו זה.

אגב, כולם יודעים שבבעית המיתר החד-מימדית קיימת הרמוניה יסודית וכל התדרים העצמיים הבאים הם כפולות שלמות שלה. מה שפחות ידוע הוא שלאופני תנודה אחרים עשויה להיות חוקיות לא-לינארית - למשל משוואת הגלים לגלי פיתול במוט נותנת תלות ריבועית של התדר במספר הגל (w~k^2). לפחות כך נדמה לי.
רחמנות על הלא פיסיקאים, בבקשה 106131
עוזי ו. • בתשובה לליאור גולגר יום א', 10/11/2002, 9:44
מה זה אופרטור מדידה? האם הוא פונקציה ממרחב פונקציות הגל, ואם כן, לאן?
מי אמר אופרטור מדידה? 106137
ליאור גולגר • בתשובה לעוזי ו. יום א', 10/11/2002, 9:57
אופרטור הוא כל מה שתרצה להפעיל על מצב <א|
ערך התצפית של אופרטור עוזי הוא <א|עוזי|א>
כאשר <> הוא פעולת המכפלה הפנימית שהוגדרה עבור המרחב הוקטורי בו מוגדר <א|
אם עוזי הוא סקלר, אזי הוא חילופי עם <א| וניתן פשוט להוציאו החוצה ואז
<עוזי> = <א|עוזי|א> = עוזי * <א|א> = עוזי * 1 = עוזי
לחילופין עוזי יכול להיות פונקציה הפועלת על <א|, למשל אופרטור גזירה שפשוט גוזר את רכיבי <א| בזמן או במרחב
לחילופין עוזי יכול להיות פונקציה שאינה משנה את <א|, אך אינה קבועה בתחום האינטגרציה ולכן יש לאסכם עליה.
למשל, ניקח את אופרטור המקום x על פני קטע סימטרי [2, 2-]
ונניח שפונקציית הגל היא סימטרית, למשל
<א| = A * exp(-k*x)*x^2
(A אמפליטודה מנורמלית וניתן למצוא את ערכה בקלות - נשאיר כתרגיל לקורא)
אז
<|x|> = <א|x|א> = integral from -2 to 2 dx of A * exp (-k*x) * x^2 * x * A# * exp (-k*x) * x^2 = 0
כאשר A# הוא הצמוד המרוכב של האמפליטודה A

כלומר, מכיוון שביצענו אינטגרציה של פונקציה אי-זוגית בקטע סימטרי, קיבלנו שערך התצפית של אופרטור המקום הוא אפס.
אמרו, אמרו 106138
עוזי ו. • בתשובה לליאור גולגר יום א', 10/11/2002, 10:06
1. כלומר, הצבת סרט צילום בנקודה מסויימת, כמוה כהכפלת פונקצית-הגל-בריבוע בפונקצית-דלתא?
2. לגבי הדוגמא - אופרטור המקום על קטע מסויים, הוא המקום הממוצע בהנחה שאנחנו בקטע הזה?
3. כדאי להבדיל בין האופרטור A לבין הפונקציה (המושרית על-ידי A) ששולחת את f ל- <f|A|f>, שהיא פונקציה מהמרחב H של פונקציות הגל, למספרים המרוכבים.
אמרו, אמרו 106140
ליאור גולגר • בתשובה לעוזי ו. יום א', 10/11/2002, 10:11
1. לא צריך להגזים, סרט צילום שקולט את צפיפות הפוטונים על פני ריבוע של ארבע סמ"ר מבצע דגימה של פונקציית הגל על פני חלון של ארבע סמ"ר. נגדיר אופרטור 'חלון' אז סרט הצילום מבצע את המדידה הבאה
<א|חלון|א>

2. אנחנו מבצעים אינטגרציה על מכפלת אופרטור המקום במכפלה הפנימית של פונקציית הגל, על פני קטע מסוים. פעולה זו שקולה למיצוע של אופרטור המקום על פני הקטע, כאשר ריבוע פונקציית הגל משמש כפונקציית משקל - סוכמים את המכפלה של כל נקודה בקטע הנתון בהסתברות למצוא את החלקיק באותה נקודה באותו רגע.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות