בתשובה ליזהר, 17/07/05 13:27
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"אני חשבתי שמשפט גדל אומר שיש פסוקי אמת שאין להם הוכחה" - בהחלט. איפה יש כאן הביטוי "אמת על פי האקסיומות"? האמת לא תלויה באקסיומות, זו כל הנקודה. כאן, אגב, אני יוצא מנקודת-הנחה (שאני מניח שהיא סבירה בעיניך) שיש למספרים הטבעיים תכונות חד-משמעיות; אפשר להיות פורמליסט ולא להניח זאת, ואז "יש פסוקים שאין הוכחה לא להם ולא לשלילתם" זה *לא* שקול ל"יש פסוקי אמת שאין להם הוכחה". נחזור לניסוח המקורי שלך את משפטי גדל: "משפט גדל מראה שיש מערכות אקסיומטיות, שהם לא שלמות: קיימים בהם פסוקים שהם אמת על פי האקסיומות, אבל לא ניתן להוכיח אותם" כדאי להחליף זאת ב "משפט גדל מראה שלכל מערכת אקסיומטית (אפקטיבית ועקבית) הדנה במספרים הטבעיים, יש פסוקים שהם נכונים (במספרים הטבעיים) שהמערכת אינה מוכיחה". ההבדל ברור? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ההבדל לא ברור לי עד הסוף. אולי אני אנסה ללכת איתך ולהיות מתימטקאי: כשאתה אומר "מספרים טבעיים" אתה מתכוון ליצורים שמוגדרים על פי האקסיומות הללו? כי אם כן, אז מה ההבדל בין הניסוחים? "יש פסוקים שהם נכונים (במספרים הטבעיים) שהמערכת אינה מוכיחה" "קיימים בהם פסוקי אמת על פי האקסיומות, אבל לא ניתן להוכיח אותה" ואם לא, אז מה הם "מספרים טבעיים"? אם תוכל לנסות להסביר לי עוד פעם אחת, אודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כש*אתה* אומר "מספרים טבעיים", אתה מתכוון ליצורים שמוגדרים עפ"י אקסיומות כלשהן? אילו אקסיומות? אני חושב שאחד הנזקים שמשפטי-גדל יצרו הוא שהם גרמו לאנשים לחשוב שהם כבר לא יודעים מה זה המספרים הטבעיים, או שאין בדיוק דבר כזה בכלל. כשלעצמם, משפטי-גדל אינם מחייבים דבר כזה. למעשה, בלי שמניחים מראש את קיומם של הטבעיים, קשה אפילו *להגדיר* מה זה מערכת פורמלית, מה זו הוכחה פורמלית, וכו'. למשל, "הוכחה" היא שרשרת סופית של טענות (כך שכל אחת נגזרת מקודמותיה); מדוע זהו מושג פרימיטיבי יותר, או מובן יותר, או חד-משמעי יותר, מ"מספר" שהוא שרשרת סופית של הסימן |? ("שבע", למשל, זה |||||||). המספרים הטבעיים הם, פשוט, המספרים הטבעיים: 1, 2, 3, וכו'. אם ה"וכו"' הזה נראה לך מפוקפק - בסדר, אבל כאמור אתה צריך אז לשאול את עצמך, למה בכלל אתה מקבל את המושגים של מערכות אקסיומטיות, ולמה בכלל אתה מסכים שמשפט גדל *נכון*. -- בכל אופן, גם אם אני הייתי דווקא מנסה ללכת איתך ולומר שהטבעיים מוגדרים עפ"י איזושהי מערכת אקסיומטית, איזו משמעות היתה למונח "פסוקי אמת על פי האקסיומות" אם לא "מה שנובע לוגית מהאקסיומות"? אתה מנסה להציג מצב שאינו מובן לי, שבו יש מערכת אקסיומטית המגדירה את הטבעיים, ויש משפטים שהיא לא יכולה להוכיח, אבל משפטים אלה הם "אמת על פי האקסיומות". אם אי-אפשר להוכיח אותם, באיזה מובן הם "אמת על פי האקסיומות"? תוכל להסביר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן: נניח שהטבעיים מוגדרים עפ"י איזושהי מערכת אקסיומטית. נניח שיש פסוק: "לא קיים מספר N המקיים את התכונות: A,B,C" (איזושהם תכונות) עקרונית, יכול להיות מצב שהפסוק הזה נכון. כלומר, שעל פי האקסיומות, באמת אין כזה מספר - לא תוכל פיזית לתת לי שום N שמקיים את התכונות האלו. אבל גם יכול להיות שלפסוק הזה אין הוכחה - אין שום טקסט סופי שמביא לוגית מהאקסיומות אל הפסוק. הפסוק פשוט נכון. בלי הוכחה. זה מה שטיורינג הביא. פסוק בדיוק כזה: "לא קיים מספר N המקיים את התכונות: A,B,C" "קיים מספר N המקיים את התכונות: A,B,C" והוא הראה שאם לאחד מהם יש הוכחה, אזי ניתן להכריע את בעיית העצירה. ככה אני למדתי את זה. דרך אגב - כשלמדתי את זה (פרופ טרסי) נעשתה הבחנה בין "פסוק" שיכול לקבל ערך אמת או שקר, לבין "משפט" שהוא "פסוק אמת שיש לו הוכחה". ואז משפט גדל אמר: ישנם פסוקי אמת שהם אינם משפטים. אני טועה במשהו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, רק אולי לא מדייק. מה פירוש "לא תוכל פיזית לתת לי שום N שמקיים את התכונות האלו"? *פיזית*? אתה מדבר על פסוקים מטיפוס מסויים האומרים "כל N מקיים X" כש-X היא תכונה הניתנת לבדיקה סופית. הנקודה היא שהסוג הזה של "בדיקה סופית" -מה שקראת לו "לתת פיזית" - הוא גרעין המשותף לכל המערכות האקסיומטיות המדברות על הטבעיים; אם אין להן את הגרעין הזה, לא נגיד עליהן שהן מדברות על הטבעיים. במובן זה, ההכפפה של "לתת פיזית" ל"על פי האקסיומות" היא מטעה. לבדיקה הפיזית הזו יש משמעות אבסולוטית. למשל, השערת גולדבך (שהיא גם פסוק מהסוג שתיארת) אומרת: לכל מספר זוגי, יש שני ראשוניים שהוא סכומם. ההשערה הזו אינה נכונה בדיוק כאשר יש מספר זוגי שאיננו סכום של שני ראשוניים; אין כאן שום "על-פי האקסיומות". בכל אופן, "ישנם פסוקי אמת שהם אינם משפטים" זו בדיוק הסיפא של הניסוח *שלי* את משפט גדל, בתגובה 317410. יש עדיין ויכוח על משהו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הויכוח רק מתחדד יותר ויותר, לדעתי. אלך עם הדוגמא שלך: נניח שמישהו ימצא הוכחה לשלילה של השערת גולדבך. מה זה "הוכחה לשלילה של השערת גולדבך"? זה טקסט, שתחילתו באקסיומות (כלשהם) שמדברות על הטבעיים. המשכו בהגדרה "מספר ראשוני" ו - "מספר זוגי". המשכו בנתינת המספר הראשוני- P. והמשכו (למשל) בפלט של תוכנית מחשב שבודקת כל זוג שני מספרים זוגיים הקטנים מP, ומראה שאף סכום של אחד מהזוגות אינו P. הדוגמא שנתת, ונתתי, לעיל, היא ללא ספק דוגמא למשהו שהוא אמת על פי האקסיומות. אני לא מבין איך אתה יכול להגיד שההוכחה היא "לא על פי האקסיומות"? איזה הוכחה בעולם כולו היא "לא על פי האקסיומות"? אני לא מבין איך אתה יכול להגיד "פסוק הוא אמת אבסולוטי" בלי קשר לאקסיומות כלשהן? אולי יש לך דוגמא למשהו שהוא אמת, בלי שום קשר לאקסיומות כל שהן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה צריך בראשית הטקסט שלך "אקסיומות שמדברות על הטבעיים"? איזו רמה של ודאות אבסולוטית היית מוצא אם במקום להתחיל מ-"6=1+5, ו-1 ו-5 אינם ראשוניים" היינו מתחילים עם אקסיומות פאנו? הרי בשביל לנסח בכלל את אקסיומות פאנו, צריך (בשביל אקסיומת האינדוקציה) את המושג של "פסוק כלשהו P מסדר ראשון בשפה". אתה סבור שהמושג הזה הוא יותר ברור-אבסולוטית מהמושג "מספר טבעי"? ברצינות? למה? אני לא יודע אם יש "אמת אבסולוטית", אבל מה שאני יודע הוא שהמושג "המספרים הטבעיים" הוא ראשוני וחד-משמעי יותר מהמושג "מערכת אקסיומות" ו"הוכחה פורמלית". דוגמה למשהו שהוא אמת: אפס איננו העוקב של אף מספר טבעי. בהרבה מערכות אקסיומטיות של הטבעיים אנחנו בוחרים לציין את זה בתור אקסיומה; אתה חושב שזה הופך את זה ליותר אמיתי? איך "אמת אבסולוטית" יכולה להיות בכלל קשורה לאקסיומות כלשהן? ואם הייתי מניח (אקסיומטית) ששש שווה לשבע, ומוכיח לך (פורמלית) שעשרים-ושבע שווה לשלושים, זה היה הופך את זה ל"אמת אבסולוטית"? המושג שלנו של "אמת" *קודם* למערכות פורמליות, לא נגזר מהן. זו עמדה עקבית לגמרי לומר "אני לא מאמין לכלום, אין אמת, רק טענות מסוג אקסיומות-->מסקנות פורמליות". בסדר, זו גישה פורמליסטית, ואין לי שום דבר נגדה. אבל לא ברור לי איך גם נוקטים בגישה הזו וגם מדברים על "אמת". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה שאני עונה לך פעמיים, אבל חשבתי על עוד דרך להדגים את הבעייתיות בגישה שלך. במקום גולדבך, חשוב על השערת ה-Twin Primes: יש אינסוף זוגות ראשוניים שההפרש ביניהם 2. נניח שאתה עובד במערכת אקסיומות כלשהי, ומוכיחים לך ש-TP אינה כריעה מהאקסיומות. אתה מבקש לנסח זאת באופן הבא: "יש משפט אמיתי שהוא לא יכיח", כש"אמיתי" זה "אמיתי על-פי האקסיומות". בגולדבך, יכולת לעשות זאת: יכולת לטעון שאם גולדבך *לא* נכונה, אז יש לעובדה הזו הוכחה מהאקסיומות - מספר ספציפי שאפשר להוכיח לגביו שהוא סותר את גולדבך. זה נכון, אבל פה עם TP אתה לא יכול לעשות זאת. איזה משני המשפטים הוא אמיתי על-פי האקסיומות? TP או לא-TP? באף אחד משני המקרים אין "דוגמה נגדית" שאתה יכול לוודא את אמיתותה בעזרת האקסיומות שלך. לכן, יש לך שתי ברירות. או להישאר אגנוסטי, לומר ש-TP אינה נכונה ואינה לא-נכונה, כי אי-אפשר להכריע פורמלית. זו עמדה לגיטימית, אבל הניסוח שלה בתור "יש משפט אמיתי שהוא לא יכיח" הוא עכשיו לא נכון: מיהו המשפט האמיתי, ולמה הוא אמיתי "על פי האקסיומות"? ברירה אחרת היא להחזיק בדעה (שאני מחזיק בה) ש-TP היא באמת נכונה או באמת לא נכונה במספרים הטבעיים; זה שמערכת אקסיומות מסויימת לא מסוגלת להראות זאת זו חולשה של האקסיומות ותו לא. זה יהיה מטריד מאוד אם לא נוכל למצוא אקסיומה נוספת, סבירה, שתכריע בשאלה הזו, אבל אפילו זו לא סיבה חד-משמעית לקבוע שאין ל-TP ערך-אמת. גדל, אגב, החזיק בדעה כזו אפילו לגבי תורת-הקבוצות: אם השערת-הרצף אינה כריעה, אז חסרה אקסיומה. במקרה הזה זו טענה הרבה יותר חזקה ו"מסוכנת", ואני בכלל לא בטוח שאני מסכים איתה (וכך גם הרבה מתמטיקאים ולוגיקאים). המספרים הטבעיים עצמם, מסדר ראשון, זה (לתחושתי) עולם אחר - אבל ברור לי שאין משפט מתמטי, גדל או אחר, המראה זאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כבר חידוש גדול (אולי תחליף לעניבה אפורה). אם המספרים הטבעיים הם "יצורים טבעיים" ואינם תלויים (באמת) במערכת אקסיומטית, אז לכל משפט (מסדר ראשון) עליהם יש ערך אמת "טבעי"? זה נראה לי מרחיק לכת. למה שהטיעון הזה לא יחול על משפטים מסדר שני? (הטענה "לכל משפט מסדר ראשון יש ערך אמת" בפני עצמה "חזקה" יותר מכל משפט מסדר שני, גם אם אולי לא באופן פורמלי: היא מדברת על משפטים מסדר ראשון ולא על קבוצות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "משפט מסדר שני"? משפט על משפטים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפט על קבוצות שאותן אפשר להגדיר בעזרת משפטים מסדר ראשון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה על הטרחנות, אבל אפשר דוגמא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לכל קבוצה A של מספרים, אם לכל x ו- y ב- A מתקיים ש- x-y שייך ל- A וגם לכל x ב- A ולכל z מתקיים ש- x*z שייך ל- A, אז קיים d השייך ל- A, כך שלכל מספר x, מתקיים ש- x שייך ל- A אם ורק אם קיים מספר c כך ש- x=c*d". (זה הנוסח הארוך ל"חוג המספרים הוא תחום ראשי"). את רוב הטענות המעניינות במתמטיקה אי-אפשר לנסח בשפה מסדר ראשון, כי היא מאפשרת לדבר רק על האובייקטים עצמם ולא על קבוצות שלהם. ובלי קבוצות אין פונקציות, אין יחסים, והעולם בכלל אפור ומשעמם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>את רוב הטענות המעניינות במתמטיקה אי-אפשר לנסח בשפה מסדר ראשון, כי היא מאפשרת לדבר רק על האובייקטים עצמם ולא על קבוצות שלהם. ובלי קבוצות אין פונקציות, אין יחסים, והעולם בכלל אפור ומשעמם. טוב, זה כבר תלוי בצורה שבה אתה בשמתמש בלוגיקה פורמלית. את כל1 הטענות במתמטיקה אפשר לנסח בשפה של תורת הקבוצות (שהיא מסדר ראשון). אתרוב הטענות המענינות על אוביקטים 2 אי אפשר לנסח בשפה מסדר ראשון שמתארת את אותם אובייקטים. 1 כמעט. 2 שהם לא קבוצות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרוב קיצור נוצר קצר. התכוונתי להגיד: "את רוב הטענות המעניינות במתמטיקה (של תורת המספרים) אי-אפשר לנסח בשפה מסדר ראשון של תורת המספרים" - אם מותר להגיד רק "לכל מספר" ו"קיים מספר" ואסור "לכל קבוצה של מספרים" ו"קיימת קבוצה של מספרים" ו"קיימת קבוצה של קבוצות של מספרים", אז העולם אפור וגו'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה.:) נשמע משכנע. גם החיים משעממים ואפורים בלי קבוצות, פונקציות ויחסים. תמיד אמרתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוודאי, ולכן זו לא טענה שכדאי לנסות להוכיח; זו סתם דיעה. למה שהטיעון לא יחול על משפטים מסדר שני? כי המושג "קבוצה שרירותית של טבעיים" הוא מעורפל, מסיבות ידועות. למה זה טיעון כזה מרחיק לכת? אתה באמת מניח באופן אינטואיטיבי שטענות כמו TP יכולות להיות תלויות במערכת-האקסיומות שנבחר לעבוד איתה? שוב, אין לי דרך להגן על התיזה הזו, וגם לא רצון רב - זו סתם תחושתי. אין לה השפעה כלשהי על נכונות או אי-נכונות של טענות אריתמטיות. היא גורמת לי להניח ש-PA, וכן החלק האריתמטי של ZFC, הן נאותות; בכך אני לא חושב שאני יוצא-דופן במיוחד, וברור לי (כמו לכולם) שלא ניתן להוכיח את העובדות הללו במערכות המתאימות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(פילוסופית,) אין לי ספק בנאותות של PA (ואפילו ZF). אבל קודם טענת משהו אחר: שכל פסוק מסדר ראשון באקסיומות פאנו הוא או נכון או שאינו נכון - בלי תלות באקסיומות. מצד שני, אנחנו יודעים שיש פסוקים ש(בהנחת העקביות) אי-אפשר להוכיח ב- PA. כלומר שבעיניך המודל הוא "האמת", ומערכת פאנו היא רק מערכת אקסיומות חלקית לאמת. לזה התכוונת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק לוודא שאנחנו מדברים על אותו דבר: לא לגמרי ברור לי מה זה "פסוק מסדר ראשון באקסיומות פאנו". פסוק מסדר ראשון יש בשפה; השפה של האריתמטיקה בנוייה מהסימנים המוכרים, ואקסיומות פאנו הן מערכת אחת מבין הרבה מערכות אחרות הרשומות בשפה הזו. כן, אני סבור שפסוק מסדר ראשון בשפה של האריתמטיקה הוא נכון-או-לא, ומה אפשר-או-אי-אפשר להראות ב-PA נראה לי כמו עניין צדדי. למשל, (Con(PA הוא פסוק אריתמטי כזה, ואני בטוח שהוא נכון - מה דעתך? אתה סבור שאולי לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, התכוונתי ל"פסוק מסדר ראשון בשפה של האריתמטיקה". אני מסכים שהשאלה מה אפשר להראות ב- PA לא מעניינת. ZF היא המערכת הנכונה, ואני מוכן לעבור ל- ZFC בלי למצמץ. אבל יש משפטים אריתמטיים שלא ניתן להכריע ב- ZFC, ובדרך כלל אני לא רואה שום סיבה לצרף אותם (או את שלילתם) למערכת האקסיומות. העקביות של PA היא דוגמא די סינגולרית - בזה אני מאמין מספיק כדי לצרף אותה כאקסיומה... (מט באלף-אפס מסעים?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. יש לך דוגמה למשפט אריתמטי כזה, שאתה אגנוסטי לגביו? 2. (להקדים תרופה) לגבי דידי, המשמעות של משפטים כאלה היא לא שהם גם לא נכונים וגם לא לא-נכונים, אלא שהם אחד מהשניים, ואנו חסרים את הכלים לבדוק. 3. איך אתה מפרש את הטענה "ZF היא המערכת הנכונה"? מדוע, ומה פירוש "נכונה"? ומה מניע אותך לקבל גם את C? לי נראה שיש פה תהליך קבלת-החלטות שההטלה שלו על N מהווה (גם היא) קריטריון לקבלה/דחייה, ע"י שכל תולדה של ההטלה הזו מעומתת עם מה שאנו קוראים לו "האמת לגבי הטבעיים". אם אין אמת כזו, איך מתחילים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אין לי דוגמאות, אבל א) אני יודע שיש כאלה, ב) זכור לי במעורפל משהו על גירסה של משפט רמזי (צבעוני?) שהיא בלתי כריעה ב- ZFC. 2. אני מוכן להסתכן בתעוקה קלה בחזה של האלמוני, ולהגיד שדעתי די הפוכה. מבחינתי משפטים שאי-אפשר להוכיח או להפריך ב- ZFC הם כנראה חסרי תוכן-אמת, ואני מוכן לשקול אותם על בסיס פרטני. למשל, את העקביות של PA אני מקבל כאקסיומה. משפטים פחות מעניינים - אולי אני בכלל לא רוצה להחליט לגביהם. 3. מה הולך לאיבוד אם יש משפטים (מוזרים מאד, יש להודות) באריתמטיקה שאין להם תוכן אמת? עדיין אפשר "להטיל" משפטים ל- N, ולדאוג שלא נקבל תוצאות שקר. ב- C אני מאמין כי אם יש צדק בעולם, אז מכפלה קרטזית אינסופית צריכה ללכת ולגדול, ולא להעלם פתאום. (אבל בקשר לסעיף 2 - אין מספיק צדק בעולם בשביל להכריע בכל הטענות האריתמטיות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. ודאי שיש כאלה; משפט גדל מבטיח לך זאת. מה שמעניין אותי היא השאלה הבאה: אם תשתכנע, או שיוכיחו, ש- Twin Primes היא לא כריעה ב-ZFC, האם זו תהיה סיבה מספיק טובה עבורך לזנוח את האמונה שהסדרה 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, ... היא או סופית או אינסופית? "אם יש צדק בעולם", הייתי אומר, היא או זה או זה. 2. אין (לי) (כמובן) כל בעייה עם זה. אבל דווקא העמדה הזו, נראה לי שיותר קשה להגן עליה: ההכרעה הפרטנית נולדת משיקולים שהם, כנראה, קצת מעורפלים. 3. שום דבר לא הולך לאיבוד. טעמי האישי הוא שחד-משמעיות משפטים מסדר ראשון על N היא עובדה מוצדקת אף יותר מאקסיומת הבחירה. מכפלות קרטזיות שלא נעלמות נותנות לי שני תפוזים לבנות מהם שמש, זה צדק זה? מצד שני, כאמור, סדרות פשוטות שלא יודעות להחליט אם הן סופיות או לא, זה כבר נראה לי ממש נבזי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שהגישה הזו נוגדת את משפט גדל עצמו. אם יש מספרים טבעיים 'אמיתיים', אז אפשר להתייעץ איתם בכל פסוק אריתמטי. אפשר לערוך רשימה של כל המשפטים הנכונים (מסודרים לפי אורך), ולצרף את כולם לאקסיומות פאנו. המערכת הזו חזקה מספיק (כוללת את אקסיומות פאנו), עקבית (כי היא מדברת על ''העולם האמיתי''), ושלמה (כי אספנו את כל המשפטים). זה משאיר רק את סדק האפקטיביות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון מאוד. קוראים לזה True Arithmetic, וכפי שציינת זה לא נוגד את משפט גדל - סדק זה סדק. בגרסה הראשונה של המאמר אפילו הזכרתי את התורה הזו כדוגמה לתורה לא אפקטיבית, אבל נבונים ממני יעצו לי ש-Here be dragons. עוד שאלה פילוסופית: למה היכולת שלנו להכריע בשאלה מסויימת מכתיבה את דעתנו על קיום תשובה חד-משמעית לשאלה? אני אגנוב דוגמה מדיוויד גייל: "לקליאופטרה היה סוג דם A" הוא משפט שלא נוכל לדעת לעולם אם הוא אמת או שקר (אלא אם תתחולל איזו סנסציה), אבל לא נראה שזה משנה את דעתנו שאו שהיה לה סוג דם A, או שלא. היחס שלי למשפטים שאינם כריעים ב-ZFC הוא דומה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, למשפט גדל יש מסקנה פילוסופית: אם מניחים שקיים מודל "טבעי" למספרים הטבעיים (וכך לכל פסוק מסדר ראשון בשפה האריתמטית יש ערך אמת טבעי - והוא או אמת או שקר), אז לפי המשפט אין דרך אפקטיבית לגלות את ערך האמת הזה. זה לא מבטל את ההבדל בין העמדה הזו לבין האלטרנטיבה (יש משפטים בלי ערך אמת), אבל בעיני זה הופך אותו להרבה יותר קטן. מלבד זה, האם לדעתך יש ערך אמת טבעי לכל פסוק שאפשר לנסח בשפה של תורת הקבוצות, כאשר הוא מתייחס למספרים (וקבוצות של מספרים, וקבוצות של קבוצות של מספרים, ואתה רואה לאן אני חותר)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אין דרך אפקטיבית לגלות את ערך האמת הזה": וודאי - זה לרוב מכונה בשם "משפט טרסקי". זו לא (רק) מסקנה פילוסופית, אלא משפט מתמטי מדוייק, בתנאי שאתה מסכים שיש דרך לנסח אותו בכלל - זה, אם אני לא מחמיץ משהו, מחייב אותך להסכים שיש דבר כזה "אמת". ניסוחים מסוג זה הם מקובלים למדי, עד כמה שראיתי; אפשר למצוא כאלה בספרים שהזכרתי (Boolos, Jeffreys, Burgess או Franzen, למשל). אני לא בטוח שהבנתי את השאלה בסוף - אילו פסוקים בשפה של תורת הקבוצות מתייחסים למספרים? אני מניח שיש ערך אמת טבעי לכל פסוק שיש בו +, *, >, =, 0, ', A ו-E ותו-לא, אם כי אני בוודאי מקבל *הוכחות* המבוססות על אקסיומות מתוחכמות יותר מ-PA. כפי שאמרתי (וזו בוודאי לא המצאה מקורית שלי), המושג "קבוצה שרירותית של מספרים" הוא בפירוש יותר מעורפל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נשמע שאתה בהחלט מצדד בגודסטיין, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי. השאלה היא האם אני מאמין שסדרות-גודסטין תמיד שואפות ל-0? בוודאי. אי-אפשר להראות זאת ב-PA, אבל נראה שיש הסכמה כללית ש*זה* לא אומר הרבה על "האמת". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התבלבלתי, כמובן. אני מתכוונת לגולדשטיין.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה. אז שוב לא הבנתי - באיזו אמירה שלה אני מצדד? אם הכוונה לקטע בו הסבירה שמשפט גדל מחזק את הגישה הפלטוניסטית, אז דווקא לא (את הגישה הפלטוניסטית לאריתמטיקה מסדר ראשון אני מקבל, אבל לא *בגלל* גדל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שזה כן מתקשר לטענתך שמשפט גדל מוכיח שיש משפטים שנכונותם/מופרכותם אינן נובעות מהאקסיומות, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל משפט גדל לא מוכיח את זה, אלא למי שמסכים מראש שיש דבר כזה "נכונותם/מופרכותם". משפט גדל אומר ש(עבור כל מערכת אקסיומות המקיימת... )יש משפטים אריתמטיים שאי-אפשר להוכיח ואי-אפשר להפריך במערכת. פרשנות א': יש משפטים שאין להם בכלל ערך-אמת; הם לא נכונים ולא לא-נכונים. פרשנות ב': כל משפט הוא נכון או לא-נכון, אלא שכל מערכת אקסיומות היא חלשה מכדי להוכיח את כל הנכונים ולהפריך את כל הלא-נכונים. הויכוח בין שתי הפרשנויות נותר בעינו (כמובן) גם אחרי גדל, ולכן לא ברור לי הטיעון שגדל מקנה משקל יתר לפרשנות ב' (פלטוניזם אריתמטי). בכל אופן, אם השאלה היא האם אני פלטוניסט-אריתמטי - התשובה היא "כן" (לפחות עד שאורי או עוזי ישכנעו אותי אחרת. אני לא נעול על הגישה הזו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובתך ליזהר אתמול אמרת, "האמת לא תלויה באקסיומות, זו כל הנקודה." ואני התייחסתי לתפיסה *שלך* את משפט גדל. בכל אופן, כמו שאמרת (כאן ובדיון אחר, דומתני) - אתה "עדייו" פלטוניסט, לפחות בנוגע לטבעיים. כעת, הרגעת אותי בטענה שאלה לא מאכלסים עד התפוצצות איזה מחסן במעלה החמשה, אבל לא אמרת כלל באיזה מובן הם קיימים בעינייך. אתה יכול להגדיר את זה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שכבר הגדרתי, אבל שוב: אני סבור שכל טענה מסדר ראשון על הטבעיים היא נכונה, או שהיא לא נכונה. זה הכל. האם בעקבות זאת יש לומר שהטבעיים "קיימים"? לא יודע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה אדם ולא מכונת טורינג, סדק האפקטיביות לא צריך להטריד אותך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם אתה יכול להציג בפני קבוצת אקסיומות ו/או כללי היקש, כך שאני אוכל להכריע לגבי כל טענה חשודה האם היא אקסיומה או כלל היקש, והיא אינה ניתנת לחישוב 1? 1 כלומר, שפה ב-R. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדאי שתשאל אדם, ולא אותנו, מכונות הטורינג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מכפלות קרטזיות שלא נעלמות נותנות לי שני תפוזים לבנות מהם שמש," את השירה הזאת אי אפשר להפסיק... מה ההמשך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד 2-3 אקסיומות ונתחיל לבנות את מכונת הטיורינג המתאימה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
והפיוט, מה יהיה עליו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלון מתיחס לפרדוקס בנך-טרסקי: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכלל לא קישרתי את "מכפלה קרטזית אינסופית נותנת קבוצה לא-ריקה" עם אקסיומת הבחירה. אבל למה שמש? מכפלה קרטזית שלא נעלמת נותנת שני תפוזים לבנות מהם תפוז. וכן, זה ניסוח מאוד פיוטי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה שמש?" - לא יודע אם אתה שואל ברצינות, אבל כן: משפט ב"ט מאפשר לחלק תפוז (או שניים) למספר סופי של חלקים, לסובב ולהזיז, ולבנות שמש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגרסה שאני מכיר, המשמעות היא שניתן לחלק כדור למספר סופי של חלקים, לסובב ולהזיז, וליצור שני כדורים זהים לו. זו גם הטענה שמופיעה בויקיפדיה (בקישור לעיל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובאינדוקציה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השמש היא אוסף סופי של תפוזים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אבל אפשר לבנות אותה מהם ע"י פירוק לחלקים, סיבובים והזזות; כיוון שיש לה אותו נפח כמו למספיק תפוזים, זה דווקא החלק הפחות מפתיע בסיפור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחח, אם רק האלכימאים היו יודעים את זה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה נשמע הגיוני, אבל לא הייתי בטוח, כי זה לא ממש ברור לי שאת הכדורים ניתן לחבר לכדור גדול פי 2. אבל אם אתה אומר שזה אפשרי, אני מקבל את זה כאקסיומה 1. 1 אם את *כל* מה שאתה אומר אני מקבל כאקסיומה, ואתה אכן מכונת טיורינג, מתקבלת מכך תורה אפקטיבית. נשמע נחמד :). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תקבל שום דבר כאקסיומה, בטח לא ממני... ההוכחה של משפט ב"ט היא ממש לא קשה, ולא דורשת שום דבר מעבר לקצת השכלה מתמטית שנראה לי שיש לך. החלק הכי קשה הוא ההוכחה שחבורת הסיבובים במרחב מכילה חבורה חפשית, וזה דווקא החלק שהכי קל לקבל אינטואיטיבית. יש ספר מאוד נחמד של Stan Wagon על המשפט הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "חבורה חופשית"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הערך בויקי העברית מזעזע, לתשומת לב אלו שמבינים משהו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני אנסה להציל את כבודי האבוד כמרצה-ברוחו שאוהב לתת תשובות עם תוכן. "חבורה" - אוסף של דברים (לא חשוב מה; לרוב נקראים "איברים") שאפשר לכפול אותם ("כפל" זו מכונה שלוקחת שני איברים ומחזירה איבר); אחד האיברים מתנהג כמו "1" (כלומר, כשכופלים בו X כלשהו, יוצא X); ולכל אחד מהאיברים יש הופכי (כלומר לכל X יש איזשהו Y כך ש-XY הוא ה-"1" הזה). חבורה חופשית היא חבורה שבנויה באופן הבא (בהגבלה קלה של הכלליות): לוקחים כמה אותיות, נניח שתיים (A ו-B); מוסיפים שתי אותיות שתהווינה הופכיות לשתי אלה (נניח a ו-b); ומגדירים חבורה שהאיברים שלה הן "מילים" באותיות האלה, כשאסור לאות להופיע ליד ההופכית שלה. ABabAA זה בסדר, BaA זה לא. הכפל מוגדר ע"י זה שרושמים את שתי המילים בזו אחר זו, ואז מצמצמים אם אפשר לצמצם: בכל פעם שרואים Aa או aA או Bb או bB, מעיפים את צמד האותיות הללו והמילה מתקצרת. למשל: ABa * AbA = ABaAbA = ABbA = AA (שתי המילים באמצע החישוב הזה הן רק תוצאות ביניים; הן לא מקיימות את האיסור על הופכיות צמודות כי עוד לא גמרנו לצמצם). אפשר לראות שמתקבלת חבורה: "1" זו המילה הריקה שאין בה בכלל אותיות, וההופכית של מילה מתקבלת ע"י זה שהופכים את סדר האותיות ומחליפים כל אות בהופכית שלה.החבורה הזו נקראת "חופשית" כי האיברים שלה לא מקיימים שום "יחס" חוץ ממה שמתחייב מחוקי החבורה. 0=2+3-2-3, למשל, זה יחס לא טריוויאלי בחבורה של המספרים השלמים עם חיבור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. הבנתי כבר את הרוב מהוויקיפדיה, רק לא מדוע החבורה נקראת ''חופשית''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היא חופשית מיחסים. בחבורות שאינן חופשיות יש יחסים שאומרים משהו על היוצרים של החבורה (למשל, ש- ababab=1). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, תודה. התכוונתי שזה החלק שאלון השלים לי אחרי הוויקיפדיה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי כדאי לציין שה''מכונה'' הזאת אינה בהכרח מכונת טיורינג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי (באיחור) ש''מכונה'' היא אכן ביטוי לא מוצלח כאן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרצה שלי (אי שם בשנות השמונים) סיפר פעם שבתואר ראשון הוא חזר הביתה וניסה להסביר לאמו את עניין התפוזים והשמש. אמא שלו אמרה רק: אם אלו השטויות שמלמדים אתכם באוניברסיטה, אולי עדיף שתמצא עבודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נחמד :-) יש כמה דברים כאלה, שאפשר לספר לאמא ולקבל המלצה על שינוי כיוון. הגדרה: "עקום" במרחב הוא תמונה רציפה של הקטע [0,1] (כשמסבירים את זה לאמא, עושים כזו מין תנועה באוויר עם האצבע - מתחילים *פה*, עושים ווש-ווש-ווש, ומסיימים *פה*) משפט: קובייה היא עקום (וגם כדור, צלחת, אקליפטוס ומסננת). שם למשפט (אורי, זה בשבילך): Hahn-Mazurkiewicz. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"Hahn-Mazurkiewicz" נשמע בערך כמו "מחול החרבות". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא עקום פאנו? (בלי שום קשר לאקסיומות פאנו פרט לאב הרוחני, עקום פאנו הוא מסילה רציפה שמכסה את ריבוע היחידה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, חוץ מזה שכאן הוא מכסה קוביה. משפט ה"מ הוא הכללה של הבנייה הקונקרטית של פאנו, והוא נותן את התנאי המדוייק ב-R^n לקבוצה להיות עקום (משהו כמו קומפקטית וקשירה מסילתית, לא זוכר בדיוק; הקטע הוא שכל קבוצה העונה על שתיים-שלוש תכונות פשוטות שברור שיש לעקומים היא אכן עקום, ו"מימד" הוא לא אחת מהתכונות הללו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עקום" הוא *כל* תמונה רציפה של הקטע [0,1]? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן (למה השאלה?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פשוט לא הבנתי. וזה גם לא הוגן. חלק מהתמונות הן בטח ישרות להפליא... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרות מתמטיות הן נורא לא הוגנות. ''עקום'' יכול להיות ישר, ''ישר'' יכול להיות עגול, ''עיגול'' יכול להיות כדור ו''כדור'' יכול להיות פירמידה. ''קבוצה פתוחה'' יכולה להיות גם ''קבוצה סגורה'', ''קומפקטי'' יכול להיות בגודל של גלקסיה, ''טור'' כותבים בשורה ול''גבעול'' אין אף-פעם שיבולת, גם כשהוא ב''אלומה''. כאמור, עדיף לחפש מקצוע אמיתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתם ממש לא רציניים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גבעולים ואלומות? מאיפה זה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גאומטריה דיפרנציאלית אאל''ט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"Sheaf" and "Stalk" (scheme theory, algebraic geometry, some algebraic topology.)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה זה fiber bundle? אגד סיבים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך bundle bundle זה אגד חבילות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה, "והיה הישר לעקום"? לא הגזמתם? אנשים נורמליים משתמשים לפעמים במכבסת מלים. אבל אתם הולכים על לכלוך? תתביישו! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למעשה המשפט היה ידוע לפני כמה אלפי שנים, ואף נמצאו לו שימושים מעשיים: "אמר להם ישוע: אין הם צריכים ללכת, תנו להם אתם לאכול. השיבו לו: אין לנו פה אלא חמש כיכרות לחם ושני דגים. אמר: הביאו אותם אלי הנה. הוא ציוה את בעם לשבת על הדשא, לקח את חמש ככרות הלחם ואת שני הדגים, נשא עיניו השמימה וברך. לאחר מכן בצע את הלחם ונתן לתלמידים והתלמידים נתנו לעם. הכל אכלו ושבעו, וממה שנותר אספו שנים עשר סלים מלאים. מספר האוכלים היה כחמשת אלפים איש מלבד הנשים והטף" (הברית החדשה, מתיוס י"ד 13-21) מסקנה: מזל שלא היו להם גם שני תפוזים. כך נמנע אסון גדול. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צב"ר. יש, אגב, אנשים הסבורים שכל האמיתות המתמטיות מצויות בכתבי-הקודש - היהודים, הנוצריים, המוסלמיים או (תמיד זה *או*) ההינדיים. לעומתם יש כאלה הסבורים שמשפט-גדל מוכיח שהם טועים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכשיו כבר לא ברור מה יותר מקסים, הפיוט או הפרדוקס. תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 164394 ומדובר על אי תלות ב-PA בלבד. מצד שני ברור שניתן לבנות פסוק גדל כך שכל הכמתים כבולים לאומגה (מהצורה קיים x ששייך לאומגה כך ש-...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מכיר טענות אריתמטיות שאינן כריעות ב- ZFC, פרט לעקביות של PA? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה גורם לך לחשוב שעקביות PA אינה יכיחה ב-ZFC? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שמלמלתי משהו על חמש ורבע וכו'. לכם המתמטיקאים יש הרגל מעצבן להצביע על פגם אחד בתגובה ולהסתפק בזה, במקום לדבר בפסקאות שלמות. (במקרה הזה: העקביות של PA יכיחה ב- ZFC, מכיוון שיש לה מודל, שבו 0 הוא הקבוצה הריקה והמספר n הוא הקבוצה המכילה את (הקבוצות של) המספרים מאפס עד n-1. זה אומר ש*אם ZFC עקבית*, אז PA גם עקבית). אנא כתוב פסקה שלמה על טענות אריתמטיות לא כריעות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(תגובה 318164). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני נדהמת כל פעם מחדש מהמהירות שבה נוצרים קיצורי רך כאלה באייל. מרשים ביותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שאלוף העולם בימינו בייצור טענות אריתמטיות שאינן כריעות ב-ZFC הוא הארווי פרידמן. אני אנסה לדוג מאמרים שלו (או עליו) שקראתי פעם, ומכילים תוצאות מסוג זה. לא מזמן קראתי (וגם את זה אנסה לדוג) שהוא, אישית, דווקא מצדד בעמדתי - הטענות הללו הן נכונות-או-לא, ורק האקסיומות האומללות שלנו אינן מספיקות כדי להראות זאת. אם אני זוכר טוב, הדוגמאות שלו הופכות ליכיחות אם מוסיפים איזה קרדינל גדול יחסית צנוע, והוא משתמש בזה כדי לגבש דעה לגבי הנכונות של הטענה "באמת". עוד דבר שנדמה לי שקראתי פעם הוא שפרידמן הוא גם (או רק?) פרופסור למוזיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רבע לחמש ולא חמש ורבע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, התגובה הקודמת נועדה לאושש את טענתך. יותר ברצינות, לכבוד הוא לי להיקרא מתמטיקאי ע''י בכיר המתמטיקאים באתר (נדמה לי, מי יודע מי באמת מסתתר מאחורי השכ''ג). עוד יותר ברצינות, היום בערב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי, העקביות של PA יכיחה ב-ZFC (בלי להניח עקביות ZFC) משום שניתן (בהנחת ZFC) לבנות מודל ל-PA (דהיינו N או אומגה עם הפעולות הרגילות). בנוסף, מאחר שתחת ZFC אנו מוכיחים את כל שאר המתמטיקה, פחות או יותר, הרי ש-ZFC גם מוכיחה את משפט ה*שלמות* של גדל, כלומר קיום מודל מוכיח עקביות התורה. בדיוק כמו שלא צריך להניח עקביות ZFC כדאי להוכיח עקביות של תורת החבורות, כך גם עבור עקביות PA. לגבי טענות אריתמטיות אי כריעות ב-ZFC: אני לא מכיר טענה "טבעית" כזו1 אבל אם מסתכל על הוכחת משפט גדל נראה שאת כל הקידוד שהוא עושה, אפשר לבצע בתוך אומגה. הוא מקודד סמלים ע"י טבעיים ולאחר מכן גם פסוקים והוכחות. הנוסחה שאומרת "יש ל-X הוכחה" היא בעצם פסוק אריתמטיולבסוף גם פסוק גדל המתקבל הוא כזה. זו היתה פסקה שלמה על טענות אריתמטיות לא כריעות. זו גם הסיבה שאני לא פלטוניסט-אריתמטי. 1 למרות שבטח יש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא מאמין שלנוסחה (Con(ZFC יש ערך-אמת? (אני יודע שאי-אפשר להוכיח אותה ב-ZFC, אבל...) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החלטתי להציק עוד קצת לך (ולעוזי). נתחיל ממשפטים-דמויי-גולדבאך, כאלה שאומרים "כל מספר טבעי מקיים תכונה מסויימת (שאפשר לבדוק בזמן סופי)". אם משפט כזה הוא לא נכון, אז יש לו דוגמה נגדית קונקרטית, ולכן אם הוא לא כריע במערכת כלשהי T, אז הוא נכון במספרים הטבעיים (ה"רגילים"). את זה גם אתה וגם עוזי מקבלים1 - כלומר אתם לא רואים באי-כריעות הזו עדות לאיזו בעייה אונטולוגית, אלא סתם לחולשה של המערכת T: מה לעשות, היא לא מספיקה כדי להוכיח את המשפט, למרות שהוא *באמת* נכון. אם כך, גם אתה מסכים שאי-כריעות של משפטים *מסוג זה* איננה סיבה מספקת להיות לא פלטוניסט-אריתמטי, ועל רקע זה ההצהרה האחרונה שלך מוזרה בעיני: הלא משפט גדל מייצר אי-כריעות מסוג כזה בדיוק ("כל מספר טבעי איננו (מספר גדל של) הוכחה ב-T לכך ש-T עקבית", למשל). מובן שייתכנו גם משפטים לא-כריעים שאינם כאלה (כמו TP), ואז באמת לא ברור איזו משתי האפשרויות היא נכונה במספרים הטבעיים. משונה בעיני שאתם מקבלים בקלות את ההנחה שאי-כריעות במקרה הראשון רק חושפת חולשה של מערכות פורמליות, ואילו במקרה השני אצים להניח שיש ריבוי עולמות אונטולוגיים. אם כבר למדנו (מהמקרה הראשון) שכל מערכת פורמלית קצרה ידה מלהוכיח כל משפט אמיתי, מדוע פתאום עכשיו (במקרה השני) המוגבלות הזו מתורגמת לאי-בהירות אמיתית לגבי ערך-האמת של טענות אריתמטיות? 1 ולעדות: תגובה 164381, תגובה 165943. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה להגביל למספרים הטבעיים? אפשר לחזק את הטענה עוד יותר: נקבע תורה אריתמטית אפקטיבית T (למשל: ZFC). בהנתן משפט מהצורה "לכל x (טענה שאפשר לבדוק - לשני הכיוונים - בזמן סופי)", אם הוא אינו כריע, אז הוא מוכרח להיות אמיתי בכל מודל בן-מניה של T. (אחרת היתה דוגמא נגדית, ולזה יש הוכחה סופית. זו הגרסה הלוגית של "אם יש ספק אין ספק"). רק כדי ליישר קו: פסוק גדל של התורה T הוא מהצורה שהזכרתי, מכיוון שכל מספר המועמד להיות מספר גדל של הוכחה, אפשר לבדוק בזמן סופי. הפסוק אומר "אין ב- T הוכחה לעקביות של T". מה הנימוק הקודם אומר על ערך האמת שלו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא כל כך הבנתי את הפסקה הראשונה, אבל אם הבנתי אותה, אז נראה שאני מסכים. ברור לי שה"נימוק" לא אומר שום דבר על יכיחות בתורה, הוא רק מאפשר להבחין (עבור טענות דמויות-גולדבאך, מה שמכנים פאי-1-0) בין האפשרות הסטנדרטית לאפשרות הלא-סטנדרטית לפרש את הטענה. לא הבאתי את זה כמין סופר-נימוק מדוע אפשר מטא-לראות ש-ZFC עקבית. ניסיתי לומר, או לשאול: מדוע אתם מצמדים את המושג "אמת" ליכיחות ונמנעים מלומר שיש אחת כזו אבסולוטית, כאשר אנו רואים במקרים הקלים שיכיחות ב-ZFC איננה לוכדת את האמת? דיברנו קודם על טענות אריתמטיות שאינן יכיחות ב-ZFC. אני לא בטוח שציינתי את זה אבל מטייסביץ' (מטיישביץ'? מה שאורי קורא גזונדהייט) נותן לנו אחת פשוטה: יש משוואה דיופנטית שאי-אפשר להוכיח ב-ZFC שאין לה פתרון. ברור שבאמת אין לה פתרון, כאן אין כל ויכוח. במקרה הזה, אם כך, אנו לא מפסיקים להאמין בחד-משמעיותם של הטבעיים, אלא מסיקים בצער ש-ZFC פגומה. מדוע אם כן יש להרחיק לכת ולומר שבמקרים אחרים (לא דמויי-גולדבאך), אם ZFC קצרה ידה אז זה אומר משהו מוזר על חד-משמעיות של טענות? לי נראה יותר טבעי להמשיך את אותו הקו: יש טענות אריתמטיות נכונות, יש לא נכונות, ו-ZFC (כמו כל תורה אפקטיבית אחרת) לא תמיד מאפשרת לנו לזהות מיהי מה. עצוב, אבל אז מה? מי תקע לידינו של-ZFC כל האמת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הקשר בין המשוואות האלו של מטיישביץ' לבין הפתרון שלו לבעיה העשירית של הילברט? (יש הבדל בין "אין אלגוריתם שמכריע האם למשוואה יש פתרון", לבין "משוואה שאי-אפשר להוכיח ב- ZFC שאין לה פתרון"). נראה איפה אנחנו עומדים. יש טענות 'אריתמטיות' שאפשר לנסח ב- ZFC, והן בלתי כריעות שם. דוגמא: העקביות של ZFC. למרות אי-הכריעות, אנחנו מאמינים שהטענות האלה נכונות (באיזה מובן בדיוק, אגב?) אתה מציע שלכל טענה מסדר ראשון על מספרים - יש ערך אמת "אמיתי"; אם ZFC מצליחה להוכיח או לסתור את הטענה, היא נותנת את הערך הנכון. אבל גם אם לא, זה פשוט מראה על חולשה של ZFC. דוגמא: "ZFC עקבית" היא נוסחא שיש לה ערך אמת (במובן האמוני), ו- ZFC חלשה מכדי להכריע לגביה. אני מסכים ש*יש* טענות לא כריעות עם ערך אמת; אבל למה להסיק מזה ש*לכל* הטענות מטיפוס מסויים מוכרח להיות ערך אמת? חוץ מזה, על איזה טיפוס בדיוק אנחנו מדברים? כל טענה על מספרים? האם אתה מוכן לקבל שיש טענות (מסדר ראשון - כמובן, אבל האבחנה הזו חסרת משמעות) ללא ערך אמת? אם יש מודל 'טבעי', מה מפריע לו לכסות גם טענות על קבוצות של מספרים וקבוצות של קבוצות ופונקציות מקבוצות של קבוצות לקבוצות של קבוצות? מה ערך האמת של השערת הרצף? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על אלה טענות אתה מסכים ש*יש* להן ערך אמת? ואם ללכת לקבוצות של מספרים וכיו"ב - מדוע לא ללכת למספרים שלמים/רציונליים/ממשיים והלאה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לסווג את הטענות לארבעה סוגים. א. אלו שאפשר להוכיח או להפריך במסגרת המערכת האקסיומטית שבחרנו (סטיקר: "אני בוחר ב- ZFC! מאה אלף מתמטיקאים לא טועים") ב. אלו שמבחינה פורמלית הן בלתי כריעות (שזה בדיוק אומר שהן לא שייכות לסוג הראשון), אבל מסיבה פסיכולוגית כלשהי אנחנו מעדיפים להמציא להן ערך אמת, ואולי אפילו להוסיף אותן למערכת האקסיומות. ג. בסוג השלישי אפשר לאסוף טענות לא כריעות שאנחנו לא מדביקים להן ערך אמת, והן נשארות בלתי כריעות גם במערכת האקסיומטית (זה עניין פורמלי), וגם 'מבחינה אונטולוגית' (שזה פסיכולוגיה, כאמור; לא באמת חשוב). ד. הסוג האחרון - "טענות" שאי אפשר בכלל לנסח בשפה של ZFC ("חצילים הם לא טעימים"), ועבורן אין משמעות למושג 'ערך אמת'. אגב, התגלית המרשימה של גדל (שאולי הלכה לאיבוד בסבך הדיון) היא שטענות כמו "ZFC היא מערכת אקסיומות עקבית" שייכות לאחד משלושת הסוגים הראשונים, ולא לסוג הרביעי. *אפשר* לנסח את ה"מטא-טענה" על עקביות של מערכת 'אריתמטית' (אפקטיבית) בתוך המערכת. המשפט השני של גדל מספר לנו ש(אם המערכת עקבית), אז הטענה הזו אינה שייכת לסוג הראשון - היא לא כריעה בתוך המערכת. מבחינתי יש ערך אמת לטענות משני הסוגים הראשונים. זו התחמקות, כי הסוג השני לא מוגדר (לא פרשתי בפניכם את הפסיכולוגיה הפרטית שלי). בכל אופן אני מעדיף גישה אגנוסטית בעניין הזה: טענה שרוצה ערך אמת צריכה להתאמץ לשכנע שהיא באמת זקוקה לו. הדוגמא היחידה שעולה בדעתי לטענות מהסוג השני: העקביות של ZFC. אני מאמין ש- ZFC מערכת עקבית, למרות שכאמור זו טענה ("על מספרים טבעיים") שאינה כריעה במערכת. למרבה התסכול, זה לא יעזור לזרוק לתוך המערכת את האקסיומה שאומרת "ZFC כריעה", ולקרוא לה ZFC+, בגלל שאז משפט גדל יאמר שהטענה "ZFC+ כריעה" אינה כריעה במסגרת ZFC+, ונצטרך לזרוק פנימה עוד ועוד אקסיומות. אין בעצם הבדל בין מספרים שלמים או רציונליים לבין מספרים טבעיים. על מספרים ממשיים אפשר לחשוב כאילו הם קבוצות (מאד מיוחדות) של מספרים רציונליים. אפשר להפנות לאלון את השאלה הזו - האם הגישה הפלטונית מחייבת ערך אמת מוגדר היטב גם לטענות על מספרים ממשיים? אם לא, מה בתהליך הבניה שלהם הוא לא 'פלטוני'? ---- (שאלה טכנית ללוגיקאים: אפשר להגדיר ברקורסיה את המערכת {ZFC+^{n+1 בתור ZFC+^n יחד עם האקסיומה "ZFC+^n כריעה", כאשר ZFC+^0=ZFC. נסמן ב- ZFC* את איחוד המערכות הקודמות. האם היא עדיין אפקטיבית?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשאלה אלי: אני מסיר מעצמי אחריות לגישה הפלטונית באופן כללי... אין לי מושג. הגישה הפרטית שלי מניחה ערך-אמת לטענות מסדר ראשון על ממשיים (מה שאומר שאני מייחס ערך-אמת גם לטענות על קבוצות של טבעיים), אבל לא לטענות על קבוצות של ממשיים (כמו גם על קבוצות של קבוצות של טבעיים). לא חשבתי על זה הרבה, אבל כך נראה לי. אגב, "תהליך הבנייה" של ממשיים הוא ודאי לא 'פלטוני' במובן הבסיסי: הוא מחייב שימוש במושג הלא-קונסטרוקטיבי "סדרה אינסופית שרירותית", או "חתך-דדקינד שרירותי". __ אני לא לוגיקאי, אבל אני חושב שאני יכול לענות: כן, ודאי. אתה עדיין יכול לזהות אקסיומה, וכללי ההיסק שלך לא השתנו. למעשה, אפשר להמשיך את הבנייה שלך באינדוקציה טרנספיניטית הלאה (באופן ברור), ויש תוצאות על מה קורה שם. יש לי ספר אחר של טורקל פרנזן, "Inexhaustability", שמדבר בדיוק על הנושא הזה בפרקים האחרונים שלו - שטרם יצא לי להתעמק בהם. מומלץ, בכל אופן, עם אזהרה: הוא פלטוניסט בערך כמוני. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |