 |
|
 |
||
|
||||
 |
(הערה: בגלל בעיות תצוגה האנגלית, חלק מהסימונים יוצאים לא תקינים, ואתכם הסליחה) הנחת המבוקש הינה כשל הרובץ לפתחם של העוסקים בחשיבה דדוקטיבית, היות ומטרתם ידועה להם ואין תנאים חיצוניים כמו ניסויי, המאפשרים להכריע תקיפותה של הנחה. המצב זה יש לדבוק בדייקנות יתירה בהגדרות המקיימות אלמנטים במרחב החקירה המבוסס של השיטה הדדוקטיבית. הבה ונבחן את הוכחתו של קנטור, לפיה ניתן להרחיב את |P(A)|>|A| גם לאוסף אינסופי. בחלקה הראשון של הוכחתו מראה קנטור כי |P(A)| לא יכול להיות קטן מ-||A , ע"י injection : a <--> {a} מכאן אנו למדים כי |P(A)|>=|A| וכל שנותר לנו הוא להוכיח כיb <--> {b} c <--> {c} … |A| לא שווה ל- |P(A)| . חלק זה של ההוכחה הינו רגיש במיוחד להנחת המבוקש, ולכן יש לנקוט במשנה זהירות וחובתנו היא להסיק מסקנות רק ואך ורק עפ"י המידע המינימלי העומד לרשותנו. מידע זה מבוסס על הבנת תנאי קיומו של איבר ב-P(A), שנסמן אותו כ-S . S הינו איבר ב-P(A) המכיל את *כל* אברי A אשר לא נמצא להם העתק באברי P(A) הממופים איתם, לדוגמא: 0 <--> {0,1} , 1 <--> {10,11,12} , 2 <--> {5,6} , 3 <--> {3,4,5} , 4 <--> {8,9}, … קנטור טען כי היות והמיפוי של איבר מ-A עם S מוביל לסתירה, ניתן להסיק כי לא קיים איבר מ-A אשר ניתן למפותו עם S ולכן ניתן להסיק כי S הינו איבר ב-P(A) אשר נמצא מחוץ לטווח המיפוי עם איברי A ולכן ניתן להסיק כי |P(A)|>|A| .In this example S ={1,2,4,…}. אני טוען כי קנטור נכשל בשלב זה בהנחת המבוקש, מכיוון שהוא לא בדק את התכנות קיומה של S , כאשר בדיקת התכנות-קיום זו חייבת להבחן רק ואך ורק עפ"י ההגדרה המכוננת של איבר S . בדיקת התכנות קיום זו היא כדלקמן: הגדרת S: S הינו איבר ב-P(A) המכיל את *כל* אברי A אשר לא נמצא להם העתק באברי P(A) הממופים איתם, לדוגמא: 0 <--> {0,1} , 1 <--> {10,11,12} , 2 <--> {5,6} , 3 <--> {3,4,5} , 4 <--> {8,9}, … לפי הגדרה זו חייב S להכיל את *כל* אברי A אשר לא נמצא להם העתק באברי P(A) הממופים איתם ללא שום יוצא מהכלל, או במילים אחרות, S חייבת להכיל *כל* איבר של A *כולל* האיבר של A הממופה איתה, אך ההגדרה המכוננת שלה אינה מאפשרת ל-SIn this example S ={1,2,4,…}. להכיל את איבר A הממופה איתה, ולכן S איננה יכולה להכיל את *כל* אברי A אשר לא נמצא להם העתק באברי P(A) הממופים איתם, ומכאן נובע מיידית כי ההגדרה המכוננת של S אינה מתקיימת ולכן S אינה מתקיימת. היות ו-S אינה מתקיימת, אין קנטור יכול להסיק דבר מעבר לשלב הראשון של הוכחתו, שהוא |P(A)|>=|A| . |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זה בדיוק העניין: *אם* יש התאמה חח"ע ועל בין שתי הקבוצות, אז: 1. S קיימת (נובע ישירות מאקסיומת ההפרדה, אחת מהאקסיומות החשובות בתורת הקבוצות, שבלעדיה קשה מאוד לעבוד 1). 2. S לא קיימת (כפי שהוכחת). סתירה! מכאן: יש לנו שגיאה בהנחת היסוד, ו*אין* התאמה כזו. 1 כאן חשוב להבהיר, לפני תגובותיך הצפויות מראש: אני לא טוען שהאקסיומה הזאת "נכונה". אני טוען שמשפט קנטור נכון ב-ZF. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא לא טוען ש S לא קיימת בגלל הסתירה בהוכחה הרגילה. הוא טוען ש S לא קיימת בגלל שאי אפשר להגדיר אותה, כלומר בגלל שהנוסחה שמגדירה את S "מניחה" את קיומה של S, משום שיש שם מעבר על כל האיברים בעולם, כולל S, וזה לפני שהיא הוגדרה. שים לב שזו אותה בעיה שהיתה לו עם ההגדרה של הקבוצה הריקה. דורון פשוט לא מקבל את אקסיומת ההפרדה, להבנתי הוא טוען שהיא פשוט לא הגיונית וצריך להוריד אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, כן. נשמע הגיוני. אני גאה למנות אותך לשדמיולוג מתלמד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, איפה מקבלים את התעודה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אין תודעה, כשמקבלים תעודה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אם יש תעודה אין תודעה אם יש תודעה אין צורך בתעודה" תגובה 338507 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואני לתומי חשבתי שמשה קליין סיים תואר ראשון במתמתיקה בהצטינות יתרה (ב 1980). האם עדיין יש לו תודעה? בקיצור, זה נשמע כמו תירוץ עלוב. בכל זאת, השקעתי וקראתי מאמרים ארוכים של דורון, והשגתי כמה הבנות לגביו. אני רוצה תעודה! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן יש לו אותו שם אבל הוא השתנה בשנת 2000 ----------------------------------------- אם אתה כל כך רוצה לקבל תעודה תבקש אותה ישירות מדורון הוא ישמח על עצם הבקשה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אם אינני טועה, המשה קליין איתו אני מדבר כעת, ואשר אינו זקוק לתעודות ואפילו רואה בהן מכשול, לומד לדוקטורט באוניברסיטה (לפי האתר של גן אדם). איך זה מסתדר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אכן לא מסתדר, אבל לא אוכל לענות לך בפורום באינטרנט אתה יכול לשלוח לי דואר אלקטרוני ואשתדל לענות לך |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 335070 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן אייל צעיר זה המשפט המלא שעלה בי היום לאור הבקשה לתעודה אז הנה ציטוט של ניטשה: חסידיה הראשונים של תאוריה חדשה, אינם הוכחה ודאית שהתאוריה לא נכונה. אני מקווה שתאהב גם אותו |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר, אם אתה מעונין בצילום המאמר של יצחק שלח על בעית 4 הצבעים שמסכם את עבודתו מהשנים 1960-1980 אנא ידע אותי בכך משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העצמת השפה בעזרת המתמטיקה כמעט בכל גן ילדים יש היום מחשב. אחד המשחקים האהובים נקרא "צבע את המפה" . המחשב מציג לילד מפה עם מספר ארצות והילד צריך לצבוע את המפה ב 4 צבעים כך ששתי מדינות סמוכות לא יהיו צבועות באותו צבע. מהיכן יודעים ש 4 צבעים מספיקים לכל מפה ? בעית 4 הצבעים נולדה בשנת 1852 במכתב שכתב המילטון לדה מורגן. במשך למעלה מ 120 שנים עסקו טובי המתמטיקאים בפיתרון של בעיה הזו. בשנת , 1976 כשהייתי תלמיד בתיכון התבשרנו ש 2 מתמטיקאים הוכיחו באמצעות מחשב שכל מפה ניתנת לצביעה ב 4 צבעים. לפני מספר שנים, זכיתי שהגיע לידי מאמר בן 12 עמודים שכתב יצחק שלח שחי בקיבוץ שדה נחמיה במסגרת הנסיון לפתור את הבעיה בין השנים 1960-1980 למרות שהבעיה נפתרה, קיימת שאלה, האם ניתן להוכיח את הבעיה ללא עזרתו של מחשב. כשאנו באים לדון בשאלה החשובה של עיסוק במתמטיקה בגן הילדים עלינו להפריד קודם את שני הנושאים ולקיים אותם בנפרד. את נושא המתמטיקה ואת העבודה עם ילדים בגיל הרך. כשנהיה מדויקים בשניהם, נדע איך לעשות חיבור המדויק. אשאל אותכם כעת: ממה מורכב הקו ? משה גן אדם |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קו הוא מושג יסוד. הוא לא "מורכב" משום דבר. למעשה, לטעון "ישר הוא קבוצה של נקודות" זה בערך כמו לטעון "נקודה היא קבוצה של ישרים". "האם ניתן להוכיח את הבעיה ללא עזרתו של מחשב?" בטוח ש*טכנית* ניתן להוכיח את הטענה בלי מחשב (זו תהיה הוכחה ארוכה, חסרת היגיון, נטולת תובנות יפות ולא אלגנטית. אבל טכנית - זו תהיה הוכחה). השאלה המעניינת היא האם יש הוכחה *אלגנטית* להשערת 4 הצבעים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הקו שלך הוא אטום אז תסביר לי בבקשה מהי השערת הרצף של קנטור ואיך אפשר ליצור בכלל רצף עם נקודות |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. "לא קיימת קבוצה שעוצמתה גדולה-ממש מעוצמת קבוצת המספרים הטבעיים, וקטנה-ממש מעוצמת קבוצת המספרים הממשיים." ב. למשל, הפונקציה y=x^2 היא פונקציה רציפה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנה שוב אתה נופל לאותה מלכודת חשיבה האומרת שהקו מורכב מנקודות |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על איזה קו אתה מדבר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על קו ישר מופשט | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחד האתגרים שיש במתמטיקה הוא לפתח את ההבנה דרך האינטואיציה הטבעית של הילדים. השימוש אך ורק בלוגיקה משטח את התפיסה והופך אותה למכנית. אנו יודעים כבר כי ילדים בגיל הרך, תופסים את המספר בצורה קוטבית של מונה וסודר. באמצעות הבחנה נוספת בין מושג הרצף למושג הבדידיות מגדירים מחדש את מושג המספר כגישור בין הרצף לבדידיות. באופן זה ניתן להצמיח בצורה אורגנית את המושגים המתמטיים במסגרת של שיח מעורר בין ילדים למבוגרים. על בסיס תובנה פשוטה זו, פותחה תוכנית במתמטיקה לגני ילדים "שיח של מספרים" אשר תוצג בפני הגננות בכינוס "שימור והתחדשות בגני הילדים". משה קליין גן אדם gan_adam@017.net.il
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הקשר להשערת הרצף? היא לא מדברת על קווים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר בעקבות שאלתך אנא עיין בקישור המעניין על בעית 4 הצבעים: בברכה משה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמה צלעות יש לכל ארץ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תלוי עד כמה היא צלעית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היתה רצינית? אם כן אני מניח שהכוונה ל"כמה ארצות יכולות להיות סמוכות לארץ נתונה" (שהרי הארצות הן לא בהכרח מצולעות). התשובה לכך היא: ללא הגבלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רצינית ומנוסחת רע בסגנון פרטי, עמרצי וגאה :-] , ע"מ לקבל אישור שאכן ללא הגבלה. תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהקשר זה אולי כדאי להזכיר שאת משפט ששת הצבעים, בניגוד לארבעת הצבעים, קל מאוד להוכיח. יש ביקוש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ביקוש יש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את/ה החשמנית? לומשנה. אנו רוצים להוכיח שכל גרף מישורי פשוט (כלומר ללא לולאות או קשתות כפולות) ניתן לצבוע בשישה צבעים באופן חוקי, כלומר, כל שני קודקודים מחוברים בקשת צבועים בצבעים שונים. מתחילים מנוסחת אוילר: F − E + V = 2 כאשר F מספר הפאות (כולל הפאה החיצונית)E מספר הקשתות ו-V מספר הקודקודים. (עוד: http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic, לא להבהל ולפנות לפרק ההיסטוריה, שם יש הוכחה פשוטה של הטענה1) כעת, נשים לב שלכל פאה יש לפחות שלוש "צלעות"2 (=קשתות, הן לא חייבות להיות ישרות). מכיון שלכל קשת יש בדיוק שני צדדים הרי שקיבלנו: 2E>=3F אם נציב באי-שיוויון את נוסחת אוילר נקבל:2E>=3(E-V+2) אם משחקים קצת עם התוצאה מקבלים:3V-6>=E למה זה טוב?נסתכל על הדרגה (מספר הקשתות היוצאות מקודקוד) הממוצעת בגרף. בהגדרה, זהו סכום הדרגות חלקי מספר הקודקודים. כל קשת בגרף תורמת 2 לסכום הדרגות ולכן הדרגה הממוצעת היא: 2E/V כעת, על פי האי-שיוויון שקיבלנו:6-12/V>=2E/V ולכן הדרגה הממוצעת קטנה משש.בפרט בכל גרף כזה יש קודקוד עם דרגה קטנה משש (כלומר חמש לכל היותר). השאר באינדוקציה, בהנתן גרף נוריד ממנו קודקוד כנ"ל. את מה שנשאר אפשר לצבוע חוקית, ע"פ הנחת האינדוקציה, בשישה צבעים. נוסיף את הקודקוד שלנו ונצבע אותו בצבע שאפשר (הוא מקושר לכל היותר לחמישה צבעים שונים). 1 בעיון מדוקדק יותר, ההוכחה המופיעה שם אינה מדויקת. יש! מצאתי טעות בהוכחה של קושי! 2 זה לא נכון בכל גרף מישורי, אבל נכון בגרף פשוט. למה גרף של מפה חייב להיות פשוט? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא החשמנית. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הערה קטנונית: ה"פאה" החיצונית היא לא באמת פאה, כי היא לא הומאומורפית לעיגול פתוח. (או שאני סתם מדבר שטויות) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא מדבר שטויות, אבל... בשפת יומיום, אף אחת מהפאות הללו אינה פאה, כי פאות מתיחסות לגופים תלת מימדיים. בשפה המתמטית מקובל להגדיר גם את הפאה החיצונית כפאה כי זה יותר נוח וכללי וגם כי אז אין הבדל בין גרף מישורי לגרף המשוכן על הכדור. קושי, בקישור המצורף, מתיחס במפורש לפאה החיצונית שצריך להסיר אותה לפני שמשטחים. את ה"טעות" בהוכחה שלו כבר מצאת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני זוכר שקוראים למה שאתה קורא פיאות, ארצות. קצת יותר הגיוני לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו טופולוגיה אנרכיסטית. עקרונותיה: * למדינות אין זכות קיום. * בכל נסיבות שהן, אין טעם להילחם על שטחים. (לא כל כך מופרך: תגובה 168058.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שתורת הגרפים צריכה להיות קשורה לטופולוגיה כל כך. אולי פה ושם יש נגיעות, אבל קל יותר לדבר על גרפים כמשהו יותר מופשט. חוץ מזה אמרתי ארצות, לא מדינות. ארצות תמיד יהיו, אפילו כשלא יהיו בני אדם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשעוסקים בגרפים מישוריים נכנסים לדעתי כבר לתחום קרוב מאוד לטופולוגיה קומבינטורית, ואולי גם לתחומי הטופולוגיה ממש. וכן, שמתי לב שאמרת "ארצות", אבל: א. למה להיות קטנוני? ב. לארצות אין בדרך כלל גבולות מדוייקים (טוב, לפעמים זה נכון גם למדינות. ע"ע ישראל). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטרמינולוגיה הטופולוגית שאני מכיר 1, פאה היא מה שהגדרתי בתגובה הקודמת. ברור שבמקרים מסוימים יהיה נוח להגדיר את התחום החיצוני כפאה, אבל ככלל, מפרידים בין רשת טופולוגית על המישור (רשת שבה *כל* נקודה היא קודקוד, שייכת לצלע, או שייכת לפאה) לרשת טופולוגית על מישור חלקי (כלומר, כמו במקרה שלנו, רשת על פאה במישור) 1. בשני המקרים, אגב, נוסחת אוילר היא F − E + V = 1. 1 עדיין יכול להיות שאני מדבר שטויות. אני הבור כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד הערה קטנה: שמתי לב שבתגובה 339026 אתה מדבר על גרפים ולא על רשתות טופולוגיות. רשת על המישור לא מעניינת את מי שעוסק בתורת הגרפים, כי הקודקודים והצלעות בה לא יוצרים גרף (אאל"ט, בכל רשת על המישור יש צלע שאין לה שני קודקודים גבוליים. בכל מקרה, יש רשתות כאלה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קודם כל, אין כל צורך לסייג את דבריך השכם וערב. שנית, אני לא יודע למה אתה מתכוון במונח רשת טופולוגית. יש רשת בטופולוגיה המכלילה את מושג הסדרה בהקשר של התכנסות, לא ממש רלוונטי. מה שאתה מתאר נשמע כמו מה שאני מכיר כ"מרחב תאי" (http://en.wikipedia.org/wiki/CW-complex). במקרה זה, אני מתקשה לפרש את הערותיך: 1) "רשת על פאה במישור" 2) כל תגובה 339047. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטופולוגיה קומבינטורית, רשת טופולוגית על המישור מוגדרת כקבוצה של פאות (קבוצות נקודות הומאומורפיות לעיגול פתוח), צלעות (קבוצות נקודות הומאומורפיות לקטע פתוח) וקודקודים (נקודות), כך שמתקיים: א) כל נקודה במישור היא קודקוד, שייכת לצלע או שייכת לפאה. ב) אין אף נקודה ששייכת לשני איברים בקבוצה הנ"ל. ג) כל נקודה גבולית לצלע היא קודקוד. ד) כל נקודה גבולית לפאה שייכת לצלע או שהיא קודקוד. שים לב שצלע יכול 3 להיות באורך אינסופי, ושפאה יכולה להיות בעלת שטח אינסופי. את אותה הגדרה אתה יכול להכליל ולהגדיר רשתות גם על ספרה (גם תלת-מימדית, וגם ממימדים גבוהים יותר), טורוס (כנ"ל), מרחב n-מימדי, מישור חלקי (קבוצת נקודות במישור שהומאומורפיות לעיגול סגור 1), "דיסק" (מישור חלקי ש"הוצאנו" מה"מרכז" 2 שלו פאה, ועוד ועוד... 1 אמרתי משהו אחר בתגובה קודמת. טעיתי. 2 כלומר, פאה שאין לה נקודה גבולית שהיא נקודה גבולית גם של המישור החלקי. 3 פתאום אני לא בטוח אם "צלע" זה זכר או נקבה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
3 - "ויישן ויקח אחת מצלעותיו ויסגר בשר תחתנה" (בראשית ב 21). ומכאן שנקבה. (לא להאמין שאני עדיין נכנס לדיון הזה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה רבה. (ש*אתה* עדיין נכנס? ומה תגיד עלי?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאתה נשמע (נקרא?) כמו בחור נחמד וקצת חבל עליך. המה עוד ציטוט, הפעם לא מהתנ"ך: "כאן נתקלים באחת התכונות המשותפות לכל הטרחנים הכפייתיים: אין, לא היה ולא יהיה שום סיכוי להוכיח להם שהם טועים. רבים ניסו, וככל הידוע עד היום איש לא הצליח". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת היא שהכרתי בעובדה הזאת (לפחות מבחינה שכלתנית) כבר בתחילת הדיון. אז למה אני ממשיך לענות לדורון? כנראה שגם זאת תופעה פסיכולוגית מעניינת, שמוזכרת במאמר (גם בציטוט שהבאת) ובעוד כמה תגובות של אלון: יש אנשים שלא מסוגלים לא לענות לטרחנים כפייתיים. לדעתי זה נושא למאמר בפני עצמו. (ותודה על המחמאה.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אול לחילופין האינטואציה שלך אומרת לך שיש כאן משהו שטרם הצלחת להבין את פשרו ועומקו | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, זה מה שנקרא מרחב תאי1. מאיפה השם רשת טופולוגית?טופולוגיה קומבינטורית היא שם ישן לטופולוגיה אלגברית. חלק ממה שכתבת לא מובן לי/לא נכון: >מישור חלקי ש"הוצאנו" מה"מרכז" 2 שלו פאה 2 כלומר, פאה שאין לה נקודה גבולית שהיא נקודה גבולית גם של המישור החלקי. להוציא, נניח, את עיגול היחידה מהמישור לא עונה להגדרה כי הנקודות על שפת העיגול הן נקודות גבוליות של הפאה ושל המישור החלקי. >(אאל"ט, בכל רשת על המישור יש צלע שאין לה שני קודקודים גבוליים. בכל מקרה, יש רשתות כאלה). צלע שאין לה שני קודקודים גבוליים אלא רק אחד? זו פשוט לולאה בגרף. בכל רשת יש כזו? מה פתאום? 1 בערך. בד"כ ממרחב תאי דורשים קצת יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"טופולוגיה קומבינטורית היא שם ישן לטופולוגיה אלגברית" - לפחות בעניין הזה יש לי על מי לסמוך: תגובה 336185. "להוציא, נניח, את עיגול היחידה מהמישור לא עונה להגדרה כי הנקודות על שפת העיגול הן נקודות גבוליות של הפאה ושל המישור החלקי." - אמרתי לך לא לסמוך עלי יותר מדי. הכוונה היא לנקודות גבוליות שלא שייכות לקבוצה. אגב, אתה לא יכול להשתמש במישור כולו כמישור חלקי, כי הוא לא הומאומורפי לעיגול *סגור*. "צלע שאין לה שני קודקודים גבוליים אלא רק אחד? זו פשוט לולאה בגרף. בכל רשת יש כזו? מה פתאום?" - לא התכוונתי ללולאה. התכוונתי לצלע בעלת אורך אינסופי (נניח ישר או קרן פתוחה). כמו שציינתי בתגובה 339047, הצלעות והקודקודים ברשת *על המישור כולו* לא בהכרח יוצרים גרף (למשל: ישר מסוים הוא צלע שמחלקת את המישור לשתי פאות. אף גרף לא מתאים לרשת הזאת). אגב, טעיתי כשאמרתי שבכל רשת על המישור כולו יש צלע אינסופית. אבל נראה לי שזה נכון לגבי רשת עם מספר קודקודים צלעות ופאות סופי ושונה מ-0 (ובלאו הכי, זה המקרה המעניין). וגם לגבי זה אני לא ממש בטוח. לאור שאלתך האחרונה, אתה בטוח ש"מרחב תאי" זה אותו דבר? האם ממרחב תאי ניתן תמיד ליצור גרף? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. גם אני לא נתקלתי במונח "רשת טופולוגית". 2. "מרחב תאי" הוא הכללה ממימד יותר גבוה. השלד החד-ממדי של מרחב תאי הוא (סוג של) גרף. 3. כשאתה מדבר על אובייקט מתמטי, ברוב המקרים חשוב להדגיש לא רק את המבנה שלו אלא גם את הטרנספורמציות המותרות. אוסף ספציפי של נקודות, צלעות ופאות כמו שתארת הוא לא מאוד מעניין - מה שמעניין הוא התכונות של אוספים כאלה "עד כדי" משהו: עיוותים רציפים של המישור, או זהות במבנה הקומבינטורי של החילה בין הנקודות, הפאות והצלעות, וכו'. אחת העובדות המרכזיות בתחום הזה היא שלפחות במימדים נמוכים, הקומבינטוריקה מספרת את כל הסיפור הטופולוגי. במימדים גבוהים זה כבר לא כך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. יש לי חשד סביר ש"רשת טופולוגית" היא תרגום מילולי מרוסית, שלא מקובל בעברית. יש כאן מישהו דובר רוסית שיכול לחפש מושג מתמטי דומה ברוסית? 2. למה אתה מתכוון כשאתה אומר "סוג של גרף"? 3. אתה צודק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד לא אמרת מאיפה אתה מכיר את המונח ''רשת טופולוגית''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המורה שלי שמנחה אותי לעבודת הגמר שלי, ד''ר למתמטיקה מרוסיה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(יופי. עכשיו יש לכם עוד אחד בדיון הזה שמדבר בשפה משלו. :-) ) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באמת שכחתי שרציתי לשאול: מה בדיוק עושים בעבודת גמר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. יש כל מיני סוגים של גרפים. לפעמים זה אוסף של קדקודים ואוסף של זוגות-של-קדקודים, ולפעמים - אוסף של קדקודים, אוסף של צלעות, ויחס חילה (עם לכל היותר שני קדקודים לצלע). לפעמים הקדקודים והצלעות שוכנים באיזהו מרחב גיאומטרי (גרף משוכן), ולפעמים לא. לפעמים הצלעות מכוונות, ולפעמים לא. וכו'... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את זה אני יודע, אבל לאיזה סוג אתה מתכוון במקרה הזה? האם ל"אוסף של קדקודים, אוסף של צלעות, ויחס חילה (עם לכל היותר שני קדקודים לצלע)"? האם הסוג הזה מאפשר גם 0 קודקודים לצלע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(בקשר ל"את זה אני יודע" - אני מניח שזה יקרה עוד הרבה פעמים, אם נמשיך לדבר על דברים כאלה. לא תמיד אצליח לנחש מה אתה יודע ומה לא :-) ) זה (שוב) תלוי בסוג של מרחבים תאיים שאתה מסתכל עליהם. יש קומפלקסים סימפליציאליים שהחלק החד-ממדי וה-0-ממדי שלהם, המכונה "השלד החד-ממדי", הוא גרף פשוט; ויש מרחבים תאיים (כשאני למדתי, קראו להם קומפלקסי CW) שם יש גם לולאות וצלעות כפולות (אבל אין צלעות ללא קדקודים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז כנראה ש"רשת טופולוגית" ו"מרחב תאי" הם לא בדיוק אותו דבר 1. השלד החד-ממדי של רשת טופולוגית לא בהכרח יוצר גרף. דוגמה טריוויאלית: רשת טופולוגית על המישור שיש בה 2 פאות וצלע אחת (כלומר, היא מורכבת מ"ישר" אחד שהוא הצלע, שמחלק את המישור כולו לשני "חצאי-מישור" שהם הפאות) 2. מעניין מאוד ששניכם לא הכרתם את המושג. מה שמעלה את השאלה: עד כמה מתמטיקה היא עניין של גיאוגרפיה? עד כמה תחומי העיסוק המתמטיים המרכזיים שונים ממדינה למדינה? האם יש הבדלים משמעותיים בין מה שנחשב במדינות שונות כ"ידע מתמטי כללי" (בניגוד לידע שנמצא בעיקר אצל מומחים בתחום מסוים)? 1 כל הדיאלוג הזה הוא התעלמות אלגנטית מדבריו של אג"ג בתגובה 339164, שגם אמר בדיוק את זה, וגם ציין שהשלד החד-ממדי של מרחב תאי תמיד יוצר גרף. 2 כדי שלא תצטרך לחפש: ההגדרה של רשת נמצאת בתגובה 339095. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול לתת דוגמאות או לינק לשימוש של רשתות טופולוגיות שאינן מרחב תאי? אני שואל מפני שמרחב תאי הוא מושג שימושי למדי בטופולוגיה אלגברית ושם הדרישה הנוספת היא הכרחית כמעט תמיד. באשר לגיאוגרפיה: יש הבדלים גדולים מאוד בתחומי ההתמקדות לא רק בין מדינות שונות אלא גם (ואולי יותר) בין אוניברסיטאות שונות. אני מדבר עם אנשים שלמדו בעברית ומגלה שהם יודעים מעט מאוד על תורת המידה ואנליזה ואילו הידע שלי באלגברה לוקה בחסר לעומתם. בנוסף, הידע הכללי במתמטיקה הוא רחב מאוד. על מרחבים תאיים, למשל, לומדים בתואר שני. יכול אדם לסיים דוקטורט במתמטיקה ולא לקחת את הקורס הרלוונטי, ולא לדעת כלום על אנליזה ספקטרלית או מה זה Hauptvermutung. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא למדת בעברית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה אם חקר מאפיינים קומבינטוריים של רשתות טופולוגיות על טורוס, למשל? אפשר לעסוק בהן באמצעות מרחבים תאיים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, רשת טופולוגית על מרחב קומפקטי היא מרחב תאי. מרחב תאי הוא רשת טופולוגית שמקיימת עוד דרישה. כדי לעבוד עם תכונות אלגבריות הדרישה הזו הכרחית ועם תכונות קומבינטוריות היא לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק אותו הדבר, אבל ההבדל לא ממש עקרוני. כשמשלשים מרחב לא קומפקטי כמו המישור, נותרות פאות פתוחות; אפשר להניח להן לנפשן או לעבור לקומפקטיפיקציה, זה לא נורא משנה. ודאי שיש הבדלים בין תחומי המחקר במקומות שונים. הרבה פעמים נוצרת קהילה מקומית של אנשים המתמחים בנושא מסויים. מצד שני, "ידע מתמטי כללי" הוא מושג אוניברסלי למדי. לפעמים יש קצת הבדלים בטרמינולוגיה, אבל (כמו בדוגמה של הרשת הטופולוגית) זה לא מאוד עקרוני. מטבע הדברים, הבדלים כאלה נוצרו יותר בתכיפות (ויותר לעומק) בימי מסך-הברזל ובטרם היות האינטרנט. עד היום, אני מניח, ההונגרים חזקים ב"לפתור בעיות" והצרפתים ב"להמציא תאוריות". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. כפי שציינתי, יש עוד תנאים שמרחב תאי צריך לקיים. >אחת העובדות המרכזיות בתחום הזה היא שלפחות במימדים נמוכים, הקומבינטוריקה מספרת את כל הסיפור הטופולוגי. במימדים גבוהים זה כבר לא כך. פרט, נמק והרחב. חוץ מזה, אם בטופולוגיה עסקינן, הנה חידה. יהי Rinf מרחב כל הסדרות ב-R שמסתיימות באפסים, עם המטריקה הרגילה. במילים אחרות, איחוד R^n. יהי Dinf כדור היחידה הסגור ב-Rinf. יהי Sinf ספרת היחידה ב-Rinf. האם Dinf ו-Sinf שקולים הומוטופית? האם הם הומיאומורפיים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הצלחתי לנחש אם אתה שואל כדי לנזוף בי על הניסוח המרושל, או כדי באמת לשאול. אני אהיה אופטימי... אם רוצים לעסוק באובייקטים קומבינטוריים במקום במרחבים טופולוגיים מאיזשהו סוג, צריך לשאול - האם זה נכון שכל מרחב טופולוגי (מהסוג הרלוונטי) ניתן ל"שילוש" (כלומר, לבנייה מקדקודים, צלעות, פאות וכו'), וחשוב מזה, האם השילוש הוא יחיד במובן מתאים (האם לכל שני שילושים של אותו מרחב יש עידון משותף). אם זה המצב, אפשר להגדיר הגדרות ולנסח משפטים באמצעות המושג הקומבינטורי, ולדעת שהם נשארים תקפים ללא שינוי גם למרחבים הטופולוגיים המקוריים. יריעות (מכל מימד) אפשר לשלש, ואם לא רוצים להצטמצם ליריעות אפשר לדבר על פוליהדרונים (שהם, פשוט, מרחבים ניתנים לשילוש); מרחבים שאינם כאלה הם די פתולוגיים מבחינה גיאומטרית. ה"השערה המרכזית (Hauptvermutung) של הטופולוגיה הקומיבנטורית" היא שהטופולוגיה של הפוליהדרון אכן מכתיבה את הקומבינטוריקה של השילוש. עד מימד 3, זה נכון. ממימד 4 והלאה, זה לא נכון. גם אם מצטמצמים ליריעות, ממימד כלשהו והלאה זה לא נכון (אני לא בטוח אם זה עדיין 4; אולי משהו כמו 7). זו אחת מהסיבות (יש עוד) בעטיין "טופולוגיה ממימד נמוך" היא מקצוע בפני עצמו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אופטימי זה להניח שאני לא יודע? המממ... בכל מקרה, השאלה היתה אמיתית, לא נזיפה. מה לגבי החידה שלי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי, הם הומיאומורפיים. ההומיאומורפיזם יהיה מ Dinf על Sinf והוא יוגדר כך: f(x_1,x_2,...)=(sqrt(1-norm^2(x)),x_1,x_2,...) שאלה: אם אין לי טעות בהוכחה, אז האם זה גם נכון בכל l_2? כלומר האם הספרה של כדור היחידה הומיאומורפית לכדור היחידה הסגור ב l_2? כי אותה הוכחה תעבוד, ואין בה שימוש בכך שאחרי מספר סופי של אינדקסים יש רק אפסים.
x=(x_1,x_2,...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אופס, לא שמתי לב שזה לא בדיוק על. אני אחשוב על זה עוד קצת... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו יאללה, לא הגיע הזמן לתת פתרון? חלק נראה לי ברור - ספרה במרחב הילברט ממימד אינסופי היא כוויצה. כאן זה לא בדיוק מרחב הילברט, אבל בכל זאת אפשר לבנות כיווץ שכזה (או שנשים לב שמדובר במרחב תאי שיש לו חבורות הומוטופיה כמו של נקודה). משיקולי סימטריה הנחתי שהם לא הומאומורפיים, אבל לא הצלחתי למצוא איזה משהו פשוט שיבדיל ביניהם, ואני חושד שקיים הומאומורפיזם. עכשיו, אם רק תהיה נחמד ותכתוב אותו כאן... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטח שהומיאומורפיים. עכשיו גרמת לי לתהות לגבי הספרה והכדור ב-L2. נדמה לי שחשבתי על זה פעם אבל אני לא זוכר מה היתה המסקנה... הוכחה ב-11. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב 11 לאיזה חודש?... בכל אופן, כבר כתבתי לא מעט שטויות בדיון הזה, אז אני אסתכן בעוד אחת - תוך זריקת המוטו "חשבתי על זה רק שתי דקות". אם כבר השניים הומאומורפיים, נשמע הגיוני שזה ככה גם ב l2. שתי הדקות הללו הביאו אותי למסקנה שהספירה והכדור ב l2 הם ההשלמה של הספירה והכדור בשאלה שלך, ואם זה ככה אז מה השאלה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכוונה מחר ב-11 :-) הנה משפט שגוי: אם A ו-B הומיאומורפיים כך גם הסגור שלהם. בכל מקרה, במקרה זה זה כנראה נכון. הוכחה ב-11. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב (מתקפל פנימה וממלמל) ... זה מה קורה כשפונקצית הגישור בין המוח לאצבעות בשתבשת. בתור עונש אני אכתוב מאה פעמים "כל פעם שאתה כותב באייל משהו על מתמטיקה אחרי חצות, בדוק אם R מהווה דוגמא נגדית". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחד הדברים שאני אוהב בדיונים באייל על מתמטיקה הוא שאחוז הפעמים שבהם מישהו אומר "אוקיי, טעיתי" בהם נדמה לי גדול בהרבה מאחוז הפעמים שבהם זה קורה בדיונים על כל נושא אחר. כך מתקבל הרושם שברוב הפעמים שבהן אנשים טועים, הם באמת מודים בזה ומודעים לזה. מצד שני, אני כנראה טועה ו-3,000 ההודעות האחרונות בדיון הזה מוכיחות זאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שהבבושקות והכיווצים הבהירו שזה לא דיון על מתמטיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, טעיתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, לא, אני מתעקש, *אני* הוא שטעה. נראה לי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אני צריך לחשוב על זה מחר כשאני יותר בפוקוס, אבל נראה לי ששניהם הומאומורפיים לאוסף הפונקציות שמקבלות ערכים 1 ו 1- על [0,1] . | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההומיאומורפיזם המדובר יוצא קצת מסובך. הרעיון הוא להציג פרוק תאי של Dinf ו-Sinf שידגים שהם אותו דבר. הפרוק התאי של Sinf הוא קל: יש שני תאים מכל מימד והם פשוט כל הסדרות בהן x_n>0 וx_m=0 עבור m>n, וכנ"ל עם x_n<0. למצוא פרוק שקול לDinf יותר קשה. התאים ממימד אפס הם הנקודות (0,0,0...) ו-(1,0,0,...). התאים ממימד אחד הם: 1) כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>0 ו- 0<x_0<1, 2) כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>0 ו- x_0<0 איחוד עם כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>1 ו- x_1>0 ו- x_0^2+x_1^2=1. באופן כללי: 1) כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>n-1 ו- x_n בין 0 ו-1. 2) כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>n-1 ו- x_n<0 איחוד עם כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>n ו- x_1>0 והן על הקליפה (סכום ריבועים x_i שווה 1). צריך לצייר את זה בשביל להבין. ברגע שרואים שהיחסים בין התאים הם אותו דבר בשני הפירוקים אפשר לבנות את ההומיאומורפיזם במפורש. אחרי שעושים את זה ניתן לראות שהוא ליפשיץ. אחרי זה אפשר להוכיח את המשפט הבא. משפט: אם יש הומיאומורפיזם ליפשיץ בין A (תתקבוצה של X) ו-B (תתקבוצה של Y) ו-X ו-Y מרחבים מטריים שלמים, אז ניתן להרחיב אותו להומיאומורפיזם ליפשיץ בין הסגורים של A ו-B. מ.ש.ל. שימוש במשפט הנ"ל נותן שהכדור והספירה ב-l2 הומיאומורפיים. טל"ח |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר ציינתי שזה לא בדיוק אותו דבר. ממרחב תאי X דורשים שתא Y ממימד n יהיה כזה כך שיש הומיאומורפיזם מ-Bn (הכדור הפתוח ה-n מימדי) ל-Y שניתן להרחבה לפונקציה רציפה מכל Dn (הכדור הסגור ה-n מימדי) ל-X. רשת שיש בה צלע אינסופית בלי נקודות קצה אינה מרחב תאי. ממרחב תאי תמיד ניתן ליצור גרף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אם ככה זה לא בדיוק אותו מושג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אגב, מי שלא ידע כל מפה על בקבוק קליין ( שהוא היצוג של המונאדה של המתמטיקה כפרשנות חיובית למשפט גדל - המתמטיקה היא מונאדה שלמה ) ניתנת לצביעה ב 6 צבעים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"דורון פשוט לא מקבל את אקסיומת ההפרדה, להבנתי הוא טוען שהיא פשוט לא הגיונית וצריך להוריד אותה." איזה אקסיומת-הפרדה ואיזה נעליים? S אינה קיימת כי היא מבוססת על הגדרה מכוננת שאינה ברת-קיום. הנה הקטע הרלוונטי מההודעה הראשונה, והוא כתוב בפשטות רבה ומראה בבירור את הכשל המחשבתי של קנטור ביחס ל-S. קנטור טען כי היות והמיפוי של איבר מ-A עם S מוביל לסתירה, ניתן להסיק כי לא קיים איבר מ-A אשר ניתן למפותו עם S ולכן ניתן להסיק כי S הינו איבר ב-P(A) אשר נמצא מחוץ לטווח המיפוי עם איברי A ולכן ניתן להסיק כי |P(A)|>|A| . אני טוען כי קנטור נכשל בשלב זה בהנחת המבוקש, מכיוון שהוא לא בדק את התכנות קיומה של S , כאשר בדיקת התכנות-קיום זו חייבת להבחן רק ואך ורק עפ"י ההגדרה המכוננת של איבר S . בדיקת התכנות קיום זו היא כדלקמן: הגדרת S: S הינו איבר ב-P(A) המכיל את *כל* אברי A אשר לא נמצא להם העתק באברי P(A) הממופים איתם, לדוגמא: 0 <--> {0,1} , 1 <--> {10,11,12} , 2 <--> {5,6} , 3 <--> {3,4,5} , 4 <--> {8,9}, … לפי הגדרה זו חייב S להכיל את *כל* אברי A אשר לא נמצא להם העתק באברי P(A) הממופים איתם ללא שום יוצא מהכלל, או במילים אחרות, S חייבת להכיל *כל* איבר של A (בהתאם להגדרה המכוננת) *כולל* האיבר של A הממופה איתה, אך ההגדרה המכוננת שלה אינה מאפשרת ל-S להכיל את איבר A הממופה איתה, ולכן S איננה יכולה להכיל את *כל* אברי A אשר לא נמצא להם העתק באברי P(A) הממופים איתם, ומכאן נובע מיידית כי ההגדרה המכוננת של S אינה מתקיימת ולכן S אינה מתקיימת.In this example S ={1,2,4,…}. היות ו-S אינה מתקיימת, אין קנטור יכול להסיק דבר מעבר לשלב הראשון של הוכחתו, שהוא |P(A)|>=|A| . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה בכלל יודע מהי אקסיומת ההפרדה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_separat... עכשיו הראו נא כי קיומה של S מתחייב מאקסיומת ההפרדה.
given a set A and a predicate P, we can find a subset B of A whose members are precisely the members of A that satisfy P |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בבקשה: A תשאר A, ו-P תהיה הנוסחה x not in f(x) אם כך, B=S.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראה נא את תגובה 338797 ואת תגובה 338784 תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ועדיין, ע"פ אקסיומת ההפרדה, אם קיימת פונקציה חח"ע ועל בין A ל-P(A), הרי שקיימת גם S. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגיד יש לך קשיים בהבנת הנקרא? איפה אני טוען כי קיימת פונקציה חח"ע ועל בין A ל-P(A) ? כל מה שטענתי הוא ש-S אינה קיימת מעצם הגדרתה (אינה מקיימת את התנאי *כל*), ללא שום קשר למיפוי בין A ל-P(A) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה זה שמתקשה בהבנת הנקרא: כתבתי ש*אם* קיימת פונקציה חח"ע ועל בין A ל-P(A), הרי שלפי אקסיומת ההפרדה קיימת גם S (ומכאן מגיעים לסתירה, ולכן אין פונקציה כזאת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר אינני טוען כי קיימת פונקציה חח"ע ועל בין A ל-P(A), אלא מראה כי הוכחתו של קנטור תקועה בשלב ה-injection מכיוון ש-S אינה קיימת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תקרא כבר מה שכותבים לך! לא טענתי שאתה טוען את זה! טענתי שע"פ ZF, ההנחה *שאותה אנחנו רוצים לשלול* (קיימת פונקציה וגו') גוררת את הטענה ש-S קיימת (ע"פ אקסיומת ההפרדה). אתה שאלת מה הקשר בין אקסיומת ההפרדה לקיום של S (תגובה 338775). זה הקשר! (כך נראית תגובה מתלהמת בלי שני סימני קריאה רצופים.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עיין נא בדו-שיח המצורף: תגובה 338854 תגובה 338859 תגובה 338861 תגובה 338864 תגובה 338912 תגובה 338936 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי. נובע ממנו שאתה לא מקבל את אקסיומת ההפרדה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''קראתי. נובע ממנו שאתה לא מקבל את אקסיומת ההפרדה.'' הוכח את טענתך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האקסיומה: given a set A and a predicate P, we can find a subset B of A whose members are precisely the members of A that satisfy P אתה: יש תכונות שניתן לנסח בשפה מסדר ראשון ושעבורן הטענה לא מתקיימת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה: יש תכונות שניתן לנסח בשפה מסדר ראשון ושעבורן הטענה לא מתקיימת." ללא ספק, לדוגמא: P היא לא-P הינה תכונה בשפה מסדר ראשון ושעבורה הטענה לא מתקיימת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התכונה צריכה להיות תכונה של *קבוצה* (איבר), לא תכונה של התכונה! בכל אופן, גם עבור "P היא לא P" וגם עבור "x היא לא x" הטענה *נכונה*, והקבוצה המתאימה היא הקבוצה הריקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קרא נא את תגובה 338984 | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |