 |
|
 |
||
|
||||
 |
אמנם לא טריוויה, אבל בכל זאת בעיה נחמדה שחשבתי עליה אתמול. כולנו יודעים שחולצה, למשל, ניתן "להפוך" כך שצידה החיצוני יפנה פנימה, והפנימי החוצה. כך גם מכנסיים, גרביים, וכו'. כעת דמיינו אבוב (פנימית של צמיג), עם חור רחב יחסית במקום ה"ונטיל". האם ניתן להפוך גם אותו, דרך החור, כמו חולצה? התשובה למטה. . . . . . . לאחר שלא הצלחתי בהתחלה לפתור את הבעיה בראש, ניסיתי בידיים: ניסוי פרימיטיבי שכלל גרב ישנה, מספריים וארבע סיכות בטחון הבהיר לי שהתשובה לשאלה היא כנראה שלילית. ברם, היות שהסטנדרטים המתמטיים שלי הם קצת יותר מחמירים, המשכתי לחשוב על פתרון, ואני חושב שמצאתי הוכחה לכך שהדבר אינו ניתן לביצוע. כדי שלא להסתבך בתיאורים מילוליים של צורות גאומטריות, הכינותי מבעוד מועד שני שרטוטים ב- http://www.stanford.edu/~yuvaln/insideout.html . בשרטוט העליון מצויירים על האבוב שני מעגלים בצבע אדום; המעגל הגדול מצויר מבחוץ, ואילו המעגל הקטן (קו מרוסק), מצויר *מבפנים* - צריך להכנס לתוך האבוב דרך חור הונטיל כדי לצייר אותו. שני המעגלים הנ"ל הם נפרדים, במובן שאילו כל הגומי של האבוב היה מתפוגג, הם לא היו שלובים זה בזה. אילו היה ניתן להפוך את האבוב כנשאל בשאלה, המעגל הגדול היה נמצא בפנים, ואילו הקטן בחוץ (שרטוט תחתון), והשניים היו שלובים זה בזה כמו חוליות בשרשרת. היות שתהליך ההיפוך, מתוחכם ככל שיהיה, לעולם אינו כולל "קריעה" של אחד המעגלים (שרק היא תאפשר את שילובם), דומני שניתן להסיק שהתשובה לשאלה היא שלילית. אני משער שאפשר לדון בשאלה תוך שימוש במושגים יותר מדוייקים (יריעות, מסילות, העתקות רציפות וכו'). האם ד"ר ו. (או מומחה אחר) מוכן לחוות את דעתו המלומדה? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
דווקא אני זוכר במעורפל שבספר של טיים לייף הראו שהדבר אפשרי. לא השתכנעתי מהציור שלך שהשמורה שבנית אכן משתנה בין שתי התצורות. האם ברור לחלוטין ש*רק* כך יראו העיגולים אחרי *כל* היפוך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שמרחיבים את הקרע בפנימית כך שהוא משתרע על כל הצד הפנימי, פרט לרצועה דקה במקום מסוים שעוד ''שומרת'' על החיבור המקורי (ועל הטופולוגיה). כעת ניתן בקלות להפוך את הפנימית בכל מקום כשם שבוצעים לחמניה. נראה לי שאת הרצועה לא ניתן להפוך (ולו משיקולי סימטריה). כמובן שאין זו הוכחה, אבל זה מפשט את הויזואליזציה (סליחה, פשוט לא מצאתי מילה יותר מתאימה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר להפוך. הצמיג (טורוס, בלעז) הוא יריעה דו-ממדית בת שני צדדים. שני המעגלים שציירת עוברים בשני הצדדים, והם אינם משולבים זה בזה גם לאחר ההיפוך. איך בונים צמיג? קח מעגל גדול A ומעגל קטן B, וקרב אותם זה לזה עד שיגעו בנקודה, כשהם מאונכים זה לזה (נאמר, כאשר המעגל B פונה "החוצה"; זה לא חשוב). כעת מסיעים את B לאורך A; הצמיג הוא אוסף כל הנקודות ששייכות לאחד מן ה"מצבים" של B. כיצד הופכים צמיג מנוקב? 1. הרחב את הנקב בכיוון המעגל B, עד שנשארת רצועה דקה מן העבר השני של אותו מעגל. 2. כעת הצמיג שלנו הוא למעשה צינור כפוף, ששני קצותיו מחוברים ברצועה. הרחב את הפתח בכיוון המעגל A, עד שמתקבל צינור קצר (בכיוון B) שקצותיו מחוברים ברצועה ארוכה (מקבילה למעגל A). 3. מותחים את הצינור ומכווצים את הרצועה, עד שמעגל A הוא הקצר ומעגל B הוא הארוך. 4. סוגרים את הפתח בכיוון המעגל B בתהליך הפוך לצעד 2. 5. משלימים את הרצועה המחברת בכיוון מעגל A, באופן הפוך לצעד 1. ה"חוץ" וה"פנים" של הצמיג התהפכו. המעגל שהיה מצוייר מבחוץ בכיוון A, הפך (אם עוקבים בזהירות אחרי קורותיו לאורך חמשת הצעדים שלעיל) למעגל המצוייר *מבפנים* בכיוון A, והמעגל שהיה מצוייר מבפנים בכיוון B, הפך למעגל מבחוץ באותו כיוון - אבל עכשיו הצמיג מורכב מהמקום הגאומטרי של עותקי A שסובבים את B, ולכן המעגלים אינם משולבים! הערות: א. במרחב שלנו צריך לנקב צמיג כדי להפוך אותו. מי שחי במרחב ארבעה-ממדי יכול להפוך גם בלי לנקב. ב. הכותרת אומרת (פחות או יותר) את הדבר הבא: אם קובעים נקודה על הטורוס (הלא-מנוקב), מציירים ממנה כמעט-מעגל בכיוון השעון לאורך A ואז כמעט-מעגל בכיוון השעון לאורך B, חוזרים בכיוון A ואז חוזרים בכיוון B - התוצאה היא מסילה שאפשר לכווץ לכדי נקודה אחת בלי לצאת מן הטורוס. ג. את המעלל מן הסעיף הקודם אי-אפשר לעשות על טורוס מנוקב (ובמלים: pi_1(T-x)=F_2 ). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתום שלב 2, אם הבנתי נכון, יש לנו שתי טבעות מאונכות הנפגשות "בצד החיצוני" של הצמיג המקורי. לפני שעוברים לביצוע שלב 3, נראה לי שיש צורך להפוך את הרצועה הגדולה A (מה שהיה במקור בפנים הצמיג יראה כעת כשפה "החיצונית" של הטבעת) כך שהמפגש יעבור לצד הפנימי ויאפשר את הפעולות של שלב 3 ללא "התנגשות". האין כך? ותודה לך על ההדגמה המאלפת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, עוזי, וכל הכבוד על היכולת לתאר באופן מילולי צורות גיאומטריות מורכבות. אני גם חושב שרק עכשיו הבנתי את דבריו של ק. נבוך בתגובה 156548. אם הבנתי אותך כהלכה, אז התהליך שתיארת הוא זה שניסיתי לשרטט ב- http://www.stanford.edu/~yuvaln/insideout2.html , כשהמעגל האדום הוא A, והסגול B. אין מה להגיד: החוץ הפך לפנים, והפנים לחוץ. ברם, אני התכוונתי בשאלה למובן חמור יותר של המילה "היפוך": האם ניתן "להפוך" את האבוב כך שכל נקודה בצורה הסופית תהיה בדיוק במקום שהיתה בצורה המקורית (אולי עד כדי שיקוף, סיבוב וכו') , ורק ה"צד" יתהפך? זה מה שקורה כשהופכים חולצה או גרב, אבל נדמה לי שזה לא מתקיים בתהליך שתיארת, משום שלמשל התפקידים של המעגלים A ו- B התחלפו (שוב, אם הבנתי אותך נכון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השרטוט מתאר היטב את מה שהתכוונתי להסביר, ומדגים (בתשובה לשאלת האלמוני) שאין צורך בשלב נוסף כדי להפוך את הטורוס. לגבי היפוך במובן החזק יותר, הוכחת כבר בתגובה 156525 ש*לא ניתן* לעוות טורוס מנוקב (במרחב התלת-ממדי) כך שרק הצד יתהפך: אחרת, אפשר היה לשחק בשתי גומיות עד שהן מושחלות זו בזו (וכולם יודעים שרק קוסמים יכולים לעשות דברים כאלה). בעזרת שמורות חד-ממדיות כאלה אפשר להוכיח עוד טענות אי-אפשר על משטחים. "תורת הקשרים" (knot theory) עוסקת בתכונות של לולאות סגורות המעוותות לצורת קשר (או איחוד של כמה כאלה). מציאת שמורות, בעזרתן מוכיחים שלא ניתן לעוות קשר אחד לקשר אחר, מהווה אחד הענפים המרכזיים של תורת הקשרים. מעניין לציין שכל התכונות של קשרים מיוחדות למרחב התלת-ממדי: במרחב ממימד גבוה יותר אפשר להפוך כל קשר ללולאה סגורה "פשוטה". לשאלות אחרות על טורוסים, אני ממליץ לעבור להצגה שבה אנחנו-המתמטיקאים משתמשים: בדיוק כפי שלולאה היא קו ישר שנקודות הקצה שלו הודבקו, וצינור הוא ריבוע ששתי צלעות נגדיות שלו הודבקו (באותו כיוון), כך טורוס אפשר לקבל מריבוע ששני זוגות הצלעות שלו הודבקו (באותו כיוון). היתרון הוא שיותר קל לצייר (ולחשוב על) ריבועים, מאשר טורוסים. שאלה לסיום: 1. מה מקבלים אם מדביקים זוג צלעות נגדיות של ריבוע, תוך הפיכת הכיוון? 2. ואם מדביקים זוג אחד בכיוון הנכון, ואת השני בכיוונים הפוכים? 3. ומה קורה כששני הזוגות מודבקים בכיוונים הפוכים? (התשובה במהופך: 1 - טבעת מביוס, 2 - בקבוק קליין; 3 - נסו לבד). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תן לי לנחש: פעם כולם עשו אינווריאנטות וזה היה מגניב ואז היתה בעיה שאף אחד לא הצליח לפתור ואז בא מישהו והראה שאי אפשר לעשות את זה עם אינווריאנטות ומאז כל האנשים המגניבים מנסים להראות איך מוכיחים דברים בלי אינווריאנטות. סתם ניחוש, אין לי מושג ירוק בטופולוגיה (אפילו אחרי דוגמת הטורוס לא עקבתי, לבושתי, עד הסוף). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגירסא הפרטית שלך להסטוריה של הטופולוגיה אינה מוכרת לי. תוספת לשאלה שלמעלה: 4. מה מקבלים אם מדביקים את כל הנקודות שעל היקף הריבוע זו לזו (כך שההיקף מצטמצם לנקודה אחת)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, זה קל. אמא שלי היתה עושה כאלה לפני פורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ארבע שנים אני שובר על זה את הראש וכבר כמעט והצלחתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קצת באיחור, אבל אולי תתעניין לראות תהליך טופולוגי מופלא של "היפוך" שנחשב משך שנים (כמדומני) לבלתי אפשרי. מדובר בהיפוך של ספֵרה (פני כדור) מבפנים החוצה(!), באופן רציף וחלק ללא קמטים סינגולריים, כאשר מותר להניח שהספרה עשויה מחומר שלא מקיים את איסור פאולי - מותר ששתי נקודות תימצאנה באותו מקום במרחב. זה נקרא Sphere eversion ויש סרטון מדהים של זה כאן: ההיסטוריה של הבעייה מעניינת אף היא, וקל למצוא פרטים ברשת. דרך אגב, הפתרון הנאיבי של להסיע את הקטבים זה לעבר זה עד שיחלפו אחד דרך השני ולבסוף יחליפו מקום איננו עונה על הדרישות: בסוף ייצטרך קו המשווה לבצע היפוך חד באפס זמן, וזוהי סינגולריות. [טכנית, מדובר על הומוטופיה בין השיכון הרגיל של הספרה במרחב לבין השיכון שהוא שיקוף-מראה שלו, כאשר בכל שלב בהומוטופיה הספרה משוקעת (immersed) במרחב.] |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |