בתשובה ליובל נוב, 10/07/03 5:30
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אפשר להפוך. הצמיג (טורוס, בלעז) הוא יריעה דו-ממדית בת שני צדדים. שני המעגלים שציירת עוברים בשני הצדדים, והם אינם משולבים זה בזה גם לאחר ההיפוך. איך בונים צמיג? קח מעגל גדול A ומעגל קטן B, וקרב אותם זה לזה עד שיגעו בנקודה, כשהם מאונכים זה לזה (נאמר, כאשר המעגל B פונה "החוצה"; זה לא חשוב). כעת מסיעים את B לאורך A; הצמיג הוא אוסף כל הנקודות ששייכות לאחד מן ה"מצבים" של B. כיצד הופכים צמיג מנוקב? 1. הרחב את הנקב בכיוון המעגל B, עד שנשארת רצועה דקה מן העבר השני של אותו מעגל. 2. כעת הצמיג שלנו הוא למעשה צינור כפוף, ששני קצותיו מחוברים ברצועה. הרחב את הפתח בכיוון המעגל A, עד שמתקבל צינור קצר (בכיוון B) שקצותיו מחוברים ברצועה ארוכה (מקבילה למעגל A). 3. מותחים את הצינור ומכווצים את הרצועה, עד שמעגל A הוא הקצר ומעגל B הוא הארוך. 4. סוגרים את הפתח בכיוון המעגל B בתהליך הפוך לצעד 2. 5. משלימים את הרצועה המחברת בכיוון מעגל A, באופן הפוך לצעד 1. ה"חוץ" וה"פנים" של הצמיג התהפכו. המעגל שהיה מצוייר מבחוץ בכיוון A, הפך (אם עוקבים בזהירות אחרי קורותיו לאורך חמשת הצעדים שלעיל) למעגל המצוייר *מבפנים* בכיוון A, והמעגל שהיה מצוייר מבפנים בכיוון B, הפך למעגל מבחוץ באותו כיוון - אבל עכשיו הצמיג מורכב מהמקום הגאומטרי של עותקי A שסובבים את B, ולכן המעגלים אינם משולבים! הערות: א. במרחב שלנו צריך לנקב צמיג כדי להפוך אותו. מי שחי במרחב ארבעה-ממדי יכול להפוך גם בלי לנקב. ב. הכותרת אומרת (פחות או יותר) את הדבר הבא: אם קובעים נקודה על הטורוס (הלא-מנוקב), מציירים ממנה כמעט-מעגל בכיוון השעון לאורך A ואז כמעט-מעגל בכיוון השעון לאורך B, חוזרים בכיוון A ואז חוזרים בכיוון B - התוצאה היא מסילה שאפשר לכווץ לכדי נקודה אחת בלי לצאת מן הטורוס. ג. את המעלל מן הסעיף הקודם אי-אפשר לעשות על טורוס מנוקב (ובמלים: pi_1(T-x)=F_2 ). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בתום שלב 2, אם הבנתי נכון, יש לנו שתי טבעות מאונכות הנפגשות "בצד החיצוני" של הצמיג המקורי. לפני שעוברים לביצוע שלב 3, נראה לי שיש צורך להפוך את הרצועה הגדולה A (מה שהיה במקור בפנים הצמיג יראה כעת כשפה "החיצונית" של הטבעת) כך שהמפגש יעבור לצד הפנימי ויאפשר את הפעולות של שלב 3 ללא "התנגשות". האין כך? ותודה לך על ההדגמה המאלפת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, עוזי, וכל הכבוד על היכולת לתאר באופן מילולי צורות גיאומטריות מורכבות. אני גם חושב שרק עכשיו הבנתי את דבריו של ק. נבוך בתגובה 156548. אם הבנתי אותך כהלכה, אז התהליך שתיארת הוא זה שניסיתי לשרטט ב- http://www.stanford.edu/~yuvaln/insideout2.html , כשהמעגל האדום הוא A, והסגול B. אין מה להגיד: החוץ הפך לפנים, והפנים לחוץ. ברם, אני התכוונתי בשאלה למובן חמור יותר של המילה "היפוך": האם ניתן "להפוך" את האבוב כך שכל נקודה בצורה הסופית תהיה בדיוק במקום שהיתה בצורה המקורית (אולי עד כדי שיקוף, סיבוב וכו') , ורק ה"צד" יתהפך? זה מה שקורה כשהופכים חולצה או גרב, אבל נדמה לי שזה לא מתקיים בתהליך שתיארת, משום שלמשל התפקידים של המעגלים A ו- B התחלפו (שוב, אם הבנתי אותך נכון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השרטוט מתאר היטב את מה שהתכוונתי להסביר, ומדגים (בתשובה לשאלת האלמוני) שאין צורך בשלב נוסף כדי להפוך את הטורוס. לגבי היפוך במובן החזק יותר, הוכחת כבר בתגובה 156525 ש*לא ניתן* לעוות טורוס מנוקב (במרחב התלת-ממדי) כך שרק הצד יתהפך: אחרת, אפשר היה לשחק בשתי גומיות עד שהן מושחלות זו בזו (וכולם יודעים שרק קוסמים יכולים לעשות דברים כאלה). בעזרת שמורות חד-ממדיות כאלה אפשר להוכיח עוד טענות אי-אפשר על משטחים. "תורת הקשרים" (knot theory) עוסקת בתכונות של לולאות סגורות המעוותות לצורת קשר (או איחוד של כמה כאלה). מציאת שמורות, בעזרתן מוכיחים שלא ניתן לעוות קשר אחד לקשר אחר, מהווה אחד הענפים המרכזיים של תורת הקשרים. מעניין לציין שכל התכונות של קשרים מיוחדות למרחב התלת-ממדי: במרחב ממימד גבוה יותר אפשר להפוך כל קשר ללולאה סגורה "פשוטה". לשאלות אחרות על טורוסים, אני ממליץ לעבור להצגה שבה אנחנו-המתמטיקאים משתמשים: בדיוק כפי שלולאה היא קו ישר שנקודות הקצה שלו הודבקו, וצינור הוא ריבוע ששתי צלעות נגדיות שלו הודבקו (באותו כיוון), כך טורוס אפשר לקבל מריבוע ששני זוגות הצלעות שלו הודבקו (באותו כיוון). היתרון הוא שיותר קל לצייר (ולחשוב על) ריבועים, מאשר טורוסים. שאלה לסיום: 1. מה מקבלים אם מדביקים זוג צלעות נגדיות של ריבוע, תוך הפיכת הכיוון? 2. ואם מדביקים זוג אחד בכיוון הנכון, ואת השני בכיוונים הפוכים? 3. ומה קורה כששני הזוגות מודבקים בכיוונים הפוכים? (התשובה במהופך: 1 - טבעת מביוס, 2 - בקבוק קליין; 3 - נסו לבד). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תן לי לנחש: פעם כולם עשו אינווריאנטות וזה היה מגניב ואז היתה בעיה שאף אחד לא הצליח לפתור ואז בא מישהו והראה שאי אפשר לעשות את זה עם אינווריאנטות ומאז כל האנשים המגניבים מנסים להראות איך מוכיחים דברים בלי אינווריאנטות. סתם ניחוש, אין לי מושג ירוק בטופולוגיה (אפילו אחרי דוגמת הטורוס לא עקבתי, לבושתי, עד הסוף). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגירסא הפרטית שלך להסטוריה של הטופולוגיה אינה מוכרת לי. תוספת לשאלה שלמעלה: 4. מה מקבלים אם מדביקים את כל הנקודות שעל היקף הריבוע זו לזו (כך שההיקף מצטמצם לנקודה אחת)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, זה קל. אמא שלי היתה עושה כאלה לפני פורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ארבע שנים אני שובר על זה את הראש וכבר כמעט והצלחתי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |