בתשובה לסמילי, 14/03/02 10:43
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני לא אוהב שמוחקים למילים את משמעותן. המושג אלגברה מכיל בתוכו את מושג הלוגיקה. אין משמעות למילה אלגברה ללא התשתית הלוגית שלה- קריא : הלוגיקה החזקה. אלגברה יש רק אחת והיא מבוססת על הלוגיקה החזקה. עובדתית (אולי בינתיים, אני לא יודע) אין כרגע יותר מאלגברה אחת ויחידה. יכול להיות שקיימת אפשרות ליצור לוגיקה אלטרנטיבית ועליה לבנות תורה/שפה חדשה הנגזרת ממנה. גם אם נניח זאת, למה בכלל לקרוא לדבר כזה אלגברה ? אולי פשוט נקרא לזה זרובבל ? אני כן מסכים שהלוגיקה לא חוסמת את הדמיון האנושי וניתן לדמיין מושגים לא לוגיים בעליל. אני לא מסכים שאין מגבלה על הדמיון האנושי. המגבלות על הדמיון האנושי הן "מגבלות המציאות". (ול"אל-אוכל-אל" : אין סיבה לקבוע שהמציאות מקיימת את חוקי הלוגיקה). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"עובדתית (אולי בינתיים, אני לא יודע) אין כרגע יותר מאלגברה אחת ויחידה." האם השמות האלה מוכרים לך? "אלגברה בוליאנית", "אלגברה מרוכבת", אלגברת מודול", "אלגברת לי", "אלגברה ממשית"... אם לא, כולן אלגברות, כולן נמצאות תחת חוקי הלוגיקה (כן, אותה לוגיקה יחידה). ----------------------------- (1) http://mathworld.wolfram.com/Algebra.html ו |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סוגים שונים של אלגברה הם לא "אלגברות שונות". כמובן שכל הסוגים השונים של האלגברה נמצאים תחת חוקי הלוגיקה - זאת הפואנטה של מה ש*אני* אמרתי. ענפים של עץ הם עדיין העץ. אין ענף מתמטי שלא שייך ל"עץ" המתמטיקה האחד והיחיד שאנו מכירים. שורשיו של העץ הם הלוגיקה החזקה. -------------------------------------- תודה רבה על הקישורים (שוב מלחמות ביבליוגרפיה לכאילו-ביסוס טיעון כמו שהאיילים אוהבים...). אבל למה אתה לא מניח מראש שאני יודע מה זה "אלגברה בוליאנית" וכו' ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למעשה, ישנם שני שימושים נפוצים במלה "אלגברה" כמתארת אובייקטים מתמטיים. השימוש הראשון הוא כאל קבוצה כללית עם פעולות פנימיות מוגדרות. "אלגברה בוליאנית" היא מן הסוג הזה. השימוש השני הוא מאד ספציפי: הוא מתייחס אל מרחב וקטורי, עליו מוגדרת פעולה (בד"כ) ביליניארית. למשל, אלגבראות לי הן כאלה, עבורן הפעולה הנ"ל, הנקראת "סוגריים" (כי היא מסומנת לרוב כך: [A,B], כיון שסימן הכפל בדרך כלל שמור לפעולה אסוציאטיבית, וסוגרי לי אינם כאלה), מקיימת בילינאריות, אנטיסימטריות\נילפוטנטיות טריויאלית (אקויולנטי תחת שדות בעלי מציין שונה משניים), ושוויון ג'ורדן, שדומה לחוק לייבניץ לגזירת מכפלת פונקציות. בחוגים אלגבראיים, דהיינו, של אנשים שעוסקים בתחום במתמטיקה שנקרא "אלגברה," השימוש הוא לרוב במשמעות השניה, ואילו בחוגים לוגיים-קומבינטוריים, השימוש הוא לרוב במשמעות הראשונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואם נחליף את השימוש (בדיון זה) במילה אלגברה לשימוש במילה מתמטיקה ? האם המשפט הבא הוא משפט אמת ? משפט : יש רק מתמטיקה אחת, אין מתמטיקה אלטרנטיבית ברת קיימא ותשתית המתמטיקה היא אחת ויחידה - הלוגיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובכן, אינני בטוח. מתמטיקה זה תחום מחקר אינטלקטואלי. בחלקים שונים שלה משתמשים ברמות שונות של דיוק הגדרתי. כולם משתמשים בתשתית לוגית די בסיסית, ולא דוגלים באמפיריות. ("יש הרבה מקומות בהן זה עובד, לכן זה נכון" זו לא דרך הוכחה תקפה, אם כי יש העוסקים בלפתח תוצאות מהשערות.) מצד שני, יש מחלוקות לגבי כמה אקסיומות, בעיקר בתחום של תורת הקבוצות. ספציפית, יש הגורסים כי אקסיומת הבחירה שווה בחשיבותה לשאר אקסיומות צרמלו, ויש שלא. אקסיומת הבחירה נמצאה כבלתי-תלויה בהן, אבל אינני מכיר התעסקות בתורת קבוצות אנטי-בחירתית, בדומה לגיאומטריה ההיפרבולית. ישנם דברים מאד חשובים, הנובעים או שקולים לאקסיומת הבחירה, כמו הלמה של שוורץ. בינתיים, התרשמתי שלפחות בפקולטה למתמטיקה בטכניון, הגישה היא pro-choice. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Jacobi, not Jordan.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משום מה אני מתבלבל ביניהם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מתנצל?! ששרית וינו-אלעד תתנצל! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא "סוגים שונים של אלגברות" זה "אלגברות שונות". נכון שכולן נמצאות "תחת חוקי הלוגיקה", אבל זה לא אומר שהן זהות. לרגע לא טענתי שיש אלגברה שלא שייכת ל"עץ" המתמטיקה, רק טענתי שיש מספר אלגברות *שונות* וכולן נכונות באותו מובן (זאת אומרת, אין אפשרות לומר על אלגברה אחת שהיא נכונה יותר מהשניה), ברגע שאחת נכונה, כולן נכונות. ------------------------------------------- אני לא יכול להניח שאתה יודע (או לא יודע) משהו, וברגע שאני כותב באייל (שהוא פורום ציבורי) אני מנסה לכתוב כך שגם מי שלא יודע מראש את הכל, יבין על מה אני כותב (הרבה יותר קל לקרוא הסבר למשהו שאתה יודע, מאשר שימוש במושגים שאתה לא מבין. בנוסף לכך, ההערה שלי כוונה למנוע תגובות בסגנון תגובה 61211 (מה גם שההערה הזו לא מדוייקת, ההגדרה לאלגברה שאני מכיר כוללת בתוכה גם את אלגברת לי וגם את האלגברה הבוליאנית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי אלגברות אלטרנטיביות (להבדיל מהמושג המבלבל אלגברות שונות): תגובה 42360 כלומר, ייתכנו הרבה אלגברות 'תקפות', כלומר קונסיסטנטיות וחפות מסתירה פנימית, נגזרות מהלוגיקה, או במילים אחרות, מה שאני מכנה 'פורמאליות'. אולם יש רק אלגברה אחת שהיא *נכונה*, כלומר, *היא הדרך שבה אנו מסתכלים על העולם*. "אין סיבה לקבוע שהמציאות מקיימת את חוקי הלוגיקה" - אני אהיה כמובן הראשון לתמוך בכך; חוקי הלוגיקה הם צורת ההסתכלות שלנו על העולם; איננו מסוגלים אפילו לדמיין משולש בעל ארבע צלעות. משום שהלוגיקה (חלק מהארכיטקטורה של התבונה האנושית) איננה מאפשרת לנו. מה זה אומר לגבי המציאות האונטולוגית שמחוץ לנו? שום דבר. ייתכן שאפשר שיהיו משולשים כאלו. ייתכן שאין שום מציאות אונטולוגית. אין לנו דרך לדעת: אנו שבויים בצורה בה אנו רואים את המציאות, איננו יכולים להסיר את "המשקפיים של קאנט", דרכם אנו רואים את העולם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדיון על אלגבראות מודולריות בציטטה שלך שגוי, שהרי לא מדובר שם בחשבון על מספרים, אלא בחשבון על מחלקות שקילות של מספרים. מצד שני, יתכן שהרעיון של שימוש במונחים כמו מערכות שקילות וקוסטים הוא מודרני יותר מהדיון הנ''ל. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |