בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 23/08/09 20:42
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אם אצטט את קנוט, כל אחת מהמשוואות X+1=0, X*2=1, X²=2, X²+1=0 היתה פעם שאלה פתוחה ללא מענה. מתן המענה הביא לגילוי המספרים השליליים, המספרים הרציונליים, המספרים האלגבריים והמספרים הקומפלקסיים. איתי כ' אמר שדווקא השאלות שאין עליהן תשובה הן המשמעותיות ביותר, וצפריר שאל אותו "מהי המשמעות של השאלה: מהו המספר הטבעי הגדול ביותר?". ובכן, השאלה "מה הוא המספר הטבעי הגדול ביותר", הביאה את קנטור להתעמק במושג האינסוף הקרדינלי, וזאת משמעותה. כמובן, אם אני אגדיר את ℵ₀ כמספר טבעי (וזכותי לעשות זאת כמערכת אקסיומטית חדשה), אזי הוא המספר הטבעי הגדול ביותר. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה מגדיר את ℵ₀ כמספר טבעי, המספר שעוקב לו אמור להיות גדול ממנו. ולכן השאלה בעינה עומדת. (גם בלי להכנס לשאלה הסמנטית של משמעות ההגדרה מחדש) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וזו הסיבה שבגללה יותר מעניין לדבר על סודרים (ובמקום ℵ₀ לדבר על w - סליחה, אומגה, אבל אין לי מושג איך לייצר את הפונט המתאים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ככה: ω, ω+1 וכולי | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פספסת את האנלוגיה שלי. הבעיה היא לא בשאלות פתוחות ללא מענה, אלא בשאלות חסרות משמעות. שאלה כמו "מהו המספר הטבעי הגדול ביותר" היא חסרת משמעות וקרדינלים לא פותרים אותה (אגב, קנטור הגיע לעיסוק בקרדינלים מסיבות אחרות לגמרי, ובטח שלא מסיבות "פילוסופיות" כמו המחסור במספר טבעי גדול ביותר; גם הקומפלקסיים הומצאו מסיבות פרקטיות - כדי לפתור משוואות *ממשיות עם פתרון ממשי* ממעלה שלישית). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היסטורית, המספרים המרוכבים הומצאו *אחרי* המספרים האלגבריים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הקומפלקסיים הומצאו במאה ה-16 אצל טרטלייה וקרדנו, רק שאצלם פשוט הוציאו שורשים למספרים שליליים והעמידו פנים שהכל בסדר, ולקח למתמטיקה עוד כמה מאות שנים "לעכל" את הרעיון בשלמותו. אני לא בטוח למה אתה מדבר על מספרים אלגבריים (ולא על ממשיים). כבר היוונים התעסקו עם מספרים אלגבריים (ההוכחה המפורסמת ששורש שתיים לא רציונלי), אבל בניות פורמליות של הממשיים הגיעו רק בסוף המאה ה-19. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מנסה להבין למה התכוונת שאמרת: "גם הקומפלקסיים הומצאו מסיבות פרקטיות - כדי לפתור משוואות *ממשיות עם פתרון ממשי* ממעלה שלישית" - אני תמיד חשבתי שהמציאו אותם בשביל לפתור משוואות ממעלה שניה, ואת המספרים האלגבריים (אלה שפותרים משוואות ממעלה שניה עם מקדמים רציונלים) המציאו אחר כך, כתת קבוצה של המרוכבים שפותרת תת קבוצה של המשוואות ממעלה שניה. האם טעיתי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה חושב על אותו דבר שדרור אמר - שהמרוכבים הומצאו כדי למצוא פתרון למשוואה x^2+1=0. זו מוטיבציה לא רעה (אכן, כמו שקנות' מציג את זה, אפשר לחשוב על בניית כל מערכות המספרים, מהטבעיים ועד למרוכבים, כאילו המוטיבציה לה מגיעה מפתרון משוואות פולינומיות). מבחינה היסטורית זה לא היה כך - המרוכבים הומצאו בגלל צורך פרקטי מסויים - יש משוואות ממשיות ממעלה שלישית שכדי לפתור אותן בצורה אלגברית *חייבים* להוציא שורש למספר שלילי (יש לכל זה משמעות פורמלית). כמובן שאז עוד לא קראו להם מרוכבים, ועוד לא ראו שיש להם תכונות של שדה, ואף אחד לא הוכיח את משפט קושי וכו' - רק הוציאו שורש למספר שלילי. מתי התחילו לדבר על "מספרים אלגבריים" כקבוצה מובחנת, אני לא יודע (אני משער שלא אחרי קומר) אבל לא ברור לי למה אתה מדבר עליהם. אגב, מספר אלגברי הוא מספר שפותר משוואה רציונלית ממעלה כלשהי, לא רק שניה (השורש השלישי של שתיים אינו פתרון של אף משוואה ממעלה שניה). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |