בתשובה לאיילמוני, 03/11/07 22:23
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אף פעם לא עסקתי באפשרויות א ו-ב שהעלת. אני מסתפק בבחינת השאלה האם ניתן למדל את ההסקה הלוגית-מתמטית האנושית באמצעות אלגוריתם. אם התשובה לשאלה הזו היא שלילית, אז די ברור שגם לא ניתן למדל אדם שלם, בבחינת קל וחומר. אבל אם אתה חושב שאתה צריך, כדי לבחון את יכולת הפתרון של בעיות מתמטיות, מודל של כל המוח האנושי, אז בבקשה, be my guest. כל מה שאני מתכוון לשאול את התוכנית שלך זה שאלות במתמטיקה. ואפילו לא בכל תחומי המתמטיקה, אלא רק בעניין בעיות עצירה של אלגוריתמים. אם נתת לי את התוכנית שלך, נקרא לה A, אני מתכוון להוסיף לה כמה שורות כך שיתווסף לה ידע בדבר הקוד של עצמה, להפוך אותה ל-A', ולחקור את A' בדבר בעיית העצירה של עצמה. כמו שלוח הכפל יכול להיות בבסיס הנתונים של התוכנה, כך גם הגישה לקוד העצמי. מה הבעייה בכך? כיצד *הוספת* ידע (נכון!) אמורה לפגוע בנאותות של כושר ההסקה של האלגוריתם? גם לדוד כהן מפתח תקווה יש "בסיס נתונים" שהוא משתמש בו להסקה. למשל, הוא מכיר את הכלל שאם A שייך לקבוצת ה-B-ים ואם כל B הוא C, אזי נובע מכך ש-A הוא C. הכלל הזה צריך להיות מקודד איפשהו. גם זו "הנחה" לצורך הדיון ולכאורה ניתן היה להטיל בה ספק. בפועל איננו מטילים ספק בהנחות לגבי הכללים המותרים להסקה לוגית. גם בחוויות סובייקטיבית איננו מטילים ספק. אם אני חווה כאב, למשל, אז אני לא מטיל ספק בכך שאני חווה כאב. יש לנו "בסיס נתונים" גדול שהכישורים המנטליים שלנו מבוססים עליו, והוא נמצא מעבר למה שניתן לפקפק בו. דווקא מהבחינה הזו דומה ההכרה האנושי לזו הממוחשבת. אם ימצא ה"אלגוריתם האנושי" הרי נובע שאתה יכול להכיר את האלגוריתם של עצמך. עם תריץ אותו כמו שהוא, גם הוא יכיר את עצמו (שהרי הוא אתה, ואתה כבר מכיר את האלגוריתם שלך). אני לא רואה איך אתה נחלץ מהמילכוד הזה. לטענה בדבר הבעייתיות שבהכרת הקוד העצמי עניתי באופן בלתי תלוי ב*שימוש* בהוכחה של פנרוז. השתמשתי במשפט רק כדי לענות על השאלה כיצד אני אגיב אם יוצג לי הקוד שלי. שאלה זו איננה עירעור על הנחת יסוד במשפט אלא תסריט שנועד לחשוף חוסר עקביות, כביכול, בתוצאתו. התשובה שלי הדגימה שהקונסיסטנטיות נשמרת. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, כמה דברים: 1) כשאני חווה כאב, אני לא מטיל ספק בכך ש*אני חושב שכואב לי*. אני כן מטיל ספק בכך ש*כואב לי*, כלומר שהכסא שנתקעתי בו עם הזרת אכן קיים (באופן היפוטתי - למעשה אני מקלל ובועט בכסא). הטלת הספק הזאת לא מפריעה לי בהוכחה של משפטים מתמטיים, כי הכסא הוא לא חלק מהמשפטים האלו. אבל הטלת הספק הזאת כן תפריע לתוכנה שלך. 2) אתה מדבר על "הוספת ידע נכון לבסיס הנתונים", כאשר "בסיס הנתונים" כולל דברים שאיני מטיל בהם ספק, כמו כללי היסק לוגיים. אז בוא נשנה את המינוח: אתה רוצה שמערכת האקסיומות שבמסגרתה האלגוריתם פועל תכיל את האקסיומות המתמטיות שבמסגרתן אני פועל, בתוספת אקסיומה נוספת - שהקוד שלו הוא כך וכך. ברגע שזה מוגדר כך - אין לי כבר בעיה עם זה. כל עוד זה לא מוגדר כך - אני לא מבין כיצד האלגוריתם יוכל להשתמש בידע זה. כלומר - הקוד שלך יסיק בדיוק את מה שאני הייתי מסיק בהנתן מערכת האקסיומות שלו - שהיא כאמור מערכת האקסיומות ה"רגילה" ועוד האקסיומה הנ"ל. עכשיו רק תסביר לי למה במערכת האקסיומות הנ"ל אני שקול. 3) אני רוצה להבהיר משהו נוסף: אני לא אומר אם אני חושב שמה שפנרוז מנסה לטעון הוא נכון או לא, וזה גם לא רלוונטי. למשל, אני משוכנע לחלוטין שהשערת גולדבך נכונה, ובכל זאת לא אקבל הוכחה שגויה למשפט. לכן אין טעם לשאול אותי האם לדעתי חוקרי המח ייכשלו, או האם אני מאמין שכל הישויות התבוניות מסוגלות להתעטש. זה פשוט לא רלוונטי לשאלה האם ההוכחה של פנרוז תקפה או לא. אם תרצה נוכל לדון בשאלה האם אנו מאמינים שמה שהוא מנסה להוכיח נכון או לא. 4) לגבי השימוש בהוכחה של פנרוז: זו כבר האיטרציה השלישית שאנחנו מדברים על זה, ובכל פעם אתה פשוט מתעלם ממה שאני אומר ועונה על משהו אחר. אני אנסה שוב: אני לא מדבר על חוסר עקביות בתוצאת המשפט, ולא על כך שהמשפט הוא מעגלי. אני טוען שיש במשפט הנחת יסוד שגויה, והיא שהאלגוריתם "מכיר את עצמו". הטענה הזאת עומדת בפני עצמה, אבל ניסיתי להדגיש את העובדה שהנחת היסוד שגויה בעזרת שאלה - כיצד תזהה את הקוד של עצמך. גם אם היית עונה לי על השאלה לשביעות רצוני הטענה בדבר חוסר עקביות היתה עומדת בעינה, כי השאלה היא רק דוגמה שבאה להמחיש את הטענה. קל וחומר כשאתה עונה לי תוך שימוש במשפט (או בניסוח שלך - "השתמשתי במשפט רק כדי לענות על השאלה"). אבל אני בכלל מערער על המשפט, אז למה אתה חושב שתשובתך (שמשתמשת במשפט) תספק אותי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(תגובה זו לא נכתבה מהמחשב הרגיל שלי, ורק עכשיו שמתי לב שהשם שמופיע בה אינו השם שאני מגיב בו. זו כמובן תגובה שלי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה בדיוק ההבדל בין "אני חושב שכואב לי" ו"כואב לי"? אתה אולי מטיל ספק שבאמת נתקעת בכסא, אבל איך אתה יכול להטיל ספק בכאב? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי הניסוח לא מתאים. הכוונה היא שאני לא יודע אם תחושת הכאב היא אמיתית או מדומה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זה בדיוק העניין: אין דבר כזה תחושת כאב "מדומה". גם תחושת כאב שהיא לחלוטין תוצר של תהליכיים במוח (אם הדבר אפשרי), כלומר ללא אינפוט מתאי עצב כלשהם, היא עדיין תחושת כאב. כל מידע חוץ מהתחושה אינו רלוונטי - לכן ההפרדה בין נואמנה לפנומנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא בדיוק העניין. כלומר, אתה צודק לחלוטין, אבל הדיון פה הוא לא על הנושא שאתה מעלה. את הטלת הספק בתחושת הכאב נתתי כדוגמה לכך ש''קוד אנושי'' יפקפק בידע שהוזרק לו למסדר הנתונים. אפשר לתת לקוד ''ידע'' כזה ברמת התחושה (כלומר הוא ''יחוש'' שהידע אמיתי, כמו שאני ''חש'' כאב), אבל עדיין הוא יפקפק בידע, כפי שאני מפקפק בתחושת הכאב (במובן שיש לה סימוכין ''בעולם האמיתי''). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1) כבר הקדימו אותי והתייחסו לנקודה זו, אבל אוסיף: אינך יכול להטיל ספק בכאב אלא רק בגורמים לו. אתה יכול לפקפק בקיומו של הכיסא בו נתקעה הרגל שלך. אבל אתה לא מפקפק בכך שכואב לך. גם היכולת להוכיח משפטים מתמטיים תלויה בכך שאנו מקבלים את כללי ההסקה הלוגית *מבלי להטיל בהם ספק*. תוכנה שתדע להסיק משפטים בהכרח תצטרך לקבל כללים אלו כאמת וודאית. 2) אולי אפשר להסתכל על בסיס הידע של האלגוריתם כעל מערכת אקסיומטית, ואז הידע שלו מהו הקוד של עצמו מהווה אקסיומה נוספת. אם המערכת האקסיומטית המקורית היא קונסיסטנטית (שזה חיוני על מנת שהאלגוריתם יהיה שקול) הוספת ידע הידוע כנכון בעולם האמיתי לא יכולה לקלקל את הקונסיסטנטיות הזו, ולפיכך אמורה להותיר את האלגוריתם שקול. 3) הטיעון של פנרוז איננו הסיבה היחידה שאינני מאמין בחישוביות של התודעה, אבל הדיון הזה התגלגל איכשהו רק לטיעון הזה. בכל אופן, לדעתי מדובר בטיעון תקף, וניסיתי להסביר מדוע הביקורת עליו איננה נכונה. כל העניין של חשיבות העיטוש לתבונה צמח כתגובה לביקורת לפיה, כביכול, צריך ליצור סימולציה של אדם שלם, על כל מאפייניו, על מנת לדון ביכולת המתמטית שלו. אגב, למה אתה משוכנע שהשערת גולדבך נכונה? לי ממש אין מושג אם היא נכונה או לא. 4) בוא נעזוב את העניין. עניתי להשגותיך בהרחבה גם בלי להשתמש בתוצאות המשפט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל הטיעון של פנרוז מתבסס על כך שאנחנו מוכנים לקבל ש"משהו" מסוים הוא נכון. בהתחלה חשבתי שאותו "משהו" הוא: 1) מתמטיקאי אנושי הוא שקול. חלק מהחולקים עליך חלקו על הטיעון הזה כשלעצמו. אני הסכמתי לקבל אותו, אבל בהמשך הבנתי שאותו "משהו" שאנו מניחים שהוא נכון הוא: 2) תוכנה שמסמלצת מתמטיקאי אנושי יכולה להכיר את הקוד של עצמה (יכולת שאין למתמטיקאי המקורי) ועדיין להיות שקולה. הטיעון הזה הוא קודם כל שונה מהטיעון הראשון, אבל בנוסף אני לא מקבל אותו (למי שמקבל אותו לא אמורה להיות בעיה עם ההוכחה שלך), ואני אסביר לך למה: אני חושב על קוד שמסמלץ אותי כמו על "העתק זהה למקור" של המח שלי, ש"מחובר" לאמצעי קלט\פלט אחרים. כלומר, אני חושב על זה כאילו אני עצמי אתעורר יום אחד, ובמקום החושים הרגילים שלי יהיו לי "חושים" אחרים, שיאפשרו לי לתקשר עם העולם. "בתוספת של כמה שורות קוד" אפשר לדאוג לזה שאני אוכל לחשב מליארדי חישובים בשניה, ולעשות זאת במשך 213 שעות רצוף מבלי להתעייף אפילו במעט, או לשוט ברשת לאורכה ולרוחבה. אפשר לדבר על יכולות נוספות מעולם המחשבים כמובן. בנוסף, "בתוספת של כמה שורות קוד" אפשר לדאוג לכך שאני "אחוש" את הקוד שלי, כמו שכיום אני חש את הגוף שלי. אותה תוכנה מופלאה עדיין תהיה "אני", ולכן אני מקבל שהיא תהיה שקולה. אבל מרגע שזה מגיע להוכחות מתמטיות, כשאני מדמיין את עצמי בתור הקוד הזה - אני לא אהיה מוכן לסמוך על התחושות שלי (מסיבות שדשנו בהן די והותר), ולכן לא אדע בוודאות מהו "הקוד שלי". אם אכן קיימת אפשרות לשנות את הקוד כך שהוא כן יהיה מוכן לקבל את "תחושת הקוד" כוודאית, זה כבר לא יהיה "אני", זה יהיה "משהו אחר", ואני לא מוכן לחתום שאותו "משהו אחר" יהיה שקול. אתה יכול להתיחס לזה כך: כללי הסקה לוגית קיימים אצלי, ולכן אהיה מוכן לקבל את קיומם בתוכנה זהה לי. "תחושת קוד" - לא. אני יכול להקביל אותה ל"תחושת כאב", אבל אז אני (כלומר הקוד) לא יסכים להתבסס עליה במשפט מתמטי, כפי שאני לא הייתי מוכן להתבסס על תחושת הכאב שלי במשפט מתמטי (אילו זה היה רלוונטי בכלל). לגבי השערת גולדבך: יש לי אינטואיציה מסוימת לגבי תכונות של מספרים ראשוניים\אידיאלים ראשוניים בשדות מספרים, שמבוססת על קורסים שלמדתי והוכחות שראיתי. דל ומועט הידע שלי בנושא, אולם ממה שאני יודע, כל משפט שהוכח על צפיפות הראשוניים או על חלקות של מספרים טבעיים הראה התנהגות "פסאודו אקראית" של הראשוניים (כלומר הם מתנהגים מהרבה בחינות כאילו לכל מספר הוגרל ביט שאומר אם הוא ראשוני או לא, והביט הוגרל באופן בלתי תלוי בין מספרים שונים, ובסיכוי הולך וקטן ככל שהמספר גדל). בהנתן שבדקו את השערת גולדבך עד איזה כמה טריליונים (אולי יותר), הסיכוי (ע"ס התפלגות זאת) שההשערה לא נכונה הוא בערך 0 (כמובן שאין באמת משמעות למשפט "הסיכוי שההשערה נכונה" - או שהיא נכונה או שלא). אז זו לא הוכחה מתמטית (אם היתה לי לא הייתי שומר אותה לעצמי), אבל זה בהחלט מספיק עבורי כדי להאמין שההשערה נכונה (אגב, בתחום הזה קל מאד לנסח השערות שהן די בוודאות נכונות, אבל שמאד קשה להוכיח אותן. השערות בדבר הנורמליות מספרים טרנסצנדנטיים כמו pi^13 שייכות גם הן למחלקה זו). המתמטיקאים שביניכם מוזמנים להוסיף\לתקן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נבדק עד 18^10 (נכון לאפריל ש"ז, עפ"י ויקי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יכול לחשוב על דוגמה בה מודעות לכאב עוזרת לך להוכיח משפטים מתמטיים, אבל מודעות לתקפות של שיקולים לוגיים בהחלט עוזרת לך להוכיח משפטים מתמטיים. אז מה דעתך על אותו אלגוריתם דימיוני המודע באופן וודאי לקוד שלו באותו אופן בו הוא מודע לכללי הכפל והאלגברה הבולאנית? אם תניח לו לפקפק בתחושתו לגבי זהות הקוד שלו, כיצד תמנע ממנו לפקפק בשאר כישורי ההסקה שלו? ואם הוא איננו מסוגל לבטוח בחשיבה של עצמו, כיצד הוא אמור להגיע למסקנות כלשהן? ----- לגבי השערת גולדבאך: אם הבנתי אותך נכון, בודקים את השערת גולדבאך עד למספר N גבוה כלשהו, ועבור המספרים הזוגיים הגבוהים מ-N סוכמים עד לאינסוף על ההסתברות שכל אחד איננו מקיים את ההשערה בהסתמך על הנוסחה להתפלגות הראשוניים, ובודקים שהתוצאה מתכנסת למספר נמוך מאוד. אני צודק? כמובן, זה לא מוכיח שום דבר. הנוסחה להתפלגות הראשוניים היא קירוב. היא בוודאי לא מביאה בחשבון כל מני קורלציות מורכבות שעשויות להשפיע על התוצאה. למשל, שיקול דומה אפשר היה להפעיל לגבי הטענה שמספר אי זוגי ניתן להבעה כסכום מספרים ראשוניים. בפועל, אנו יודעים שאת רוב האי זוגיים לא ניתן להביע כך. אם היית מקבל בחישוב המקורב שההסתברות לאי קיום השערת גולדבאך היא גדולה, אז הייתה סיבה טובה לחשוד בה. אבל ההפך לא ממש נכון. האינטואיציה שלנו אומרת שאם כלל מספרי פשוט מתקיים עד למספר טבעי גבוה אזי סביר להניח שהוא מתקיים לכל מספר שהוא. לא ברור לי עד כמה האינטואיציה הזו תקפה. אולי אפשר לנסות להוכיח (או לפחות לנסח) משפט הקושר בין כמות האינפורמציה הדרושה לתאר טענה מתמטית בתורת המספרים, טווח המספרים הטבעיים עבורו היא נבדקה וההסתברות לכך שהיא תקפה לכל מספר. נשמע לי נושא מחקר מעניין במטא-מתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לצורך ההוכחה אתה מבקש מהקוראים לקבל טענה מסוימת, היא טענה 2 בתגובה הקודמת שלי. מי שלא מקבל את הטענה לא יקבל את המשפט. אני הסברתי לך למה אני מוכן לקבל את טענה 1 ולא מוכן לקבל את טענה 2. לא יעזור לך לדבר על "אלגוריתם המודע באופן וודאי לקוד שלו באותו אופן בו הוא מודע לכללי הכפל והאלגברה הבולאנית", כי אני מקבל את טענה 1 על סמך זה שאני יכול "לחשוב על עצמי" בתור אלגוריתם כזה (ומכיוון שאני מוכן לקבל שאני שקול, אני מוכן לקבל שהאלגוריתם שקול), ואת האלגוריתם מטענה 2 איני מזהה בתור עצמי. למעשה, כדי לשכנע אותי לקבל את טענה 2 עליך להראות לי כיצד היית גורם למתמטיקאי אנושי לקבל "באופן ודאי" את העובדה שקוד מסוים (לא חשוב איזה) הוא "הקוד שלו". אז הייתי משתכנע שאתה מסוגל לייצר אלגוריתם "זהה למתמטיקאי" שמקבל עובדה זו. השערת גולדבך: לא טענתי שזו הוכחה, וממילא אין טעם לחפש מה פגום בה. אם זו היתה הוכחה, הייתי מפרסם אותה, ולא בתגובה ב"אייל". מה שניסיתי לתת זו אינטואיציה, שאיתה אתה יכול להסכים או לא. אגב, האינטואיציה שלי לא אומרת לי שכל מספר איזוגי הוא סכום של שני ראשוניים, אבל כדי להסביר למה צריך לעדן את הטענה שטענתי קודם לגבי ההתפלגות (למשל, לדבר על ההתפלגות בסדרה חשבונית, שתלויה בשאלה האם הקפיצה זרה לאיבר הראשון או לא. אם לא - למשל בסדרת המספרים הזוגיים - אז בוודאי שאין בסדרה אינסוף ראשוניים). לגבי הפסקה האחרונה שלך: אם אתה מתכוון למשפט שיתיחס להסתברות הנכונות של כלל מספרי מסוים, אז אין טעם בכך - או שהכלל נכון לכל הטבעיים או שלא. אתה יכול לדבר על משפט מהסוג הזה: אם יש לי T כללים מספריים בעלי אנטרופיה נתונה (גם את זה צריך להגדיר) שנכונים עד ל- N נתון, אז pT מתוכם יהיו נכונים לכל n טבעי. אין בעיה לקבוע מה צריך להיות p מבחינת האינטואיציה שלנו, אבל אני לא רואה איך אפשר לגשת להוכחה כזאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לעניות דעתי, ההוכחה של פנרוז/ספיר בהחלט לא דורשת מאיתנו לקבל שיש תוכנה שמסמלצת מתמטיקאי [ומזהה את הקוד של עצמה]. היא אומרת "נניח *בשלילה* שיש תוכנה כזו [ומזהה...]". אם אין, אז פנרוז וספיר ניצחו. נכון שמה שהם באמת צריכים כהנחה-בשלילה זה בלי החלק שבסוגריים; ספיר מוסיף אותו כשלב הבא בהוכחה. עכשיו אפשר לטעון, כפי שרבים עשו כאן, שתוספת כזו מקלקלת את מה שלפניה, או לא אפשרית, אבל זה דיון נפרד (ובלי לתרום לו כלום, אציין שבנקודה זו הצד של ספיר הניח את דעתי [הענייה, כאמור] הרבה יותר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חולק עליך: אני חושב שאתה מסכים איתי. המסקנה מההוכחה היא שההנחה בשלילה לא היתה נכונה. אני טוען שההנחה בשלילה היא ההנחה עם הסוגריים, ולכן הוכח שלא קיימת תוכנה המסמלצת מתמטיקאי שקול וגם מזהה את הקוד של עצמה(*). מכאן לא נובע שאין תוכנה שמסמלצת מתמטיקאי שקול. אם אתה מסכים עם הכתוב בפסקה לעיל (ולפי דבריך נראה שאתה מסכים), הרי שאתה מצדד בצד שלי בדיון. אם, כמו ספיר, גם אתה חושב שאין הבדל בין ההנחות (כי הוספת ידע נכון לתוכנה לא מחבלת בשקילותה), אז דעתך אכן נחה מטיעוניו של ספיר. אני הסברתי מדוע אני חושב שיש הבדל בין ההנחות(**), ועדיין לא נתקלתי בטיעון שישכנע אותי ההיפך. (*) זו היתה כוונתי במשפט "פנרוז דורש מאיתנו לקבל...". במילים אחרות, מי שלא חושב למשל שמתמטיקאי הוא שקול ישתכנע אולי מההוכחה, אבל לא יסיק מכך שאין תוכנה שמסמלצת מתמטקאי. כנ"ל לגבי מי שחושב כמוני שההנחה עם הסוגריים אינה זהה להנחה בלי הסוגריים - כלומר המשפט נכון, רק שהוא אינו מוכיח שאין תוכנה המסמלצת מתמטקאי. (**) שוב, בקצרה: אני השתכנעתי ש"אני שקול" => "תוכנה המסמלצת אותי תהיה שקולה". מרגע שעושים שינוי בקוד, קל ככל שיהיה, הגרירה לא מתקיימת. אני אף הסכמתי ששינויים בקוד שמותירים על כנם את תחושתי ש"התוכנה זה אני" לא יחבלו בגרירה, אבל מרגע שהשינוי בקוד (קל ככל שיהיה, "נכון" ככל שיהיה) משנה את זה, אני כבר לא מסכים שהגרירה מתקיימת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 149399 | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |