בתשובה לשייח ספיר, 05/11/07 19:13
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כל הטיעון של פנרוז מתבסס על כך שאנחנו מוכנים לקבל ש"משהו" מסוים הוא נכון. בהתחלה חשבתי שאותו "משהו" הוא: 1) מתמטיקאי אנושי הוא שקול. חלק מהחולקים עליך חלקו על הטיעון הזה כשלעצמו. אני הסכמתי לקבל אותו, אבל בהמשך הבנתי שאותו "משהו" שאנו מניחים שהוא נכון הוא: 2) תוכנה שמסמלצת מתמטיקאי אנושי יכולה להכיר את הקוד של עצמה (יכולת שאין למתמטיקאי המקורי) ועדיין להיות שקולה. הטיעון הזה הוא קודם כל שונה מהטיעון הראשון, אבל בנוסף אני לא מקבל אותו (למי שמקבל אותו לא אמורה להיות בעיה עם ההוכחה שלך), ואני אסביר לך למה: אני חושב על קוד שמסמלץ אותי כמו על "העתק זהה למקור" של המח שלי, ש"מחובר" לאמצעי קלט\פלט אחרים. כלומר, אני חושב על זה כאילו אני עצמי אתעורר יום אחד, ובמקום החושים הרגילים שלי יהיו לי "חושים" אחרים, שיאפשרו לי לתקשר עם העולם. "בתוספת של כמה שורות קוד" אפשר לדאוג לזה שאני אוכל לחשב מליארדי חישובים בשניה, ולעשות זאת במשך 213 שעות רצוף מבלי להתעייף אפילו במעט, או לשוט ברשת לאורכה ולרוחבה. אפשר לדבר על יכולות נוספות מעולם המחשבים כמובן. בנוסף, "בתוספת של כמה שורות קוד" אפשר לדאוג לכך שאני "אחוש" את הקוד שלי, כמו שכיום אני חש את הגוף שלי. אותה תוכנה מופלאה עדיין תהיה "אני", ולכן אני מקבל שהיא תהיה שקולה. אבל מרגע שזה מגיע להוכחות מתמטיות, כשאני מדמיין את עצמי בתור הקוד הזה - אני לא אהיה מוכן לסמוך על התחושות שלי (מסיבות שדשנו בהן די והותר), ולכן לא אדע בוודאות מהו "הקוד שלי". אם אכן קיימת אפשרות לשנות את הקוד כך שהוא כן יהיה מוכן לקבל את "תחושת הקוד" כוודאית, זה כבר לא יהיה "אני", זה יהיה "משהו אחר", ואני לא מוכן לחתום שאותו "משהו אחר" יהיה שקול. אתה יכול להתיחס לזה כך: כללי הסקה לוגית קיימים אצלי, ולכן אהיה מוכן לקבל את קיומם בתוכנה זהה לי. "תחושת קוד" - לא. אני יכול להקביל אותה ל"תחושת כאב", אבל אז אני (כלומר הקוד) לא יסכים להתבסס עליה במשפט מתמטי, כפי שאני לא הייתי מוכן להתבסס על תחושת הכאב שלי במשפט מתמטי (אילו זה היה רלוונטי בכלל). לגבי השערת גולדבך: יש לי אינטואיציה מסוימת לגבי תכונות של מספרים ראשוניים\אידיאלים ראשוניים בשדות מספרים, שמבוססת על קורסים שלמדתי והוכחות שראיתי. דל ומועט הידע שלי בנושא, אולם ממה שאני יודע, כל משפט שהוכח על צפיפות הראשוניים או על חלקות של מספרים טבעיים הראה התנהגות "פסאודו אקראית" של הראשוניים (כלומר הם מתנהגים מהרבה בחינות כאילו לכל מספר הוגרל ביט שאומר אם הוא ראשוני או לא, והביט הוגרל באופן בלתי תלוי בין מספרים שונים, ובסיכוי הולך וקטן ככל שהמספר גדל). בהנתן שבדקו את השערת גולדבך עד איזה כמה טריליונים (אולי יותר), הסיכוי (ע"ס התפלגות זאת) שההשערה לא נכונה הוא בערך 0 (כמובן שאין באמת משמעות למשפט "הסיכוי שההשערה נכונה" - או שהיא נכונה או שלא). אז זו לא הוכחה מתמטית (אם היתה לי לא הייתי שומר אותה לעצמי), אבל זה בהחלט מספיק עבורי כדי להאמין שההשערה נכונה (אגב, בתחום הזה קל מאד לנסח השערות שהן די בוודאות נכונות, אבל שמאד קשה להוכיח אותן. השערות בדבר הנורמליות מספרים טרנסצנדנטיים כמו pi^13 שייכות גם הן למחלקה זו). המתמטיקאים שביניכם מוזמנים להוסיף\לתקן. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נבדק עד 18^10 (נכון לאפריל ש"ז, עפ"י ויקי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יכול לחשוב על דוגמה בה מודעות לכאב עוזרת לך להוכיח משפטים מתמטיים, אבל מודעות לתקפות של שיקולים לוגיים בהחלט עוזרת לך להוכיח משפטים מתמטיים. אז מה דעתך על אותו אלגוריתם דימיוני המודע באופן וודאי לקוד שלו באותו אופן בו הוא מודע לכללי הכפל והאלגברה הבולאנית? אם תניח לו לפקפק בתחושתו לגבי זהות הקוד שלו, כיצד תמנע ממנו לפקפק בשאר כישורי ההסקה שלו? ואם הוא איננו מסוגל לבטוח בחשיבה של עצמו, כיצד הוא אמור להגיע למסקנות כלשהן? ----- לגבי השערת גולדבאך: אם הבנתי אותך נכון, בודקים את השערת גולדבאך עד למספר N גבוה כלשהו, ועבור המספרים הזוגיים הגבוהים מ-N סוכמים עד לאינסוף על ההסתברות שכל אחד איננו מקיים את ההשערה בהסתמך על הנוסחה להתפלגות הראשוניים, ובודקים שהתוצאה מתכנסת למספר נמוך מאוד. אני צודק? כמובן, זה לא מוכיח שום דבר. הנוסחה להתפלגות הראשוניים היא קירוב. היא בוודאי לא מביאה בחשבון כל מני קורלציות מורכבות שעשויות להשפיע על התוצאה. למשל, שיקול דומה אפשר היה להפעיל לגבי הטענה שמספר אי זוגי ניתן להבעה כסכום מספרים ראשוניים. בפועל, אנו יודעים שאת רוב האי זוגיים לא ניתן להביע כך. אם היית מקבל בחישוב המקורב שההסתברות לאי קיום השערת גולדבאך היא גדולה, אז הייתה סיבה טובה לחשוד בה. אבל ההפך לא ממש נכון. האינטואיציה שלנו אומרת שאם כלל מספרי פשוט מתקיים עד למספר טבעי גבוה אזי סביר להניח שהוא מתקיים לכל מספר שהוא. לא ברור לי עד כמה האינטואיציה הזו תקפה. אולי אפשר לנסות להוכיח (או לפחות לנסח) משפט הקושר בין כמות האינפורמציה הדרושה לתאר טענה מתמטית בתורת המספרים, טווח המספרים הטבעיים עבורו היא נבדקה וההסתברות לכך שהיא תקפה לכל מספר. נשמע לי נושא מחקר מעניין במטא-מתמטיקה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לצורך ההוכחה אתה מבקש מהקוראים לקבל טענה מסוימת, היא טענה 2 בתגובה הקודמת שלי. מי שלא מקבל את הטענה לא יקבל את המשפט. אני הסברתי לך למה אני מוכן לקבל את טענה 1 ולא מוכן לקבל את טענה 2. לא יעזור לך לדבר על "אלגוריתם המודע באופן וודאי לקוד שלו באותו אופן בו הוא מודע לכללי הכפל והאלגברה הבולאנית", כי אני מקבל את טענה 1 על סמך זה שאני יכול "לחשוב על עצמי" בתור אלגוריתם כזה (ומכיוון שאני מוכן לקבל שאני שקול, אני מוכן לקבל שהאלגוריתם שקול), ואת האלגוריתם מטענה 2 איני מזהה בתור עצמי. למעשה, כדי לשכנע אותי לקבל את טענה 2 עליך להראות לי כיצד היית גורם למתמטיקאי אנושי לקבל "באופן ודאי" את העובדה שקוד מסוים (לא חשוב איזה) הוא "הקוד שלו". אז הייתי משתכנע שאתה מסוגל לייצר אלגוריתם "זהה למתמטיקאי" שמקבל עובדה זו. השערת גולדבך: לא טענתי שזו הוכחה, וממילא אין טעם לחפש מה פגום בה. אם זו היתה הוכחה, הייתי מפרסם אותה, ולא בתגובה ב"אייל". מה שניסיתי לתת זו אינטואיציה, שאיתה אתה יכול להסכים או לא. אגב, האינטואיציה שלי לא אומרת לי שכל מספר איזוגי הוא סכום של שני ראשוניים, אבל כדי להסביר למה צריך לעדן את הטענה שטענתי קודם לגבי ההתפלגות (למשל, לדבר על ההתפלגות בסדרה חשבונית, שתלויה בשאלה האם הקפיצה זרה לאיבר הראשון או לא. אם לא - למשל בסדרת המספרים הזוגיים - אז בוודאי שאין בסדרה אינסוף ראשוניים). לגבי הפסקה האחרונה שלך: אם אתה מתכוון למשפט שיתיחס להסתברות הנכונות של כלל מספרי מסוים, אז אין טעם בכך - או שהכלל נכון לכל הטבעיים או שלא. אתה יכול לדבר על משפט מהסוג הזה: אם יש לי T כללים מספריים בעלי אנטרופיה נתונה (גם את זה צריך להגדיר) שנכונים עד ל- N נתון, אז pT מתוכם יהיו נכונים לכל n טבעי. אין בעיה לקבוע מה צריך להיות p מבחינת האינטואיציה שלנו, אבל אני לא רואה איך אפשר לגשת להוכחה כזאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לעניות דעתי, ההוכחה של פנרוז/ספיר בהחלט לא דורשת מאיתנו לקבל שיש תוכנה שמסמלצת מתמטיקאי [ומזהה את הקוד של עצמה]. היא אומרת "נניח *בשלילה* שיש תוכנה כזו [ומזהה...]". אם אין, אז פנרוז וספיר ניצחו. נכון שמה שהם באמת צריכים כהנחה-בשלילה זה בלי החלק שבסוגריים; ספיר מוסיף אותו כשלב הבא בהוכחה. עכשיו אפשר לטעון, כפי שרבים עשו כאן, שתוספת כזו מקלקלת את מה שלפניה, או לא אפשרית, אבל זה דיון נפרד (ובלי לתרום לו כלום, אציין שבנקודה זו הצד של ספיר הניח את דעתי [הענייה, כאמור] הרבה יותר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חולק עליך: אני חושב שאתה מסכים איתי. המסקנה מההוכחה היא שההנחה בשלילה לא היתה נכונה. אני טוען שההנחה בשלילה היא ההנחה עם הסוגריים, ולכן הוכח שלא קיימת תוכנה המסמלצת מתמטיקאי שקול וגם מזהה את הקוד של עצמה(*). מכאן לא נובע שאין תוכנה שמסמלצת מתמטיקאי שקול. אם אתה מסכים עם הכתוב בפסקה לעיל (ולפי דבריך נראה שאתה מסכים), הרי שאתה מצדד בצד שלי בדיון. אם, כמו ספיר, גם אתה חושב שאין הבדל בין ההנחות (כי הוספת ידע נכון לתוכנה לא מחבלת בשקילותה), אז דעתך אכן נחה מטיעוניו של ספיר. אני הסברתי מדוע אני חושב שיש הבדל בין ההנחות(**), ועדיין לא נתקלתי בטיעון שישכנע אותי ההיפך. (*) זו היתה כוונתי במשפט "פנרוז דורש מאיתנו לקבל...". במילים אחרות, מי שלא חושב למשל שמתמטיקאי הוא שקול ישתכנע אולי מההוכחה, אבל לא יסיק מכך שאין תוכנה שמסמלצת מתמטקאי. כנ"ל לגבי מי שחושב כמוני שההנחה עם הסוגריים אינה זהה להנחה בלי הסוגריים - כלומר המשפט נכון, רק שהוא אינו מוכיח שאין תוכנה המסמלצת מתמטקאי. (**) שוב, בקצרה: אני השתכנעתי ש"אני שקול" => "תוכנה המסמלצת אותי תהיה שקולה". מרגע שעושים שינוי בקוד, קל ככל שיהיה, הגרירה לא מתקיימת. אני אף הסכמתי ששינויים בקוד שמותירים על כנם את תחושתי ש"התוכנה זה אני" לא יחבלו בגרירה, אבל מרגע שהשינוי בקוד (קל ככל שיהיה, "נכון" ככל שיהיה) משנה את זה, אני כבר לא מסכים שהגרירה מתקיימת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 149399 | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |