|
||||
|
||||
הנקודה שמעניינת אותי היא זאת: (כמו שעומר כתב) אתה כותב במאמר "משפט גדל הוא משפט מתמטי הדן, בסופו־של־דבר, במניפולציות פורמליות של סימנים על נייר. כדי להקיש ממנו על היבט כלשהו של ההווייה האנושית, ולא סתם כמטפורה, דרושה קפיצה, שבמקרים רבים מאוד אינה זוכה לכל הצדקה". גולדשטיין, לעומת זאת, רואה במשפט גדל טיעון לטובת ריאליזם מתמטי. ז"א, ההשלכות שלו הן לא סתם על ההוויה האנושית, אלא על האונטולוגיה. האם לדעתך ה"קפיצה" הזאת סבירה, או שהיא "טרחנות כפייתית"? |
|
||||
|
||||
אלון כתב בתגובה 316920 שלמשפט גדל יש "חשיבות עצומה" עבור ה"פילוסופיה של המתמטיקה, הפולשת (אולי, קצת, בזהירות) למספר קטן של תחומים אחרים בפילוסופיה". נדמה לי שגם לדעתו זה מכסה את מה שגולדשטיין טוענת. |
|
||||
|
||||
כן, אבל אני שואל מה דעתו על מה שגולדשטיין טוענת. |
|
||||
|
||||
משפט גדל הוא משפט על תכונה מסויימת של פורמליזם מתמטי. אם רוצים להשליך ממנו, למשל על האונטולוגיה, צריך להסביר מה הקשר בין פורמליזם מתמטי לאונטולוגיה. אולי זה אפשרי, אבל דבר אחד בטוח: את *זה* משפט גדל עצמו לא עושה בשבילך. האם, אכן, יש קשר בין השיטה האקסיומטית הפורמלית לאונטולוגיה? אני לא לגמרי בטוח. כפי שציינתי פעם, השיטה האקסיומטית היא מכשיר מצויין ל*צמצום* האמירות שלנו על העולם; כשעובדים בה, יותר קשה לטעון טענה שתתגלה כשגויה, לפחות מפני שאנחנו יודעים בדיוק על אילו הנחות כל טענה נשענת. עכשיו, השיטה הזו היא (במתמטיקה!) כל כך מוצלחת, עד שמפתה מאוד לקבל את הרושם שגם ההיפך נכון: *רק* מה שאפשר להוכיח פורמלית הוא נכון "אונטולוגית". אבל זה טיעון מסוכן: רק מה שאפשר להוכיח פורמלית *ממה*? מאילו אקסיומות? אם יש חופש מוחלט לבחור אותן, זו אמירה ריקה מתוכן; אם אין חופש, השאלה האונטולוגית זזה לשאלה של בחירת האקסיומות. |
|
||||
|
||||
ברור לי שמשפט גדל לא מסביר את הקשר בין פורמליזם מתמטי ואונטולוגיה. משפט גדל הוא מתמטיקה ואונטולוגיה כתחום אינה שייכת למתמטיקה. אבל לא בזה עסק הדיון. השאלה היא האם אפשר לחשוב על השלכות חוץ-מתמטיות של המשפט. נדמה לי שהטיעון שמציגה גולדשטיין אינו שרק מה שניתן להוכיח פורמלית הוא נכון אונטולוגית, אלא בדיוק ההיפך: "Gödel made it harder not to be a Platonist. He proved that there are true but unprovable propositions of arithmetic. That sounds at least close to Platonism. That sounds close to the claim that arithmetical truths are independent of any human activity". האם זה נשמע לך הגיוני, או האם הפסקה האחרונה בתגובתך מתייחסת גם לזה?
|
|
||||
|
||||
>Gödel made it harder not to be a Platonist. He proved that there are true but unprovable propositions of arithmetic. לדעתי יש פגם רציני במשפט הזה. הוא נכון רק אם אתה פלטוניסט מלכתחילה. באופן פורמלי משפט גדל רק אומר שהתורה שלך לא שלמה. אם אתה פלטוניסט (מאמין, כמו אלון שיש אמת אי שם בחוץ) זה אומר שחלק מהאמת הזו אי אפשר להוכיח.
|
|
||||
|
||||
אם אני מבין נכון (וזה בכלל לא בטוח), היא מציבה דילמה. המשפטים של המתמטיקה הם אמיתות הכרחיות וא-פריוריות. או שנטען שהם מייצגים אמיתות ''על משהו'' (פלטוניזם), או שנטען שהם לא מייצגים אמת ''על משהו'', אלא שהאמיתות שלהם נוצרת ממשחק לפי הכללים של מערכת פורמלית שיצרנו. אבל אם יש משפטים נכונים במסגרת המערכת שאי אפשר להוכיח אותם במסגרת הכללים, הקרן השנייה של הדילמה נופלת, ונשארנו עם האפשרות שהאמיתות של המשפטים אינה נגזרת מפורמליסטיקה, אלא מהלימות בינם לבין משהו חיצוני למערכת. במילים אחרות, אם יש מושג של ''אמת מתמטית'', היא חייבת להוביל לפלטוניזם. |
|
||||
|
||||
יש דרך שלישית! אפשר להאמין בריבוי אונטולוגיות: יש הרבה עולמות מתמטיים אפשריים והפורמליסטיקה מאפשרת לנו לומר משהו עליהם אבל לא להכריע איזה מבם הוא הנכון, פשוט בגלל שאין נכון. |
|
||||
|
||||
הדרכים השלישיות האלו הורסות כל דילמה טובה. נורא. |
|
||||
|
||||
אני מסכים גם עם האפשרות שהעלה אורי, אבל אני לא מבין מדוע התיאור שלך מפיל את הפורמליזם. "אם יש משפטים נכונים במסגרת המערכת...", כמו שאורי ואני ניסינו להסביר, הוא פשוט לא משפט נכון אם אתה פורמליסט. משפט גדל בפירוש לא מראה שיש כאלה: הוא רק מראה שיש משפטים שאי-אפשר להוכיח פורמלית לא אותם ולא את היפוכם. הטענה שאחד מהשניים הוא "נכון" היא על אחריות הטוען; פורמליסטים לא מניחים שום דבר כזה. |
|
||||
|
||||
טוב, נסתתמו טענותיי. אם גולדשטיין רוצה להגן על הטיעון, שתבוא לכאן ותעשה זאת בעצמה. |
|
||||
|
||||
יהיה כיף לשוחח עם מי שאומר משפטים כאלה (ציטוט מאותו דף שהפנית אליו): Mathematicians and physicists are just as guided by principles of elegance and beauty as novelists and musicians are. אבל אני מניח שהסיכוי שהיא תופיע כאן הוא קטן :-) בכל אופן, אני שמח שהעלית את הנושא, אלו נקודות מעניינות.
|
|
||||
|
||||
זה לא נשמע לי מאוד הגיוני. כדי לדבר על "true propositions of arithmetic", צריך ממילא להיות לפחות קצת פלטוניסט; אחרת, מה זה אומר? אז נכון שפלטוניסט-לעניין-תורת-המספרים יקרא את משפט גדל כאומר "יש נכון שאינו יכיח", אבל זה רק כי הוא היה פלטוניסט מראש. פורמליסט לא יסכים בכלל עם הפרשנות הזו. נניח שההיפך היה קורה, ומשפט גדל לא היה נכון, ואקרמן היה באמת מוכיח ש-PA או איזו מערכת קרובה לה היא עקבית ושלמה עבור הטבעיים: כל מה שנכון, יכיח. האם *זה* היה הופך את הפלטוניזם ל*פחות* סביר? מדוע? בתורת הקבוצות, יש טענות (המפורסמת בהן היא השערת הרצף) עבורן ידוע שהן אינן נובעות ואינן נסתרות ע"י האקסיומות המקובלות. זו, כמובן, דוגמה קונקרטית למה שמשפט גדל מבטיח שיקרה; וזה, כמובן, גורם להרבה אנשים (כמוני) להיות *פחות* פלטוניסטים בקשר לתורת הקבוצות; אם, אכן, יש עולם מוגדר היטב שהוא "עולם כל הקבוצות", ובו השערת הרצף היא אכן נכונה (או אכן לא נכונה, לא חשוב), נראה שיש לנו קושי רציני מאוד בלחשוף את העובדה הזו, וזה הופך דווקא את עמדתו של הלא-פלטוניסט לפשוטה הרבה יותר. |
|
||||
|
||||
ראה תגובתי לאורי (הוא ענה לפניך, וחוץ מזה תגובות שיש בהן PA מרתיעות אותי). |
|
||||
|
||||
ואם יורשה לי להוסיף: "נה נה נה נה נה נה" |
|
||||
|
||||
תגיד, אתה חושב שאתה במחלקה למתמטיקה? זה אתר רציני כאן. |
חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש | © כל הזכויות שמורות |