בתשובה להאייל האלמוני, 24/06/05 0:32
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני זוכר במעורפל משהו עם ספריה וספרים בסינית ויפנית, ואיכשהו קיבלתי את הרושם שהבעיה הייתה שיש *יותר* אי רציונליים מרציונליים. אגב, אני, אולי בניגוד לאלון, בכלל לא בטוח שיש חישוב (נומרי) כלשהו בעולם שמשתמש במספרים אי רציונליים, מהסיבה הפשוטה שכל המספרים שהמחשב יכול להכיל הם בעלי מספר סופי של ספרות, ולכן הם בהכרח רציונליים. אני לא בטוח מה הכוונה ב"חישוב ממשי". אפשר דוגמאות של מה לדעתך צריך "לחשב" (חוץ ממסלולים של חלליות)? בשביל עודף במכולת די ברור שלא צריך אי רציונליים. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
סרגל החישוב1 שהיה לי פעם היה מתעסק עם אירציונליים בחדוה רבה. למעשה אני יכול להכריז בוודאות גמורה שכל המספרים שהוא עבד איתם היו כאלה, ורק אני הייתי מתרגם אותם למשהו רציונלי בסוף התהליך בגלל מגבלות טכניות. ______________ 1- מחשב אנלוגי עממי שהיה נפוץ בתקופת הדינוזאורים |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחד הסממנים הבולטים של הדינוזאורים היו, אכן, אי-רציונליות מחושבת היטב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא זה ששכנע אותי בדיון על זנון שהעולם דיסקרטי? בעולם דיסקרטי, אין מקום למספרים אי רציונליים על סרגלי חישוב, דומני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חס וחלילה לי מלטעון טענה משונה כזאת. כל מה שתרמתי בדיון ההוא היה לענות על הערה קטנה שלך לאריק, בה אמרת שאתה לא רואה איך בעולם דיסקרטי הבעיה נפתרת. את זה ניסיתי להסביר, בלי לטעון שום דבר לגבי הרישא. מלבד זאת, גם בעולם דיסקרטי אני לא רואה סיבה שאחת השנתות של הסרגל נופלת בדיוק על פיי או על e. מישהו קבע שאסור ל"אטום חלל" (ואני *לא* אומר שקיים דבר כזה) להיות על גבול אירציונלי? לסיכום: שוב שופכים את דמי. אין לי שום עמדה בשאלה אם המרחב דיסקרטי או רציף, ואני אפילו מסרב לנחש את התשובה (לא רוצה להסתכסך עם איינשטיין ולא עם וויטן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אטום חלל נופל בדיוק על e, זה אומר שקיים מספר שלם של אטומי חלל בין e ובין ראשית הצירים. למספר הזה נקרא x. עכשיו, נספור כמה אטומי חלל לוקחים עד שמגיעים ל-1 (אני מניח כי אטום חלל נופל בדיוק על e) ולמספר הזה נקרא y. עכשיו, x/y זה בדיוק e, ומצד שני גם x וגם y הם מספרים שלמים. קיבלנו ש-e רציונלי. (אגב, הניסוח המקורי של הבעייתיות שבמספרים אי רציונליים היה בדיוק זה - היוונים שמו לב לכך שיש שני אורכים שאין להם מידה משותפת, כלומר אורך כלשהו ששני האורכים הם כפולות שלו) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מנין לך שיש מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל 1? אם יש כזה, ממילא הוכחת שהקוטר1 שלהם רציונלי בלי צורך בכל האריתמטיקה שעשית. (אזהרה: אם המתמטיקה שלי דפוקה, אני מתכוון לשלוף בסוף את האס מהשרוול: מי אמר בכלל שכל אטומי החלל הם באותו גודל?) __________ 1- או האורך, או מה שלא יהיה שם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אין מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל-1 או אם אטומי החלל לא באותו גודל, ניצחת אותי, אבל תצטרך לספק הסבר איך מצליחים לבנות סרגל מדוייק תחת ההנחות הללו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את הבעיה. אני לוקח 300^10 אטומי חלל, נניח כרגע שהם זהים, שם אותם בשורה, ובמקום אליו הגיע האחרון שבהם אני חורץ חריץ קטן, ורושם לידו "1". אני חוזר על זה מאותו חריץ הלאה והלאה ומקבל את הסרגל המבוקש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה רק אני או שעשית כרגע בדיוק את מה שאמרתי ש*אי* אפשר לעשות: גם הנחת שכל האטומים זהים בגודלם, וגם הנחת שיש מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל-1? מילא. נניח שעשית את זה. עכשיו, איך אתה מסמן את e (בדיוק! לא בערך) על הסרגל שלך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מוחקים את ה-"1" שסימן השכ"ג וכותבים במקומו e. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נהדר. ועכשיו, איך תסמן "1" על הסרגל הזה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא תסמן עליו "1". יש סרגל של E ויש סרגל של 1. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז שני הסרגלים הללו איזומורפיים, ושניהם מתעסקים במספרים רציונליים, רק שאחד מעמיד פנים שהוא לא על ידי זה שהוא קורא ל-"1" בשם "e". אם תרצה לדקדק, הרי שסרגל החישוב (זה שאני מכיר, שכופל ומחלק), במקום שיעבוד עם מספרים רציונליים, יעבוד עם כפולות רציונליות של e. מכיוון שעם סרגל החישוב של e לא יהיה לך מושג מה הערך של e, זה לא ממש משנה. מה שכן, הבנתי שיש סרגלי חישוב שאפשר לחשב בהם לוגריתמים (לא שאני יודע איך עושים את זה). מכיוון שהלוגריתם הטבעי של e הוא 1, נראה לי שכן צריך להיות מסוגלים לסמן 1 על הסרגל (וממילא שני הסרגלים שהוצעו לא איזומורפיים לפעולת הלוגריתם, כי הלוגריתם של 1 הוא 0). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא אם בסרגל החישובי מחשבים דווקא לוגריתמים ''טבעיים''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בזכות נוסחת המעבר בין הבסיסים, אני לא בטוח שזה משנה. (אגב, נראה לי שהמרכאות מיותרות - הלוגריתם ה''טבעי'' הוא באמת טבעי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשנפגוש חייזרים אינטליגנטיים באמת, בטח יתברר שיש להם e אצבעות בכל יד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
e אפשי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה, מה זה? (את זה שזאת בדיחה הבנתי, אבל מה הפירוש המילולי המדוייק?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
e=אי אי אפשי (בארמית) = אין רצוני, איני רוצה |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הה, אם כך למדתי משהו. חשבתי שזה ''אי אפשר'' בארמית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. (התבלבלתי דווקא משום שלמדתי את הפירוש הנכון, בניגוד למה שהשוטה חשב) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוששתני שאז יתגלעו בינינו e הבנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמה e רציונלי מצידם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הלוגריתם ה"טבעי" הוא באמת טבעי"? כלומר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדוגמה הטובה ביותר שאני מכיר היא זו של הנגזרת: הנגזרת של הלוגריתם על פי הבסיס הטבעי (כלומר של lnx) היא אחד חלקי x. בכל בסיס אחר, הנגזרת הזו תוכפל בקבוע כלשהו. יתר על כן, הקבוע הוא בדיוק אחד חלקי הלוגריתם הטבעי של הבסיס האחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו כן, ל-e יש כמה וכמה תכונות מופלאות, אבל לא הייתי אומרת שזה הופך את הלוגריתם לפיה לטבעי. (אבל עזוב, זה סמנטיקה...):) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני כתבתי 1? למה שאכתוב 1? נשבע לך שכתבתי e ורק השדים האינטרנטיים שינו את זה. (טוב, יכול להיות שבזמן שכתבתי חשבתי על כך שבטח ישנו את יחידות האורך כך שאורכו של אטום החלל יהיה בדיוק 1 אלכסנדרוביץ' - אל תשאל אותי למה יבחרו דוקא את השם המשונה הזה - ואנחנו חוזרים לסרגל עם מס' רציונליים, כמו שאתה אוהב) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז אני אשאל את אותה שאלה ששאלתי כבר בהמשך הפתיל: אם סימנת e על הסרגל הזה, איך אתה מסמן עליו את 1? ואם אתה לא מסמן עליו את 1, מה בעצם עשית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מסמן עליו "~1" שפירושו: המספר הכי קרוב ל 1 שאני מסוגל לסמן על הסרגל הזה. מה לעשות? אם יש לי עליו סקלה אי-רציונלית אני לא יכול לסמן עליה 1. מה שלא פחות חמור אפילו את פיי אני לא יכול לסמן שם (יש בטח הוכחה שהיחס בין פיי ואי אינו רציונלי). אבל אתה צודק, כל העסק לחלוטין לא רציונלי. בעולם דיסקרטי ניאלץ להסתפק בקירובים עבור מס' אי רציונליים אם אנחנו רוצים לסמן אותם במרחב, שכן ההתאמה היפה בין הממשיים לקו ישר אינה ניתנת להעתקה טובה על "קוים" פיזיקליים דיסקרטיים. מעשית זה לא ישנה כלום, כמובן, שכן אנחנו מדברים על גדלים קטנים מאד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נראה לי שיש ממש בעיה. אנחנו אמנם "צועדים" מספר אטומי חלל שלמים בין ראשית הצירים לבין e, אבל *המיקום* של כל אטום חלל נתון לעקרון אי-הודאות. משום כך, עלינו להגדיר את המיקום שלו בצורה אחרת - כזו שתביא לידי חשבון את ריכוז פונקציית הגל שלו. לדוגמה - מרכז האזור הרציף בו ערך האינטגרל על ריבוע פונקציית הגל (בקיצור - הסיכוי למצוא אותו שם) הוא 20^1-10. בקלות נגלה שקיבלנו מספר אי רציונלי בתור המיקום של אטום החלל, ויש לנו סרגל אי רציונלי (ומציאות דיסקרטית אבל בעלת גדלים אי רציונלים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בספרייה היו, אכן, הרבה יותר אי רציונליים מרציונליים. כפי שאמרתי לך, לא ראיתי בשום מקום שאלון הגביל את ''שוויון ההזדמנויות'' שלו בין הרציונליים לאי-רציונליים רק לאותם אי רציונליים שניתנים לחישוב. צריך לחשב גדלים של חללים, כמויות של חומרים, אורכים של כבישים... הרבה מאוד דברים, נראה לי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, כל החישובים הללו הם של גדלים שמקורם בנתונים אמפיריים (ממדי החלל, הכמויות הראשוניות של החומרים, אורכים של מקטעים שונים בכביש), ומכיוון שאנחנו לא מודדים גדלים אי רציונליים, מן הסתם לא נתחיל עם מספרים אי רציונליים. מצד שני, אלון דיבר על חישוב של טרנספורם פורייה וכדומה, שבהחלט משתמש במספרים אי רציונליים בתור נקודת מוצא אנליטית. אני לא מבין גדול בתחום ולא יודע מה השימושים של טרנספורם פורייה, אבל שמעתי שמועה שהוא נפוץ בתחומים זניחים כמו הנדסת חשמל, למשל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכנראה גם בתחומים זניחים לא פחות של השמיעה, מה שאומר שאפילו החתול שלי יודע לעשות חישובים כאלה! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נאה. אבל כיוון שגם חישובי טרספורם פוריה (יהיה אשר יהיה) מחושבים, כפי הנראה לצרכים אמפיריים, הרי שמספרים הרלוונטיים לא יופיעו בו כמספרים אי-רציונליים - אלא כקירובים רציונליים שלהם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בחישוב טרנספורם פורייה, עד כמה שאני למדתי, מופיע לעתים קרובות פאי בתור קבוע נירמול, לא בתור חלק מנתוני הפונקציה שאת הטרנספורם שלה מחשבים. לכן החישוב הבסיסי כבר מסתמך על פאי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "קבוע נירמול"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה טיפה טכני ואני לא בקיא לחלוטין בפרטים. הרעיון הבסיסי בטרנספורם פורייה הוא לייצג פונקציה באמצעות פונקציות "בסיסיות" - כאלו שמהוות מה שמכונה בסיס אורתונורמלי. בשביל זה צריך שהנורמה (האורך) של הפונקציות הללו (שהן איברים במרחב וקטורי) תהיה 1. לכן כופלים אותן בקבוע שמבטיח את האורך הזה. נראה לי שכאן העניין מוסבר יותר טוב משאני יכול להסביר: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חישוב *נומרי*? לא, זה לא בניגוד אלי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |