בתשובה לאותו אייל(ה), 19/06/05 12:01
 |
|
 |
||
|
||||
 |
מספרים רציונליים הם פשוט כאלה שניתנים לביטוי ע"י יחס בין שני שלמים. ישנם מספרים אי-רציונאליים שהם אלגבריים, כלומר ניתנים לביטוי ע"י משוואה פולינומית. אני לא בטוח שיש עדיפות כלשהי (מלבד נוחות) לביטוי באמצעות כפל על ביטוי באמצעות חזקה. בכל מקרה, ישנם מספרים טרנסצנדנטאליים, שאינם ניתנים לביטוי כלל וכלל, עד כמה שאני יודע. אולי אליהם את מתכוונת? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
למה "אינם ניתנים לביטוי כלל וכלל"? יש מספרים שהם, במובן חזק למדי ומוגדר היטב, לא ניתנים לחישוב, אבל לא כל הטרנסצנדנטיים הם כאלה. למעשה, כל הטרנסצנדטיים המוכרים הם (כמובן) לא כאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם הטרנצנדנטיים המוכרים ניתנים לביטוי ע"י מספרים טבעיים ופעולות חשבון, כמו האלגבריים, או שהם ידועים בשם מוסכם, כמו פיי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה "ניתנים לביטוי" זה רק מספרים טבעיים ופעולות חשבון? אם אתה מתעקש להגדיר שמספר הוא ניתן לביטוי רק אם הוא אלגברי, אכן תוכל להסיק שרק האלגבריים ניתנים לביטוי. השם "פיי" הוא לא העניין. אפשר לתת לפאי ביטויים מביטויים שונים המאפשרים לעשות איתו בערך כל מה שרוצים. יש, כאמור, מספר לא בן מנייה של מספרים טרנסצנדטיים שאי-אפשר למצוא להם ביטויים בכלל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אילו ביטויים מתימטיים ניתן לתת לפיי? האם יש דרך שתופסת את כל או חלק גדול מהלא-אלגבריים שניתנים לביטוי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פאי הוא השורש החיובי הקטן ביותר של המשוואה sin(x) = 0 או של המשוואהe^{ix} = -1 הוא שווה גם לארבע פעמים הסכום (1 פחות שליש ועוד חמישית פחות שביעית ועוד תשיעית...), וגם לשורש הריבועי של שש פעמים סכום ההופכיים של כל הריבועים השלמים. הוא שווה לאינטגרל ממינוס אחד עד אחד של שורש (1 פחות x בריבוע) (די x), ולעוד אינספור ביטויים כאינטגרל, טור, או שורש של משוואות שונות ומשונות.את השאלה השנייה לא הבנתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם ניקח את כל המספרים האלגבריים כקבוצה, ואת כל הלא-ניתנים לביטוי כקבוצה אחרת. האם יש דרך אחת (או כמה) שתופסת את כל מי שלא נמצא בקבוצות האלה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. מה זה "דרך שתופסת", והאם אתה שואל על כל מי שלא נמצא באיחוד שתי הקבוצות הללו, או בקבוצה-המשלימה של כל אחת מהן? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תקן אותי אם אני טועה. בעזרת פולינום אני יכול לבטא את כל המספרים הלא טרנסצנדנטליים, נכון? האם יש דרך אחת לבטא את כל המספרים הניתנים לביטוי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכל מספר אי-רציונלי יש הצגה יחידה כשבר משולב אינסופי, ומכיוון שלכל מספר רציונלי יש הצגה (לאו-דווקא יחידה) כשבר משולב סופי, אפשר אולי לומר שהתשובה לשאלתך היא ''כן - שבר משולב''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם קבוצת איבריו של השבר המשולב האינסופי היא נל"ר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל מספר אלגברי הוא שורש של פולינום במקדמים שלמים, כן. זה ודאי לא אומר שבעזרת פולינום (אחד) אתה יכול לבטא את כל המספרים האלגבריים. האם יש דרך אחת לבטא את כל המספרים הניתנים לביטוי - זה תלוי במה אתה מתכוון ב"לבטא". במובן מתאים, אפשר לעשות זאת באמצעות (הו לא, לא שוב!) מכונות-טיורינג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תבין אותי לא נכון, אין לי שום דבר נגד מכונות-טיורינג. אני די מחבב את הרעיון, אפילו. אבל לא לזה אני מתכוון בדיוק. האם יש לכל המספרים הניתנים לביטוי איזשהי תכונה מתימטית משותפת (מלבד היותם ניתנים לביטוי) שדרכה ניתן לבטא אותם (בהשתמש בטבעיים)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה קצת כמו לשאול, האם לכל הסינים יש איזו תכונה משותפת (מלבד היותם סינים). איזו מין תכונה אתה מחפש? כתבת "מתמטית", אבל נראה שאתה מודע לכך ש"ניתנוּת לביטוי" היא תכונה מתמטית. אם אתה מחפש פרשנות צרה יותר למושג "תכונה מתמטית", תצטרך להסביר מהי, ואז ניתן יהיה לענות על השאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מחפש תכונה מתימטית צרה יותר מאשר ''ניתנות לביטוי''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא כל כך יודע איך לפרש את השאלה. אולי תמצא עניין בעובדה הבאה, הדנה ב*קבוצות של טבעיים* במקום ב*מספרים ממשיים*: קבוצה של מספרים טבעיים נקראת r.e. (recursively enumerable) אם יש מ"ט המדפיסה את איברי הקבוצה, לאו דווקא לפי הסדר. קבוצה A של מספרים טבעיים נקראת דיופנטית אם יש פולינום במקדמים שלמים p(x, y1, ..., yn) כך ש-A היא בדיוק אוסף ה-a-ים עבורם יש פתרון בשלמים למשוואהp(a,y1, ... yn) = 0. קל לראות שכל קבוצה דיופנטית היא r.e., ויש משפט מאוד לא טריוויאלי וחשוב האומר שגם ההיפך נכון.אם זה מעניין אותך, חפש חומר על פתרון הבעייה ה-10 של הילברט, או משפט Matijasevic. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"יש מספרים שהם, במובן חזק למדי ומוגדר היטב, לא ניתנים לחישוב" הסקרנות הרגה את החתול. אני לא חתול. מי המספרים אלה? יש דוגמא? נ.ב. ממש בלי קשר לנושא הדיון. למה אף אחד לא סיפר לי שגוגל יצא לטייל בהגדרות שמופיעות בשלל המילונים והאינצקלופדיות של הרשת? למקרה שאני לא השוטה האחרון שגילה את זה: כתבו Define:whatever בשורת החיפוש ולחצו על search. ניתן להשתמש במונחים המורכבים ממספר מילים ולכן יש לכך יתרון חביב למדי על שימוש במילון. דוגמאות: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 311029 (אני חושב). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כל מיני הגדרות ל"מספר ממשי ניתן לחישוב" או "מספר ממשי ניתן להגדרה", ובכולן יש רק מספר בן-מנייה של מספרים כאלה, כלומר - רוב המספרים הממשיים אינם כאלה. זה לא מסתורי או מפתיע במיוחד, כך שגם אילו היית חתול היה ממש לא שווה למות דווקא בגלל זה. דוגמא, כמובן, אי-אפשר לתת - אילו הדגמתי, המספר המודגם היה (מסתמא) ניתן להגדרה באיזשהו אופן סביר. והנה הצצתי בויקיפדיה וראיתי שזה כבר שם: וגם |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדי השקים קום והשיג אותך! תגובה 311029 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''השקים כום'', התכוונת לכתוב, וזה בכלל לא פייר - אני אפילו עוד לא הלכתי לישון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני אפילו עוד לא הלכתי לישון (וזה יכול לתרץ את השגיאים, אולי). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |