בתשובה לסמילי, 10/12/02 9:36
 |
|
 |
||
|
||||
 |
1. המסקנה הנכונה (לדעתי) היא שגיל לא ענה לשאלה ששאלת, אלא לשאלה אחרת (טבעית יותר - האם הטור המקורי מתכנס). 2. אני לא חולק על קיומו של הסבר לסיכום בקבוצות; אפשר לסכם איך שרוצים, ואז (הפתעה) התוצאה תלויה בשיטת הסיכום. אני לא מעוניין בהסבר המלא על השכנים, אלא רק בפרט אחד ממנו: האם משהו בתנאים הפיזיקליים של השאלה מסביר מדוע אתה מקבץ את האיברים ברביעיות ולא בחמישיות? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
1. אז למה הוא כתב *במפורש* "ולשאלתך: ..."? הרי, אם הוא עונה לשאלה אחרת, לא נכון היה לכתוב "ולשאלה אחרת: ..."? 2. הקיבוץ יכול להיות, לדעתי, בכל מספר טבעי קבוע. גם חמישיות עובד, אבל אז הגענו שוב לבעיה בילתי פתירה. לעומת זאת, אם הייתי לוקח נקודות אחרות, למשל חמישית פאי ושלוש חמישיות פאי, הייתי מקבל גם מחזוריות של 5. אגב, אם הייתי לוקח נקודות לא רציונליות (למשל, 1 ו 2) הייתי מקבל משהו ללא שום מחזור, ובשביל להתמודד עם זה הייתי צריך לשאול מתמטיקאי. האם עכשיו צ'זרו עוזר, או שמדובר במשהו בלתי בכל צורה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יכונסו הטורים, וישא"ק! סיכמנו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 52141 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. אבל אלט''כ, אנע''ב, ואנמ''פ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צ"ל: אלע"ב, אלמ"פ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלט"כ = אני לא טל כהן? אלע"ב = ... ערן בילינסקי? אלמ"פ = ... מיץ פטל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. לא יודע למה. תשאל אותו. 2. יפה שאתה מזהה את המלכודת, אבל זה לא ימנע ממנה להסגר... אתה אמור להסביר מדוע התנאים הפיזיקליים (שבגללם, כזכור, הטור מסתכם לאפס) מחייבים סיכום של האברים דווקא ברביעיות - והנה אתה מסכים שאותו נימוק "פיזיקלי" מסביר גם סיכום בחמישיות. אלא שהטור שמתקבל מסיכום בחמישיות שוב אינו מתכנס. אז מדוע לסכם ברביעיות ולא בחמישיות? אני שוב טוען שהטור הזה מסתכם לך דווקא לאפס, לא בגלל שהתנאים הפיזיקליים מחייבים סיכום באופן הזה דווקא, אלא בגלל שאפס היא התשובה שאתה רוצה לקבל. אפילו אם נצא מהתסבוכת הזו של סיכומים בקבוצות סופיות, אפשר (כפי שאתה מציע) לבחור ערכים לא רציונליים של הפרמטר x - ואז שום סיכום כזה לא יעזור. הטור לא מתכנס, ודי. אבל אז, אני שואל, מה קרה לתנאים הפיזיקליים? מדוע הם פועלים רק בנקודות רציונליות, ולא באחרות? זה לא נשמע פיזיקלי במיוחד. הצעתי (טובה מזו לא תקבל): הטור באמת אינו אמור להתכנס. 3. אם a הוא פרמטר ממשי, הטור (x_n=cos(a*Pi*n אינו מתכנס במובן הרגיל (כי האיבר הכללי אינו שואף לאפס). אם a הוא רציונלי (עם מכנה N), אז הטור מחזורי (עם מחזור N), וסכום כל N אברים רצופים שווה לאפס. אם a אינו רציונלי, הממוצע של m האברים הראשונים שואף לאפס כאשר m שואף לאינסוף (הוכחה: צריך להראות שהזויות a*Pi*n מתפלגות באופן אחיד על מעגל היחידה), ולכן הטור מתכנס לאפס במובן של צ'זרו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אבל אתה אמרת שהוא לא טעה (תגובה 111629), עכשיו, אחרי שאפשר לסכם ולומר שהוא טעה, האם אפשר לומר שגם אתה טעית (כשאמרת שהוא לא טעה). 2. איזה מלכודת? הסיכום ברביעיות, פשוט מפני שכך אפשר לפתור, בחמישיות לא נקבל תוצאה אחרת, לא נקבל תוצאה כלל (וכמו שאמרתי, החוכמה היא לא להגיע לבעיה בלתי פתירה, את זה אפשר לעשות תמיד). בדיוק כמו במעבר להצגת התנע ולא להצגת האנרגיה בדוגמא שנתת. לא ברור לי למה אפס היא התשובה שאני רוצה לקבל, אני רוצה לקבל תשובה כלשהי, ואפס היא זו שאני מקבל. אני לא יודע למה הסכום מתאפס בנקודות רציונליות, ולא בנקודות אחרות, אני לא רואה "סיבה" שהטור יתאפס בנקודות הרציונליות, והסברתי את זה כבר מספר פעמים. ומכאן, אני לא רואה בעיה בכך שהסכום לא מתאפס בנקודות לא רציונליות, פשוט, ככה החישוב יצא. את הצעתך קיבלתי, אני לא מדבר על מה שאמור להיות, ולא מנסה להתאים את התוצאות לתוצאות רצויות (משום שכמו שכבר הסברתי, אין כאלה, או לפחות, אני לא יודע מהן). 3. תודה, אני מניח שאותו הדבר תקף גם לסכום המדובר (מכפלה של שני סינוסים, ולא קוסינוס). בכל מקרה, אני לא חושב שזה מספיק כדי לדבר על אורטוגונליות, ולו בגלל הסיבה שהעלה ד. פר בתחילת הדיון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אמרתי שטעותו היא בכך שהוא לא עובד אצלך. (אני מנחש ש)מכיוון שהטור המקורי עניין אותו יותר מהטורים שהמצאת אחר-כך, הוא ייחס את שאלתך על הטור המומצא לטור המקורי, וענה על השאלה הזו. "אבל הוא לא ענה לשאלה *שלי* ?!" - נכון. 2. האם "הסיכום ברביעיות מפני שכך אפשר לפתור" מחליף את "תנאים פיזיקליים"?. אם נסכם בחמישיות, הטור לא יתכנס. האם *זה* מוכיח שצריך לסכם דווקא ברביעיות? אפשר לסכם כך: ראשית, קבוצה של 87 אברים, ומשם והלאה - שמיניות. הסכום המתקבל בשיטה זו הוא 1/2. באותה קלות אפשר לקבל גם 1/2-. האם יש תנאי פיזיקלי שעוזר לבחור בין התוצאה 0 לתוצאה 1/2? אם הפיזיקה מבטיחה שהטור מתכנס (אבל לא יודעת לאן), איך נבחר בין האפשרויות השונות? הטור, כפי שכתבתי לא פעם, אינו מסתכם באף פרמטר (רציונלי או לא). אלא שאתה אונס את הטור להתנהג בדרך מסוימת בערכים הרציונליים (ולמעשה מחליף אותו בטור אחר), כשאתה טוען שהתנאים הפיזיקליים מחייבים זאת. מדוע? מפני שרק כך הטור מתכנס. והרי בערכים הלא-רציונליים כל הלולינות הזו לא תעזור, והטור לא יתכנס בכלל - לאן נעלם האילוץ הפיזיקלי במקרה הזה? אני מסיק מכל זה שאין שום תנאי פיזיקלי שמחייב את הטורים האלה להתכנס (וטוב שכך, כי הם לא). 3. מכפלה של שני סינוסים אפשר לתרגם לסכום של קוסינוסים, ואם שומרים על הפרש הפרמטרים קבוע ומשחקים עם הסכום, מקבלים את הטור שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. זה לא רק "אבל הוא לא ענה לשאלה *שלי* ?!", זה אבל הוא לא ענה לשאלה *שלי*, וכתב "לשאלתך", משמע, טעה. 2. לא, לא מחליף. תנאים פיזיקליים מאפשרים לסכם בכל קבוצה בגודל של מספר טבעי קבוע, סופי, וגדול מאפס. הבחירה ברביעיות היא מפני שבחירה זו נותנת תוצאה. בדיוק, כמו שאפשר לכתוב את בעיית החלקיק (זוכר?) בהצגת האנרגיה בהצגת התנע, ובהצגת המקום, וכשאי אפשר לפתור בעזרת הצגת האנרגיה, עוברים להצגת התנע. התנאים הפיזיקליים שמאפשרים לעבור להצגת התנע, מאפשרים גם לעבור להצגת התנע הזויתי, אז למה שלא נעבור להצגת התנע הזויתי, פשוט, מפני שרצוננו למצוא את המהירות, שלא מיוצגת בהצגה הזו (כמו גם בהצגת האנרגיה). האילוץ הזה לא נעלם, גם עבור ערכים לא רציונלים (ז"א, מכפלות לא רציונליות של פאי), האילוץ פשוט לא עוזר, אולי יש אילוץ אחר שכן עוזר, ואולי לא, זה לא אומר כלום. אני לא טוען (עדיין) שהמכפלה מתאפסת עבור כל הערכים, אני טוען שהיא מתאפסת עבור הערכים שנתן ד. פר. כתבתי את זה כבר מספר רב של פעמים, ושוב ושוב, אחרי שנראה שהבנת, אתה חוזר על אי ההבנה הבסיסית הזו. אני לא מאלץ את הסכום להתנהג בשום צורה, לא תהיה לי שום בעיה עם הסכום יהיה 17.33, רק שחישוב הראה לי שלא כך הוא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. גיל כותב "הסכום שלך לא מקיים את התנאים - ולכן הסכום שלך אינו טור מתכנס. ולשאלתך: לא, מכאן כמובן שאי אפשר להסיק שהוא מתכנס.'הוכחת' שהטור ...+(0.5+1-1-0.5)+(0.5+1-1-0.5) מתכנס. זה לא משנה את העובדה ש- ...5+1-1-0.5+0.5+1-1-0.5+ לא מתכנס". אותו "הוא" בטענה השניה עשוי היה להיות הטור שהצעת בתגובה 109200, אלא שלפי שאר הטענות סביר יותר להניח שהוא מתייחס לטור המקורי ולא לטור החדש. הטענות הענייניות שלו הן בכל מקרה נכונות. אם אתה בכל זאת רוצה לומר שגיל טעה, לא נראה לי שזה יגרום נזק למישהו. 2. קיימות שתי אלטרנטיבות: באחת, יש "תנאים פיזיקליים" שיהפכו את הטור התלוי-בפרמטר לטור של אפסים דווקא בערכים הרציונליים, אבל לשם כך הם צריכים להסביר סיכום בקבוצות בגודל *קבוע* (אחרת "יוצא" מספר אחר לגמרי) - וזאת כאשר לתנאים האלה אין שום משמעות עבור פרמטרים לא רציונליים. בשניה, הטור פשוט לא מתכנס (כפי שמתמטיקאים נוטים בטעות לחשוב). אני בוחר בשניה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. נו, כמה אפשר להמשיך ולדוש בזה, הוא כתב במפורש, באותו חלק שציטטת, "ולשאלתך: לא,...", מכאן: א. לאחת מהשאלות ששאלתי (עם עדיפות לאחרונה) יש תשובה שלילית. ב. גיל טעה. בגלל שאני חושב שהסכמנו שא. לא נכון, ב. היא האפשרות היחידה שאני רואה כהגיונית, ואז ניזכר שאתה כתבת "... הטעות היחידה שלו שם היא, אם יורשה לי, שהוא לא עובד אצלך ..." (תגובה 111629), ומאחר שמצאנו טעות נוספת, אפשר לומר שגם אתה טעית. 2. פיזיקה זה, עדיין, לא תוכנית כבקשתך. למעשה, אני חושב שאפשר למצוא טכניקה בה גם עבור הערכים הלא רציונלים המכפלה תתאפס1, אבל, זה לא ממש משנה את העובדה שהמכפלה מתאפסת עבור ערכים רציונלים (או, לפחות אלא שהראנו שהיא מתאפסת עבורם). להיפך, עבור הבעיה המקורית, שהעלה ד. פר, זה עלול להשמע כפתרון אלגנטי, אם כי, אני בספק אם נכון. ------------------------------------------ 1 במידה ויהיו מתעניינים2, אפשר לקבל פרטים בדוא"ל. 2 כן, בטח, כמו שהיו מתעניינים בכל שאר הדברים שהצהרתי שאני יכול להסביר בדוא"ל, הרי, הרבה יותר קל להגיד "אין לך הסבר"3, מאשר לנסות ולקרוא הסבר, קצת ארוך, ולנסות ולהבין אם הוא נכון. 3 ותוך כדי כך, לרמוז לחוסר יושר, לאי הגינות ולבורות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. בפעם האחרונה - "טעותו" של גיל היא שהוא התעלם מהשאלה על הטור שהמצאת, והתייחס לטור המקורי (כפי שקל להבין משאר הדברים שכתב). אם חשוב לך לומר שגם אני טעיתי, אתה מוזמן לעשות זאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. ועדיין, הוא כתב "לשאלתך". חשוב לי להראות שבשלב מוקדם מאד הפסקת (ולא רק אתה) לנסות לקרוא את הטיעונים עצמם, ועברת להגבה אוטומטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה המרכזית שאני מנסה להבהיר היא שהטורים במתמטיקה אינם תלויי הקשר. העובדה שבהפעלת טרנספורמציה מסויימת "יוצא" סכום כלשהו, איננה אומרת דבר על הטור המקורי. אם הטור אינו מתכנס, אפשר "לקבל" הרבה תוצאות שאינן בהכרח שוות זו לזו. כדי לחדד את הדברים, אוכיח ש- 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1/2. נסמן את מקדמי הטור ב- a_n, ונקבע x=1. אנחנו מעוניינים לחשב את הסכום (sum(a_n*x^n. מכיוון שקשה לסכם עבור x=1, ננסה בתחילה לסכם עבור ערכים אחרים. אם x<1 אז הטור מתכנס בהחלט (טור הערכים המוחלטים הוא טור חיובי עם איבר כללי שואף לאפס), ולכן אפשר לקבץ את האברים בזוגות: 1-x + x^2-x^3 + x^4-x^5 + x^6-x^7 + ... החישוב שערכנו מדויק לכל x<1, ולשמחתנו מתברר שהפונקציה שקיבלנו רציפה ב- x=1. אם ניקח עכשיו את הגבול כאשר x-->1 נקבל את הסכום 1/2.= (1-x)*(1+x^2+x^4+x^6+...) = (1-x)/(1-x^2) = 1/(1+x) האותיות הקטנות: הטור המובא לעיל (להלן: הטור) אינו באמת מתכנס לפי ההגדרה הרגילה של התכנסות. כל המסיק מהחישוב לעיל שהטור מתכנס במובן הרגיל, עושה זאת על אחריותו בלבד וכותב שורות אלו מסיר מעליו כל אחריות ישירה או עקיפה לכל נזק שיגרם בשל כך. בנוסף, לא תעמוד לניזק הטענה ש"כך יצא בחישוב" ומובהר כאן באופן בלתי חוזר שהחישוב יכול לתת כל מיני תוצאות, תלוי מה מחשבים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה שלך ברורה מאליו, אבל, אנחנו לא מדברים על טור מתמטי (חסר הקשר), אלא על סכום שמייצג גודל פיזיקלי, מכאן, בעל הקשר מובהק. "אם הטור אינו מתכנס, אפשר "לקבל" הרבה תוצאות שאינן בהכרח שוות זו לזו", נכון, הרי הראנו בדיון הזה מספר דוגמאות רב (אם כי, הדוגמא שלך יפה), אבל, אם יש לך *צידוק פיזיקלי* לבחור בדרך מסויימת, והסבר פיזיקלי למה הדרכים שמביאות תוצאות אחרות לא נכונות, אזי הדרך המוצדקת היא הנכונה. שנחזור שוב על דוגמאת כיוון המהירות? עכשיו, בו ניקח את הסכום 1-1+1-1+1-1... סכום עליו דיברנו מספר פעמים, סיכמנו שיש דרך להציג אותו כך שיתקבל 1/2 האם יש לך צידוק פיזיקלי לקחת את מערכת המטענים (מתגובה 110396) ולהציג אותה כגבול של x הולך ל1 ב sum(a_nx^n)?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנלוגית כיוון המהירות לא רלוונטית. פה הטור פשוט אינו מתכנס לגבול, והוספת הפסוק "הטור מתכנס ל-0" מובילה לסתירה, שם נתת מידע חלקי על פונקצית המיקום (גודל המהירות ידוע), ושיש פונקציה כלשהי יחידה מבחינה פיסיקלית, שם אתה מוסיף פסוק שאינו סותר דבר, הוא רק מוסיף מידע חסר. (ואגב, באנליזה _ניתן_ אחר כך לתת תנאים מספיקים לפונקצית המיקום בשביל שממידע חלקי נדע שיש פתרון יחיד, גם אם איננו יכולים לומר עליו הכל.) אני חוזר לחור שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם כאן, אני מוסיף מידע שלא סותר מידע קיים. אם הטור היה מתכנס למספר שונה מאפס, היינו מגיעים לבעיה. מכיוון שהטור לא מתכנס, המידע שהוא נותן לא ניסתר ע''י המידע הנוסף שהבאתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המידע ''לא מתכנס'' סותר את המידע ''מתכנס'' שבתוך המידע ''מתכנס לאפס.'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמתי לב. אתה כן טוען שהטור מתכנס לאפס, אף כי הוא אינו מתכנס. ובדוק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אני טוען שקיים סכום אחר שמתכנס לאפס. אני טוען שהגודל הפיזיקלי שהסכום הראשון מייצג שווה לגודל הפיזיקלי שהסכום השני מייצג, ולכן הסכום הראשון, אף שאינו מתכנס, הוא אפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Humour me - איזוהי המכפלה הפנימית עליה אנו מדברים, ממנה יוצא אותו טור נשגב? אולי הפניה להודעה בה הצגת את המכפלה הפנימית הזו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למשל, תגובה 111686 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שם אין את המכפלה הפנימית המדוברת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהי המכפלה הפנימית המדוברת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטור המדובר (שאינו מתכנס, לא! לא מתכנס! אל תחזירו אותי אל החדר המרופד! הצילו!), אמור להיות התוצאה של מכפלה פנימית כלשהי. מהי המכפלה הפנימית הזו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המכפלה של שני מצבי מקום שונים בהצגת האנרגיה של חלקיק חד ממדי בקופסא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
<r|r'>?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כי, ד. פר השתמש בx | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. אז... כולם טועים, ורק אני צודק. ומה שאני אומר, הוא: זו לא מכפלה פנימית במובן הרגיל של המלה בכלל, כי אלה לא איברים ב-L^2. מתחילים מלהגדיר אותם כברהים, ואז מגדירים קטים לצורך פישוט נוטציה - רק אם מבינים את תורת ההתפלגויות, אפשר בכלל להבין במה מדובר מבחינה מתמטית. ולדיון סוף. וזה בכלל לא קשור לכל טור שהוא. לטור אין סכום, והוא לא מתכנס. ביי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המובן ה"רגיל" של המילה הוא לא בL2, אלא בברא ובקט. המערכת (המדוברת) מוגדרת ע"י המצבים העצמיים של אופרטור האנרגיה E (שהוא אופרטור מדידה), כאשר נתון שיש מספר אין סופי בר מניה של מצבים כאלה, שמסומנים ע"י |n> (n=1,2,3,...) . ד. פר מנסה להכניס אופרטור מדידה נוסף, רציף, בעל ערכים עצמיים בין 0 ל פאי, x, כך שההיטל של מצב עצמי שלו על אופרטור האנרגיה הוא:<x|n>=A*sin(nx) ואז, לנסות ולחשב את המכפלה של שני מצבים עצמיים של האופרטור x (תגובה 107580).
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב... אז אולי צריך להגיע למסקנה שאין אופרטור מדידה רציף כזה, במקום להתחיל לטעון שלטורים שלא מתכנסים יש גבול? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן, על זה הסכמנו בהתחלה (אופרטור מדידה צריך להיות complete), מספר הערכים העצמיים של כל אופרטור מדידה במערכת ההיא צריך להיות קטן או שווה למספר הערכים העצמיים של אופרטור האנרגיה. אין לזה קשר לטענה השניה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע: אין אופרטור כזה, ואתה מתפלא שמכ"פ בין וקטורים עצמיים שלו לא מתכנסת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אופרטור מדידה, לא עם הערכים העצמיים האלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה יפה: האם יש צידוק פיזיקלי לומר שבאותו יקום מומצא המטען הוא גבול כאשר x שואף ל-1 של הטור (sum((-1)^nx^n. אולי אפשר להמציא, יחד עם היקום הזה, גם את הפיזיקה שתסביר את החישוב בדרך הזו1. אבל השאלה המעניינת היא אחרת. נניח שקיים הסבר כזה. אני הייתי אומר, אם כך, שהמטען של היקום שווה לגבול כאשר x שואף ל-1 מלמטה של הסכום 1-x+x^2-x^3+x^4-..., ולכן המטען הוא חצי.נדמה לי שאתה היית מעדיף לומר שהמטען שווה ל- 1-1+1-1+1-1+..., ולכן הוא "יוצא" חצי. היתרון בניסוח המוצפן הזה, הוא שמן הסתם יעיר מישהו שסליחה שאני מתערב אבל הטור הזה לא מתכנס, ואז אפשר יהיה לרדוף אותו לאורך ששים מלבנים שמה הוא מבין והטור לא מתכנס אבל כן מסתכם, ולמה הוא מדלג על שלבים ולא קורא מה שכותבים לו, ומי שמו להעיר על טורים שהם בכלל משהו אחר. 1 אפשר גם להסביר שקיים צידוק פיזיקלי, אלא שהוא פלאי מכדי שייכתב כאן וניתן לשלוח אותו רק באי-מייל... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, ה*ניסוח* שלי, לא היה מספיק ברור, סליחה. בכל מקרה, זה לא מה שהיתי אומר (ז"א, לא הייתי משתמש ב"לכן" ללא המעבר להצגה עם הגבול של x כמו שלא סיכמתי ללא המעבר לרביעיות). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |