בתשובה לסמילי, 13/12/02 13:48
 |
|
 |
||
|
||||
 |
1. גיל כותב "הסכום שלך לא מקיים את התנאים - ולכן הסכום שלך אינו טור מתכנס. ולשאלתך: לא, מכאן כמובן שאי אפשר להסיק שהוא מתכנס.'הוכחת' שהטור ...+(0.5+1-1-0.5)+(0.5+1-1-0.5) מתכנס. זה לא משנה את העובדה ש- ...5+1-1-0.5+0.5+1-1-0.5+ לא מתכנס". אותו "הוא" בטענה השניה עשוי היה להיות הטור שהצעת בתגובה 109200, אלא שלפי שאר הטענות סביר יותר להניח שהוא מתייחס לטור המקורי ולא לטור החדש. הטענות הענייניות שלו הן בכל מקרה נכונות. אם אתה בכל זאת רוצה לומר שגיל טעה, לא נראה לי שזה יגרום נזק למישהו. 2. קיימות שתי אלטרנטיבות: באחת, יש "תנאים פיזיקליים" שיהפכו את הטור התלוי-בפרמטר לטור של אפסים דווקא בערכים הרציונליים, אבל לשם כך הם צריכים להסביר סיכום בקבוצות בגודל *קבוע* (אחרת "יוצא" מספר אחר לגמרי) - וזאת כאשר לתנאים האלה אין שום משמעות עבור פרמטרים לא רציונליים. בשניה, הטור פשוט לא מתכנס (כפי שמתמטיקאים נוטים בטעות לחשוב). אני בוחר בשניה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
1. נו, כמה אפשר להמשיך ולדוש בזה, הוא כתב במפורש, באותו חלק שציטטת, "ולשאלתך: לא,...", מכאן: א. לאחת מהשאלות ששאלתי (עם עדיפות לאחרונה) יש תשובה שלילית. ב. גיל טעה. בגלל שאני חושב שהסכמנו שא. לא נכון, ב. היא האפשרות היחידה שאני רואה כהגיונית, ואז ניזכר שאתה כתבת "... הטעות היחידה שלו שם היא, אם יורשה לי, שהוא לא עובד אצלך ..." (תגובה 111629), ומאחר שמצאנו טעות נוספת, אפשר לומר שגם אתה טעית. 2. פיזיקה זה, עדיין, לא תוכנית כבקשתך. למעשה, אני חושב שאפשר למצוא טכניקה בה גם עבור הערכים הלא רציונלים המכפלה תתאפס1, אבל, זה לא ממש משנה את העובדה שהמכפלה מתאפסת עבור ערכים רציונלים (או, לפחות אלא שהראנו שהיא מתאפסת עבורם). להיפך, עבור הבעיה המקורית, שהעלה ד. פר, זה עלול להשמע כפתרון אלגנטי, אם כי, אני בספק אם נכון. ------------------------------------------ 1 במידה ויהיו מתעניינים2, אפשר לקבל פרטים בדוא"ל. 2 כן, בטח, כמו שהיו מתעניינים בכל שאר הדברים שהצהרתי שאני יכול להסביר בדוא"ל, הרי, הרבה יותר קל להגיד "אין לך הסבר"3, מאשר לנסות ולקרוא הסבר, קצת ארוך, ולנסות ולהבין אם הוא נכון. 3 ותוך כדי כך, לרמוז לחוסר יושר, לאי הגינות ולבורות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. בפעם האחרונה - "טעותו" של גיל היא שהוא התעלם מהשאלה על הטור שהמצאת, והתייחס לטור המקורי (כפי שקל להבין משאר הדברים שכתב). אם חשוב לך לומר שגם אני טעיתי, אתה מוזמן לעשות זאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. ועדיין, הוא כתב "לשאלתך". חשוב לי להראות שבשלב מוקדם מאד הפסקת (ולא רק אתה) לנסות לקרוא את הטיעונים עצמם, ועברת להגבה אוטומטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה המרכזית שאני מנסה להבהיר היא שהטורים במתמטיקה אינם תלויי הקשר. העובדה שבהפעלת טרנספורמציה מסויימת "יוצא" סכום כלשהו, איננה אומרת דבר על הטור המקורי. אם הטור אינו מתכנס, אפשר "לקבל" הרבה תוצאות שאינן בהכרח שוות זו לזו. כדי לחדד את הדברים, אוכיח ש- 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1/2. נסמן את מקדמי הטור ב- a_n, ונקבע x=1. אנחנו מעוניינים לחשב את הסכום (sum(a_n*x^n. מכיוון שקשה לסכם עבור x=1, ננסה בתחילה לסכם עבור ערכים אחרים. אם x<1 אז הטור מתכנס בהחלט (טור הערכים המוחלטים הוא טור חיובי עם איבר כללי שואף לאפס), ולכן אפשר לקבץ את האברים בזוגות: 1-x + x^2-x^3 + x^4-x^5 + x^6-x^7 + ... החישוב שערכנו מדויק לכל x<1, ולשמחתנו מתברר שהפונקציה שקיבלנו רציפה ב- x=1. אם ניקח עכשיו את הגבול כאשר x-->1 נקבל את הסכום 1/2.= (1-x)*(1+x^2+x^4+x^6+...) = (1-x)/(1-x^2) = 1/(1+x) האותיות הקטנות: הטור המובא לעיל (להלן: הטור) אינו באמת מתכנס לפי ההגדרה הרגילה של התכנסות. כל המסיק מהחישוב לעיל שהטור מתכנס במובן הרגיל, עושה זאת על אחריותו בלבד וכותב שורות אלו מסיר מעליו כל אחריות ישירה או עקיפה לכל נזק שיגרם בשל כך. בנוסף, לא תעמוד לניזק הטענה ש"כך יצא בחישוב" ומובהר כאן באופן בלתי חוזר שהחישוב יכול לתת כל מיני תוצאות, תלוי מה מחשבים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה שלך ברורה מאליו, אבל, אנחנו לא מדברים על טור מתמטי (חסר הקשר), אלא על סכום שמייצג גודל פיזיקלי, מכאן, בעל הקשר מובהק. "אם הטור אינו מתכנס, אפשר "לקבל" הרבה תוצאות שאינן בהכרח שוות זו לזו", נכון, הרי הראנו בדיון הזה מספר דוגמאות רב (אם כי, הדוגמא שלך יפה), אבל, אם יש לך *צידוק פיזיקלי* לבחור בדרך מסויימת, והסבר פיזיקלי למה הדרכים שמביאות תוצאות אחרות לא נכונות, אזי הדרך המוצדקת היא הנכונה. שנחזור שוב על דוגמאת כיוון המהירות? עכשיו, בו ניקח את הסכום 1-1+1-1+1-1... סכום עליו דיברנו מספר פעמים, סיכמנו שיש דרך להציג אותו כך שיתקבל 1/2 האם יש לך צידוק פיזיקלי לקחת את מערכת המטענים (מתגובה 110396) ולהציג אותה כגבול של x הולך ל1 ב sum(a_nx^n)?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנלוגית כיוון המהירות לא רלוונטית. פה הטור פשוט אינו מתכנס לגבול, והוספת הפסוק "הטור מתכנס ל-0" מובילה לסתירה, שם נתת מידע חלקי על פונקצית המיקום (גודל המהירות ידוע), ושיש פונקציה כלשהי יחידה מבחינה פיסיקלית, שם אתה מוסיף פסוק שאינו סותר דבר, הוא רק מוסיף מידע חסר. (ואגב, באנליזה _ניתן_ אחר כך לתת תנאים מספיקים לפונקצית המיקום בשביל שממידע חלקי נדע שיש פתרון יחיד, גם אם איננו יכולים לומר עליו הכל.) אני חוזר לחור שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם כאן, אני מוסיף מידע שלא סותר מידע קיים. אם הטור היה מתכנס למספר שונה מאפס, היינו מגיעים לבעיה. מכיוון שהטור לא מתכנס, המידע שהוא נותן לא ניסתר ע''י המידע הנוסף שהבאתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המידע ''לא מתכנס'' סותר את המידע ''מתכנס'' שבתוך המידע ''מתכנס לאפס.'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמתי לב. אתה כן טוען שהטור מתכנס לאפס, אף כי הוא אינו מתכנס. ובדוק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אני טוען שקיים סכום אחר שמתכנס לאפס. אני טוען שהגודל הפיזיקלי שהסכום הראשון מייצג שווה לגודל הפיזיקלי שהסכום השני מייצג, ולכן הסכום הראשון, אף שאינו מתכנס, הוא אפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Humour me - איזוהי המכפלה הפנימית עליה אנו מדברים, ממנה יוצא אותו טור נשגב? אולי הפניה להודעה בה הצגת את המכפלה הפנימית הזו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למשל, תגובה 111686 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שם אין את המכפלה הפנימית המדוברת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהי המכפלה הפנימית המדוברת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטור המדובר (שאינו מתכנס, לא! לא מתכנס! אל תחזירו אותי אל החדר המרופד! הצילו!), אמור להיות התוצאה של מכפלה פנימית כלשהי. מהי המכפלה הפנימית הזו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המכפלה של שני מצבי מקום שונים בהצגת האנרגיה של חלקיק חד ממדי בקופסא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
<r|r'>?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כי, ד. פר השתמש בx | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. אז... כולם טועים, ורק אני צודק. ומה שאני אומר, הוא: זו לא מכפלה פנימית במובן הרגיל של המלה בכלל, כי אלה לא איברים ב-L^2. מתחילים מלהגדיר אותם כברהים, ואז מגדירים קטים לצורך פישוט נוטציה - רק אם מבינים את תורת ההתפלגויות, אפשר בכלל להבין במה מדובר מבחינה מתמטית. ולדיון סוף. וזה בכלל לא קשור לכל טור שהוא. לטור אין סכום, והוא לא מתכנס. ביי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המובן ה"רגיל" של המילה הוא לא בL2, אלא בברא ובקט. המערכת (המדוברת) מוגדרת ע"י המצבים העצמיים של אופרטור האנרגיה E (שהוא אופרטור מדידה), כאשר נתון שיש מספר אין סופי בר מניה של מצבים כאלה, שמסומנים ע"י |n> (n=1,2,3,...) . ד. פר מנסה להכניס אופרטור מדידה נוסף, רציף, בעל ערכים עצמיים בין 0 ל פאי, x, כך שההיטל של מצב עצמי שלו על אופרטור האנרגיה הוא:<x|n>=A*sin(nx) ואז, לנסות ולחשב את המכפלה של שני מצבים עצמיים של האופרטור x (תגובה 107580).
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב... אז אולי צריך להגיע למסקנה שאין אופרטור מדידה רציף כזה, במקום להתחיל לטעון שלטורים שלא מתכנסים יש גבול? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן, על זה הסכמנו בהתחלה (אופרטור מדידה צריך להיות complete), מספר הערכים העצמיים של כל אופרטור מדידה במערכת ההיא צריך להיות קטן או שווה למספר הערכים העצמיים של אופרטור האנרגיה. אין לזה קשר לטענה השניה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע: אין אופרטור כזה, ואתה מתפלא שמכ"פ בין וקטורים עצמיים שלו לא מתכנסת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אופרטור מדידה, לא עם הערכים העצמיים האלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה יפה: האם יש צידוק פיזיקלי לומר שבאותו יקום מומצא המטען הוא גבול כאשר x שואף ל-1 של הטור (sum((-1)^nx^n. אולי אפשר להמציא, יחד עם היקום הזה, גם את הפיזיקה שתסביר את החישוב בדרך הזו1. אבל השאלה המעניינת היא אחרת. נניח שקיים הסבר כזה. אני הייתי אומר, אם כך, שהמטען של היקום שווה לגבול כאשר x שואף ל-1 מלמטה של הסכום 1-x+x^2-x^3+x^4-..., ולכן המטען הוא חצי.נדמה לי שאתה היית מעדיף לומר שהמטען שווה ל- 1-1+1-1+1-1+..., ולכן הוא "יוצא" חצי. היתרון בניסוח המוצפן הזה, הוא שמן הסתם יעיר מישהו שסליחה שאני מתערב אבל הטור הזה לא מתכנס, ואז אפשר יהיה לרדוף אותו לאורך ששים מלבנים שמה הוא מבין והטור לא מתכנס אבל כן מסתכם, ולמה הוא מדלג על שלבים ולא קורא מה שכותבים לו, ומי שמו להעיר על טורים שהם בכלל משהו אחר. 1 אפשר גם להסביר שקיים צידוק פיזיקלי, אלא שהוא פלאי מכדי שייכתב כאן וניתן לשלוח אותו רק באי-מייל... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, ה*ניסוח* שלי, לא היה מספיק ברור, סליחה. בכל מקרה, זה לא מה שהיתי אומר (ז"א, לא הייתי משתמש ב"לכן" ללא המעבר להצגה עם הגבול של x כמו שלא סיכמתי ללא המעבר לרביעיות). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |