בתשובה ליהונתן בר, 27/05/11 14:24
 |
|
 |
||
|
||||
 |
תואר (ובמיוחד תואר ראשון) לא צריך להיות מוגבל רק לתכנים של הדיסציפלינה הספציפית של הלומד. המצב בארץ, שבו אדם מקבל תואר ראשון מבלי שהוציא את ראשו מתחומי הפקולטה שלו, הוא בעייתי וקלוקל (ובמידה רבה נובע בדיוק מכך שבישראל יש שירות צבאי חובה, ואנשים מגיעים לתואר הראשון בגיל מאוחר יחסית, ועושים מילואים וכן הלאה). זה שיש לי תואר ראשון (ושני) במדעי החברה ומעולם לא עברתי קורס בסיסי כלשהו במדעי החיים הוא משהו שאני רואה אותו כבעייתי. זה שאנשים מסיימים תואר ראשון במדעי המחשב או בפיזיקה ומעולם לא עברו קורס בסיסי כלשהו במדעי הרוח, זה משהו בעייתי, וזה משליך על מעמד האקדמיה בישראל ועל התפיסה, במיוחד אצל בעלי השכלה אקדמאית, של האקדמיה. למצב הזה יש חלק בהתדרדרות המתמשכת של מעמד האקדמיה בארץ, ושל היחס אל הפקולטות ה''לא רווחיות''. אבל יש לו גם השפעה מכרעת על איכותם של בעלי התואר שיוצאים מהאקדמיה הזו ועל איכות החינוך שהם זכו לו. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
טוב שאפשר להאשים את השרות הצבאי. איך הוא בדיוק משפיע? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא "מאשים", אלא "מסביר". כשילד מגיע בגיל 18 לאוניברסיטה, יותר קל לדרוש ממנו מסלול של ארבע שנים כשהשנה הראשונה מבוזבזת בחלקה הגדול בשיטוט קצת אקראי בין קורסי מבוא למגוון תחומים. כשגם ככה אנשים מאבדים שנתיים-שלוש מהקריירה שלהם לצבא, אפשר להבין שכולם רוצים כבר להגיע לתכלס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים - צריך "קורסי העשרה" כדי להרחיב את ההשכלה של הסטודנט. כרגע (בישראל) הם מהווים בחירה של הסטודנט (עם פופולריות ביחס הפוך לקושי) והם לא רחבים מספיק. בהנתן שצריך X נקודות בקורסים שכאלו (בתואר הראשון שלי היה מדובר בשש), לא מפריע לי להקצות שתיים מהן ל"התנדבות" או "תרומה לקהילה" כחלק מ"הרחבת ההשכלה" הזו. ומכאן להקצות שתיים ל"שירות מילואים"... מה אני אגיד, לא ברור לי למה זה מפריע למישהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באיזה סוג של התנדבות מדובר? כי בפקולטות למשפטים הקליניקות המשפטיות נחשבות כקורס (ודי גדול - בעברית 6 נ"ז, נדמה לי שבפקולטות מסוימות זה 8 נ"ז, ואפשר לעשות שתי קליניקות במסגרת התואר), ולא רק שהן דרשו הרבה יותר מאמץ מרוב הקורסים האחרים שלמדתי בהם, אלא שגם למדתי *המון* בקליניקות האלה. או שאתה לא מחשיב קליניקות כאלה כנקודות על התנדבות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ל''קליניקות'' (שם מעצבן) אפשר להתייחס כשיעורי מעבדה. בידיעה החדשותית למעלה נטען שיש מוסדות שמעניקים נקודות זכות גם בתמורה להתנדבות שאינה קשורה למקצוע, כדוגמת פר''ח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
________ העלמה עפרונית, סקרנית |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי זה נראה לי כמו ניסיון מלאכותי לזכות ב''הילה'' של קליניקות רפואיות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מנומס, אז לא כתבתי על חנות התחתונים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לצורך העניין, הן קשורות לניסיון בתחום הלימודים. לכן לא מדובר על ''סתם'' התנדבות (כדוגמת פר''ח, שלרוב המשתתפים בו אינו קשור לתחום לימודיהם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דובי מדבר על קורסים בסיסיים בתחומים שאינם תחומי הלימוד. אבל השאלה היא כמה קורסים צריכים לעשות כדי שזה יהיה משמעותי? האם בקורס אחד או שניים אתה יכול לתת יותר מאשר פירור? דובי, מה היית ממליץ לוועדה האקדמית להוסיף לתוכנית הלימודים במדעי המחשב? (תזכור שהוועדה תידרש להוריד קורסים אחרים, ולכן אי אפשר להוסיף יותר מדי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שני קורסים סמסטריאליים (או אחד שנתי) מחוץ לפקולטה, לפחות אחד מהם במדעי החברה או הרוח, ברמת קורס מבוא. כנ"ל להפך - מי שלומד מדעי הרוח או החברה צריך לעשות שני קורסים מחוץ לפקולטה, לפחות אחת מהם במדעי הטבע/מדעים מדוייקים. כן, זה נותן רק פירור. אבל עצם החשיפה לחשיבה אקדמית בתחומים אחרים זה מה שחשוב. סטודנטים שמעוניינים בכך, כמובן, יכולים לקחת חוג נוסף כ"משני". הרעיון שאדם יכול לסיים תואר ראשון במדע המדינה, למשל, בלי להבין בכלל מה עושים במדעי הטבע, גורם לי להתפלץ. לי, לשמחתי, יש לא מעט רקע בלתי פורמלי, אבל אני מרגיש בחסרון של ההכרות הזאת עם עבודה אקדמית בתחום, אפילו ברמה הבסיסית ביותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהכרות עם הקורס ''מבוא למדעי המחשב לרפואנים'' בטכניון (הגרסה המפושטת שנועדה לאנשי ה הפקולטה לרפואה לקורס החובה בטכניון של מבוא למדעי המחשב) אני מנסה לחשוב איך יראה סמסטר של ''מבוא למדעי הטבע''. שלא לדבר על זה שהקורס הזה יידרש לכלול בתוכו גם חלק מהמתמטיקה הדרושה. אני לא מכיר מספיק טוב את תחומי הלימוד האחרים כדי להזדעזע בצורה אמינה מההיקף המשוער של קורס מבוא כללי כזה בתחומם. נראה לי שההנחה היא שיש לך תעודת בגרות ולכן יש לך רקע סביר במגוון נושאים. ההנחה הזו נכונה להלכה, ואולי הדבר הנכון הוא לתקנה באופן מעשי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מדבר כאילו מוצע כאן חידוש מהפכני שמעולם לא נוסה בשום מקום בעולם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאיפה הרקע של הסטודנטים שלומדים שם בשנה א'? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה זה "שם"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברחבי הפקולטה למדעי הטבע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפקולטה למדעי הטבע בטכניון? אני מניח שאתה מתכוון ל"טכניון" סתם (יש כל מיני פקולטות, אבל רובן המוחלט הן בתחום מדעי הטבע). לגבי הרקע: סטודנטים ישראליים (עם בגרות ופסיכומטרי, מן הסתם). לא ברור לי למה אתה מתכוון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סטודנטים "רגילים" בפקולטות האלו (במקרה של הטכניון, רוב הסטודנטים) עוברים בערך 3 סמסטרים ראשונים של קורסים במתמטיקה ופיסיקה בסיסית, רק אחר כך אפשר להתחיל עם קורסים פקולטיים. גם לכלל הזה יש יוצאים מן הכלל, אבל מדובר על מספר מצומצם מאוד של קורסים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תסביר למה החשיפה לתחומים אחרים חשובה לי זה נשמע כמו ההצדקות ללימוד גמרא בבתי ספר חילוניים או ללימוד לטינית בחו''ל לא נעים להודות שזה בגלל כבוד למסורת אז מעמידים פנים שזה משפר איכשהו את האינטלקט |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ברור לי מה ההבדל בין מה שאתה מציע לבין מה שקיים עכשיו. אני סטודנט דו-חוגי למתמטיקה ומדעי המחשב באוניברסיטה העברית, והמסלול שלי דורש 12 נקודות כלליות - כלשהן. הן יכולות להיות גם מהתחום שלי, לדעתי, אבל אף סטודנט בר-דעת לא ייקח עוד קורסים בתחומים האלו כשהוא יכול לקחת קורסים במדעי הרוח או החברה. יתרה מכך, האוניברסיטה מעודדת את זה, בין השאר על ידי "ייבוא" של קורסים לא ממדעי-הטבע לקמפוס של מדעי הטבע, בגבעת רם. 12 נקודות כלליות, אם נחשב תואר כשלוש שנים (האורך המקובל), הן 2 נקודות לסמסטר. זה אולי לא ברמת "קורס מבוא" (מה זה "רמת קורס מבוא" בכלל? אצלנו יש קורס בשם "מבוא למדעי המחשב", בן 7 נ"ז, ששואב בערך 20 שעות שבועיות של תרגילי בית, ויש קורס בשם "מבוא ללוגיקה", בן 4 נ"ז, שטרם לקחתי, אבל אמור להיות יחסית קל ולא תובעני; וזה עוד לפני שדיברנו על "מבוא לספרות האגדה: הספר וסיפוריו" שאשתי לקחה פעם בהר הצופים, 2 נקודות, לא מתקרב לרמה של שני הקודמים, או על "מבוא לדרמה", 2 נ"ז, "ההרצאות יינתנו בצרפתית"), אבל זה אומר שכל אחד נתקל בחשיבה אקדמית מתחומים אחרים. מהיכרות לא מאוד קרובה עם אוניברסיטאות אחרות, המצב דומה גם שם (למעט בר-אילן, שדורשת מעט קורסים בכלליים ויחסית הרבה ביהדות, וזה לא שלילי בעיני). [נראה לי שלהכריח סטודנטים ממדעי הרוח ללמוד קורסים במדעי הטבע זה אכזרי מדי.] |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
[אני משוכנעת שאפשר לעשות קורסי "מדעי הטבע לסטודנטים של מדעי הרוח". יותר בסיסיים, עם רמה אולי יותר נמוכה, אבל שיתנו לבוגרי מדעי הרוח מושג רחב יותר במדעים מדוייקים?] | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
[לא כתבתי שאי אפשר. ברור שאפשר. אבל זה אכזרי. זה יוריד לרובם את הממוצע בצורה די קשה, או שזה לא יעלה מעל הרמה של הבגרויות במקצועות ריאליים ואז אין בזה שום תועלת]. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי הממוצע זה מה שהולכים בשבילו לאוניברסיטה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תתפלא\י, יש כאלו שכן. וברצינות, יש משמעות רבה לממוצע, למשל בקבלה לעבודה. לתת לנושא שאין לו שום קשר לדרישות המקצוע להשפיע על הממוצע באופן לא הוגן (כי יש אנשי מדעי הרוח שיתקשו יותר ויש כאלו שפחות, בלי קשר לכישרון שלהם במקצוע שלהם) זה אכזרי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממוצע רלוונטי למדעי הרוח? חוץ מלצורך תארים מתקדמים? [בכזה מקרה אפשר לא להכליל את הקורסים למדעים מדוייקים בחישוב הממוצע לצורך קבלה לתואר שני]. _______________ שבוע שעבר נשאלתי מה היה הממוצע שלי. לראשונה מאז סיימתי את הלימודים לפני 7 שנים. ואני למדתי עיצוב גרפי ולא מדעי הרוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מציינים אותו בקורות החיים - זה מספיק. גם כאן אפשר לטעון שאפשר לא להכליל את הקורסים האלו. בעצם, בכל הקשר שהוא אפשר לא להכליל את הקורסים האלו. נכנעתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
________________ הם שאלו אותי מה היה הממוצע שלי בתואר הראשון. לא כמה קיבלתי בבגרות בלשון... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יוריד את הממוצע? אתה מניח שהקורסים שם הם קלים ופשוטים (ברור, הרי הם מיועדים למרחפים הללו ממדעי הרוח, ומכאן שהם קלים ופשוטים). בכל נושא בערך אפשר לעשות קורס קל או קשה יותר. יש הרבה פרמטרים שאיתם אפשר לשחק, אם הממוצע קדוש. אבל השאלה החשובה יותר היא: מה רוצים ללמד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו גם התעללות במרצים שיצטרכו לתכנן ולהעביר קורסים בתת רמה וכל זה רק בשביל לשמר את השקר שמדעי הרוח ומדעי הטבע הם אותו דבר מבחינת הדרישות האינטלקטואליות שלהם |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יכול לחשוב על כל מיני נימוקים נגד, אבל דווקא עם השניים הללו אני נוטה לא להסכים. הזכרתי כבר את הקורסים לרפואנים? קורס "מבוא למדעי הטבע" לא חייב להניח שהם באותה רמה כמו הפיזיקאים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו בדיוק הבעייה אתה לוקח פרופסורים ומבקש מהם ללמד קורס ברמה של כיתה י' בשביל מה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ומה עם הפרופסרים המסכנים שצריכים ללמד סטודנטים משנה ראשונה? עליהם אתה לא מרחם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל זה בדיוק ההבדל - חומר של כיתה י' אמורים ללמוד בכיתה י', לא באוניברסיטה. יכול להיות - אין לי דעה מגובשת - שאת החומר של שנה א'-ב' יכולים ללמד מאסטרנטים או דוקטורנטים (אלו שהיום מתרגלים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את החומר של שנה א' יכולים ללמד תלמידים של שנה ג'. את החומר של שנה ב' וג' יכולים ללמד מאסטרנטים. את החומר של המאסטרנטים יכולים ללמד דוקטורנטים. ואז הפרופסורים יכולים ללמד רק את הדוקטורנטים (שגם ככה צריכים ללמוד את רוב החומר לבד או יחד עם המאסטרנטים)... אבל זה לא עובד ככה, יש גם כסף באמצע. החוקרים צריכים מימון למחקרים שלהם. לתלמידים יש כסף. התלמידים רוצים מישהו שילמד אותםף לחוקרים יש ידע. ככה שני הצדדים נפגשים באמצע, וכל אחד מקבל את מה שהוא רוצה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"חומר של כיתה י"' זה ניסוח של קונשטוק. מדובר על חומר שאמור להיות ברמה של קורסי מבוא, כלומר: שנה א'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל קורס צריך להתחיל מהנקודה שבה התלמידים נמצאים מבחינת הידע שלהם אתה לא יכול ללמד קורסים במדעי הטבע/מתמטיקה ברמה של שנה א' לאנשים שלא עשו בגרות במדעי הטבע ולמדו מקסימום 3 יחידות במתימטיקה אז במקרה של קורסים במדעי הטבע ו/או מתמטיקה לסטודנטים בתחום הרוח נקודת ההתחלה היא כיתה י' |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אתה יכול. בין כה וכה רובם המוחלט של הסטודנטים באים לאוניברסיטה אחרי שנתיים-שלוש צבא + שנה של עבודה וטיול. המרצים מודעים לזה ומתכננים את קורסי המבוא כך שתהיה חזרה כללית של החומר ש-תיאורטית-הסטודנט אמור כבר לדעת מהתיכון. גם מי שלא למד יותר מ-3 יח' יכול להסתדר עם קורסים מתימטיים ברמה גבוה יחסית באותו פורמט בו הם מתקיימים היום. אבל למה אנחנו בכלל מדברים על קורסי מבוא במתימטיקה? מבוא לסטטיסטיקה, למשל, לא דורש יותר מיכולת לפתור משוואה עם שני נעלמים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קורסים בסטטיסטיקה הם דרישת חובה בחוגים בפקולטות למדעי הרוח והחברה1. 1 רובם? כולם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההבדל בין מבוא לסטטיסטיקה שנלמד במדעי הרוח והחברה למבוא לסטטיסטיקה שנלמד במדעים מדוייקים הוא כמו ההבדל בין קורס הספורט שנלמד באוניברסיטה לזה שנלמד בווינגיט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מרגישה כאילו חזרתי לטירונות וכל יחידה מנסה להוכיח שהיא הכי מוצלחת ולה הכי קשה. בתור סטודנטית למדעי הטבע, אני יכולה להעיד שהקורסים הכי פשוטים בשבילי הם הקורסים המתמטיים, ושתואר בפילוסופיה נראה לי כמו תואר שאני לעולם לא אצליח לעבור. כל תחום הוא שונה, דורש כישורים אחרים וחשיבה שונה, ולכן יהיה קל יותר לאנשים מסוימים וקשה יותר לאחרים. זה לא אומר שאין תארים פשוטים יותר ותארים מסובכים יותר, אבל זה כן אומר שיש בזה מרכיב אישי. כמו כן רמת הקושי תלויה בהחלטות של המרצים, ועדות ההוראה והדיקנים, שמושפעים ממוסכמות בנגוע לקורסים מסוימים, לפעמים קורס מסוים הוא מאוד קשה רק בגלל שככה מקובל שהוא יהיה. לכן יש יתרון מסוים בהכרה של תחומים שונים מהתחום הנלמד - גם כדרך להרחבת הידע הכללי וגם כדרך להיחשף לדרכי חשיבה אחרות, חשיפה שיכולה לעזור לסטודנט לשים לב גם לתבניות מחשבה גם בתחום שהוא מתמחה בו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים לחלוטין עם הטענה שכל תחום דורש כישורים אחרים וזו בדיוק הסיבה שאני לא חושב שלחייב סטודנטים לקחת קורסים מחוץ לתחום זה דבר מועיל או נחוץ |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים עם שתי הפסקאות הראשונות שלך, והמסקנה שלי היא שאם אנחנו רוצים לפתוח תלמידים לתחומים אחרים אנחנו צריכים לאפשר להם לעשות את זה במסגרת חוגים מיוחדים (כמו פיזיקה למדעי הרוח, או ספרות למדעי הטבע). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא לא אם צריך לאפשר אלא אם צריך לחייב | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש, אבל ממש לא בכולם. והאמת, סדרה של כשלים שאני מוצא (ואני רחוק מלהיות סטטיסטיקאי גדול) במחקרים איכותניים שונים, גורמת לי לשאול האם גם במקומות בהם אמורים ללמוד את הקורסים הנ''ל טורחים לעשות זאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לומדים את הקורסים, אבל זה לא אומר שמיישמים... חבר שלי מצא בזמן שלמד לדוקטורט במדעי המוח פגם מהותי בהערכת היעילות של טיפול במצב רפואי מסוים. הסתבר לו שהפרוטוקול המקובל בכל העולם מתבסס על מתאם שמצאו רופאים בין שיטת טיפול מסוימת לבין שיפור במצב החולים - אלא שהם לא עשו הפרדה נכונה של משתנים, וכך הם בדקו, בעצם, מתאם בין משתנים שהיו מתואמים מלכתחילה (במלים אחרות: גם אם הטיפול לא היה משפיע כהוא זה, החישוב היה מראה מתאם דומה למה שהתקבל). כאשר הוא ניסה לעניין ג'ורנלים רפואיים בפרסום האינפורמציה הזו הוא נתקל בחוסר רצון מופגן לעשות זאת - הן כזה שנובע מ-"אתה בכלל לא רופא", והן משיקולים אחרים שבינם לבין טובת החולים לא היה הרבה. בסופו של דבר הוא הצליח להכניס את זה לאיזה ג'ורנל - אני לא יודע אם זה הביא לשינוי הפרוטוקול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם כאלו יש (פשוט מוותרים על המשוואות ומדברים על העקרונות, שזה גם מסוכן, כי איזה פילוסוף עלול לחשוב בטעות שהוא מבין מכניקת קוונטים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מסקרן. מה, בעצם, הקשר בין הבנה של תורה פיזיקלית לבין יכולת לפתור את המשוואות של התורה הזאת? נוכל לטעון שאם אני לא יודע ליישם את העיקרון הכללי למקרה פרטי באמצעות הצבת משוואות ופתירתן, אז לא הבנתי את העקרונות. אבל זה נראה לי כקריטריון אופרטיבי למדידת ההבנה ולא כקריטריון להבנה עצמה. אפשרות נוספת שעולה בדעתי היא לטעון שאין כאן יחס של ייצוג, אלא יחס של זהות בין העקרונות הפיזיקליים לבין המשוואות. המשוואה היא העיקרון. אבל אז, איך אנחנו יכולים להסביר את העקרונות באמצעות מילים? והאם היית אומר שהיכולת להתמודד עם מערכת המשוואות לבדה, ללא יכולת להסביר במילים מה אתה עושה, זהה בהכרח להבנת העיקרון? כי זה נראה קצת כמו החדר הסיני. מאוד מבלבל, העניין הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנה של תורה פיזיקלית מתמצה (בעיני לפחות) ביכולת לחזות מה התורה תגיד מצב נתון. אם התורה נכונה (או נכונה בקירוב) במצב הזה, אז יש לנו את היכולת להגיד משהו על העולם. קל מאוד להשתכנע שאנחנו מבינים משהו מבלי להיכנס להשלכות והחישובים שלו. להגיד שאני מבין מכניקת קוונטים כי כל מה שצריך זה להבין את דואליות הגל-חלקיק קריסת אירועים וסופר-פוזיציה זה קישקוש. בפועל על סמך המשפטים הסתומים האלו אני לא אוכל להגיד דברים קונקרטיים ולחזות תוצאות של ניסויים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין. לי דווקא קל לדמיין מתמטיקאי מעמיק שלא מוצלח בפתירת משוואות מסובכות או בחילוק ארוך (לא יודע אם יש כאלה, אבל אני לא רואה סיבה עקרונית שלא יהיו). קריטריון החיזוי לא נראה לי מוצלח, כי אפשר להשתמש בתיאוריות (לפחות בחלקן) ולהוציא מהן חיזויים גם בלי להבין אותן. אבל אולי השאלה לא כל כך חשובה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כתבת: "אפשר להשתמש בתיאוריות (לפחות בחלקן) ולהוציא מהן חיזויים גם בלי להבין אותן", איך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מניח שכשורת תנאים של אם-אז. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דוגמה שעולה לי לראש: טכיון [ויקיפדיה] - כל כולו הוא חלקיק תאורטי ספקולטיבי שמגיע ממשחק עם משוואות. מצד שני, אפשר להגיד "תאורטי ספקולטיבי שמגיע ממשחק עם משוואות" גם על חורים שחורים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. דוגמא למה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שעליך לפרט קצת יותר, ושחובת "ההוכחה" (או לפחות מתן דוגמא) היא עליך. יש שיטענו שאין שום הבדל הין היכולת לתת תחזיות ל-"הבנה". ובעצם, מערכות פיזיקליות לא באות בנוסחאות. כדי לתרגם את המציאות הפיזיקלית למערכת משוואות תחת המודל המסויים שלך עליך להבין אותו. אחרת איך תדע מה מתרגם למה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי לתרגם את המציאות הפיזיקלית למערכת משוואות תחת המודל המסויים שלך עליך להבין אותו. זה כמובן נכון, אבל זה עדיין לא אומר שאם הבנת את המודל המסויים שלך, אתה בהכרח יודע לתרגם את המציאות הפיזיקלית למערכת משוואות תחת המודל המסויים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי. אני חושב שאין בינינו מחלוקת אמיתית. באמת קיבצתי כאן שני שלבים לאחד (ואני לא בטוח אם זה נכון/הכרחי). אבל הטענה שלי בעינה עומדת, אני לא רואה איך אפשר לכתוב משוואות (על מנת לתת תחזית) בלי להבין את המודל *ו*לדעת איך להחיל אותו על בעיה פיזיקלית מציאותית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע אם יש או אין בינינו מחלוקת אמיתית, אבל עושה רושם שיש בינינו אי הבנה מסויימת. אי אפשר לכתוב משוואות (על מנת לתת תחזית) בלי להבין את המודל *ו*לדעת איך להחיל אותו על בעיה פיזיקלית מציאותית. ובכל זאת, עדיין, אפשר להבין את המודל, ולא לדעת לכתוב את המשוואות הנובעות ממנו. אי אפשר לעלות מקומת הכניסה של בניין רב קומות לגג בבניין בלי לעבור בקומה השניה. עדיין, מכך שאתה בקומה השניה לא נובע שאתה יכול לעלות על הגג. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הכל נכון, אבל השאלה היא (מעשית לחלוטין, לא פילוסופית) אם אפשר להבין את המודל בלי להבין לפחות איך מארגנים אותו במשוואות? אני לא מתכוון להבנת המשוואות עצמן, אלא להבנה איך אפשר לייצר משוואות לצורך העניין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מניח שלא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פיזיקאים תיאורטיים עצמם יטענו שאי אפשר להבין (או כמעט אי אפשר - ובכל מקרה, שרבים מהעוסקים בתחום לא מבינים) לאשורן את התאוריות שנובעות מתוך המשוואות שלהם. יש דברים שצריך פשוט לקבל אותם כעובדה קיימת כי המשוואות אומרות שהם אפשריים. בסופו של דבר, אי אפשר באמת לתפוס את הדואליות גל-חלקיק של אור, למרות שאפשר להבין אותה בצורה כזו או אחרת. קשה מאוד להבין את המשמעות של כבידה כעיוות בזמן-מרחב (האנלוגיה המקובלת של יריעת בד מתוחה שעליה מונחים כדורים במשקלים שונים היא בעייתית מאוד, בלשון המעטה). וספק אם הרבה אנשים יצליחו להבין את המשמעות של מערכת בת 10 מימדים, או אפילו מה המשמעות של "מימדים קומפקטיים מקופלים". כן, אפשר להסביר את כל הדברים הללו באמצעות אנאלוגיות והפשטות, אבל כמו כל מאטפורה, הן תשברנה בנקודה מסויימת (ולכן חשוב למישהו כמוני, שניזון רק מספרות מדע פופולרי, לזכור שמה שאני חושב שאני יודע זה פחות או יותר הבנה שגויה של משהו שפחות או יותר דומה למשהו שהוא לגמרי לא מה שאומרות התאוריות שעליהן אני קורא). וכל זה לא אומר שאדם שאינו מסוגל ללמוד קורס מבוא לביולוגיה או כימיה צריך להיות מסוגל לקבל תואר ראשון. כן, אפילו אם הוא סטודנט לפילוסופיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעניין קורס המבוא לא הבעתי דעה, פשוט אין לי כזאת. מה שכן, נראה לי שאם תהיה בעיה עם זה היא תהיה הרבה יותר חזקה אצל סטודנטים לספרות, נאמר, לסוציולוגיה או כל מיני תחומים אחרים - מאשר אצל סטודנטים לפילוסופיה. דברים מדליקים כמו מכניקת הקוונטים או אסטרופיזיקה לא למדנו בתיכון, אבל דווקא הם היו הרבה יותר ''מובנים'' לי כשנתקלתי בהם. מאידך גיסא - ה''היתקלות'' לא הייתה ברמת המשוואות. ובכל מקרה - הבעיה הגדולה שלי לא הייתה אף פעם עם הרעיונות וגם לא עם המשוואות, אלא רק עם הקשר ביניהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אם יש תיאוריות שאי אפשר להבין גם כשמכירים את המשוואות, כמעט בטוח שאין תיאוריות פיזיקליות לא טריויאליות שאפשר להבין באמת בלי להכיר את המשוואות ולדעת איך להפעיל אותן. אם תותר לי אנקדוטה אישית, בתיכון קראתי כל מיני ספרים פופלאריים על תורת היחסות הפרטית, ולמרות שהבנתי את הטענות המרכזיות נשארתי בהרגשה (מוצדקת) שאני לא ממש מבין מה הולך שם. הסיבה להרגשה היא שלמרות ההבנה של מה שקראתי, כאשר ניסיתי לחשוב על בעיה שלא היתה התייחסות מפורשת אליה בספר, לא היה לי מושג מה לעשות איתה. כשלמדתי את הקורס באוניברסיטה עם טרנספורמציות לורנס ומרחב מינקובסקי, ובמיוחד עם פתרון הבעיות בספר הלימוד1 הכל נעשה ברור. עדיין אני לא יכול לטעון שמרחב ארבע ממדי כשאחד הממדים הוא הזמן (ועוד עם מקדם שלילי במטריצה, לכל הרוחות והשדים) זה משהו נגיש להבנה שלי, אבל זאת רמה שונה של אי הבנה. גם בתורת הקוואנטים, זה נכון שאי אפשר ממש להבין אותה - מי אני שאחלוק על פיינמן? - אבל אי אפשר להשוות מי שקרא עליה בספרות פופולארית עם מי שפתר את משוואת שרדינגר עבור אלקטרון בקופסא, אפילו אם זאת קופסא חד ממדית, או עקב אחרי ההוכחה שהגישות של שרדינגר והייזנברג אקויולנטיות. את הסרט "יהודי טוב" ראית? _________ 1- spacetime physics - אחד מספרי הלימוד הטובים ביותר בהם נתקלתי מעודי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, זה בדיוק מה שאמרתי. ולא, לא ראיתי. למה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב. כי אחת מעלילות המשנה שם עוסקת בזה בצורה די משעשעת (הסרט בכללו לא משעשע בכלל). לא ממש חשוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 573614. בלימודים בטכניון לא הוכחנו את אקויולנטיות שרדינגר והייזנברג, אבל כן פתרנו אלקטרון בקופסה. אכן, אי אפשר היה להשוות את ההבנה שזה העניק לי בתורת הקוונטים למה שהעניקה לי קריאה בספרות פופולרית (משובחת) - לטובת האחרונה (ואחזור ואומר שההבנה הזו עדיין מאוד מאוד מוגבלת). אולי היה עדיף שהייתי לומד את זה בסדר הפוך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לי במחשב קובץ בשם some day, שמכיל רשימה של דברים מאד לא דחופים, אבל שהייתי רוצה להספיק לפני המוות (פעם בשנה-שנתיים אני מותח בגאווה קו על אחד מהם). אחד הפריטים ברשימה הוא "להבין יחסות פרטית" (על קוואנטים אני מוותר מראש) - אמנם קיבלתי 100 בקורס הפיזיקה בטכניון שבו נגענו בנושא, אבל ההבנה שלי אז היתה מאד מאד חסרה, והספיקה רק בשביל לפתור את השאלות השבלוניות שקיבלנו. הייתי רוצה להבין את הנושא כמו שאני מבין, למשל, מכניקה ניוטונית (ברמה שנחשפתי אליה), או הסתברות, או תיאוריה של מוזיקה. שכ"ג - לאור המלצתך, לקחתי מהספריה את spacetime physics (יש כבר מהדורה שניה, מ-1992), ועכשיו כל מה שאני צריך זה פנאי. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לשאול מה למשל היית רוצה להבין שם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הייתי רוצה לגרום לאינטואיציה שלי לחיות בשלום עם תאומים שמזדקנים בקצב שונה, עם עצמים שמתארכים ומתקצרים בהתאם למהירות שלהם, ועם מהירות אור שאינה תלויה במהירות המודד, למשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יכול להבין את זה. הדוגמא השלישית עצרה אותי בזמנו למספר שבועות בלימוד תורת היחסות הפרטית. הייתי בטוח שאני לא מבין את הכתוב - הרי גם מבלי ללמוד פיסיקה, ברור אינטואיטיבית שאבן קלע הנורית ע"י נוסע בתוך קרון, עם כיוון הנסיעה, מתרחקת מהולך רגל תמים, שברגע ההשלכה עמד לצד הרכבת, מהר יותר מאשר היא מתרחקת מן היורה. לא יכולתי לדמיין כיצד כלל זה חדל פתאום מלהיות נכון כאשר מה שנורה לכיוון הנסיעה הוא דווקא פוטונים/קרן אור, ואז מהירות ההתרחקות של העצם הנורה זהה עבור שני החברים! נראה היה שהחמצתי משהו יסודי בתיאור המקרה, או גרוע מכך, ההיגיון אינו מושל בעולם. אתה מתכוון למשהו כזה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק. או בדוגמא יותר מפורסמת, ניסוי מייקלסון-מורלי [ויקיפדיה]. האינטואיציה שלך חיה בשלום עכשיו עם הרעיון הזה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני פשוט נזכר שאור זה בעצם שדה חשמלי משתנה, שיוצר שדה מגנטי משתנה וחוזר חלילה. מה שיוצר את אחד השדות זו ההיווצרות של השני, ולא המהירות שלו (אפשר לדמיין שהשדה הראשון נוצר בתווך, מעיין רשת, של היקום ומתקדם בהתאם, במנותק מהיוצר שלו). לגבי שני החברים, חשוב לזכור שלמרות ששניהם מודדים את הקרן כמתרחקת במהירות האור, זה קורה בגלל שהזמן מאט בשביל החבר ברכבת. כל אחד מהם רואה את קרן האור מתרחקת ממנו במהירות האור, אבל חושב שהיא מתרחקת מהר/לאט יותר בשביל חברו. ברגע שוויתרת על זמן אחיד לכולם, זו תוצאה די מתבקשת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באיחור קל1: כן, האינטואיציה שלי חיה בשלום עם עניין קביעות מהירות האור ועם מוזרויות בסיס אחרות בתורת היחסות הפרטית. זה קרה לאחר שהתמודדתי עם בעיות יחסותיות רבות, כאשר כמו בתחומים אחרים, כדי לתקוף בעייה, כדי לדעת מהן נקודות המשען העומדות לרשותך, לעיתים לאחר שכל שהאמנת בו התגלה כתעתוע, אתה נאלץ בשלב הראשון פשוט לקבל, תוך וויתור על אמונותיך ותחושותיך הקודמות הנוגעות בדבר. לאחר מספיק ניסיון, אתה מתחיל "לחוש", לעיתים באופן מיידי, מהן נקודות המשען, גם בסיטואציות חדשות, תוך התעלמות מבלי דעת מן האינטואיציות הישנות, הכושלות2. דוגמא יחסותית: לאחר די ניסיון, האינטואיציה שלך אינה משתמשת עוד בכך ששני אירועים קרו בו זמנית עבור צופה אחד כדי להסיק שזהו המצב גם עבור צופה הנע ביחס אליו (על הקו בין שני האירועים). אתה כן עשוי להיעזר כאן למשל בנתון העוסק בקביעות התקדמות קרן האור של פנס בו אחד הצופים סינוור את השני (מה שאגב גרם למצער שבין האירועים מן המשפט הקודם), מאחר ואתה יודע לרווחתך, שלמרות שהפסדת את אחידות הסימולטניות עבור שני הצופים, כאבן יסוד אינטואיטיבית, הרווחת במקומה את קביעות מהירות האור כאבן יסוד חליפית ומיידית (שאינה דורשת חישובים והתחשבויות). דוגמאות שאולי קרובות אליך יותר עשויות להיות בעיית מונטי הול [ויקיפדיה] ופרדוקס סימפסון [ויקיפדיה]. לפני כמה זמן שאלה אותי ידידה מתחום המדעים המדוייקים שאלה דומה לשלך - האם אני מצליח "באמת להבין" את עניין הוילונות (בעיית מונטי הול), כי היא מבינה את זה רק מתמטית וזה מעצבן אותה. אני מניח שגם אם לאחר הפעם הראשונה בה נתקלת בפתרון בעיות אלו (או אחרות) התקשית להפנים את ההיגיון החדש, עם ריבוי ההיתקלות בהן במסיכות שונות, הפך הגיונן, על נקודות המשען שהוא מספק כמו גם על הנורות האדומות שהוא עשוי להדליק, לבשר מבשרן של אבני היסוד של האינטואיציה החדשה והמשופרת שלך, המשקפת עתה טוב יותר את הגיונו של עולמנו. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 במיוחד מאחר ורציתי לענות תשובה ממש טובה לעניין זה שכל כמה שנים יוצא לי להתייחס אליו בפורום זה או אחר. אבל כנראה שהניסוח אותו אני מחפש יאלץ להמתין עוד... 2 עליהן כמובן נמשיך לשמור מכל משמר עבור חיינו הפרטיים (: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי מונטי הול, הרחבת הבעיה למאה דלתות (ופותחים את כולן חוץ מזו שבחרת ועוד אחת) מסדרת לרוב האנשים את האינטואיציה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שמסדר לי את האינטואיציה שם זה פשוט להחליף את ''הוא פותח וילון אחד ומראה שיש שם עז, ואז מציע לי להחליף'' ב''ואז הוא מציע לי להחליף את הוילון שלי בשני הוילונות האחרים''. קל להראות שיש שיוויון מלא בין שני התסריטים (בהנתן שהוא לעולם לא יפתח את הוילון עם הפרס), וקל לתפוס איך שני וילונות זה שני שליש לעומת וילון אחד שזה שליש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שהמזוהה אמר, אם מתייחסים לאור כאל גל המהירות שלו בתווך לא משתנה עם מהירות המקור, בדומה לגלי קול (הקורא התמים מוזהר לא לטעות בין תדירות למהירות החבורה). מה שהפריע לי לא היה כל כך עניין מהירות האור אלא הקביעה שממהירות האור הקבועה אפשר לגזור את ''האטת הזמן'', כלומר שאותו שעון מראות שאיינשטיין הדגים בעזרתו את הרעיון מעיד על עקרון אוניברסלי. גם האסימטריה בין שני התאומים (אחד מואץ באמצע המסע כדי לחזור על עקבותיו ולהפגש שוב עם אחיו הזקן) לא שכנעה אותי שהיא פותרת לגמרי את פרדוקס התאומים כי אינטואיטיבית פרק הזמן בו אחד מהם מאיץ נראה זניח יחסית לאפקט. זאת ועוד, אותה תאוצה משפיעה על הפרשי הזמנים בצורה שונה בהתאם למרחק בין התאומים כשהיא מתרחשת, וזה בכלל משונה עד שמציירים לך את דיאגרמות המרחבזמן של שני האחים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש משהו שתמיד סקרן אותי בנוגע לפרדוקס התאומים - למה לא מתארים אותו כששני התאומים טסים לכיוונים מנוגדים וחוזרים לנקודת המפגש אחרי עשר שנים (כלומר, בסימטריה)? אז אי אפשר יהיה לזהות את "זה שהאיץ" ובכל זאת כל אחד יראה את תאומו כמי שנע במהירות גבוהה חלק גדול מזמן המסע ולכן צעיר יותר. -- וכדי לסבך את הענינים, מבחינת אמם הקשישה, שנשארה על כדור הארץ בתאוצה קבועה של אחד גי (אאל"ט), שניהם צריכים להיות באותו גיל. למי משלושתם יציית היקום? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם שניהם טסים בכיוונים מנוגדים, שניהם חוזרים בני אותו גיל (וצעירים בעיני לאימם). בכדור הארץ פועל עליך כוח של 1 ג'י, אבל אלא אם הרגע יצאת מהחלון, אתה לא מאיץ1. 1 חוץ מהעניין הקטן של כדור הארץ סובב סביב עצמו, סביב השמש וסביב מרכז הגלקסיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה ההבדל בין כבידה לתאוצה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבידה במקרה שלנו זה הכוח שכדור הארץ מפעיל עליך, תאוצה זה קצב שינוי המהירות. אם רק כוח המשיכה היה פועל עליך, היית מאיץ. אבל רוב הזמן כוח המשיכה מאוזן ע''י הכוח הנורמלי שמפעילה עליך הרצפה, לכן אתה נשאר במקום ולא מאיץ. מה שחשוב לעניין היחסות הפרטית הוא לא גודל הכוחות, אלא התאוצה (שזה סכום הכוחות חלקי המסה), שמתאפסת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו אבל, בדיוק-שינוי מהירות, נניח שבשעה שש בערב כדה"א לפתע נעלם מתחתך, אתה עף קיבינימט החוצה ממערכת השמש בספירלה, לא? או להיפך בשש בבוקר וספירלית אל השמש. הכבידה כל הזמן משנה את המהירות שלך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה סליחה. העיניין הקטן של הסיבובים שהצהרת על התעלמות ממנו. התעלם ממני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ספירלה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עדיין יש לך מהירות גם בכיוון מסלול הקפת השמש. טוב-מעין התחלת ספירלה אליפטית שהופכת לאליפסה במסלול ההקפה החדש שלך (לא לבד, בקרבת כל בני ארצך השוקלים כמוך). אולי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ספירלה היא לא פתרון של משואות התנועה של ניוטון1. אפילו לא פתרון זמני. אבל אני מתקטנן, אפשר לעבור הלאה. _____________ 1- מה שמזכיר לי את העובדה המעצבנת שאליפסה (ולא ביצה, כמו שהשכל הישר אומר כשחושבים על מישור משופע חותך חרוט) היא כן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברור שלא ספירלה! אתה הרי מיד על האליפסה החדשה שלך, אין שום שלבי מעבר- חשבתי בהתחלה על בריחה ממערכת השמש, הבנתי שהמהירות לא מספיקה, ובדרך תיארתי לי ספירלה. אבל, אני לא מגיב פה בשביל להציל את כבודי האנליטי או משהו, מיד הרי אכתוב שטות נוספת: לגבי האליפסה VS חרוט הכבידה - שינויי המסלול המחזוריים, נקיפות ונטיות הציר למיניהן, לא יכולות במקרה לספק את הצד הביצתי במימד הנוסף? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין מה אתה אומר בעניין האליפסה. אני מתייחס לעובדה הגיאומטרית שכאשר מישור משופע חותך חרוט נוצרת אליפסה, בעוד האינטואיציה שלי דורשת שהצורה שתיווצר תהיה "ביצתית", כלומר גוף עם צד צר וצר רחב, כשהצד הרחב הוא זה שבו המישור קרוב יותר לבסיס החרוט. עוד מישהו מרגיש כמוני? (אני לא מתווכח עם המתמטיקה, אני רק קובל על התפיסה המרחבית שלי) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני מרגיש כמוך. (פיספסת פה הזדמנות להשתמש בצמד הביטויים הנאה "הצד החד"/"הצד הקד"1, הזכור מאחד התרגומים הארכאיים של "מסעות גוליבר".) ___ 1. הידעת? אני מכיר אישית את האדם שהמציא את המינוחים little endians ו-big endians במובנם המודרני - http://en.wikipedia.org/wiki/Endianness |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
________ לא, לא ידעתי :-) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה העלית פה באוב! אני זוכרת דווקא "הצד הכד". ______________ ברקת, עם אייקון של נורה נדלקת מעל ראשה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודקת במאה אחוז. אולי מקור הבלבול שלי הוא ששמעתי את המילים האלה, ולא ראיתי אותן כתובות. להגנתי אומר שלא חיפפתי: בגלל שלא הייתי בטוח שכך בדיוק יש לומר חיפשתי קודם כל באינטרנט (ולא מצאתי כלום, כי חיפשתי "קד"), הלכתי לספריית האוניברסיטה ועיינתי בכמה תרגומים לגוליבר (כולם היו חדשים מדי, בלי משחק המילים הנ"ל), והסתכלתי בערך "קד" במילון אבן שושן. שכנעתי את עצמי אז של"קד" יש גם משמעות של "פחוס" (קצת קרוב ל"קד" במובן של "לקוד קידה"), אבל עכשיו בדקתי שוב במילון את "כד", וזאת בדיוק המילה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בכל מקרה, קבל ח"ח על הנורה הזו :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התפיסה המרחבית שלי נופלת במשהו שנראה הרבה יותר קל. פעם, בנדודי שינה במלון בחו"ל, הגעתי אנליטית למסקנה שאפשר לחסום פינה של חדר (מפגש שלושה קירות, כאשר התקרה נחשבת קיר) בעזרת משולש: כל צלע של המשולש צמודה לקיר, כל קודקוד נמצא על חיבור קירות, נוצרת פירמידה כלואה לחלוטין בפנים, והעכביש יחנק. יתרה מזו, נסערתי לגלות אנליטית, כל משולש יצלח למשימה. עד עכשיו התפיסה המרחבית שלי מתקשה עם הרעיון. אין לי שום ניסוח מילולי לקושי, ואני מנחש שיש פה רבים שלא יבינו בכלל מה הקושי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל משולש חד זויות. מזכיר לי שכל משולש יכול להראות כמו כל משולש אחר מכיוון מסוים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(נכון. באותו לילה הגעתי לתנאי הזה.) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק, קשה לי להבין מה הקושי. אני זוכר שכילד ״גיליתי״ שניתן להעמיד שולחן עם שלוש רגלים על הקרקע ללא חשיבות לצורתה (אם כי יתכן צורך ברגלים מאוד ארוכות), אבל שולחן עם ארבע רגלים לא. בשני המקרים זה נובע (בסופו של דבר) מכך שכל שלוש נקודות במרחב מגדירות מישור. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |