בתשובה לדורפל, 21/08/06 0:27
 |
|
 |
||
|
||||
 |
*נכון, אחת שתים שלוש ורבע הם המצאה, אבל מספר מרוכב הוא המצאה שסותרת את הראשונה. *הסלידה שלי ממתמטיקה התפתחה דווקא בכיתה י'א תודות לאינדוקציה ומספרים מרוכבים (מפליא דווקא מקטורים לא סלדתי). *לאיזה דורפל אני עונה עכשיו (דורפל תמסור לדורפל שלא יפה שלא אמר שיש לו פיצול אישיות -זה קצת מבלבל)? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אינדוקציה זה אכן תמוה. אף פעם לא הבנתי למה מלמדים את זה כך. בכל התואר הראשון שלי לא השתמשתי אף פעם באינדוקציה כדי להוכיח משהו מהדברים שהוכיחו בכיתה במשך שבועות ארוכים (ומשתמשים באינדוקציה כל הזמן). מה שכן כדאי ללמד את התלמידים זה איך מוכיחים באינדוקציה שכל הסוסים שחורים ולמה זה לא נכון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היית צריך לדבר עם המורה שלי למתמטיקה, כל העולם היה חרב והוא עדיין היה מתעקש שכל הסוסים שחורים... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מכיוון שאני יודע שקיים סוס שחור ("הסיח השחור") אני אוכיח משהו יותר פשוט: שלכל הסוסים בעולם אותו צבע. לכן הם בטח מאותו צבע כמו הסוס השחור ולכן כולם שחורים. כלומר, בצורה פורמלית מה שאני צריך להוכיח הוא שבכל קבוצה של n סוסים, כל הסוסים מאותו הצבע. את הדבר הזה קל להוכיח: בסיס האינדוקציה הוא n=1, כלומר קבוצה בעלת סוס אחד. ברור שכל הסוסים בקבוצה הזו הם מאותו הצבע. בצעד האינדוקציה אני מניח שזה נכון עבור n=k (כלומר, בכל קבוצה בעלת k סוסים, כל הסוסים הם מאותו הצבע) ואני צריך להוכיח עבור k+1. אז בוא ניקח קבוצה עם k+1 סוסים. נוציא ממנה סוס אחד - "יוסי". קיבלנו קבוצה עם k סוסים, שכולם באותו הצבע על פי הנחת האינדוקציה. כלומר, היחיד שיכול להיות בעל צבע שונה הוא יוסי הממזר. עכשיו נחזיר את יוסי לקבוצה ונוציא ממנה סוס אחר. שוב, בקבוצה שקיבלנו בעלת k הסוסים כל הסוסים הם באותו הצבע. אלא שהפעם יוסי שייך לקבוצה, ולכן יש לו את אותו הצבע כמו שאר הסוסים בקבוצה, ולכן גם הוא בעל אותו הצבע כמו כולם. לכן כל הסוסים בקבוצה המלאה, עם ה-k+1 סוסים, הם בעלי אותו הצבע, וגמרנו את ההוכחה. עכשיו כשאני כותב את זה אני נדהם מכמה שהטריק שקוף (בשעתו כששמעתי את החידה לא הצלחתי בהתחלה למצוא את הבעיה), אבל כנראה שזה בגלל שאני כותב גרוע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה שהכנסת את יוסי הממזר הכחול לקבוצה של סייחים שחורים לא תהפוך את הממזר גם לשחור, לכן אני לא מבינה את ההוכחה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז את לא מבינה אינדוקציה. לפני שהוא הכניס את יוסי, הוא הניח ש*כל* קבוצה עם k סייחים, מכילה רק סייחים שחורים. מעצם היותו של יוסי חבר בקבוצה כזאת, הוא בהכרח (במידה וההנחה נכונה, זאת אומרת) שחור. הכללתו בקבוצה לא הפכה אותו לשחור, היא רק הוכיחה לנו, המביטים מהצד, את היותו שחור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, אני לא מבינה מספרים מורכבים ולא אינדוקציה ואני מודעת לזה. הגיון ומתמטיקה (לא כולל מטריצות,טריגונומטריה, גאומטריה ווקטורים) לא מתיישבים אצלי ביחד (אני מעדיפה לדון על הדנ"א שמקודד לצבע שחור מאשר להוכיח באינדוקציה שכל הסוסים בקצובה K שחורים...). הזכרתי כבר שאני לא אוהבת מתמטיקה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם איני טועה אתה סטודנט לתואר ראשון. האם אתה מתכוון להמשיך לתואר שני? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שיתנו לי לסיים את הראשון. עכשיו ענה אתה לי בבקשה - למה אתה שואל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי לאור פתיחת תגובה 403861, אני תוהה האם בכוונתך לתרגל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה לא בסדר בהסבר שם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שיש בעיה בהסבר, אלא בהערה שלפניו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטון שלה בחלק של הדיון שעסק במספרים מרוכבים לא היה ''אני לא מבינה'', הוא היה ''זה לא נכון''. הטון הזה עדיין הדהד באוזניי, והשפיע גם על התגובות הבאות שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא ממש לא היה ''זה לא נכון'', אלא, לכל היותר, ''זה לא מוצא חן בעיניי''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את התגובה שלעיל תשמור לשלב הטיעונים לעונש. גדי צודק: אני מרשיע אותך בזאת בהתנהגות טיפוסית למתרגל מתחיל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(עקרונית את צודקת, אבל) אנחנו לא יודעים שיוסי הוא כחול. אנחנו כן יודעים שהכנסנו אותו לקבוצה שמכילה k סוסים שכולם באותו הצבע - לכן יוסי הוא באותו הצבע כמו שאר חברי הקבוצה. למשל, אם בקבוצה יש את יוסי, דני וגילי, הרי שאחרי שהוצאנו את יוסי נשארו דני וגילי ושניהם באותו הצבע. עכשיו נוציא את דני ונחזיר את יוסי - אז על פי הנחת האינדוקציה, יוסי באותו צבע כמו גילי, שהוא באותו הצבע כמו דני. לכן שלושתם באותו צבע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שוכחים להוכיח את תנאי ההתחלה - שקבוצה של סוס אחד (או אפס סוסים) בהכרח מכילה רק סוסים שחורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטריק אצל גדי הוא אחר, קצת יותר מתוחכם, אבל את תנאי ההתחלה הוא דווקא כן מוכיח (קבוצה של סוס אחד מכילה רק סוסים עם צבע אחיד). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטריק אצל גדי הוא אותו הטריק, למיטב הבנתי - אין הוכחה של תנאי ההתחלה. הוא פשוט ניסח את תנאי ההתחלה אחרת. אני קיצרתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, הטריק שלו הוא אחר, יפה יותר. גדי "מוכיח" שכל קבוצה של n סוסים היא בעלת צבע יחיד. לצורך כך יש להוכיח שזה נכון עבור קבוצה של סוס אחד (תנאי התחלה), ושאם זה מתקיים לקבוצה של n סוסים, זה מתקיים גם עבור קבוצה של n+1 סוסים. את תנאי ההתחלה קל להוכיח, כל קבוצה עם סוס אחד מכילה סוס אחד, ולכן יש לכל חבריה צבע יחיד1, הצבע של הסוס. עכשיו, מה שגדי עושה זה להניח שההנחה שלו נכונה עבור כל קבוצה עם n סוסים, ולהוכיח אותה עבור קבוצה עם n+1 סוסים. לצורך זה, גדי לוקח כל קבוצה של n+1 סוסים, מוציא ממנה סוס אחד, ו... טוב, את השאר קראת. הבעיה היא שזה לא עובד עבור כל n, ז"א כש-n=1 זה לא עובד. זה הטריק. ואם הוא היה מצליח להוכיח שלכל קבוצה של שני סוסים יש צבע אחיד, ההוכחה שלו היתה נכונה. 1 בוא נתעלם מהאפשרות של סוסים עם כתמים וכל זה, זה סתם יוזיל את הטריק. אם זה קשה לך, תחליף את ה"צבע" בגובה. ז"א, גדי מוכיח שכל הסוסים הם בעלי גובה זהה (ואח"כ הוא יבחר איזשהו פוני, ויוכיח שכל הסוסים נמוכים). במקרה כזה קל לדבר על כך שלכל סוס יש גובה יחיד, ולכן תנאי ההתחלה מתקיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטריק הוא שמקרה הבסיס הוא קבוצה עם שני סוסים, כי הפעולה של גדי משתמשת בשניים - קודם מוציאים אחד, אח"כ מחזירים אותי ואז מוציאים אחד *אחר*. אבל הוא לא הוכיח את מקרה הבסיס - קבוצה של שניים. הוא הוכיח מקרה אחר, והעמיד פנים שזה היה מקרה הבסיס. וזה מה שאמרתי בהתחלה, רק במשפט אחד - הטריק הוא שלא מוכיחים את מקרה הבסיס. 1 תודה לך על הדאגה, אבל לא קשה לי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ולפני שאיזו טעות שלי תתגלה, אתקן ''תודה לך על הדאגה, אבל לא קשה לי עם החלק הזה של הנושא, קרי, הצבע דווקא.'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממש לא. מקרה הבסיס הוא לא קבוצה בעלת שני סוסים, מקרה הבסיס הוא קבוצה בעלת סוס אחד, ועבורו גדי הוכיח את המקרה, והוכיח יפה. לאינדוקציה יש שלושה חלקים: 1. הנחת האינדוקציה. 2. הוכחה עבור מקרה יחיד. 3. הוכחה עבוד המקרה "הבא" בהנחה שהמקרה "הקודם" מתרחש. כששולשת התנאים האלה מתקיימים יש לך הוכחה באינדוקציה. מאחר שאין לנו דרך לתקוף את 1, ומאחר ש-3 נראה בלתי תקיף, הדבר הקל הוא תמיד "לחפש" טעויות ב-2. זה מה שאתה עשית, וטעית. הטריק הוא ב-3, בגלל ש-3 לא נכון עבור כל n אלא רק עבור n>1. חבל שתמשיך להתעקש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הניסוח שלי לא היה אידיאלי, אבל דיברתי על אותו הדבר - שההסקה עובדת רק למקרים שבהם n>=2, כי חייב להשאר לפחות סוס אחד בקבוצה בכל רגע ורגע. דרך יותר קצרה היא להגיד שמקרה הבסיס צריך להיות n=2. הניסוח הזה לא מסביר למה מקרה הבסיס n=1 לא עובד, ולכן הוא לא טוב. אבל רציתי לקצר, אז השתמשתי בו. נראה לי די ברור שגדי ואני התכוונו לאותו הדבר. אני לא מתעקש מתוך רשעות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במה שונות האינדוקציה של תואר ראשון ואינדוקציה של בגרות? עכשא"ז זה אותו דבר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החומר של הבגרות מתעסק הרבה, ומתעסק באופן בלעדי, בשיוויונים ובאי-שיוויונים של טורים סופיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה אותו רעיון (יש תכונה כלשהי שקשורה למספר טבעי. נוכיח את התכונה בצורה ישירה עבור מספר טבעי אחד, ונראה שאם היא נכונה עבור k אז היא נכונה גם עבור k+1 ומזה נסיק שהיא נכונה לכל k שגדול מהבסיס). השאלה היא מה מוכיחים בעזרתו. כמו שדורפל אמר, בתיכון מוכיחים בעיקר שוויונים ואי שוויונים, וזה מה זה משעמם. לדעתי היה עדיף להראות שימושים של אינדוקציה בהרבה מאוד מקומות שונים. אני את התיכון סיימתי כשאני חושב ש"אינדוקציה" היא תת תחום של העיסוק באי שוויונים. אני מניח שהבעיה היא שקשה לבחון על אינדוקציה באופן כללי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה שוויונים/אי שוויונים מוכיחים באינדוקציה? (לי האינדוקציה זכורה בכלל רק מהאוניברסיטה. לא זכור לי שלמדתי אותה בתיכון). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואו... תודה. עכשיו ברור מדוע הדחקתי את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המספרים המרוכבים לא עומדים בסתירה להמצאות הקודמות (הממשיים וכו'). הבעיה היא לא במספרים המרוכבים, הבעיה היא שלך - את לא מבינה אותם (ולא מודעת לכך). גם הצורה שבה בזמני לימדו אינדוקציה - זהויות עלומות של טורים - לא לטעמי. זה לא דומה בכלל לאלגנטיות והמשמעותיות של הוכחות אינדוקטיביות שנתקלתי בהן מאוחר יותר, בקורסים ''במבני נתונים'' ו''אלגוריתמים''. בתיכון גם היו מכריחים אותנו לכתוב בכל פעם מגילה קטנה על השימוש שלנו ב''אקסיומת האינדוקציה'' - דרך עלובה במיוחד לוודא שאנחנו מבינים אינדוקציה מהי. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |