בתשובה לדורון שדמי, 08/09/05 0:52
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כן, הבנתי. אתה פשוט לא יודע מה פירוש המונח המתמטי "תורה עקבית". אילו ידעת, לא היית נדהם כל כך. זה לא נורא שלא יודעים, אבל זה קצת טפשי להכריז על משבר-במתמטיקה-שלושה-סימני-קריאה רק כי אתה לא מבין את המונחים, אתה לא חושב? תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה. למשל, התורה שיש לה אקסיומה אחת בלבד, "0=1", היא תורה עקבית לגמרי: היא מוכיחה משפט אחד בלבד, "0=1", ומכיוון שאינה מוכיחה את שלילתו, היא עקבית. כתורה של המספרים הטבעיים, היא לא נאותה. מה לעשות. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה. למשל, התורה שיש לה אקסיומה אחת בלבד, "0=1", היא תורה עקבית לגמרי: היא מוכיחה משפט אחד בלבד, "0=1", ומכיוון שאינה מוכיחה את שלילתו, היא עקבית. כתורה של המספרים הטבעיים, היא לא נאותה. מה לעשות." המושגים שלך לעקביות לא ממש עקביים. כפי שהסברתי ואני חוזר ומסביר, מתמטיקה היא שפה המכוננת בתובנה ולא מכוננת בהגדרות טכניות שרירותיות. לכן "1=0" אינה יותר מאשר מערכת סימנים לניארית כגון "*&#" וכו'. ראה נא את ההנחה הסמוייה העומדת בבסיס הדוגמא שלך, והיא: אתה מניח מראש שמי שרואה את אוסף הסימנים "0=1" מסוגל להבין את התובנה שבבסיס ביטוי זה, ואז ורק אז אתה מסיק שיש לנו כאן ביטוי מתמטי שהוא מערכת אקסיומטית של אקסיומה אחת בלבד אשר מתוקף היותה הגדרה אקסיומטית היא חייבת להיות תקיפה במערכת זו אך כייוון שביטוי זה הוא הסתירה בהתגלמותה (אך מצד שני הגדרה אקסיומטית) הריי שאנו מקבלים כאן מן שיווי-משקל של "לא לבלוע ולא להקיא" או בקיצור "מערכת אקסיומטית תקנית שאין בה הכרעה" א) היות והמתמטיקה היא שפה המכוננת בתובנה ולא בהגדרה, אז אם התובנה שלי עוסקת בלוגיקה ברת-הכרעה הריי שהתובנה הזו אינה מאפשרת למערכת "1=0" להתקיים כלל ולכן אין כאן שום "מערכת עקבית שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה" כי התובנה שלי איננה מאפשרת לסוג כזה של מערכות להתקיים במסגרתה. ב) אם התובנה שלי מאפשרת בפירוש קיומם של מערכות אקסיומטיות שאינן ברות-הכרעה, הרי שההגדרה האקסיומטית "1=0" עונה לתובנה הזו ואין שום בעיה של אי-נאותות כאן. לסיכום בעיית האי-נאותות אינה קיימת כלל והיא נובעת מאי-ההבנה הבסיסית שהתובנה היא בסיס המתמטיקה ולא ההגדרה השרירותית. כמו בכל תחום, העוסקים במלאכה חייבים להשתמש בתבונתם כבסיס לכל ולא בשום גחמות טכניות שרירותיות שלהם. כי סוף מעשה במחשבה תחילה, כאשר סוף מעשה הוא מערכת אקסיומטית נתונה, ומחשבה תחילה היא התובנה המכוננת שלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תורה עקבית היא תורה שלא ניתן להוכיח במסגרתה טענה וגם את שלילתה." ומה עם מערכת אקסיומטית מבוססת על אקסיומה אחת בלבד המבוססת על סתירה עצמית? כגון: "0=1" , "אמת=שקר", "רצף=אוסף"," יום=לילה" , "עיקש=עקשן", "טיפש=חכם", וכו? איזה תובנה עומדת מאחורי קיומה ההכרחי של מערכת אקסיומטית המבוססת על אקסיומה אחת בלבד המבוססת על סתירה עצמית? או שמה תאמר, ההגדרה מחייבת ולא התובנה, כאשר אנו עוסקים בשפה פורמלית. ברוך, אתה טוען טענה תמוהה מאין כמוה והיא: שפה פורמלית הינה שיטה עיקבית להמענות תבונית בעת מתן הגדרות מכוננות. אם זו דרכך (ואכן הדוגמא שנתת אכן תומכת, לצערי, בטענותי) הריי שאני בר-מזל על שאינני שייך לקהילה המכוננת את עולמה בהגדרה, תוך הקפדה יתירה להמנעות מכל תובנה, כבסיס מכונן להגדרה. אשמך עד מאוד לתגובתך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין סתירה בטענה "0=1" כל עוד אנחנו לא יודעים שום דבר על משמעות המילים "1", "0", ו-"=". אתה, באופן פסיכולוגי, משייך לסימנים האלה את משמעות בתחום המספרים הטבעיים/שלמים/רציונליים/ממשיים/מרוכבים (ולכן מניח עליהם הנחות סמויות). זו שגיאה. בשדה Z_2, למשל, מתקיים "0=1+1". האם זו נראית לך סתירה פנימית? "שפה פורמלית הינה שיטה עיקבית להמענות תבונית בעת מתן הגדרות מכוננות" נכון. עכשיו השאלה שנותרה היא "למה זה טוב?". משחר ההיסטוריה חוקרים בני האדם את המספרים הטבעיים ואת הגיאומטריה (האוקלידית, כמובן) שלא מתוך גישה אקסיומטית. למה? כי זה מעניין. על זה אני חושב שאנחנו מסכימים. בהתחלה, הכלי העיקרי לחקר תחומים אלה היה צפייה, וניסיון למצוא חוקיות. הרבה שנים עברו עד שהחלו בני האדם להוכיח טענות. מתברר, שהוכחה היא כלי מאוד יעיל לחקר תחומים אלה. ככל שהשתכללה השיטה (למשל, כשאוקלידס שאל "מה הנחות היסוד שלנו"), גילו החוקרים, שהדרך הטובה ביותר לעסוק בהוכחות, היא הגישה הפורמלית. עד היום, מתמטיקאים עוסקים במערכות אקסיומות שמבוססות על מושגים שאנחנו "מבינים". ו(רוב )המתמטיקאים גם מאמינים שטענות שמוכחות ב-PA חלות על המספרים ה"אמיתיים". התובנה היא המטרה. הגישה הפורמלית היא כלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מתמטיקה היא בסך הכל שפה, או למעשה, אוסף של שפות. השפות מאופיינות על ידי הגדרות פורמליות. עצם ההגדרות הפורמליות הופכות את השפות המתמטיות לשימושיות במיוחד לחקר דברים שאינם תלויים בתודעה. למשל, מתמטיקה שימושית בחקירה מדעית, בשימושים הנדסיים, בשימושים כלכליים, בשימושים סטטיסטיים וכו'. כשמדען בודק כמה זמן לקח לכדור ליפול ממגדל פיזה, הוא מודד זמן בשניות, ואם הוא מצליח לנסח חוק שיעזור גם למדען אחר לגמרי שנמצא במגדל שבמכון וויצמן לדעת כמה זמן יקח לכדור שלו ליפול, הרי שהוא מימש את מטרתו. אם לצורך העניין הוא השתמש במושג שהוא קרא לו ''קבוצה'' אבל היה צריך לקרוא לו אוסף, אם לצורך העניין הוא השתמש במספרים ממשיים, שהם לא מספרים אמיתיים, אם לצורך העניין הוא השתמש במושג הנגזרת שבטח גם היא לא מקובלת על מר שדמי, אז מה. העיקר שהמדען במכון וויצמן יודע בדיוק באיזה מושגים השתמש המדען שבפיזה, יודע מה המשמעות שלהם, ואיך להשתמש בהם בשביל לחשב את התוצאה הסופית, מספר השניות שיקח לכדור ליפול. לצורך זה, מספר הוא הדבר שמראה השעון. בשביל לחקור תובנות ותודעות ושאר ירקות, כדאי להשתמש בשפות לא פורמליות, שפות תלויות תודעה. ולא צריך להמציא שפות כאלה, כבר המציאו אותן, עברית, אנגלית, ערבית, צרפתית, גרמנית, רוסית... וגם המחקר שלהם לא מחכה לדורון שדמי שיבוא ויגאל אותן, כבר היום קיים תחום מחקר שלם, קוראים לזה מדעי הרוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המטרה היא לא "תובנה" 330569 סמיילי (יום ראשון, 18/09/2005 שעה 15:22) מתמטיקה היא בסך הכל שפה, או למעשה, אוסף של שפות. השפות מאופיינות על ידי הגדרות פורמליות. עצם ההגדרות הפורמליות הופכות את השפות המתמטיות לשימושיות במיוחד לחקר דברים שאינם תלויים בתודעה." אנא סמיילי הדגם נא איך ניתן להגדיר הגדרה פורמלית ללא שימוש כלשהו בתודעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא דורון, מצא מקום בו כתבתי שלא ניתן או שכן ניתן להגדיר הגדרה פורמלית ללא שימוש כלשהו בתודעה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המטרה היא כמובן לא *חקר* התודעה. משפט מתמטי הוא מעניין אם אנחנו מרגישים שאנחנו "מבינים" אותו כיותר מסדרה סופית של סימנים באלפבית מסוים. גם מערכות האקסיומות "מעניינות" אם הן מלמדות אותנו משהו שאנחנו "מבינים" כיותר מסדרה כזו 1. מערכות האקסיומות המעניינות נבנות ככה שילמדו אותנו משהו על מושגים שאנחנו מבינים באופן אינטואיטיבי. לכן, הטענה של דורון שהגישה האקסיומטית הפורמלית מוציאה את ה"תבונה" (כלומר, את הקשר בין השפה הפורמלית למשהו מעניין) מהמתמטיקה איננה נכונה. כמובן שאין פה שום עניין של חקר התודעה, פונקציות גישור ועוד כהנה וכהנה. מעבר לאי ההבנה בקשר למשמעות המשפט שבכותרת, נדמה לי שדבריך לא סותרים במילה אחת את דבריי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אין סתירה בטענה "0=1" כל עוד אנחנו לא יודעים שום דבר על משמעות המילים "1", "0", ו-"="." שוב אתה משחק את משחק ה"לא-יודע שאני יודע", כי האקסיומה שנתן ברוך מבוססת על הידיעה של 1,0 -+=. "ככל שהשתכללה השיטה (למשל, כשאוקלידס שאל "מה הנחות היסוד שלנו"), גילו החוקרים, שהדרך הטובה ביותר לעסוק בהוכחות, היא הגישה הפורמלית." כל שפה (פורמלית או לא) אשר אין תובנה בבסיסה איננה אלא כלי ריק בבחינת "איסטרא בלגינה קיש קיש קרייא (תרגום מארמית: אבן בחבית ריקה עושה הרבה רעש). איזה השתכללה ואיזה בטיח? היום כאשר אנו על סף חקירה של מערכות מורכבות באמת, אנו רואים עד כמה טריוויאלית היא שיטת הלוגיקה הבינרית העומדת בבסיס השיטה האקסיומטית, אשר תקיפותה נבחנת עדיין עפ"י כללי השחור/לבן של אמת או שקר. אין ביכולתה של מתודה טריוואלית זו לעסוק במורכבות ה"צבעונית" של מרחב התודעה שלנו, ורוב המורכבויות הביולוגיות הן מחוץ לטווח שלה. "עד היום, מתמטיקאים עוסקים במערכות אקסיומות שמבוססות על מושגים שאנחנו "מבינים". ו(רוב )המתמטיקאים גם מאמינים שטענות שמוכחות ב-PA חלות על המספרים ה"אמיתיים"." אכן עד היום מתמטיקאים תקועים במושגים שהוגדרו לפני 2500 שנה, והדוגמה הקלאסית לכך היא "הבנתם" את המספרים הטבעיים, באופן המנותק לחלוטין מהתובנות החדשות המכוננות מספרים אלה. בקיצור, על מה אתה מדבר בדיוק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. האם הטענה "0=1+1" נראית לך כסתירה? (לי לא רק שהיא לא נראית כסתירה, אני *יודע* שהיא נכונה. בשדה Z_2, כמובן.) ב. כמו שאמרתי, רוב השפות הפורמליות המעניינות הן אכן "שיקוף" של מושג אינטואיטיבי. קשה לומר שאין "תבונה" בבסיסן. [הערת אגב שולית לחלוטין: נדמה לי ש"איסטרא בלגינא" זה מטבע בכד, לא אבן בחבית.] ג. למה אתה משתמש בלוגיקה הבינארית שעבר זמנה? אולי [0=1] זו לא סתירה, אלא טענה חצי נכונה? רגע, אם הטענה [[0=1] חצי נכונה] נכונה או לא נכונה, אז ניתן להציג את כל הלוגיקה הרב-ערכית באמצעות טענות בלוגיקה בינארית, אז אולי הטענה [[0=1] חצי נכונה] היא רבע נכונה? אבל מה עם הטענה [הטענה [[0=1] חצי נכונה] היא רבע נכונה]... (בקיצור, אני לא מסוגל לעבוד עם לוגיקה *באמת* שונה.) ד. עדכן אותי: מה התובנות החדשות המכוננות את המספרים הטבעיים? (כן, אני מכיר את העמוד שאליו אתה עומד לשלוח אותי. יכול להיות שיש שם רעיונות מתמטיים מעניינים, אבל למה לקרוא להם "מספרים"?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"א. האם הטענה "0=1+1" נראית לך כסתירה?" לא, זוהי תוצאה תקנית באריתמטיקת-שעון, אבל אין זה קשור כלל וכלל לטענתו המקורית של ברוך, בה הוא משתמש ב-"0=1" כאשר משמעות הסימנית ויחסיהם ידועה היטב. "רוב השפות הפורמליות המעניינות הן אכן "שיקוף" של מושג אינטואיטיבי." נו, אז תגיד לי אתה, בשביל מה צריך את כל המשחקים המקדימים (שבמקרה זה הם מיותרים לחלוטין) של המנעות מהתובנה העומדת בבסיס הגדרה פורמלית, אם הגדרה זו הינה ריקה מתוכן ללא התובנה המכוננת שלה? "ב. למה אתה משתמש בלוגיקה הבינארית שעבר זמנה?" אני משתמש בלוגיקה-משלימה שהיא אינה לוגיקה בינרית ואף לא לוגיקה עמומה (הדוגמאות שאתה נתת מבוססת על לוגיקה עמומה של מצבי-ביניים בין אמת לשקר). "עדכן אותי: מה התובנות החדשות המכוננות את המספרים הטבעיים?" דרגות הסמטריה הפנימיות הקיימות בתוך כל n>2 , ואשר המתמטיקה הרגילה משתמשת רק בדרגת הסימטריה השבורה לחלוטין של כל מספר טבעי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"בה הוא משתמש ב-"0=1" כאשר משמעות הסימנית ויחסיהם ידועה היטב" ההפך. הוא בדיוק דיבר על שפה שעליה אנחנו לא יודעים *כלום*. "בשביל מה צריך את כל המשחקים המקדימים" למשל, כי אני לא יודע דרך אחרת להיות בטוח שמשהו שנראה כמו קבוצה הוא באמת קבוצה, חוץ מלבנות אותו ב-ZF (וגם אז, אני *כמעט* בטוח, לא בטוח לחלוטין). אני לא מכיר הגדרה מספקת למונח האינטואיטיבי "קבוצה" (כזו שלא נופלת לפרדוקסים). ספר לי קצת על התכונות של הלוגיקה המשלימה, בבקשה. א. תוכל גם להסביר, בלי להפנות אותי לדף שאני מכיר כל כך טוב, מה הן דרגות סימטריה של מספר? ב. נגדיר "מרפס" כמחלקה של כל דרגות הסימטריה של n כלשהו. כל דרגות הסימטריה של 2 יהיו מרפס2, כל דרגות הסימטריה 3 יהיו מרפס3, וכו'. כמובן, שניתן להגדיר חיבור, כפל וכו' על המחלקות (ע"פ הגדרת החיבור והכפל הרגילים). מה דעתך על תורת המרפסים? תחום מעניין או לא? תבוני או לא? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העדפתי את המרפסים של קונווי שעליהם סיפר אלון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ממנו גנבתי את השם. בכל מקרה, כפי שוודאי הבנת, מאחר שדורון קורא לעצים שלו ''מספרים'', אני קראתי ''מרפסים'' למחלקות שהן בעצם המספרים הטבעיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו-כן כדאי לך לעיין בתגובתי הישירה לחלקים נבחרים ממאמרו של אלון עמית בתגובה 330598 | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |