בתשובה להאייל הצעיר, 01/09/05 23:51
 |
|
 |
||
|
||||
 |
האייל הצעיר: אם היית מדבר על "רעיון", על "תחום חדש", או על "תורה חדשה" מצבנו היה הרבה יותר טוב. אבל אתה מדבר על "תובנה" (ועל "טעות יסודית") ובכך אתה פוסל את המתמטיקה שפותחה לפניך, בלי להסביר איזו סתירה פנימית יש בה. בהחלט, הטעות היסודית היא הימנעותו של קנטור לעסוק במושג המלאות משיקולים דתיים, ובכך נוצרה שקילות בין מושג האוסף למושג הקבוצה. האייל הצעיר: דווקא הגישה המתמטית המקובלת, אותה אלון הדגיש כל כך במאמר, שרואה באקסיומות סתם "חוקי משחק" מוסכמים, מאפשרת הסתכלויות נוספות על הנחות היסוד. אילו המתמטיקה הייתה עוסקת ב"אמת" המוחלטת, לא היה מקום "להחליף" את הנחות היסוד ככה פתאום. הגדרות יסוד (של מערכת אקסיומטית קיימת) ששונו לעולם אינן מחליפות את ההגדרות הקיימות, אלא משמשות להגדרתה של מערכת מקבילה אשר מניחה את המערכת האקסיומתית הקודמת "לנפשה". בכך נמנעת באופן מלאכותי תופעת המוטציה, אשר היא תכונת יסוד של המשחק האבולוציוני, אשר בהחלט משנה מערכות קיימות, ובעיני המשחק האבולוציוני הוא המשחק המשמעותי ביקום בו אנו חיים, ולא המשחק הדדוקטיבי המלאכותי השולל מוטציה מעצם טבעו. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
שוב אתה מתעקש על "טעות יסודית" בהבנת ה"מציאות" שבה יש קבוצה מלאה. אין טעם לדון האם ב"מציאות" יש קבוצה מלאה. מתמטיקה עוסקת בהנחות יסוד, ובמסקנות מהן. אני אפילו לא בטוח שאפשר לדבר על השאלה "האם במציאות יש קבוצה מלאה?". לא הראית סתירה *פנימית* אצל קנטור. הרעיונות שלו עדיין מבריקים, מעניינים ויפים. זה מספיק כדי להפוך את התיאוריה שלו למוצלחת. בכל מקרה, אני ממליץ לך לקרוא שוב את המאמר, ולהבין מה טיבן של מערכות אקסיומות ושל הגדרות במתמטיקה. "תכונת יסוד של המשחק האבולוציוני" - האבולוציה נוצרת כשהמין המקורי והמוטציה חיים זה לצד זה. אז, לפעמים, אחד מהם נכחד. אם כל המתמטיקאים היו משתכנעים שגיאומטרית לובצ'בסקי-בוליאי טובה יותר מהגיאומטריה האוקלידית, הגיאומטריה האוקלידית הייתה לאט לאט דועכת, ונעלמת מן העולם. היא אמנם לא הייתה מוכרזת בקול גדול כ"שגויה" - כי אין בה מה ש*יכול* להיות שגוי (למעט ההנחה שהיא עקבית). גם אם היא לא הייתה מתארת את המציאות הפיזית, היא הייתה יכולה להיות גיאומטריה מספיק מעניינת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד הערה חשובה על המשחק האבולוציוני: למה בעצם שנרצה אותו? אם תיאוריה אסטרונומית אחת טוענת שהירח עשוי מגבינה צהובה, ואחרת טוענת שהירח עשוי מ"לגו", יש צורך להכריע ביניהן. הן לא יכולות להתקיים במקביל. לפחות אחת מהן שגויה. זאת מכיוון שהן טוענות טענות סותרות על אותו עולם (העולם הפיזי). הגיאומטריה האוקלידית וגיאומטרית לובצ'בסקי-בוליאי, לעומת זאת, לא טוענות שום דבר על אותו עולם. הן מדברות על עולמות מופשטים שונים, ולכן אין ביניהן סתירה. הן יכולות (ואפילו כדאי) שהן יתקיימו ויתפתחו במקביל. אם נחזור רגע לכיוון הפסיכולוגי של המאמר, עושה רושם ש*לך* יש רצון עז ליצור "אבולוציה" במתמטיקה, כדי לפסול כל תיאוריה שקדמה לך, ולחולל מהפכה. נדמה שאלה מוטיב ומוטיבציה שחוזרים על עצמם אצל טכ"מים. צר לי לאכזב אותך, אבל אין הרבה מהפכות במתמטיקה. כנראה שמהמדע הזה לא תבוא הישועה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר: עוד הערה חשובה על המשחק האבולוציוני: למה בעצם שנרצה אותו? האבולוציה "לא שמה קצוץ" על הרצון שלך לא לשחק לפי חוקיה. כל-כולך היית הווה ותהיה תמיד יצור מונחה אבולוציה מקצה עצם הזנב שלך ועד אחרון תובנותיך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למקרא הודעות כאלו אני נזכר בכמה דיונים שהיו לי עם אורי פז (סליחה, אורי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, ברור שהאבולוציה האמיתית של המינים מתרחשת אם נרצה ואם לא. אתה השתמשת באבולוציה כמטאפורה כדי לתאר התפתחות של תיאוריות מדעיות, וטענת שעדיף לבחור בשיטה הלא-מתמטית כדי *לעודד* אבולוציה של תורות מתמטיות. מכאן השאלה: למה שנרצה בכלל שתיאוריות מתמטיות "ימותו"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אייל צעיר על סמך מה אתה טוען שהמערכת הנדונה אינה מערכת מתמטית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על סמך מה אתה טוען שאני טוען את זה? לא אמרתי שום דבר כזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה אייל צעיר, אתה כתבת: וטענת שעדיף לבחור בשיטה הלא-מתמטית כדי *לעודד* אבולוציה של תורות מתמטיות. איפה כתבתי שעדיף לבחור בשיטה לא-מתמטית, ומי דיבר על עידוד מלאכותי של תהליכים אבלוציונים טבעיים? כל מה שאליך לעשות הוא להכניס את מושג הקבוצה-המלאה לתורת הקבוצות, זה הכל. אחרי שעשית זאת, אתה לא צריך אותי יותר כדי להבין את ההשפעה שיש לקבוצה-המלאה על ZF. האם יש לך האומץ להתחיל במסע הזה במחשבתך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"הגדרות יסוד (של מערכת אקסיומטית קיימת) ששונו לעולם אינן מחליפות את ההגדרות הקיימות, אלא משמשות להגדרתה של מערכת מקבילה אשר מניחה את המערכת האקסיומתית הקודמת 'לנפשה'. בכך נמנעת באופן מלאכותי תופעת המוטציה, אשר היא תכונת יסוד של המשחק האבולוציוני, אשר בהחלט משנה מערכות קיימות, ובעיני המשחק האבולוציוני הוא המשחק המשמעותי ביקום בו אנו חיים, ולא המשחק הדדוקטיבי המלאכותי השולל מוטציה מעצם טבעו." (תגובה 327117) דיברת פה על אבולוציה של תיאוריות, ועל כך שהשיטה ה"דדוקטיבית" מונעת את האבולוציה הזאת 1. "ההשפעה שיש לקבוצה-המלאה על ZF" אתה מתכוון שצריך להוסיף את הקבוצה המלאה ל-ZF? כי אז נקבל מערכת אקסיומות שעל-פיה יש קבוצת חזקה לקבוצה המלאה. אני כבר יודע מה אתה עומד לענות: "הקבוצה המלאה אינה פריקה, ולכן אין לה קבוצת חזקה" 2. זו בדיוק הבעיה. הקבוצה המלאה לא משתלבת ב-ZF. לכן, אני לא יכול לראות את "ההשפעה שיש לקבוצה-המלאה על ZF". "אתה לא צריך אותי יותר" כנראה שכן. כי אין לי מושג איך כתוצאה מהכנסת הקבוצה המלאה לתורת הקבוצות מתברר ש"אף קבוצה אינסופית אינה שלמה" (מה זה "שלמה"?) ובטח ובטח שאין לי מושג למה "לכן העוצמה שלה בלתי מוגדרת". "האם יש לך האומץ להתחיל במסע הזה במחשבתך?" כבר התחלתי אותו. אני מוכרח להודות שאין לי מושג מה אני לומד מקיומה של הקבוצה המלאה. אין לי, אגב, שום פחד מלהניח אקסיומות לא-סטנדרטיות. כבר היית צריך להבין את זה. 1 אגב, שמתי לב שאתה נמנע מלדבר על "אבולוציה של תיאוריות", ומדבר רק על "אבולוציה", כאילו אתה מקשר את הגישה המתמטית הדדוקטיבית עם האבולוציה הביולוגית. קישור זה מגיע לקיצוניות יוצאת דופן בתגובה 327125, אם אתה זה שכתב אותה. 2 למה לא, בעצם? ניתן להגדיר לה קבוצת חזקה שעוצמתה 1, כמו לקבוצה הריקה: {{__}} . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין הפרדה בין אבולוציה פיזית לאבולוציה של רעיונות. הנסיון של הגישה הדדוקטיבית ליצור עולם מלאכותי נטול מוטציות, עתיד להעלם כמו כל מערכת שאינה מסוגלת להתמודד עם תהליכי אבולוציה. {{___}} הינה אוסף של איבר אחד בדיוק כמו ש- {{}} הינה אוסף של איבר אחד. אבל אני מדבר על התכולה של {__} אשר אינה אוסף ושום אוסף כגון ה-Multiset {...,{__},{__},{__}} לא יכול לעבור את תוכן הקבוצה המלאה כי לדוגמא: 1=|{{___}}| ו- oo=|{___}| . |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ניתן להגדיר לה קבוצת חזקה שעוצמתה 1, כמו לקבוצה הריקה: {{__}}" oo=|{___}|
0=|{}| |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים [?] עם מה שכתבת בשתי התגובות האחרונות. נראה לי שלא הבנת את ההקשר של תגובה מס' 2 שלי. אני אמרתי שאם מכניסים את אקסיומת הקבוצה המלאה, אז מגיעים למסקנה שיש קבוצת חזקה לקבוצה המלאה, וזה לא הגיוני. בהערה מס' 2 חזרתי בי, ואמרתי שזה דווקא כן הגיוני, ואתה בשתי התגובות האחרונות הסכמת איתי. אבל עדיין לא הצלחתי להבין חלק מרכזי בטיעונים שלך: מה זו "שלמות", למה אף קבוצה אינסופית לא "שלמה", ולמה זה אומר שלאף קבוצה (חוץ מלקבוצה המלאה) אין עוצמה. [?] עד כמה שאפשר לדבר על הסכמה כשאנחנו לא מדברים באותה שפה. בוא נאמר שזה נשמע לי פחות לא-הגיוני מהרבה דברים שאתה אומר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראה נא את ההסבר שלי לשלמות הקבוצה-המלאה ע"י שימוש בכדור רימן במרחב המרוכב: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי איך ההסבר הזה מסביר את המושג ''שלמות''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם אינך מבין בבירור, שמושג האוסף (המוגדר במודל זה כאוסף של אינסוף נקודות חיתוך (המובחנות היטב אחת משניה) אינו יכול להשיג את השלימות המתקיימת ברצף עצמו (המסומן כ-oo) אשר אינו מכיל ולו נקודת חיתך אחת (ולכן הוא אינו מתואר במונחים של אוסף, אלא במונחים של ה"מצע" השלם והבלתי נחלק המתקיים ברקע של כל אוסף, כאשר האוסף, מעצם טבעו הנחלק, אינו יכול להשיג את השלימות הרציפה של מצב oo)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואיך מכאן אתה מסיק שלא ניתן למצוא את העוצמה של קבוצה אינסופית? ושלא ניתן להשתמש בכמת "לכל"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנא הסבר לי כיצד אתה יכול להשתמש בכמת-אונברסלי (לכל) על אוסף אינסופי, כאשר אתה נוכח לדעת שהוא אינו שלם (אינו יכול "לכסות" כליל את הרצף) מעצם טבעו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא רואה מה הקשר בין זה שהקבוצה מכסה את הרצף לבין האפשרות להשתמש ב"לכל". להפך: הכמת "לכל" מתייחס לכל איבר באופן בדיד ("לכל איבר בודד x מתקיים..."), ודווקא על הרצף שהגדרת אי אפשר להשתמש בו 1. למשל, למרות שהמספרים הטבעיים לא מכסים את הרצף, כהגדרתך, אני בהחלט מבין את הטענה "לכל מספר טבעי קיים עוקב טבעי". 1 "ולגדולתו אין חקר"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתכוון להבדל שבין ALL (לכל) ל-EACH (לכל פרט באוסף בנפרד). כתוצאה מאי-הבחנה זו ניתו להסיק כי הקרדינל המדוייק של אוסף אינסופי אכן קיים, מה שמתברר כל-נכון, כאשר הקבוצה-המלאה נכנסת למשחק. למיטב ידיעתי לא קיימת מילה בודדת בעברית המקבילה במובנה המדוייק ל-EACH . האם אתה מכיר מילה כזו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מצליח לחשוב על מילה כזאת. טוב, אז על הקבוצה המלאה ניתן להשתמש ב-ALL, אבל לא ב-EACH. אוסף מוגדר אך ורק ע"י האיברים שלו, ולכן אם משהו נכון לגביו EACH, הוא נכון לגביו גם ALL. "מה שמתברר כל-נכון, כאשר הקבוצה-המלאה נכנסת למשחק." - עדיין לא הבנתי למה, או איך אתה מגדיר עוצמה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוכן הקבוצה המלאה אינו ניתן להגדרה במונחים של אוסף ולכן ה-ALL של הרצף אינו יכול להיות מתואר במונחי EACH של אוסף, ולכן מה שנכון לגביו ב-ALL אינו נכון לגביו ב-EACH . "עדיין לא הבנתי למה, או איך אתה מגדיר עוצמה." אנא עיין בכל http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=45&... (כולל הקישורים). תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ודווקא על הרצף שהגדרת אי אפשר להשתמש בו 1" הצץ נא ב http://www.iidb.org/vbb/showpost.php?p=2605678&p... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אין הפרדה בין אבולוציה פיזית לאבולוציה של רעיונות." באיזה מובן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
""אין הפרדה בין אבולוציה פיזית לאבולוציה של רעיונות." באיזה מובן?" במובן הפשוט ששום מערכת לא-טריוויאלית אינה חסינה ממוטציות, כאשר מוטציה הינה שינוי בהגדרות יסוד של מערכת קיימת, אשר משפיעה על כל הדברים הנגזרים מהגדרות היסוד (ששונו ע"י המוטציה). כפי שציינתי חזור וציין, השיטה הדדוקטיבית הינה נעדרת מוטציות מעצם הגדרתה, ולכן איננה נחשבת למרחב אבולוציוני רעיוני טבעי, אלא למרחב מסורס העונה לצרכי הנוחות המדומה של קהילת המתמטיקאים "הטהורים" המתקיימים במרחב זה. היות ומרחב זה אינו מרחב אבולוציוני רעיוני טבעי, הוא לו עתיד לשרוד במתקונתו המסורסת הנוכחית, קרי מושג המוטציה יהפוך לחלק טבעי מהתכונות היסודיות המעצבות את המרחב הרעיוני של קהילת המתמטיקאים "הטהורים". המתמטיקה-המונדית הינה מעין סנונית ראשונה המתקיימת במרחב רעיוני אבולוציוני טבעי, הכולל אף כולל את האפשרות למוטציה בהגדרות יסוד של מערכת נתונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמו שכבר אמרתי, *יצירה* של מוטציות מתרחשת כל הזמן במתמטיקה, ברמה הרבה יותר בסיסית מאשר במדעים אחרים. השאלה היא האם בין המקור למוטציה יש קרב הישרדות. במתמטיקה אין כזה. המתמטיקה, אם כן, היא תורה חזקה ביותר, מתאימה ביותר לסביבה, שורדת ביותר, ולכן היא דווקא זו שתשרוד במרחב האבולוציוני של כלל התיאוריות המדעיות. אז איפה הכשל שלך? אבולוציה מתקיימת רק כאשר יש קרב הישרדות. זה מתרחש רק כאשר אין אפשרות לדו-קיום. בטבע הסיבה לכך היא משאבים מוגבלים. במדעים האמפיריים הסיבה לכך היא חוסר ההתאמה בין תיאוריות שעוסקות באותה מציאות. אפשר לומר שגם שם הבעיה היא במשאבים מוגבלים: יש מציאות אחת, והרבה תיאוריות. במתמטיקה יש אפשרות לדו-קיום (רב-קיום, ליתר דיוק) של תיאוריות שונות, מאחר שהמתמטיקה יכולה לעסוק באין-ספור עולמות מופשטים. תנאי הכרחי לאבולוציה הוא המוות (המשלים של ההישרדות). תיאוריות מתמטיות לא יכולות למות בשום מובן 1. בניגוד לתיאוריות מדעיות בתחומים אחרים, הן לא יכולות להיות "שגויות". לכן, המתמטיקה היא בת-אלמוות. זה לא מונע מהמרחב המתמטי להמשיך להתפתח. המתמטיקה יולדת עוד ועוד צאצאים, וחלקם שורדים וגדלים יפה מאוד. 1 אלא אם כן תתגלה בה סתירה פנימית, או שהיא תתפס כמשעממת ע"י החברה העתידית. שתי האפשרויות לא סבירות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תיאוריות מתמטיות לא יכולות למות בשום מובן 1." הן תעלמנה מן העולם אם הן תמשכנה למנף רק את כישוריו הלוגיים/טכניים של ממציאן/מקיימן, תוך הזנחה של כישוריו האתיים. במילים אחרות, אם הלוגיקה העומדת בבסיס שפת המתמטיקה מתעלמת משרידתו של מקיימה, הריי שעוצמתה תשמיד את מקיימה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
""אין הפרדה בין אבולוציה פיזית לאבולוציה של רעיונות." באיזה מובן?" במובן הפשוט שמערכת אבולוציונית (רעיונית או פיזית) אינה יכולה להמנע ממוטציות במרכיבי-היסוד או ההגדרות המכוננות שלה, אשר משנות את כל המערכת המבוססת על היסודות ששונו. מוטציה הינה תמיד שינוי אינהרנטי במערכת קיימת, והשינויים מתרחשים תמיד מפנים המערכת (מהגדרות היסוד) כלפי חוץ (שינוי תוצרי אותה מערכת, המשתנים כתוצאה משינוי בהגדרות היסוד של אותה מערכת). החשיבה הררוקטיבית איננה חשיבה מונחית אבולוציה, מכיוון שהיא נמנעת מעצם טבעה מכל אפשרות שינוי היסודות של מערכת קיימת, וכל שינוי כזה גורר אחריו את הצורך ליצור מערכת מקבילה בצד המערכת הקיימת, באופן שישמר בצורה מלאכותית את קיומה של המערכת המקורית, וימנע כל תחרות אבולוציונית בין המערכות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לך בלבול במושגים: יצור לא עובר אבולוציה בחייו. יצור יולד יצורים אחרים, מקבילים, ואם הם צריכים להשתמש במשאבים מוגבלים שמספיקים רק לחלק מהם, המתאימים יותר לסביבה ישרדו, והאחרים ימותו. אגב, האם אתה חושב שצריך להחליף את השיטה הדדוקטיבית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"יש לך בלבול במושגים: יצור לא עובר אבולוציה בחייו." אני מדבר איתך ברמה של עקרונות התעופה, המשותפים ל-F15 ולציפורים, ואתה מגביל עצמך למקרה הפרטי של ציפורים. במילים אחרות, אתה מגביל את עצמך לפן הפיזי של מושג האבולוציה. אתה מדבר איתי על מזון ואני מדבר איתך מהמושג הכללי של שימוש נבון של משאבים. שימוש נבון של משאבים מכיל בתוכו גם את האפשרות לניצול יעיל יותר של המשאבים המנטליים שלנו. האם אתה באמת מאמין שהעיסוק במתמטיקה, אינו מייצר אנטרופיה (שוב במובן הכללי של מידע) ולכן מדלל את כוח-העבודה הסדור העומד לרשותינו? האם אתה חושב שניתן לשמר כל פיסת מידע עפ"י השיטה הדדוקטיבית באופן שאינו גוזל משאבים ומגדיל את סך האנטרופיה של המערכת בה אנו מתקיימים? עצם היכולת שלך שלא לראות את התמונה מהפן האסטרטגי האבולוציוני, הנובעת מחשיבה דדוקטיבית, מראה כאלף עדים את הכשלון המובנה בשיטת חשיבה זו, שאינה מונחית אבולוציה ואינה מודעת למשאבים שהיא גוזלת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה שעה של חקר מתמטיקה מונדית היא ניצול יותר טוב של משאבים משעה של חקר בתורת החישוביות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למה שעה של חקר מתמטיקה מונדית היא ניצול יותר טוב של משאבים משעה של חקר בתורת החישוביות?" ראה נא את תגובה 327480 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האייל הצעיר: "האבולוציה נוצרת כשהמין המקורי והמוטציה חיים זה לצד זה." אכן יש חפיפה במקום ובזמן, ומתוך ניסיוני האישי בארבע השנים האחרונות "המין הקיים" עושה כמיטב יכולתו כדי להכחיד את "המוטציה", ולכן אין ל"מוטציה" ברירה אלא לעסוק בקעקוע היסודות של "המין הקיים", אלא שפה אין אנו עוסקים באבולוציה פיזית אלא באבולוציה בין רעיונות, המרחשת בקצב ובעוצמה גדולים לאין ערוך מהאבולוציה הפיזית. תאמין לי אייל צעיר שהייתי שמח להמנע מההתעסקות ב"פרות-הקדושות" של המתמטיקה המודרנית, אך לצערי למדתי על בשרי שאין לי שום סיכוי לדון ברעיונותי עם מתמטיקאים ללא החשיפה של שגיאות מושגיות של אבות המתמטיקה מודרנית. אייל צעיר:"הגיאומטריה האוקלידית הייתה לאט לאט דועכת, ונעלמת מן העולם." הגיאומטריה האוקלידית היא מקרה פרטי של הגיאומטריה הלא-אוקלידית. המתמטיקה-המונדית הינה מתמטיקה לא-אוקלידית, המתקנת טעות בת 2500 שנה בספר היסודות של אוקלידס, והטעות היא פשוטה להפליא אך הרסנית להפליא. אאוקלידס הגדיר את אלמנט הנקודה כאלמנט יסוד אך לא הבחין שהקו הינו אלמנט יסוד אשר אינו תלוי בקיומה של הנקודה, ולכן שימשה פירצה זו בחלוף השנים, להגדיר את הקו כאלמנט שקיומו תלוי בנקודות. לפספוס הזה של אוקלידס היתה השפעה מכרעת על אופן השימוש בלוגיקה העומדת בבסיס תורת-הקבוצות (ZF), ודוגמא לכך ניתן לראות מיד ב-Venn Diagram: אייל צעיר: לא הראית סתירה *פנימית* אצל קנטור. גרוע מכך, הראיתי את המנעותו של קנטור לדון במושג המלאות משיקולים דתיים, אשר הוביל למסקנות מוטעות בתכלית בעניין האפשרות להגדיר במדוייק את הקרדינל של קבוצה אינסופית, כי ברגע שהקבוצה המלאה במשחק, ברור לחלוטין שאוסף אינסופי הוא בלתי שלם בהכרח, ולכן הקרדינל המדוייק של אוסף אינסופי אינו קיים (וכל העולם הטרנספיניטי, טעות ביסודו). אני מציע שתעיין בתשומת לב בקישורים הבאים : |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"'המין הקיים' עושה כמיטב יכולתו כדי להכחיד את 'המוטציה"' הממסד המתמטי נגדך כי הוא מפחד ממך. את זה כבר שמענו. עוד מאפיין (בולט במיוחד) של טכ"מ. כדאי שתבין - אנחנו לא הממסד. אנחנו סתם בני אדם. אין לנו סיבה לפחד להכיר "מוטציות". להפך - כפי ששמת לב, אנחנו חובבים גדולים של "מוטציות", ומזכירים את קונווי ואת לובצ'בסקי כל הזמן. אותך אנחנו פשוט לא מבינים. אף אחד לא מנסה להכחיד את התיאוריה שלך. לאף אחד (חוץ מלך וממשה קליין, אולי) אין מושג מה אתה רוצה. "החשיפה של שגיאות מושגיות של אבות המתמטיקה מודרנית" לא עשית את זה. לכל היותר טענת שקנטור היה יכול להגיע לתיאוריה מתמטית אחרת, אם היה מכיר בקבוצה המלאה. זה לא עושה את התורה שאליה הוא כן הגיע לפחות מוצלחת. שוב אני אפנה אותך למאמר שתחתיו אנחנו מתדיינים. אגב, לא הצלחת לשכנע אותנו שהתיאוריה שאליה קנטור היה יכול להגיע הייתה מעניינת. "הגיאומטריה האוקלידית היא מקרה פרטי של הגיאומטריה הלא-אוקלידית." משפט משעשע להפליא. לא הבנתי מה ההשלכות שלו על הדיון. בכל אופן, הגיאומטריה האוקלידית והגיאומטריה הלא-אוקלידית הן מקרים פרטיים של "הגיאומטריה הכללית" - מערכת אקסיומות שניסח הילברט, שלא כוללת אף גרסה של אקסיומת המקבילים. "מתמטיקה לא-אוקלידית" גם אתה וגם משה מתעקשים להשתמש בביטוי הזה. עדיין לא הבנתי מה זו "מתמטיקה אוקלידית". "אך לא הבחין שהקו הינו אלמנט יסוד אשר אינו תלוי בקיומה של הנקודה" הפתעה: "קו", אצל אוקלידס (או לפחות אצל הילברט) הוא מושג יסוד (שנקרא, ליתר דיוק, "ישר"). הקו לא "מורכב מנקודות דחוסות עד אינסוף". "קו" ו"נקודה" הם שניהם מושגי יסוד, שמקיימים ביניהם יחסים מסוימים וכמעט-דואליים: "החלה". קו יכול לחול בנקודה. נקודה יכולה לחול בקו. "שימשה פירצה זו" אני עדיין לא מבין באיזה מובן זו פירצה. האם זה לא *נכון*? אני לא יודע באיזה מובן זה יכול בכלל להיות נכון. אני בחיים שלי לא נתקלתי בנקודה ללא נפח. גם לא בקו. אתה לא מבין את משמעות המושג "אקסיומה". אקסיומה היא לא טענה על המציאות. היא נקודת מוצא להסקת מסקנות מעניינות על מושגים מופשטים. כל עוד האקסיומות של אוקלידס *עקביות*, אין בהן שום דבר שיכול להיות לא נכון. האקסיומות של אוקלידס לגיטימיות, כמו האקסיומות של לובצ'בסקי-בוליאי וכמו האקסיומות של רימן. ושוב אני אפנה אותך למאמר של אלון. "לפספוס הזה של אוקלידס היתה השפעה מכרעת על אופן השימוש בלוגיקה העומדת בבסיס תורת-הקבוצות (ZF), ודוגמא לכך ניתן לראות מיד ב-Venn Diagram" הלוגיקה של תורת הקבוצות לא נבנתה מדיאגרמות ון, ואין שום קשר בין הדברים. "גרוע מכך, הראיתי את המנעותו של קנטור לדון במושג המלאות משיקולים דתיים" אז קנטור היה יכול להגיע לתיאוריה אחרת. אז מה? במסגרת "חוקי המשחק" שבהם הוא התעסק, המשחק שלו היה מרתק. זה מספיק! וזו הנקודה העיקרית שאתה לא מבין. אגב, אם אתה לא מבין משהו, לא ברור (טוב, בעצם כן ברור) מדוע אינך שואל. שמת לב שכל הדיון הזה מתנהל במסגרת של "שאלה-תשובה" כשהשאלות שלך הן רק בסגנון "האם אני מובן"? כולנו פה טוענים שוב ושוב טענה על הפילוסופיה של המתמטיקה, טענה שאותה אתה לא מבין עד הסוף, ובכל זאת אתה לא דורש הסברים. שאל, דורון, שאל. "אשר הוביל למסקנות מוטעות בתכלית" מוטעות באיזה מובן? שהן לא מתקיימות במציאות? "שאוסף אינסופי הוא בלתי שלם בהכרח" כבר העירו לך על המילה "שלם". אין לי מושג מה ההגדרה שלך ל"שלם". גם לא ל"אוסף". לגבי "אינסופיות" אנחנו כנראה מדברים על אותו דבר. מבחינתי, אמרת רק ש"תרנגולת אינסופית היא בלתי גיאולוגית בהכרח". האם אתה מבין את הנקודה הזאת? אנחנו לא מדברים באותה שפה ובאותם מונחים, לכן אין לי מושג מה הטענות שלך באות להגיד. לכן הן לא יכולות לעניין אותי. לסיכום, אני אשלח אותך שוב לקרוא את המאמר של אלון. זו דרישה הרבה יותר סבירה מהקישורים שאתה מפיל עלינו ללא הרף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התבלבלת: תרנגולת אינסופית היא *אידיאולוגית* בהכרח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא טענתי ש- ZF נבנתה מדיאגרמות וון אך אשמח לראות כיצד אתה מדגים שאין שום קשר בין הלוגיקה המבוטאת ע"י דיאגרמות וון לבין הלוגיקה שעליה מושתתת ZF. "הישר-הממשי" הוא דוגמא לשימוש במושג הקו כדי לתאר אוסף, והדבר נובע בפשטות מאי הגדרתו של מושג הקו כאלמנט השקול לנקודה, כאשר הנקודה נחשבת לאלמנט יסוד בלתי-פריק והקו אינו נחשב לכזה, ולראיה, הוא משמש כמודל ל-R כאשר R הוא אוסף, וישר (או קו) אינו אוסף, אלא יסוד בלתי-פריק בדיוק כמו הנקודה. גרוע מכך, הילברט משתמש במושגי היסוד החשובים האלה בלי להגדיר אותם כלל, והם אמורים לקבל את משמעותם בהתאם למערכת האקסיומות שאליה הם משתייכים. במילים אחרות, מערכות מתמטיות שונות נותנות שימושים שונים לאלמנטים שטיבם לא הוגדר. ההתעלמות מחקירתם של תבניות-מידע יסודיות טרם השימוש בהם עלולה ליצר מערכות המושתתות על הנחות סמויות, בדיוק כפי שמודגם במקרה "הישר-הממשי", ובדיוק כפי שמודגם ב-ZF אשר אינה מכילה את מושג הקבוצה המלאה ולכן ניתן להגיע לאשלייה כי הקרדינל של אוסף אינסופי ניתן להגדרה מדוייקת, כאשר ברור לגמרי ששום אוסף אינו יכול להשיג את הרצף של אלמנט חלק ורציף לחלוטין כמו תוכן הקבוצה המלאה, ולכן אוסף אינסופי אינו שלם בהכרח, הקרדינל המדוייק שלו לא קיים וכל העולם הטרנספיניטי הינו משחק שאין בבסיסו מאומה. אתה פונה אלי כדי שאשאל שאלות בהתאם למאמרו של אלון עמית, ובכן כיצד אתה מסביר את ההמנעות של אלון לפתוח בדיון פתוח ונוקב על תוכן מאמרו? אני מציע לך לעיין בכובד ראש ב - תגובה 327207 כדי להבין היטב את השקפתי על הנושא הנדון. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא טענתי ש- ZF נבנתה מדיאגרמות וון" לפי מה שהבנתי, זה הקשר שיצרת בין אי הבנת מושג ה"קו" להשלכות מרחיקות לכת על הלוגיקה. יכול להיות שלא הבנתי אותך נכון. אם כן, אני אשמח להבין איך דיאגרמת ון נכנסה לתמונה (ויותר מפעם אחת במהלך הדיון). "כיצד אתה מדגים שאין שום קשר בין הלוגיקה המבוטאת ע"י דיאגרמות וון לבין הלוגיקה שעליה מושתתת ZF" לא אמרתי שאין שום קשר. דיאגרמות ון הן כלי כדי להקל על האינטואיציה שלנו בנוגע לקבוצות. אמרתי רק, שלא ניתן להסיק מתכונות (או פגמים) של הדיאגרמה תכונות של הלוגיקה. הנה מספר סיבות שבגללן דיאגרמת ון לא נותנת תיאור שלם של הלוגיקה של הקבוצות: 1. דיאגרמות ון כוללות מספר סופי של קבוצות, ולכן יש יחסים של אינסוף קבוצות שלא ניתן לבטא בהן. 2. בדיאגרמות ון יש נקודות שמסמלות איברים (ולעיתים כל הנקודות הן איברים) אבל מאחר שהדיאגרמה היא במישור אין התייחסות לקבוצות שעוצמתן מעל c. 3. בדיאגרמה אין התייחסות לקבוצה כאיבר של קבוצה אחרת. 4. בתורת הקבוצות, כל קבוצה של איברים שניתן לבחור היא קבוצה, אך הדיאגרמה מתייחסת רק לחלק מהקבוצות שניתן ליצור מאיברים מסויימים. 5. לא מן הנמנע, שגם יחסים מסוימים בין מספר סופי של קבוצות לא ניתן להציג בדיאגרמה, משיקולים טופולוגיים. בכל אופן, אין משמעות לוגית להתייחסות אחרת ל"קו" בדיאגרמת ון. "'הישר-הממשי' הוא דוגמא לשימוש במושג הקו כדי לתאר אוסף" אז במקום לדבר על "הישר הממשי", נדבר על "השורה הממשית", כאשר "שורה" מוגדרת כ"קבוצת הנקודות שחלות בישר נתון". את המושג "שורה" לקחתי מגיאומטריה פרויקטיבית, שבה מוגדרת גם "אלומה", כ"קבוצת הישרים שחלים בנקודה נתונה". עכשיו העסק קצת יותר מסודר: "נקודה" ו"ישר" הם מושגי יסוד שאינם אוספים. עם זאת, כל ישר _מגדיר_ קבוצה של נקודות ("שורה") וכל נקודה _מגדירה_ קבוצה של ישרים ("אלומה"). ע"פ גישה זו, שעליה אנחנו יכולים להסכים בינינו, להגיד "ישר זו קבוצה" זה בדיוק כמו להגיד "נקודה זו קבוצה". על זה אנחנו מסכימים? ________ "גרוע מכך, הילברט משתמש במושגי היסוד החשובים האלה בלי להגדיר אותם כלל, והם אמורים לקבל את משמעותם בהתאם למערכת האקסיומות שאליה הם משתייכים. במילים אחרות, מערכות מתמטיות שונות נותנות שימושים שונים לאלמנטים שטיבם לא הוגדר." בדיוק! זאת הנקודה שאני מדגיש כבר כמה הודעות! רק שזה לא כל כך גרוע. להפך, זה הכרחי. אם אתה מגדיר כל מושג באמצעות מושגים אחרים, בסוף תגיע ל"לופ". לכן, חייב להיות מושג כלשהו לא מוגדר. איך נוכל לדבר על אותו מושג? רק אם נסכים על תכונות מסוימות שלו, ועל יחסים מסוימים בינו לבין מושגים אחרים. (כך המתמטיקה מתייחסת ל"נקודה", "ישר" ו"קבוצה".) על זה אנחנו מסכימים? "מערכות המושתתות על הנחות סמויות" אחד הדברים הנפלאים במתמטיקה בימינו הוא שאין בה הנחות סמויות. האם קראת את דיון 2396 (גם מאת אלון)? שם ZF מוגדרת כמערכת אקסיומות "אפקטיבית". מה זה אומר? שמחשב יכול לעסוק בה ולהוכיח בה משפטים. וכאשר הדברים מגיעים למחשב, כמובן שאין הנחות נסתרות. What you see is what you get. "כאשר ברור לגמרי..." בוודאי שמת לב שלכל משתתפי הדיון, למעט אתה ומשה קליין, זה רחוק מלהיות ברור לגמרי. "ולכן אוסף אינסופי אינו שלם בהכרח" גם אתה מתעסק במושגים בלי להגדיר אותם, ובלי להצביע על אף תכונה שלהם. אין לי מושג מה זה "שלם" בעולם המושגים שלך, או מה התכונות של אותה "שלמות". "הקרדינל המדוייק שלו לא קיים" לא הבנתי איך אתה מסיק את זה. אולי אם אני אדע מה זו "שלמות" אני אבין. "וכל העולם הטרנספיניטי הינו משחק שאין בבסיסו מאומה" על זה אנחנו מסכימים. אני רק חייב לציין שתי עובדות: א) זה לא דבר רע. זה משחק, אבל משחק מעניין. ב) זה גורלה של כל תורה מתמטית. הבסיס שלה יכול להיות לכל היותר אמפירי. "ובכן כיצד אתה מסביר את ההמנעות של אלון לפתוח בדיון פתוח ונוקב על תוכן מאמרו?" אלון ענה על זה: הוא מכיר אותך מתוך אתר האינטרנט שלך (אליו הוא קישר באחת התגובות שלו), והוא גם עוקב אחרי הדיון הזה. אלון משוכנע שאתה "טרחן כפייתי". כפי שהוא הסביר לא פעם, לדעתו אין טעם לנהל דיאלוג עם טרחנים כפייתיים. למעשה, זה לא שאלון לא רוצה לנהל איתך דיון פתוח. הוא פשוט לא מאמין שיכול להתנהל איתך דיון פתוח. בכל אופן, יש פה מספיק "נציגים" של הגישה שאותה אלון מציג. כל שאלה שתציג תזכה לתשובה (או לכמה תשובות מכמה אנשים). ובכל זאת, מייצגי הגישה של אלון עדיין נמצאים פה כ"שואלים", בעוד אתה ומשה הייתם ה"מרצים" לאורך כל הדיון. (לגבי דבריך לסמיילי שאליהם הפנית אותי: אני אשמח לראות את מושג הקבוצה באור שונה, נוסף. כמו שאני נהנה מקומר או קונווי שהציגו את המספרים באור שונה, או מלובצ'בסקי שהציג את הגיאומטריה באור שונה. זה לא יגרום לי *לשכוח* את ההסתכלויות האחרות שאני מכיר ש_גם הן מעניינות_, כי אני לא רואה מה *שגוי* בהן. ולא, זה לא ינתק אותי מהקהילה שלי, כמו שזה לא ניתק את אותם מתמטיקאים מהקהילה שלהם. אנשים כמו אלה שאיתם נפגשת כאן לא מתייחסים אליך ברצינות לא כי אתה שונה, אלא כי הם לא מבינים אותך.) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"יש פה מספיק "נציגים" של הגישה שאותה אלון מציג." אתה מתכוון שאלון "הצדיק" מלאכתו נעשית בידי עדר מרעיו. אייל צעיר, האם אתה לא מבין את הזילות שבדבריך? על איזה דיאלוג פתוח אתה מדבר? הרי אינך מעיד לעשות את הצעד הפשוט ביותר שהוא להכניס את הקבוצה המלאה לתורת-הקבוצות ולהסיק את המסקנות הנובעות מכך. במקום זה אתה מנסה החלפת שורה בישר, רק כדי לא להתמודד עם המטלה הפשוטה שהצעתי לך. "אחד הדברים הנפלאים במתמטיקה בימינו הוא שאין בה הנחות סמויות." מחשב לא יכול להוכיח את העיקביות של ZF , כי שום תוכנית מחשב לא יכולה לחקור אוסף אינסופי (כמו כן אתה מתעלם ממשפטי אי-השלימות של גדל). חלומו של הילברט היה להוכיח בצורה מכאנית (אז עוד לא היו מחשבים, אבל הקוונה ע"י תהליך מכאני ללא התערבות אדם) את העיקביות של כל מערכת אקסיומטית במסגרת השיטה האקסיומטית. אך גדל הראה שכל מערכת המסוגלת להגדיר קבוצה אינסופית (כמו N למשל) היא או עיקבית אך בלתי שלימה (יש בה משפטים בלתי-כריעים) או שלימה אך לא-עיקבית (ממערכת בלתי-עקבית אפשר להוכיח דבר והיפוכו) ובכך הוא קבר את החלום המכאני של הילברט. ואפילו אם ניתן להוכיח משפטים בעזרת מחשב, זה לא אומר דבר וחצי דבר על טיבם של מערכות אקסיומטיות, כי הן המערכת הנבחנת, והן המחשב, הן תוצר פרי תודעתנו, והמחשב אינו אלא סוכן או שלוחה שלנו עצמנו, כך שאין פה שום דבר עמוק, אלא עוד שיטה להתעלמות מקיומה של תודעת המתמטיקאי כגורם משמעותי המשפיע על התוצאות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אתה מתכוון שאלון 'הצדיק' מלאכתו נעשית בידי עדר מרעיו." אתה מגיב בצורה אמוציונלית מדי. סה"כ אמרתי שאתה לא צריך להשתמש בעובדה שאלון לא מנהל איתך דיאלוג, כדי להצדיק את זה שאתה לא מנהל איתי דיאלוג, מה שמתבטא בכך שאתה לא מעוניין לשמוע על גישה המודרנית במתמטיקה, ולא שואל שאלות. "להכניס את הקבוצה המלאה לתורת-הקבוצות" בשמחה. "ולהסיק את המסקנות הנובעות מכך" זהו, שאת זה אני לא מצליח. איכשהו אתה קופץ מהכנסת הקבוצה המלאה למושג של "שלמות" שלא הגדרת קודם, ומשם לכך שהעוצמה של קבוצה אינסופית אינה מוגדרת. אני לא מבין את ההיקש שלך. "מחשב לא יכול להוכיח את העיקביות של ZF" גם אני לא, וגם אתה לא. מה רצית להגיד בזה? "כי שום תוכנית מחשב לא יכולה לחקור אוסף אינסופי" תוכנות יכולות להסיק משפטים מאקסיומות פאנו, ובכך להוכיח טענות על המספרים הטבעיים, שזו קבוצה אינסופית. למה אתה מתכוון כשאתה אומר "תוכנית מחשב חוקרת"? "חלומו של הילברט היה להוכיח בצורה מכאנית את העיקביות של כל מערכת אקסיומטית במסגרת השיטה האקסיומטית" הילברט אפילו לא חשב שאפשר *לנסח* את טענת העקביות של ZF ב-ZF. עיין בהסבר על משפט אי השלמות השני של גדל בדיון 2396. "אך גדל הראה שכל מערכת המסוגלת להגדיר קבוצה אינסופית..." לא כל קבוצה אינסופית. N. או אם לדייק: N בהנחת PA. "ולחקור" פירושו להכריע את *כל* הטענות שניתן לנסח ב*שפה מסוימת* (PA). שוב אני ממליץ לך לקרוא את דיון 2396. לסיכום: כל מה שאמרת על מחשבים וגדל לא קשור. השתמשתי במילה "מחשב" רק מתוך השערה (סבירה) שאתה לא מכיר את המונחים "מערכת אקסיומות אפקטיבית" או "אלגוריתם במכונת טיורינג או במודל חישובי שקול לה". בעצם, המחשב הוא לא העניין פה. זו פשוט הדרך הפשוטה ביותר להסביר לאנשים שלא מכירים את תחום החישוביות מה זו "מערכת אקסיומות אפקטיבית". כל מה שרציתי להגיד הוא ש*אין*, *אין*, ועוד פעם *אין* הנחות סמויות במתמטיקה. נ.ב. הגדרת המושג "שורה" לא היה התחמקות מכלום. הגדרתי "שורה" כדי להסביר לך שגם במתמטיקה ה"רגילה" ישר הוא מושג יסוד ולא אוסף. להגיד "ישר זו קבוצה של נקודות" זה בדיוק כמו להגיד "נקודה היא קבוצה של ישרים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כל מה שרציתי להגיד הוא ש*אין*, *אין*, ועוד פעם *אין* הנחות סמויות במתמטיקה." טעות בידך, אנא ראה הנחה סמוייה ברורה ביסוד האקסיומות המגדירות את המספרים הטבעיים: היות ושפת המתמטיקה תלויה אף תלויה במודעותנו, לעולם לא נוכל לדעת באיזה הנחות סמויות אנו משתמשים כאשר אנו מגדירים מערכות מתמטיות. אשמח אם תראה הוכחה חד-משמעית הסותרת טענה זו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זו בעיה שלי, אבל מתוך המסמך הארוך הזה לא הצלחתי לברור את ההנחה הסמויה. אנא פקח את עיני. בכל אופן, אם תהליך ההוכחה יכול להתבצע מכאנית ע"י אלגוריתמים שמוגדרים באופן סופי, אין בהוכחה הנחות סמויות. אם יש פונקציה ניתנת לחישוב ומוגדרת היטב, שמקבלת סדרה סופית של טענות ומחזירה "כן" אם זו אקסיומה / צעד היקש תקפים, ו"לא" אם זה לא - אז במערכת האקסיומות שמוגדרת ע"י הפונקציה אין הנחות סמויות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אולי זו בעיה שלי, אבל מתוך המסמך הארוך הזה לא הצלחתי לברור את ההנחה הסמויה. אנא פקח את עיני" כבר בתחילת המסמך אני מדגים כיצד אקסיומות פיאנו ו-ZF מבוססות על הנחות סמויות, הנובעות ישירות מהבנה חלקית של מושגי הכמת והסדר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוכל להדגים ולהציג הנחה סמויה כזאת? מה בעצם המשמעות של "האקסיומות מבוססות על הנחות סמויות"? אם היית אומר שהוכחה מסוימת מכילה הנחות סמויות, הייתי מבין. אבל אם האקסיומות מכילות הנחות סמויות - הן כבר לא "סמויות". |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |