בתשובה לסמילי, 04/12/02 11:31
 |
|
 |
||
|
||||
 |
הקביעה אם טור מסויים מתכנס או לא היא בהחלט בתחום השיפוט של מתמטיקאי. אם התשובה שאתן אינה נכונה, אנא הסבר מדוע. אני לא מדבר על המשמעויות הפיזיקליות של סכום הטור, או של העובדה שהוא לא מתכנס. הערה טכנית: מקובל להבחין בין סדרה (...,a0,a1,a2) לבין טור ...+a0+a1+a2. אומרים שהסדרה מתכנסת אם יש לה גבול1. אומרים שהטור מתכנס, אם לסדרת הסכומים החלקיים יש גבול. במקרה זה, סכום הטור הוא הגבול של סדרת הסכומים החלקיים. אלו ההגדרות שבהן השתמשתי עד כה, וכך אעשה גם כאן. בנסיון להחזיר את הדיון הזה אל הפסים, אני אענה שוב על כל השאלות הקונקרטיות שעלו עד כה. 1. לתגובה 109091 (האם הסדרה (...,0,0,0) מתכנסת?): כן. גם הטור ...+0+0+0 מתכנס, וסכומו אפס. חשבתי שזו שאלה רטורית. 2. תגובה 109118 - מה ההבדל בין הסדרה S1={0,0,0,0,0,...} לסידרה:S2={1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,...} תשובה: אין שום הבדל. זו אותה סדרה בדיוק.3. נגדיר a_q כמקודם, a_{1,5,9,13,17,21,...} = 1/2 תגובה 109137 שואלת מה ההבדל בין הסדרהa_{2,6,10,14,18,22,...}= -1 a_{3,7,11,15,19,23,...} = 1/2 a_{4,8,12,16,20,24,...} = 0 S2={1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,1/2-1+1/2+0,...} לסדרה:S3={sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],sum(q=1,4)[a_q],...} תשובה: אין הבדל, זו אותה סדרה בדיוק.4. לתגובה 109200, האם sum(m=0,infinity)[sum(q=1,4)[a_{m*4+q}]]=0 ? תשובה: כן. זהו הטור שפגשנו בסעיף 1.5. שאלה שהיתה צריכה להשאל, אבל אינה מופיעה במפורש: האם הטור ...+a1+a2+a3+a4 מתכנס? תשובה: לא. ראה תגובה 109948 לפירוט. בפרט, ההצהרה בתגובה 108030 שהטור לא מתכנס "והסכום, מה לעשות, עדיין אפס", אינה נכונה (בחציה השני). 1 t הוא גבול של הסדרה אם לכל אפסילון גדול מאפס קיים N כך שאם n>N, אז |a_n-t| קטן מאפסילון. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"הקביעה אם טור מסויים מתכנס או לא היא בהחלט בתחום השיפוט של מתמטיקאי. אם התשובה שאתן אינה נכונה, אנא הסבר מדוע.", מקובל בהחלט, וזו הסיבה שכתבתי את תגובה 108030 ושים לב לתחילת התגובה "הטור, לא מתכנס..." (ולא, אין בהמשך מילת שלילה). "אני לא מדבר על המשמעויות הפיזיקליות של סכום הטור, או של העובדה שהוא לא מתכנס.", וזה ההבדל ביננו, אני *כן* מדבר על המשמעויות הפיזיקליות, הגודל שהסכום מייצג. 1 + 2 + 3 + 4. תודה, זה כאב לענות לעניין? 5. השאלה לא נשאלה משום שאני יודע את התשובה, כאמור, כאשר מתעלמים מהתנאים הפיזיקלים על המערכת, אי אפשר לחשב את הסכום. השאלה היא למה לוותר על תנאים פיזיקלים? אם הייתם עונים קצת יותר לעניין, היינו מגיעים גם לזה (למרות שהגענו לזה ישר בהתחלה, בתגובה ה*ראשונה* שלי). ההצהרה בתגובה 108030 שהטור לא מתכנס "והסכום, מה לעשות, עדיין אפס", נכונה (על שני חלקיה), משום שהסכום לא עומד בפני עצמו, אלא מייצג גודל פיזיקלי (בדיוק כמו סכום המטענים שבתגובה 110396). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על משפט כמו ''זה כאב לענות לעניין'', אני אישית לא הייתי טורח לענות לעניין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תטרח, במילא, לא תהיה הראשון בדיון הזה שלא טורח. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד דוגמא נאצלת. אני לא נהנה להקניט (באמת שלא), אבל בין אם עוזי טורח או לא, סגנון הכתיבה שלך לא עושה שום חשק לטרוח. הוא לא טורח? אז אל תדון עמו בשום נושא. משפטים סרקסטיים ופוגעים לא יובילו את הדיון לשום מקום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השתמשתי במילים שלך. אתה הראשון שהתשמש בשורש ט.ר.ח. (תגובה 111345). אם אתה לא נהנה להקניט, על תקניט, אני חושב שזו צביעות לטעון שאני מאלץ אותך להקניט, בזמן שאתה מתפרץ לדיון תוך כדי השתלחות בי. בכלל, לא יחסתי טרחה לעוזי, אתה יחסת לו (שוב תגובה 111345). ואם יש לך ביקורת *עניינית* על סגנון הכתיבה שלי, פרט באופן ענייני (ואגב, לדעתי, עדיף בדוא"ל), אני חושב שבשום מקום לא הגבתי בצורה שלא הלמה את המוגב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הצהרה אישית מפי אלמוני זה לא אוקסימורון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. לאחר שהסברתי בפעם הראשונה שהטור המקורי אינו מתכנס (ולכן אין לו סכום), המשכת את הדיון עם אחרים. לכן לא מצאתי לנכון לענות על ארבע השאלות ההן קודם לכן. לזכותם של המגיבים האחרים אני רוצה לציין שחלק מן השאלות שלך (למשל: "האם הסדרה 0,0,0,0,0... מתכנסת?") נשמעות רטוריות, ולא לגמרי ברור שיש צורך לענות עליהן. 2. המתמטיקה היא אובייקטיבית. המספרים שלה מסתכמים באותו אופן, וזה לא משנה אם מסכמים את האבקנים בתפרחת של שושנים או את החוב הלאומי של ישראל. גם הטורים שלה מסתכמים לאותם המספרים בכל פעם שניגשים אליהם; הם לא משנים את דעתם לפי נטיות ליבו של השואל. הטור שלנו אינו מתכנס, ולכן *אין לו* סכום. אם כך, מדוע אתה חוזר ואומר שסכומו אפס? בגלל "התנאים הפיזיקליים". במלים אחרות, (המלים שלי, אבל הנימוק שלך): הסכום הוא אפס *לא בגלל משהו שקשור בטור*, אלא בגלל שאנחנו יודעים את התשובה (אפס) מראש. אני לא יכול לקבל נימוק כזה. ד.פר הציע (תגובה 107580) דוגמא שבה החישוב הסטנדרטי (פיתוח של פונקציה לטור פורייה, פחות או יותר) מניב טור שאינו מתכנס. פתרונות אפשריים: א. לטעון שבמקרה שלנו לא קיים פיתוח כזה - הפתרון הזה קביל, אבל אני חושד שאינו נכון (פיתוח פורייה קיים תחת תנאים חלשים למדי). ב. להסביר שבגלל תנאי השאלה, הטור הנכון אינו הטור sum{a_q} המוכר לנו (ושאינו מתכנס), אלא הטור שאבריו מקובצים ברביעיות (ושכן מתכנס, לאפס). אני לא רואה בתנאים הפיזיקליים שום דבר שמצדיק את הטענה הזו (פרט לכך שהיינו מאד רוצים לקבל אפס כתוצאה), אבל זה עדיין טיעון לגיטימי. הפתרון שבחרת: ג. במקרה הזה הטור דווקא כן מתכנס - זה לא עובד. הוא לא. הפתרון הנכון: ד. פיתוח פורייה אינו חייב להתכנס נקודתית. 3. אם f היא פונקציה אינטגרבילית-בריבוע (כלומר L2) בקטע [0,2Pi], אז קיים לה פיתוח פורייה1. "קיים פיתוח פורייה" פירושו רק שהאינטגרלים שמגדירים את מקדמי הפיתוח, מתכנסים - אבל זה לא אומר דבר על התכנסות הטור לפונקציה המקורית. לדוגמא, Kolomogoroff בנה בשנות העשרים פונקציה שטור פורייה שלה אינו מתכנס אפילו בנקודה אחת. התאוריה מבטיחה (משפט Fejer) שלכל נקודה t שבה הפונקציה f רציפה, טור פורייה ב-t "מתכנס במובן Cesaro" לערך (f(t (שהוא הערך ה"נכון"). "מתכנס במובן Cesaro" פירושו שסדרת הממוצעים של סדרת הסכומים החלקיים, מתכנסת. במקרה שלנו, הטור (שאין לו סכום) מתכנס במובן Cesaro לאפס, כפי שציינתי בתגובה 107965. 1 פיתוח ש"מציג" את הפונקציה כסכום אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. ועדיין, כאשר אחד מהמגיבים האחרים טעה, אף אחד מהמגיבים (כולל אותך) לא תיקן אותו, וכשאני העזתי לתקן אותו, התנפלת עלי. 2. אני לא טוען ש"הסכום הוא אפס *לא בגלל משהו שקשור בטור*, אלא בגלל שאנחנו יודעים את התשובה (אפס) מראש", אני טוען ש"הסכום הוא אפס *לא בגלל משהו שקשור בטור*, אלא בגלל שאנחנו יודעים את על תנאים נוספים על המערכת שלא נכללים ביצוגה המתמטי על ידי הטור". הפיתרון שבחרתי אינו ג., אלא דווקא ה. (מדובר באופרטור לא שלם). הויכוח על הטור הוא, מבחינתי, ויכוח צדדי שמתקיים רק לבחירה בערכים מסויימים של x. 3. לא הבנתי, אבל זה נראה דומה להסבר שלי על הפונקציה (exp(ipx במקום אחר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אני מניח שמדובר בתגובה 109226 של גיל. הטעות היחידה שלו שם היא, אם יורשה לי, שהוא לא עובד אצלך. הוא מטפל בעניין המקורי, ולא בשאלות המנחות שאתה שואל. בפסקה השניה הוא כותב "ולשאלתך: לא, מכאן כמובן שאי אפשר להסיק שהוא מתכנס", ומתכוון לטור המקורי. כדי למנוע אי-הבנות, הוא כותב במפורש: "'הוכחת' שהטור ...+(0.5+1-1-0.5)+(0.5+1-1-0.5) מתכנס. זה לא משנה את העובדה ש- ...5+1-1-0.5+0.5+1-1-0.5+ לא מתכנס." הטור החדש שלך (זה שבתגובה 190200) אינו מוזכר שם. ה"התנפלות" שלי (תגובה 109632?) היא שאני לא מרשה לדבר על סכום של טורים לא מתכנסים. זה לא עומד להשתנות. 2. הוא אשר אמרתי. ה"סכום" הוא אפס בגלל שזו התוצאה שאנחנו רוצים לקבל. אתה חופשי לומר שהתוצאה היא אפס כי כך צריך להיות, אבל מה אתה רוצה מהטור המסכן, שאינו מתכנס בכלל? אין לו סכום, ודי. הפתרון שבחרת, ושהביא אותנו עד הלום, הוא פתרון ג' שלי - זה מה שכתוב בשורה הראשונה של תגובה 107956. אם אתה יכול להצדיק את השוויון הראשון בשורה השביעית של התגובה ההיא, אשמח לשמוע איך. 3. חבל - כי זה מסביר מדוע התשובה הנכונה היא ד'. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. טוב, אז עכשיו אני לא מבין, אם גיל לא טעה, אז לאיזה *שאלה* מהשאלות ששאלתי יש תשובה שלילית? 2. לא, לא, לא, לא, לא. הסכום הוא לא אפס בגלל "שזו התוצאה שאנחנו רוצים לקבל", הסכום הוא אפס בגלל שיש תנאי פיזיקלי שלא נכלל בהפשטה המתמטית. קח את הדוגמא שאתה נתת (תגובה 110485 סעיף 2 פיסקה שניה) בקיצור, ובשינוי קצר, נתון גוף בתנועה, הצלחנו לחשב את האנרגיה הקינטית שלו, ומכאן, כשננסה למצוא את המהירות שלו, נגלה שמלבד הערך המוחלט, אי אפשר למצוא את הכיוון. ד. פר היה עוצר ואומר משהו כמו "אי אפשר לחשב את כיוונו של הגוף -> הפיזיקה הניוטונית לא מטפלת במערכות רב כיווניות". אני , בתגובה, הייתי אומר משהו כמו "המשוואה לא פתירה, אבל לגוף יש ויש כיוון תנועה". אתה היית עוצר ואומר משהו כמו "המשוואה לא פתירה באופן יחיד -> ואתה טוען שאפשר למצוא את כיוון התנועה -> כרטיס אדום (צהוב שני)" אני הייתי מגיב ואומר משהו כמו "בגלל שאנחנו יודעים שהפשטת האנרגיה של המערכת (כמו כל הפשטה) לא כוללת בתוכה את כל העובדות הידועות לנו על המערכת, אנחנו פונים להפשטה אחרת (למשל, תנע, או מקום) ואז מוצאים את כיוון תנועתו של הגוף." וגיל היה אומר משהו כמו "זה לא מסובך, זה מתמטיקה, נראה שאתה לא מבין את מהות המתמטיקה, למשוואה יש אין סוף פיתרונות -> הגוף נע באין סוף כיוונים". והאייל האלמוני היה אומר משהו כמו "תפסיק להקניט, אם מתמטיקאי אומר לך שהמשוואה לא פתירה, המשוואה לא פתירה" והשאר כתוב בספר תולדות האייל. את השיווין הראשון אני יכול להצדיק, ההצדקה שלי בנויה על ההצדקה שנתתי בהתחלה "לכל איבר שנמצא בסכום גם שכניו לרבעיה נמצאים בסכום" תגובה 108030, כמו במקרה של מערכת המטענים. עמדתי להסביר גם למה, אבל בהתחשב בקהל, ובמדיום, אני חושב שהסברים ינתנו למתעניינים בדא"ל. 3. פיתרון ד. לא עוזר, הבעיה היא לא התכנסות טורי פורייה, הבעיה היא שמערכת שמיוצגת ע"י מספר בן מניה של מצבים באופן שלם ללא ניוון, לא יכולה להיות מיוצגת גם ע"י עוצמת הרצף של מצבים, מפני שמדובר במספר "גדול" יותר. הפיתרון לזה הוא, לדעתי, שלא מדובר באותה מערכת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. האנלוגיה שלך אינה תקיפה - במקרה של האנרגיה הקינטית, וממנה המהירות, מדובר בחוסר-מידע מובהק על פונצית המצב (במקרה הקלאסי, וקטור דינמי.) אנו יודעים מן האנרגיה הקינטית את גודל מהירותו, אבל לא את כיוונה. במקרה הקוונטי עליו מדובר, אנו יודעים בדיוק מהי "פונצית המצב," והטענה שלך כי היא פיסיקלית (שהאינטגרל מתכנס, ולכן ניתן לנרמל ל-1), היא מידע מיותר, ובמקרה זה _סותר_ את המידע הקודם שלנו - אנו _יודעים_ כי לא ניתן לנרמל גל הרמוני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. אין קשר לחישוב אינטגרל, יש כאן מכפלה בין שני מצבים אורטוגונליים (כביכול), והסכום, שמיוצג ע"י הטור המפורסם, לא מכיל את כל המידע, כמו למשל הסימטריות של המערכת. לא מדובר כלל על נירמול גל הרמוני (זה דיון אחר, וכבר הסברתי, וחזרתי והסברתי, שניתן לנרמל גל הרמוני, ראה את הדיון שמתחיל בתגובה 109403 או בתגובה 109403), אלא על מכפלת מצבי מקום שונים בבור פוטנציאל סופי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שמדובר באותו הדיון. לא משנה. הטור מכיל את כל המידע - זה כל העניין בכל הניסוחים האנליטיים האלה של הפיסיקה. מכניסים את כל המידע (כולל סימטריות) ללגרנג'יאן או להמילטוניאן, (או לטנזור המטרי), ופותרים. אם הניסוח שלך לא מכיל, אנליטית, את כל המידע, אז צריך לזרוק אותו ולקנות חדש במכולת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, הטור הוא לא אחד מהניסוחים האנליטיים של הפיזיקה, אלא שיטת חישוב של *מכפלת מצבים* ע"י מעבר לבסיס מסויים. ובכלל, בכל אחד מהניסוחים של הפיזיקה אפשר להגיע לבעיה בלתי פתירה מתמטית, החוכמה היא להגיע לבעיה כן פתירה, ולהבין שאם הגעת לבעיה בלתי פתירה, זה לא אומר שהניסוח של הפיזיקה לא נכון (בסגנון ד. פר) או שהבעיה בלתי פתירה כלל (בסגנון גיל). תן לי בעיה כלשהיא בפיזיקה (תחת איזה תיאוריה שתבחר), ואראה לך איך אני מעביר אותה לבסיס בו היא בלתי פתירה! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, ככל שהדיון הזה מתמשך, פחות ופחות מובן לי מאיפה הוא התחיל, מה המטרה שלו, למה, כמה, ואמה. נראה לי שאמשיך במדיניותי (הלחלוטין-לא-עקבית) של להתעלם מן הדיון הזה, ולקוות שהוא ידעך, אט אט, אל תהום הנשייה, ולאחריו תוכלו, אתה ועוזי, להפנות את האינטלקטים המרשימים שלכם לבעיות אחרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. התאוריה הנוכחית שלי (כפרשן לענייני גיל) היא כדלקמן: בראשית, הצהרת שטור x אינו מתכנס אבל יש לו סכום. אחר-כך שאלת האם טור y זהה לטור z. כשהצלחת לסחוט את האישור שהם אכן זהים, שאלת האם מכאן אפשר להסיק שטור z מתכנס. תשובתו של גיל: "לא, אי-אפשר. הוכחת שהטור y מתכנס. מזה לא נובע ש- x מתכנס". שתי הטענות האחרונות - נכונות. 2. את הכרטיס הצהוב (השני) היית מקבל על הצהרה דומה למקרה של הטורים: "המשוואה לא פתירה, אבל יש לה פתרון יחיד". אנא פרט בקשר לנימוק שעם כל איבר בסכום, מסכמים גם את שכניו לרביעיה. הרי על-פניו זה נכון גם לטור שבו אין מקבצים את האיברים, ואז (כפי שכבר הסכמנו) הטור אינו מתכנס. האם יש משהו בתנאי הבעיה שמאפשר לקבץ את האיברים ברביעיות דווקא, ולא בחמישיות או עשיריות? הרי אם מקבצים את האיברים בחמישיות, הטור המתקבל שוב לא מתכנס. אם אין בבעיה משהו שמצדיק את החלוקה דווקא לרביעיות, אני שוב חושד שהסיבה היחידה לחלוקה הזו היא שכך מקבלים את התוצאה הרצויה. 3. כלומר, אתה טוען שהטור אינו *צריך* להסתכם לאפס. הצעתי את האפשרות הזו קודם לכן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. איך שלא הופכים את הקערה, שאלתי שאלה, גיל ענה שהתשובה שלילית, אתה טוען שהתשובה חיובית, מכאן (מהמשפט עד כה) אפשר להסיק ש: א. גיל טעה (כשאמר שהתשובה שלילית). ב. אתה טועה (כשאמרת שהתשובה חיובית). ג. שניכם טועים (והתשובה היא 3.4). ד. התשובה היא סופרפוזיציה של כן ולא. 2. לא, ההצהרה על הסכום היא הצהרה הצהרה על מה שהסכום מייצג, ולכן הצהרה נכונה. בו נחזור לדוגמת יקום אטומי-המימן, ונוסיף ליקום פרוטון אחד, ז"א, עכשיו המטען הוא 1 (לכן, הסכום הוא 1) אבל הסכום נראה זהה, הנקודה היא שעכשיו רק לאיבר השני ומעלה יש שכן מובטח. הסבר למה יש שכנים מובטחים אני לא יכול לתת כאן, אבל: א. בהינתן הסבר כזה, האם אפשר לסכם את הדיון? ז"א האם כל הדיון הוא על כך שאתם חולקים על קיומו של הסבר כזה? ואם כן, למה אף אחד לא שאל אותי על הסבר כזה (שהצהרתי על קיומו בתחילת הדיון) עד עכשיו, לא כאן, ולא בדוא"ל? ב. אם זה בכל זאת מעניין אותך, או כל קורא אחר, אני אנסה לכתוב משהו ולשלוח לכל מבקש בדוא"ל. 3. אני טוען שאין לי "תוצאה רצויה", יכול להיות שעבור הערכים הרציונלים של x (ז"א החלוקות הרציונליות בpi) אפשר להוכיח שהסכום מתאפס. אבל זה לאו דווקא ה"תוצאה הרצויה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. המסקנה הנכונה (לדעתי) היא שגיל לא ענה לשאלה ששאלת, אלא לשאלה אחרת (טבעית יותר - האם הטור המקורי מתכנס). 2. אני לא חולק על קיומו של הסבר לסיכום בקבוצות; אפשר לסכם איך שרוצים, ואז (הפתעה) התוצאה תלויה בשיטת הסיכום. אני לא מעוניין בהסבר המלא על השכנים, אלא רק בפרט אחד ממנו: האם משהו בתנאים הפיזיקליים של השאלה מסביר מדוע אתה מקבץ את האיברים ברביעיות ולא בחמישיות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אז למה הוא כתב *במפורש* "ולשאלתך: ..."? הרי, אם הוא עונה לשאלה אחרת, לא נכון היה לכתוב "ולשאלה אחרת: ..."? 2. הקיבוץ יכול להיות, לדעתי, בכל מספר טבעי קבוע. גם חמישיות עובד, אבל אז הגענו שוב לבעיה בילתי פתירה. לעומת זאת, אם הייתי לוקח נקודות אחרות, למשל חמישית פאי ושלוש חמישיות פאי, הייתי מקבל גם מחזוריות של 5. אגב, אם הייתי לוקח נקודות לא רציונליות (למשל, 1 ו 2) הייתי מקבל משהו ללא שום מחזור, ובשביל להתמודד עם זה הייתי צריך לשאול מתמטיקאי. האם עכשיו צ'זרו עוזר, או שמדובר במשהו בלתי בכל צורה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יכונסו הטורים, וישא"ק! סיכמנו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 52141 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. אבל אלט''כ, אנע''ב, ואנמ''פ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צ"ל: אלע"ב, אלמ"פ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלט"כ = אני לא טל כהן? אלע"ב = ... ערן בילינסקי? אלמ"פ = ... מיץ פטל? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. לא יודע למה. תשאל אותו. 2. יפה שאתה מזהה את המלכודת, אבל זה לא ימנע ממנה להסגר... אתה אמור להסביר מדוע התנאים הפיזיקליים (שבגללם, כזכור, הטור מסתכם לאפס) מחייבים סיכום של האברים דווקא ברביעיות - והנה אתה מסכים שאותו נימוק "פיזיקלי" מסביר גם סיכום בחמישיות. אלא שהטור שמתקבל מסיכום בחמישיות שוב אינו מתכנס. אז מדוע לסכם ברביעיות ולא בחמישיות? אני שוב טוען שהטור הזה מסתכם לך דווקא לאפס, לא בגלל שהתנאים הפיזיקליים מחייבים סיכום באופן הזה דווקא, אלא בגלל שאפס היא התשובה שאתה רוצה לקבל. אפילו אם נצא מהתסבוכת הזו של סיכומים בקבוצות סופיות, אפשר (כפי שאתה מציע) לבחור ערכים לא רציונליים של הפרמטר x - ואז שום סיכום כזה לא יעזור. הטור לא מתכנס, ודי. אבל אז, אני שואל, מה קרה לתנאים הפיזיקליים? מדוע הם פועלים רק בנקודות רציונליות, ולא באחרות? זה לא נשמע פיזיקלי במיוחד. הצעתי (טובה מזו לא תקבל): הטור באמת אינו אמור להתכנס. 3. אם a הוא פרמטר ממשי, הטור (x_n=cos(a*Pi*n אינו מתכנס במובן הרגיל (כי האיבר הכללי אינו שואף לאפס). אם a הוא רציונלי (עם מכנה N), אז הטור מחזורי (עם מחזור N), וסכום כל N אברים רצופים שווה לאפס. אם a אינו רציונלי, הממוצע של m האברים הראשונים שואף לאפס כאשר m שואף לאינסוף (הוכחה: צריך להראות שהזויות a*Pi*n מתפלגות באופן אחיד על מעגל היחידה), ולכן הטור מתכנס לאפס במובן של צ'זרו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אבל אתה אמרת שהוא לא טעה (תגובה 111629), עכשיו, אחרי שאפשר לסכם ולומר שהוא טעה, האם אפשר לומר שגם אתה טעית (כשאמרת שהוא לא טעה). 2. איזה מלכודת? הסיכום ברביעיות, פשוט מפני שכך אפשר לפתור, בחמישיות לא נקבל תוצאה אחרת, לא נקבל תוצאה כלל (וכמו שאמרתי, החוכמה היא לא להגיע לבעיה בלתי פתירה, את זה אפשר לעשות תמיד). בדיוק כמו במעבר להצגת התנע ולא להצגת האנרגיה בדוגמא שנתת. לא ברור לי למה אפס היא התשובה שאני רוצה לקבל, אני רוצה לקבל תשובה כלשהי, ואפס היא זו שאני מקבל. אני לא יודע למה הסכום מתאפס בנקודות רציונליות, ולא בנקודות אחרות, אני לא רואה "סיבה" שהטור יתאפס בנקודות הרציונליות, והסברתי את זה כבר מספר פעמים. ומכאן, אני לא רואה בעיה בכך שהסכום לא מתאפס בנקודות לא רציונליות, פשוט, ככה החישוב יצא. את הצעתך קיבלתי, אני לא מדבר על מה שאמור להיות, ולא מנסה להתאים את התוצאות לתוצאות רצויות (משום שכמו שכבר הסברתי, אין כאלה, או לפחות, אני לא יודע מהן). 3. תודה, אני מניח שאותו הדבר תקף גם לסכום המדובר (מכפלה של שני סינוסים, ולא קוסינוס). בכל מקרה, אני לא חושב שזה מספיק כדי לדבר על אורטוגונליות, ולו בגלל הסיבה שהעלה ד. פר בתחילת הדיון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אמרתי שטעותו היא בכך שהוא לא עובד אצלך. (אני מנחש ש)מכיוון שהטור המקורי עניין אותו יותר מהטורים שהמצאת אחר-כך, הוא ייחס את שאלתך על הטור המומצא לטור המקורי, וענה על השאלה הזו. "אבל הוא לא ענה לשאלה *שלי* ?!" - נכון. 2. האם "הסיכום ברביעיות מפני שכך אפשר לפתור" מחליף את "תנאים פיזיקליים"?. אם נסכם בחמישיות, הטור לא יתכנס. האם *זה* מוכיח שצריך לסכם דווקא ברביעיות? אפשר לסכם כך: ראשית, קבוצה של 87 אברים, ומשם והלאה - שמיניות. הסכום המתקבל בשיטה זו הוא 1/2. באותה קלות אפשר לקבל גם 1/2-. האם יש תנאי פיזיקלי שעוזר לבחור בין התוצאה 0 לתוצאה 1/2? אם הפיזיקה מבטיחה שהטור מתכנס (אבל לא יודעת לאן), איך נבחר בין האפשרויות השונות? הטור, כפי שכתבתי לא פעם, אינו מסתכם באף פרמטר (רציונלי או לא). אלא שאתה אונס את הטור להתנהג בדרך מסוימת בערכים הרציונליים (ולמעשה מחליף אותו בטור אחר), כשאתה טוען שהתנאים הפיזיקליים מחייבים זאת. מדוע? מפני שרק כך הטור מתכנס. והרי בערכים הלא-רציונליים כל הלולינות הזו לא תעזור, והטור לא יתכנס בכלל - לאן נעלם האילוץ הפיזיקלי במקרה הזה? אני מסיק מכל זה שאין שום תנאי פיזיקלי שמחייב את הטורים האלה להתכנס (וטוב שכך, כי הם לא). 3. מכפלה של שני סינוסים אפשר לתרגם לסכום של קוסינוסים, ואם שומרים על הפרש הפרמטרים קבוע ומשחקים עם הסכום, מקבלים את הטור שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. זה לא רק "אבל הוא לא ענה לשאלה *שלי* ?!", זה אבל הוא לא ענה לשאלה *שלי*, וכתב "לשאלתך", משמע, טעה. 2. לא, לא מחליף. תנאים פיזיקליים מאפשרים לסכם בכל קבוצה בגודל של מספר טבעי קבוע, סופי, וגדול מאפס. הבחירה ברביעיות היא מפני שבחירה זו נותנת תוצאה. בדיוק, כמו שאפשר לכתוב את בעיית החלקיק (זוכר?) בהצגת האנרגיה בהצגת התנע, ובהצגת המקום, וכשאי אפשר לפתור בעזרת הצגת האנרגיה, עוברים להצגת התנע. התנאים הפיזיקליים שמאפשרים לעבור להצגת התנע, מאפשרים גם לעבור להצגת התנע הזויתי, אז למה שלא נעבור להצגת התנע הזויתי, פשוט, מפני שרצוננו למצוא את המהירות, שלא מיוצגת בהצגה הזו (כמו גם בהצגת האנרגיה). האילוץ הזה לא נעלם, גם עבור ערכים לא רציונלים (ז"א, מכפלות לא רציונליות של פאי), האילוץ פשוט לא עוזר, אולי יש אילוץ אחר שכן עוזר, ואולי לא, זה לא אומר כלום. אני לא טוען (עדיין) שהמכפלה מתאפסת עבור כל הערכים, אני טוען שהיא מתאפסת עבור הערכים שנתן ד. פר. כתבתי את זה כבר מספר רב של פעמים, ושוב ושוב, אחרי שנראה שהבנת, אתה חוזר על אי ההבנה הבסיסית הזו. אני לא מאלץ את הסכום להתנהג בשום צורה, לא תהיה לי שום בעיה עם הסכום יהיה 17.33, רק שחישוב הראה לי שלא כך הוא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. גיל כותב "הסכום שלך לא מקיים את התנאים - ולכן הסכום שלך אינו טור מתכנס. ולשאלתך: לא, מכאן כמובן שאי אפשר להסיק שהוא מתכנס.'הוכחת' שהטור ...+(0.5+1-1-0.5)+(0.5+1-1-0.5) מתכנס. זה לא משנה את העובדה ש- ...5+1-1-0.5+0.5+1-1-0.5+ לא מתכנס". אותו "הוא" בטענה השניה עשוי היה להיות הטור שהצעת בתגובה 109200, אלא שלפי שאר הטענות סביר יותר להניח שהוא מתייחס לטור המקורי ולא לטור החדש. הטענות הענייניות שלו הן בכל מקרה נכונות. אם אתה בכל זאת רוצה לומר שגיל טעה, לא נראה לי שזה יגרום נזק למישהו. 2. קיימות שתי אלטרנטיבות: באחת, יש "תנאים פיזיקליים" שיהפכו את הטור התלוי-בפרמטר לטור של אפסים דווקא בערכים הרציונליים, אבל לשם כך הם צריכים להסביר סיכום בקבוצות בגודל *קבוע* (אחרת "יוצא" מספר אחר לגמרי) - וזאת כאשר לתנאים האלה אין שום משמעות עבור פרמטרים לא רציונליים. בשניה, הטור פשוט לא מתכנס (כפי שמתמטיקאים נוטים בטעות לחשוב). אני בוחר בשניה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. נו, כמה אפשר להמשיך ולדוש בזה, הוא כתב במפורש, באותו חלק שציטטת, "ולשאלתך: לא,...", מכאן: א. לאחת מהשאלות ששאלתי (עם עדיפות לאחרונה) יש תשובה שלילית. ב. גיל טעה. בגלל שאני חושב שהסכמנו שא. לא נכון, ב. היא האפשרות היחידה שאני רואה כהגיונית, ואז ניזכר שאתה כתבת "... הטעות היחידה שלו שם היא, אם יורשה לי, שהוא לא עובד אצלך ..." (תגובה 111629), ומאחר שמצאנו טעות נוספת, אפשר לומר שגם אתה טעית. 2. פיזיקה זה, עדיין, לא תוכנית כבקשתך. למעשה, אני חושב שאפשר למצוא טכניקה בה גם עבור הערכים הלא רציונלים המכפלה תתאפס1, אבל, זה לא ממש משנה את העובדה שהמכפלה מתאפסת עבור ערכים רציונלים (או, לפחות אלא שהראנו שהיא מתאפסת עבורם). להיפך, עבור הבעיה המקורית, שהעלה ד. פר, זה עלול להשמע כפתרון אלגנטי, אם כי, אני בספק אם נכון. ------------------------------------------ 1 במידה ויהיו מתעניינים2, אפשר לקבל פרטים בדוא"ל. 2 כן, בטח, כמו שהיו מתעניינים בכל שאר הדברים שהצהרתי שאני יכול להסביר בדוא"ל, הרי, הרבה יותר קל להגיד "אין לך הסבר"3, מאשר לנסות ולקרוא הסבר, קצת ארוך, ולנסות ולהבין אם הוא נכון. 3 ותוך כדי כך, לרמוז לחוסר יושר, לאי הגינות ולבורות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. בפעם האחרונה - "טעותו" של גיל היא שהוא התעלם מהשאלה על הטור שהמצאת, והתייחס לטור המקורי (כפי שקל להבין משאר הדברים שכתב). אם חשוב לך לומר שגם אני טעיתי, אתה מוזמן לעשות זאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. ועדיין, הוא כתב "לשאלתך". חשוב לי להראות שבשלב מוקדם מאד הפסקת (ולא רק אתה) לנסות לקרוא את הטיעונים עצמם, ועברת להגבה אוטומטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה המרכזית שאני מנסה להבהיר היא שהטורים במתמטיקה אינם תלויי הקשר. העובדה שבהפעלת טרנספורמציה מסויימת "יוצא" סכום כלשהו, איננה אומרת דבר על הטור המקורי. אם הטור אינו מתכנס, אפשר "לקבל" הרבה תוצאות שאינן בהכרח שוות זו לזו. כדי לחדד את הדברים, אוכיח ש- 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+... = 1/2. נסמן את מקדמי הטור ב- a_n, ונקבע x=1. אנחנו מעוניינים לחשב את הסכום (sum(a_n*x^n. מכיוון שקשה לסכם עבור x=1, ננסה בתחילה לסכם עבור ערכים אחרים. אם x<1 אז הטור מתכנס בהחלט (טור הערכים המוחלטים הוא טור חיובי עם איבר כללי שואף לאפס), ולכן אפשר לקבץ את האברים בזוגות: 1-x + x^2-x^3 + x^4-x^5 + x^6-x^7 + ... החישוב שערכנו מדויק לכל x<1, ולשמחתנו מתברר שהפונקציה שקיבלנו רציפה ב- x=1. אם ניקח עכשיו את הגבול כאשר x-->1 נקבל את הסכום 1/2.= (1-x)*(1+x^2+x^4+x^6+...) = (1-x)/(1-x^2) = 1/(1+x) האותיות הקטנות: הטור המובא לעיל (להלן: הטור) אינו באמת מתכנס לפי ההגדרה הרגילה של התכנסות. כל המסיק מהחישוב לעיל שהטור מתכנס במובן הרגיל, עושה זאת על אחריותו בלבד וכותב שורות אלו מסיר מעליו כל אחריות ישירה או עקיפה לכל נזק שיגרם בשל כך. בנוסף, לא תעמוד לניזק הטענה ש"כך יצא בחישוב" ומובהר כאן באופן בלתי חוזר שהחישוב יכול לתת כל מיני תוצאות, תלוי מה מחשבים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה שלך ברורה מאליו, אבל, אנחנו לא מדברים על טור מתמטי (חסר הקשר), אלא על סכום שמייצג גודל פיזיקלי, מכאן, בעל הקשר מובהק. "אם הטור אינו מתכנס, אפשר "לקבל" הרבה תוצאות שאינן בהכרח שוות זו לזו", נכון, הרי הראנו בדיון הזה מספר דוגמאות רב (אם כי, הדוגמא שלך יפה), אבל, אם יש לך *צידוק פיזיקלי* לבחור בדרך מסויימת, והסבר פיזיקלי למה הדרכים שמביאות תוצאות אחרות לא נכונות, אזי הדרך המוצדקת היא הנכונה. שנחזור שוב על דוגמאת כיוון המהירות? עכשיו, בו ניקח את הסכום 1-1+1-1+1-1... סכום עליו דיברנו מספר פעמים, סיכמנו שיש דרך להציג אותו כך שיתקבל 1/2 האם יש לך צידוק פיזיקלי לקחת את מערכת המטענים (מתגובה 110396) ולהציג אותה כגבול של x הולך ל1 ב sum(a_nx^n)?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנלוגית כיוון המהירות לא רלוונטית. פה הטור פשוט אינו מתכנס לגבול, והוספת הפסוק "הטור מתכנס ל-0" מובילה לסתירה, שם נתת מידע חלקי על פונקצית המיקום (גודל המהירות ידוע), ושיש פונקציה כלשהי יחידה מבחינה פיסיקלית, שם אתה מוסיף פסוק שאינו סותר דבר, הוא רק מוסיף מידע חסר. (ואגב, באנליזה _ניתן_ אחר כך לתת תנאים מספיקים לפונקצית המיקום בשביל שממידע חלקי נדע שיש פתרון יחיד, גם אם איננו יכולים לומר עליו הכל.) אני חוזר לחור שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם כאן, אני מוסיף מידע שלא סותר מידע קיים. אם הטור היה מתכנס למספר שונה מאפס, היינו מגיעים לבעיה. מכיוון שהטור לא מתכנס, המידע שהוא נותן לא ניסתר ע''י המידע הנוסף שהבאתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המידע ''לא מתכנס'' סותר את המידע ''מתכנס'' שבתוך המידע ''מתכנס לאפס.'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמתי לב. אתה כן טוען שהטור מתכנס לאפס, אף כי הוא אינו מתכנס. ובדוק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אני טוען שקיים סכום אחר שמתכנס לאפס. אני טוען שהגודל הפיזיקלי שהסכום הראשון מייצג שווה לגודל הפיזיקלי שהסכום השני מייצג, ולכן הסכום הראשון, אף שאינו מתכנס, הוא אפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Humour me - איזוהי המכפלה הפנימית עליה אנו מדברים, ממנה יוצא אותו טור נשגב? אולי הפניה להודעה בה הצגת את המכפלה הפנימית הזו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למשל, תגובה 111686 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שם אין את המכפלה הפנימית המדוברת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהי המכפלה הפנימית המדוברת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטור המדובר (שאינו מתכנס, לא! לא מתכנס! אל תחזירו אותי אל החדר המרופד! הצילו!), אמור להיות התוצאה של מכפלה פנימית כלשהי. מהי המכפלה הפנימית הזו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המכפלה של שני מצבי מקום שונים בהצגת האנרגיה של חלקיק חד ממדי בקופסא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
<r|r'>?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כי, ד. פר השתמש בx | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. אז... כולם טועים, ורק אני צודק. ומה שאני אומר, הוא: זו לא מכפלה פנימית במובן הרגיל של המלה בכלל, כי אלה לא איברים ב-L^2. מתחילים מלהגדיר אותם כברהים, ואז מגדירים קטים לצורך פישוט נוטציה - רק אם מבינים את תורת ההתפלגויות, אפשר בכלל להבין במה מדובר מבחינה מתמטית. ולדיון סוף. וזה בכלל לא קשור לכל טור שהוא. לטור אין סכום, והוא לא מתכנס. ביי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המובן ה"רגיל" של המילה הוא לא בL2, אלא בברא ובקט. המערכת (המדוברת) מוגדרת ע"י המצבים העצמיים של אופרטור האנרגיה E (שהוא אופרטור מדידה), כאשר נתון שיש מספר אין סופי בר מניה של מצבים כאלה, שמסומנים ע"י |n> (n=1,2,3,...) . ד. פר מנסה להכניס אופרטור מדידה נוסף, רציף, בעל ערכים עצמיים בין 0 ל פאי, x, כך שההיטל של מצב עצמי שלו על אופרטור האנרגיה הוא:<x|n>=A*sin(nx) ואז, לנסות ולחשב את המכפלה של שני מצבים עצמיים של האופרטור x (תגובה 107580).
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב... אז אולי צריך להגיע למסקנה שאין אופרטור מדידה רציף כזה, במקום להתחיל לטעון שלטורים שלא מתכנסים יש גבול? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן, על זה הסכמנו בהתחלה (אופרטור מדידה צריך להיות complete), מספר הערכים העצמיים של כל אופרטור מדידה במערכת ההיא צריך להיות קטן או שווה למספר הערכים העצמיים של אופרטור האנרגיה. אין לזה קשר לטענה השניה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע: אין אופרטור כזה, ואתה מתפלא שמכ"פ בין וקטורים עצמיים שלו לא מתכנסת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אופרטור מדידה, לא עם הערכים העצמיים האלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה יפה: האם יש צידוק פיזיקלי לומר שבאותו יקום מומצא המטען הוא גבול כאשר x שואף ל-1 של הטור (sum((-1)^nx^n. אולי אפשר להמציא, יחד עם היקום הזה, גם את הפיזיקה שתסביר את החישוב בדרך הזו1. אבל השאלה המעניינת היא אחרת. נניח שקיים הסבר כזה. אני הייתי אומר, אם כך, שהמטען של היקום שווה לגבול כאשר x שואף ל-1 מלמטה של הסכום 1-x+x^2-x^3+x^4-..., ולכן המטען הוא חצי.נדמה לי שאתה היית מעדיף לומר שהמטען שווה ל- 1-1+1-1+1-1+..., ולכן הוא "יוצא" חצי. היתרון בניסוח המוצפן הזה, הוא שמן הסתם יעיר מישהו שסליחה שאני מתערב אבל הטור הזה לא מתכנס, ואז אפשר יהיה לרדוף אותו לאורך ששים מלבנים שמה הוא מבין והטור לא מתכנס אבל כן מסתכם, ולמה הוא מדלג על שלבים ולא קורא מה שכותבים לו, ומי שמו להעיר על טורים שהם בכלל משהו אחר. 1 אפשר גם להסביר שקיים צידוק פיזיקלי, אלא שהוא פלאי מכדי שייכתב כאן וניתן לשלוח אותו רק באי-מייל... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך, ה*ניסוח* שלי, לא היה מספיק ברור, סליחה. בכל מקרה, זה לא מה שהיתי אומר (ז"א, לא הייתי משתמש ב"לכן" ללא המעבר להצגה עם הגבול של x כמו שלא סיכמתי ללא המעבר לרביעיות). |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |