 |
|
 |
||
|
||||
 |
המושג המרכזי ברוב ענפי המתמטיקה מבוסס על מושג האוסף. עפ"י תורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל (הנחשבת לתורת הקבוצות הקלאסית של המתמטיקה המודרנית) קבוצה לא ריקה מכילה תמיד איברים השונים זה מזה, לדוגמא: {a,a,b}={a,b} וכו' כמו כן לא קיימת קבוצה משלימה לקבוצה-הריקה ( המסומנת כ-{} ) והיא הקבוצה-המלאה ( המסומנת כ-{__} ) כאשר תוכנה של הקבוצה המלאה אינו מוגדר כאוסף אלא כאלמנט בלתי-פריק ורציף לחלוטין הגדול מ-0. אלמנט זה אינו מכיל בתוכו שום תתי-אלמנטים ולכן הוא אלמנט יסוד בדיוק כמו נקודה (אשר הינה אלמנט בלתי-פריק שגודלו=0). יש לציין כי אין מדובר פה על הישויות הגיאומטריות המתוארות כ-קו ונקודה, אלא מדובר פה על תבניות יסוד של מידע הכלולות ביסוד מושג הקבוצה. לפי תפיסה זו מוגבלת תורת הקבוצות הקלאסית (קרי צרמלו-פרנקל} לשתיי תבניות מידע והן: הקבוצה-הריקה והקבוצה הלא-ריקה, כאשר תוכנה של הקבוצה הלא-ריקה מכיל אוספים המבוססים ביסודם על תבנית המידע של הנקודה (אשר הינה אלמנט בלתי-פריק שגודלו=0). הכנסתה של הקבוצה-המלאה לעולם המתמטיקה, יוצרת שינוי עמוק בכל הענפים המבוססים על מושג הקבוצה, לדוגמא: היות ומושג הרצף משוייך עתה לקבוצה המלאה, נובע מכך שכל אוסף אין-סופי של איברים מובחנים אינו יכול להשיג את מצב הרצף של הקבוצה המלאה, ולכן הוא בלתי שלם בעליל (מתוך ההשוואה בין האוסף האין-סופי למצב הרצף של הקבוצה המלאה). המשמעות המיידית היא, שלא ניתן להפעיל כמת אוניברסלי (הכמת "לכל") על קבוצה אין-סופית, וכמו-כן לא ניתן להגדיר את הקרדינל המדוייק של קבוצה אין-סופית (כי היא בלתי שלמה בעליל), דבר המונע את קיומו של העולם הטרנספיניטי (אליבא דקנטור). דוגמא נוספת קשורה לטרחנים כפיתיים הטוענים, לדוגמא כי ...0.999 < 1 . ובכן, כאשר קיים שימוש במושג הקבוצה-המלאה במסגרת שפת המתמטיקה, ניתן להוכיח כי: 1 > ,..., > [בסיס 10]...0.999 > [בסיס 3]...0.222 > [בסיס 2]...0.111 אם משתמשים במושגי כמו יופי ואסתטיקה, הרי שתורת-קבוצות ללא מושג הקבוצה המלאה, הינה פחות אסתטית מתורת-קבוצות המכילה את הקבוצה המלאה, כאשר היופי נובע משיקולים של סימטריה (עם {} אז {__} ולהיפך). במשך ה-20 שנים האחרונות פיתחתי את מה שאני מכנה "מתמטיקה מונדית" שבה יש שימוש בקבוצה-המלאה. האתר העוסק בפיתוח תורה זו נמצא ב: |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
איבדת אותי ב"אלמנט בלתי פריק ורציף לחלוטין הגדול מ-0". אנא הגדר יותר במדוייק את שלושת המושגים הבאים: 1) אי פריקות של איבר כללי בקבוצה (אני מכיר אי פריקות, למשל, בהקשרים של מספרים טבעיים ופולינומים, ובשני המקרים נדרש מבנה של חוג לצורך ההגדרה). 2) רציפות לחלוטין של איבר כללי בקבוצה (אני מכיר רציפות רק בתור התכונה הגבולית של פונקציות). 3) גודל של איבר כללי בקבוצה (אני מכיר מושגים כמו נורמה, אבל כנראה שלא לזה כוונתך). (אני חושש שהאתר שלך מסורבל מדי לטעמי, וממילא אני מעדיף למידה בדרך של דיאלוג). אגב, מה הבעיה עם הטענה ש-0.999...=1? ההוכחה שלה היא מיידית אם מניחים הנחה סבירה למדי ש-0.999... קטן או שווה ל-1 אבל גדול מכל מספר רציונלי מהצורה 0.99999 (מספר שרירותי של 9 אחרי הנקודה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש שתי הוכחות נחמדות שאני יכול לחשוב עליהן: אם נסמן x=0.999... אז 10x=9.999... (אם אתה לא מסכים איתי כאן נעבור להוכחה השנייה). לכן 10x-9=0.999... כלומר 10x-9=x, ואחרי העברת אגפים וצמצום תקבל x=1. אם לא הסכמת איתי אפשר משהו בסגנון של אינפי (אם אתה מקבל את ההנחות שציינתי בהודעה הקודמת): נראה שלכל e חיובי מתקיים שאחד פחות x קטן מ-e. בשביל זה פשוט קח y=0.9999 רציונלי גדול מספיק כך שאחד פחות y קטן מ-e, ואז ברור שאחד פחות x קטן מ-e כי x גדול מ-y. צרף לזה את העובדה ש-x קטן או שווה ל-1 ותקבל שבהכרח x=1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההוכחה הראשונה יפה באמת. ההוכחה השניה נחמדה, אבל מסורבלת מידי (אפשר לקצר אותה, יש לך יותר מידי משתנים). אבל אני רציתי הסבר להוכחה שבתגובה 325542. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי ההוכחה השנייה (למרות שהיא די מסורבלת כאן באמת, קשה לכתוב מתמטיקה) עדיפה על הראשונה, כי בראשונה אנחנו עושים מניפולציות אלגבריות למספר (מי אומר שמותר לכפול אותו ב-10? מי אומר שמקבלים את התוצאה שאני קיבלתי? זה די הנחת המבוקש, לא?) ובשנייה מניחים רק את התכונות האלמנטריות של גדול מ- וקטן מ- (ושאפשר לבצע חיסור). בניסוח אחר: בהוכחה הראשונה מתבססים על כך שהמספר "נראה כמו" 0.999... ואילו בשנייה לא משנה אם היו קוראים למספר x וזהו מלכתחילה, היא עדיין הייתה עובדת. אני לא רואה הוכחה בתגובה שאליה קישרת. בכל התגובה חוץ מהשורה האחרונה אני שואל שאלות, ובשורה האחרונה מדבר על ההנחות שדרושות להוכחה השנייה שהצגתי בהודעה הקודמת שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הוכחה יותר פשוטה, אני חושב, תהיה להניח שהם שונים, ולכן קיים מספר כלשהו ביניהם ששונה משניהם, ואז פשוט לכתוב אותו...) חשבתי שאם אתה מדבר על הוכחה ''מיידית'' אתה מתכוון למשהו יותר, איך נקרא לזה, מיידי. עזוב, תתעלם, טעות שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(נראה יותר פשוט באמת) סטודנטים במתמטיקה שמים לב לפעמים לכך שכשאומרים "מיידי" יש שלוש משמעויות אפשריות: 1) ההוכחה הולכת כך: "על פי הגדרה". 2) ההוכחה לוקחת כמה וכמה שורות אבל היי, את משפט פרמה הוכיחו על גבי מאות דפים. 3) ההוכחה ממש מסובכת אבל למרצה אין כוח להיכנס אליה עכשיו (לרוב הוא יאמר "אשאיר זאת כתרגיל לא רשמי"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני דווקא חשבתי ש"מיידי" זה "קל לראות", ופירושו - תוך 20-30 עמודים גג אתה מגיע למ.ש.ל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נתקלתי בעוד הוכחה נחמדה: אם אנחנו מסכימים ש-0.9999... הוא בעצם הגבול של הטור 0.9+0.09+0.009+... ניתן להשתמש בנוסחה של טור הנדסי מתכנס - האיבר הראשון הוא 0.9, והמנה היא 0.1, ולכן הסכום הוא 0.9 כפול אחד חלקי (אחד פחות 0.1), שזה בדיוק 1. כמובן שכאן צריך להסכים לכל התיאוריה של טורים מתכנסים (או לפחות טורים הנדסיים מתכנסים), אבל אני מקווה שכולנו מסכימים. |
|
|
|
|
|
 |
||
|
||||
|
יש מי שטוען שההוכחה הראשונה לא נכונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא יכול להיות גם טוען וגם טועה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הזה, הוא טוען, מנמק, והנימוק שלו משכנע. מאד יפתיע אותי אם הוא טועה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. למרות הכותרת המפוצצת, הוא לאטען שההוכחה שגויה, אלא שחסרה לה הצדקה מסוימת (האם המספר הזה בכלל קיים). ב. לא משכנע בכלל, לי זה נשמע כמו התחכמות לא רצינית. אין סיבה טובה לטרוח להראות שהמספר הזה קיים, יותר מאשר להראות שהייצוג העשרוני של שליש קיים. זה כמעט בהגדרות של ייצוג עשרוני. כל השלבים בהוכחה מערבים פעולות חשבון אלמנטריות על שברים עשרוניים בין 0 ל-1 (או ל-10, זה לא משנה). פעולות לגיטימיות ובנאליות. בניגוד גמור אגב לדוגמה ה'דומה' שהוא מביא שבה יש אינסוף מספרים *לפני* הנקודה, שברור שהיא שגויה ולא רלבנטית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. בלי ההצדקה הזאת אפשר גם להוכיח ש-0 חלקי 0 זה 0 (או 1, או 100, או ∞, או -4.21...). ב. ראית את ההכוחה שלו? לא, זה לא "בהגדרה של יצוג עשרוני". ז"א, המספר 0.9999.... בהגדרה של ייצוג עשרוני הוא 1, אבל זה נובע מההגדרה של יצוג חשבוני, ולכן זאת לא הוכחה אלא הנחת המבוקש. בשביל להוכיח אתה צריך לא לצאת מהנחת המבוקש, ז"א להגדיר למה אתה מתכון כשאתה כותב 0.99999... ואיך אתה עושה עם אריתמטיקה עם מספרים כאלה. זה נחמד, זאת דרך יפה לשכנע תלמידי חטיבה, אבל זאת לא "הוכחה". לא ברור לי למה הדוגמה שהוא מביא היא לא רלוונטית. ברור שהיא "שגויה" ובגלל זה זאת דוגמה טובה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. גם לא נכון,וגם לא קשור. זה שהוכחה אחרת צריכה את ההצדקה לא אומר שההוכחה הזו צריכה אותה. זה כבר לוגיקה, לא אלגברה. ב. לא מבין את השאלה. ראיתי את הסרטון, כן. וזה לא נובע מההגדרה של ייצוג עשרוני. לו היה נובע,לא היה צריך להוכיח את זה בדרכים אחרות. היא טובה בתור דוגמה 'שגויה', היא גרועה כי היא משווה כרובים לחורים שחורים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. נראה לי שכן. בהרחבה, למיטב הבנתי, כל הוכחה שמוכיחה יחס בין כל שני אובייקטים מתמטיים מחייבת להצדיק ששניהם מוגדרים היטב. לא ברור לי איך זה לא נכון או איך זה לא קשור1. ב. מה זאת אומרת "זה לא נובע מההגדרה של ייצוג עשרוני" מה, לדעתך, ההגדרה של יצוג עשרוני של 0.9999....? 1 בכלל, מטא הערה, נראה לי שאתה מדבר בהרבה יותר מידי ביטחון עצמי. אולי "זה נראה לי לא נכון" במקום "לא נכון", או "אני לא מבין איך זה קשור" במקום "לא קשור", או "אני לא רואה איך זה נובע מההגדרה המוכרת לי" במקום "זה לא נובע מההגדרה", או "אני חושב שהיא לא מוצלחת" במקום " היא גרועה כי היא משווה כרובים לחורים שחורים". אני לא משוכנע שהביטחון העצמי שלך מוצדק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 ואני משוכנע לחלוטין שהבטחון העצמי שלי לא מוצדק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התחושה שלי אחרי צפייה בסרטון: הטענה "ההוכחה שגויה" היא סוג של קליקבייט. הגזמה. הסרטון מעלה 2 טענות עיקריות: א. יש לוודא שהאובייקטים הרלוונטים מוגדרים היטב ב. ושהפעולות שמבצעים עליהם לגיטימיות בהנתן אותה הגדרה על פניו נשמע הגיוני. רק במקרה של ..0.9999 ההגדרה האינטואיטיבית (אחרי שלמדת על מספרים עשרוניים) היא סכום סדרה אינסופית מתכנסת: ויקיפדיה, בעיקר הסעיף convergent series אז ההוכחה המקורית עונה על 2 הנקודות: א. מכיוון שהסדרה מתכנסת אז המספר ..0.9999 מוגדר היטב. ב. סדרה כזו גם משמרת פעולות אלגבריות פשוטות - פרטים בויקי. בקיצור.. מה שאני לוקח מהסרטון הוא את 2 הנקודות למעלה, אבל לא את זה ש "ההוכחה שגויה". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
("...ההגדרה האינטואיטיבית (אחרי שלמדת על מספרים עשרוניים) היא סכום סדרה אינסופית מתכנסת..." אני חושב שרוב האנשים לומדים על מספרים עשרוניים כמה שנים לפני שהם לומדים (אם בכלל) על סדרות מתכנסות, ז"א אני מניח שרוב האנשים חיים די הרבה שנים עם הגדרה "אינטואיטיבית" אחרת, ורק שהם לומדים איך על סדרות מתכנסות הם משנים את ההגדרה... מצד שני, יכול להיות שאני חריג, ואינפי נשמע אינטואיטיבי לרוב הילדים בבית הספר היסודי) "...מכיוון שהסדרה מתכנסת אז..." אבל, היא מתכנסת ל-1. ז"א, למיטב הבנתי, אם הוכחת שהיא מתכנסת אין צורך בשאר ההוכחה, ואם הנחת שהיא מתכנסת אז ההנחה שלך דורשת הוכחה (וברגע שתוכיח אותה ייתרת את שאר ההוכחה). לכן, אני בכל זאת חושב שההוכחה לא נכונה (ז"א שהיא לא הוכחה - התוצאה נכונה בגלל שההנחה נכונה). למיטב הבנתי, אם ההוכחה היתה: נוכיח שהיא מתכנסת למספר מוגדר היטב בלי לחשב לאן היא מתכנסת, ואז נבצע את המשחק האלגברי - אז היא היתה הוכחה נכונה. אבל, לא ראיתי בשום מקום שבו מביאים את ההוכחה הזאת שמוכיחים את זה שהיא מתכנסת, ונראה לי די מסורבל גם להוכיח שהיא מתכנסת וגם להמנע בכח מלחשב לאיזה מספר היא מתכנסת. כל היופי של ה"הוכחה" הזאת הוא שהיא לא מסורבלת, אבל ברגע שהוספת את דרישת ההתכנסות, להמנע מלהראות לאן היא מתכנסת נראה לי כמו סרבול שלא לצורך (בעיקר שקל להראות לאן היא מתכנסת). ולכן, למיטב הבנתי, היא מניחה את המבוקש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
==> ונראה לי די מסורבל גם להוכיח שהיא מתכנסת וגם להמנע בכח מלחשב לאיזה מספר היא מתכנסת קרא בויקי, אפשר לדעת שסדרה מתכנסת בגלל שהיא חסומה מלמעלה. לא צריך לחשב את הגבול בשביל זה. אני מבין למה אתה טוען שההוכחה הזו מניחה את המבוקש. תן לי להציע פרפסקטיבה אחרת. ההוכחה הזו מוכיחה תכונה אחת של המספר 0.999... על בסיס תכונה אחרת (זה שהוא מספר סופי ומוגדר). זה כמו להוכיח שבמשולש שווה שוקיים יש 2 זוויות שוות. אתה יכול להגיד שמשולש שווה שוקיים הוא "עסקת חבילה" שבה יש גם שוקיים שוות וגם זוויות שוות, וזה "מסורבל" להתעלם מהזוויות השוות. אבל עדיין להוכחה הזו יש ערך ולכן עושים אותה בחטיבת הביניים. והרשה לי להציע הסבר לערך של ההוכחה האלגברית. אין ספק שהבעיה היא: 1. המשפט 0.999... = 1 איננו חשוב במיוחד ו2. יש הוכחות אחרות, שבעיניך יותר אלגנטיות. אבל יש סדרות אחרות שההוכחות הקלות והאלגנטיות לא יעבדו אבל אולי הכלים האלגבריים כן? דוגמא מפורסמת היא הסכום האינסופי 1+2+3+.. שאפילו לא מתכנס. ועדיין אפשר לטפל בו בכלים אלגבריים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מסכים ומוסיף - מספיק להוכיח ש*כל* ייצוג עשרוני מחזורי (או לא?) הוא סדרה מתכנסת - ו-0.999... הוא לא מקרה מיוחד בכלל. וכמו שאתה אומר, זו הנחת יסוד - אולי חבויה - מאחורי כל שימוש בייצוג עשרוני אין סופי. והרי יש המון מספרים רציונליים שיש להם ייצוג עשרוני (ומחזורי!) אינסופי. 2/7, 4/9, 1/13, 5/6, יו ניים איט. בשביל לפקפק בקיומו של המספר הפסאודו-מיוחד המדובר, צריך לפקפק בקיומם של רוב מוחלט של הייצוגים העשרוניים של מספרים רציונליים. מרגע שהסכמנו שמותר בכלל להשתמש בייצוג עשרוני עבור מספרים רציונליים - מבלי לומר מילה או חצי מילה (או 0.333... מילה) על המספר 'המבוקש' - ההוכחה עומדת על רגליים מוצקות כפי שתיארת בתגובה הקודמת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברגע שקיבלת שאפשר לייצג מספרים רציונלים (שלא מתחלקים ב-2 או 5) על ידי סדרה מחזורית, בהכרח קיבלת ש-0.9999.... הוא 1. זאת בדיוק הנחת המבוקש. (למשל, אם קיבלת ששליש הוא 0.3333...., ושלוש כפול שליש זה 1, אז מה זה 0.99999....?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נאמר זאת כך - הטענה הנגדית לפיה *אי* אפשר לייצג מספרים רציונליים על ידי ייצוג עשרוני היא כל כך מרחיקת לכת ומופרכת, שלא פלא שהטרחנים המתימטיים נמנעים מלטעון אותה ומתמקדים במספר הפלא רב התשיעיות שלנו. אבל כדאי שאשאיר לאח של אייל להמשיך מכאן, נראה שהוא עושה עבודה יותר טובה ממני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא לא האם או איך אפשר להוכיח מה ולאיזה מספר שווה 0.99999... השאלה היא לאיזה מספר אנו רוצים שהוא יהיה שווה *על פי הגדרה* ועד כמה ההגדרה הזאת שימושית. הרי תמיד אפשר להגדיר שזה שווה למשהו אחר (אף אחד לא מפריע לך לעשות זאת), אבל ההגדרה האחרת יכולה להיות חסרת ערך/לא מעניינת/לא שימושית/מובילה לשטויות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדבר הכי נחמד שלמדתי מהסרטון הזה הוא דוקא מהתגובות: אחת הפופולריות שבהן מציעה, לגבי 1/3, לעבור לייצוג 'עשרוני' בבסיס 12. ואז: 1/3 הוא 0.4, וקל לראות ששלושה כאלה הם 1.0, בלי ענייני אינסוף למיניהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. הטענה הנגדית היא, כמובן, לא ש''אי אפשר לייצג מספרים רציונליים על ידי ייצוג עשרוני''. ב. טענה שטרחנים המתימטיים נמנעים מלטעון היא לא טענה שלא ראוי לטעון (אם כבר, אולי ההפך). ג. אולי באמת כדאי שתשאיר את זה לאח של אייל. להבדיל ממך, אני חושב שהוא מבין את הבעיה, להבדיל ממך, הוא מסביר את עצמו ומנמק בסבלנות, ולהבדיל ממך הוא עושה את זה בלי לדבר בעודף ביטחון עצמי (שאני חוזר שוב - אני די משוכנע שבמקרה שלך בדיון הזה, הוא ממש לא מוצדק). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, לפחות ברמת המטה אנחנו מסכימים, הידד! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
" ההוכחה הזו מוכיחה תכונה אחת של המספר 0.999... על בסיס תכונה אחרת" איזה תכונה? שהוא שווה לעצמו? זה מפתיע? אולי נכון יותר להגיד שההוכחה הזאת מראה שהמספר המיוצג על ידי 0.9999... יכול להיות מיוצג בצורה עשרונית פשוטה יותר רק על בסיס זה שהוא סופי ומוגדר. זה נכון, אבל נראה לי די ברור מאליו. בקשר לסדרות אחרות, לא הבנתי את הטענה שלך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נחזור קצת אחורה. אני רוצה לנסות זווית אחרת. כתבת ואני מצטט: " אם ההוכחה היתה: נוכיח שהיא מתכנסת למספר מוגדר היטב בלי לחשב לאן היא מתכנסת, ואז נבצע את המשחק האלגברי - אז היא היתה הוכחה נכונה" האם אפשר להחליף את ה"נוכיח שהיא מתכנסת למספר מוגדר היטב מבלי לחשב לאן היא מתכנסת" במשפט "ידוע שהיא מתכנסת"? וכשאני שואל האם אפשר, אני מתכוון לשאול האם בניסוח החדש הזה, ההוכחה האלגברית תשאר נכונה בעיניך. בעיני זה טריוויאלי שמותר. כי מותר בהוכחות במתמטיקה להשתמש במשפטי עזר מבלי להוכיח אותם1. מה דעתך? --- 1 כל עוד הם נכונים. אפשר לדבר על משפט העזר בתגובות הבאות |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ידוע שהיא מתכנסת כמו שידוע ש-0.9999... זה 1? נראה לי ברור ש"מותר", הרי אני לא חושב שמישהו מצפה ממך לכתוב את הפרינקיפיה1 מחדש. אבל נראה לי שכשאתה נעזר ב"משפטי עזר" לא מוכחים אתה צריך שהם יהיו "חלשים" יותר ממה שאתה מנסה להוכיח. נראה לי שאף אחד לא היה מתרגש אם היית מוכיח ש 1 + 1 = 2 בעזרת זה ש"ידוע" ש 1 + 2 = 3. 1 פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל) [ויקיפדיה] |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
===> נראה לי שברור שמותר תודה. משפט העזר: כל שע"א הוא מספר ממשי סופי. שע"א - שבר עשרוני אינסופי. מספר עשרוני בין אפס לאחד עם אינסוף ספרות אחרי הנקודה. למשל 0.41304... הוכחה (אחת. אני מאמין שיש אחרות): שע"א הוא טור אינסופי (סכום אינסופי של סדרה). מספיק להראות שהטור מתכנס. כל טור כזה חסום מלמעלה על ידי הטור 0.9999... ועל פי מבחן ההשוואה להתכנסות טורים, מספיק להראות ש 0.9999.. מתכנס. הטור 0.9999.. מקיים את היחס 0.1 בין כל שני איברים עוקבים. לכן גם הגבול של היחס הזה (כאשר הטור שואף לאינסוף) הוא 0.1. נסמן את הגבול הזה כ r. על פי מבחן המנה להתכנסות טורים, r<1 ולכן הטור הזה מתכנס. מש"ל חזרה לשיחה א. הוכחתי את משפט העזר בלי להשתמש בזה ש 0.9999 שווה ל 1. אני מקווה.. תקן אותי אם אני טועה. ב. 0.9999... הוא סוג של שע"א ולכן המשפט רלוונטי להוכחה. ג. אני אשמח לשמוע את דעתך לגבי משפט העזר הספציפי הזה. האם מבחינתך, זה בסדר להסתמך עליו בההוכחה שלנו. וכאשר אני כותב "בסדר" אני רוצה לדעת האם מבחינתך היה קורה מה שכתבת בתגובה האחרונה. "אף אחד לא היה מתרגש" אם היה רואה את ההוכחה שמתבססת על משפט העזר הזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בשביל להוכיח את משפט העזר שלך הוכחת שהמספר אותו אתה רוצים ''לחשב'' מתכנס. לדעתי, היה יותר פשוט להראות גם לאן הוא מתכנס באותה הזדמנות. לכן זה נראה כאילו כל המשחק האריתמטי הוא עיקוף אחרי שלמעשה כבר יש לנו את ההוכחה (רק, שאנחנו מסתירים אותה בעזרת משפט עזר שאותו אנחנו לא אומרים בגלוי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
==> לדעתי, היה יותר פשוט להראות גם לאן הוא מתכנס באותה הזדמנות יכול להיות שזה היה יותר פשוט. אבל זאת לא המטרה שלי. אני מחפש משפט עזר שלא מתבסס על הערך ש 0.999... מתכנס אליו. לכן אני אשמח אם תענה על השאלות לגבי משפט העזר כפי שהצגתי אותו (ולא לגבי איזשהו חישוב אחר שייתכן שהוא יותר פשוט) אכתוב אותן שוב: א. האם אתה יכול לבדוק ולאשר שמשפט העזר לא מתבסס על זה ש 0.9999... = 1 ? ב. האם מבחינתך, זה בסדר להסתמך עליו בההוכחה שלנו. בסדר פירושו שההוכחה המתבססת עליו אינו סובלת מהתופעה שכתבת כאן: "אף אחד לא היה מתרגש אם היית מוכיח ש 1 + 1 = 2 בעזרת זה שידוע ש 1 + 2 = 3." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה, לא הייתי ברור. א. כן (למיטב הבנתי). ב. לא (מהסיבות שהבאתי למעלה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. תודה. ב. לא כל כך הבנתי את התשובה. בוא נעזוב את השאלה הזו. אחזור עכשיו כמה צעדים אחורה. 1. כתבת ואני מצטט: "אם ההוכחה היתה: נוכיח שהיא מתכנסת למספר מוגדר היטב בלי לחשב לאן היא מתכנסת, ואז נבצע את המשחק האלגברי - אז היא היתה הוכחה נכונה" 2. אח"כ אישרת להשתמש במשפט עזר "ידוע שהיא מתכנסת" - בתנאי שהוא בעצמו לא מבוסס על מה שרוצים להוכיח. 3. אח"כ הצגתי משפט עזר: כל שע"א הוא מספר סופי1 4. ואז אישרת שמשפט העזר הנ"ל אכן לא מבוסס על מה שרוצים להוכיח2 אז אפשר להגיד שלשיטתך, אם ההוכחה היתה: "ידוע ש ...0.999 הוא מספר סופי, כי כל שע"א הוא כזה. ואז נבצע את המשחק האלגברי" אז ההוכחה היתה נכונה. בוא נקרא להוכחה כזו "הוכחה אלגברית מתוקנת". אני מכיר בזה שההוכחה האלגברית בדרך כלל לא מנוסחת ככה3. אני מכיר בזה שיש עוד הוכחות אחרות. אולי פשוטות יותר. אני מבין שההוכחה האלגברית המתוקנת נראית בעיניך מעקף מסורבל. סבבה. אבל האם תוכל להסכים שה"הוכחה אלגברית מתוקנת" היא נכונה? --- 1 "מספר סופי" שקול ל "מתכנסת למספר מוגדר היטב". 2 בתשובה על סעיף א בתגובה האחרונה 3 בסרטון שהבאת, בדקה 1:22 המרצה מזכיר שהוא ראה רק וידאו אחד ש"לא עשה את הטעות הזו" (להניח שהמספר 0.999.. קיים) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאני קצת חוזר על עצמי. אני אנסה לנסח את התשובה לשאלה שלך בדרך אחרת. אני מקווה שהעובדה שאני נותן שלוש תשובות שונות לשאלת כן ולא לא תרגיז אותך יותר מידי. א. כן, היא נכונה. היא נכונה במובן שכל משפט שבה נכון מתמטית. באמת ידוע לנו שהמספר מוגדר וסופי, באמת ידוע לנו שאפשר לעשות חישובים על יצוגים עשרוניים אין סופיים בדרך שבא אנחנו עושים חישובים על יצוגים עשרוניים סופיים, כל שורה בהוכחה עצמה נכונה, והשורה האחרונה (1)נובעת מהשורות שלפניה, (2)מה שרצינו להוכיח, ו(3)נכונה. ב. לא, היא לא "נכונה". היא לא נכונה משום שבתוספת של "ידוע לנו שהמספר מוגדר וסופי" אנחנו מסתירים את "משום שידוע לנו ש-0.9999...=1" ולכן זאת הנחת המבוקש ולא ממש הוכחה. ג. תחת נסיבות מסויימות, מאד מוזרות לדעתי, היא "נכונה". אחרי הכל, להסיק באופן לוגי מסקנה "חדשה" מאקסיומות מסוימות. ברגע שהוכחנו משהו, אנחנו יכולים להעזר בו להוכיח משהו "חדש". אנחנו לא יכולים להשתמש במה ש"ידוע" אם לא הוכחנו אותו (ז"א, ידוע ש-10+10 זה 20, אבל זה לא נכון אם אנחנו עוסקים בעולם בו החיבור מוגדר כמודולו 11). יצוג עשרוני אין סופי הוא משהו שמוכר לרובינו מגיל מאד צעיר, לכן קשה מאד למחוק את הידע הזה ולנסות להתחיל מהתחלה ולבנות את הידע מחדש באופן לוגי. אם החלטת לבנות את העולם הלוגי שלך כשאתה מראה ש-0.9999... מוגדר ומתכנס, לא מחשב לאן הוא מתכנס (בגלל שבחרת לשחק עם הידיים קשורות מאחורי הגב), ומכניס את המשפט הזה לעולם המשפטים הידועים שלך, ואחר כך, משתמש במשפט הזה כמשפט עזר להוכחה האלגברית, אז כן, זאת הוכחה "נכונה", אבל לי זה נראה כמו להראות ש-1+1=2 בעזרת זה שידוע ש-1+2=3. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מסכים איתך על ב. שלך. ===> משום שידוע לנו ש-0.9999...=1 לא נכון. אתה הסכמת שמשפט העזר שלי לא מסתמך על כך ש 0.999... = 1. אני לא מצליח להבין איך זה מתיישב אם מה שאתה אומר כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הסברתי את זה בג? כן, "משפט העזר" בדרך בה הוכחת אותו, לא מסתמך על כך ש 0.999... = 1. אבל זה רק נובע מהדרך שבחרת לנסח ולהוכיח אותו, והדרך שבחרת לנסח ולהוכיח אותו, נובעת רק מהעובדה שאתה ממש מתאמץ שלא להוכיח את התוצאה הסופית לפני שתערב את החלק האלגברי. "בעולם נורמלי" לא נראה לי סביר שמשפט העזר מגיע למצב "ידוע" מבלי שהוכחנו ש-0.99999=1. ב. מתייחס לעולם נורמלי, ג. מתייחס לעולם המוזר בו 1+2=3 הוא שלב בהוכחה ש-1+1=2. (אני יודע שכתבתי ממש את זה כבר שלוש פעמים. מצטער, אני לא יודע איך לנסח את המובן מאליו בצורה שונה). 1 "ידוע" במובן של הוכח, לא במובן של לא צריך להוכיח משום שהמורה בכתה ג' אמרה לי שזה ככה וזה נשמע הגיוני ומסתדר עם כל מה שאני יודע על יצוג עשרוני של מספרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הביטוי עולם מוזר גרם לי לחייך כי נזכרתי בבעית תרבוע המעגל. יש למצוא ריבוע שווה בשטחו למעגל. אבל המתמטיקאים ממש מתאמצים לא להשתמש בנוסחה של שטח מעגל. מותר להשתמש רק במחוגה וסרגל. אני לא צוחק.. אם אני נראה לך מתאמץ שלא לצורך, על הבעיה הזו עבדו אלפי שנים. מתמטיקאים יקרים, הנה הפתרון: a^2 = pi * r^2 עושים שורש וסיימנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(הבעיה היא לא לחשב שטח הריבוע או את אורך הצלע אלא לעשות את זה רק בעזרת סרגל ומחוגה עם מספר צעדים סופי. ההבדל בין מה שהם עשו למה שאתה עשית הוא שהם הטילו על עצמם מגבלה מבלי שהם ידעו מה תהיה התוצאה של המגבלה הזאת ואתה הטלת על עצמך מגבלה בגלל שרצית לקבל תוצאה מסויימת) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי שוב את ההסבר שלך. אני רוצה לסכם את המחשבות שלי, כי אני חושב שהדיון קצת מיצה את עצמו. אני מתייחס לסעיף ג. מה שאתה אומר זה נראטיב שמנסה למכור לנו הוכחה אחרת. עם הרבה דברים אני לא מסכים. אבל זה קצת עניין של טעם. הבעיה היא שהוידאו אומר באופן מפורש שההוכחה האלגברית שגויה. זהו בעיני קליק בייט. הגזמה פרועה. לכל היותר אפשר להגיד "חסר פרט קטן בהוכחה - בהנתן שהמספר הזה סופי". ואפילו בעיני קטנוני. זה דומה לכך שתסתכל על ההוכחה ששטח מעגל הוא פאי אר בריבוע ותגיד - היי! לא הוכחתם שבכלל קיים מספר כזה פאי. איך אתם יודעים שבכל המעגלים בעולם יש את היחס הזה, ושהוא בכלל מוגדר? בקיצור, הוידאו מנסה ללמד דברים מעניינים על ההגדרה של שבר עשרוני אינסופי, ועל מה שאפשר לעשות איתה. אבל הוא עושה את זה בצורה שפוסלת איזשהי הוכחה שאין איתה שום בעיה. להיפך היא הוכחה יפה לו רק בגלל שהיא משתמשת בכלים קלים יותר - אלגברה פשוטה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חותם על כל מילה, קליקבייט בריבוע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז אני אסכם את המסקנות שלי - זאת לא "הוכחה יפה" ש"משתמשת בכלים קלים יותר", בגלל שמאחורי השימוש בכלים הפשוטים יותר עומדת ההנחה שמה שאתה מנסה להוכיח נכון (וכמו שהראת, אתה צריך להתאמץ על מנת להוכיח את אותה הוכחה בלי ההנחה הזאת). אם במקום "הוכחה" היינו משתמשים במושג אחר (עדות? ראיה?) אז נראה לי שלא היתה בעיה, אבל זאת לא "הוכחה". קליקבייט? מן הסתם, הוא צריך להרוויח כסף. כל ה"דיון" על 0.9999... הוא קליקבייט בבסיסו, הרי מהרגע שקיבלת את העבדה שאפשר לייצג את כל המספרים רציונליים בעזרת יצוג עשרוני מחזורי, קיבלת בהכרח את העובדה ש-0.999... הוא 1, וכולנו קיבלנו את זה כנכון בכיתה ג' (יכול להיות שלא לכולם זה נאמר במפורש?) ומאז לא היתה לנו סיבה לפקפק בנכונות של זה. קטנוני, מן הסתם דיון כזה חייב להיות קטנוני במידה מסוימת. אם מישהו "יוכיח" לי ששטח מעגל הוא פאי אר בריבוע ומההוכחה לא ייצא שבכל המעגלים בעולם יש יחס זהה אז אני לא יודע מה הוא הוכיח, אבל הוא לא הוכיח ששטח מעגל הוא פאי אר בריבוע (אולי הוא הוכיח את זה לגבי מעגל ספציפי? איך? למה?). אולי, בעצם, זה ההבדל בין "להראות" ששטח מעגל הוא ... לבין "להוכיח" ששטח מעגל הוא..., אז כן, ה"הוכחה" האלגברית מראה ש-0.999... הוא 1, וכן, היא עושה את זה באופן יפה תוך כדי שימוש בכלים פשוטים, אבל היא לא מוכיחה את זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(א. באמת התפלאתי שצעדת למלכודת הזו. יכולת להוכיח, אני מניח, גם בלי להשתמש במספר הנידון) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האתר אכן מסורבל, אבל כדי לקבל מושג כללי אני ממליץ על המסמך הראשי המתאר את הפרוייקט: המסמך נפתח כך: The Galactic Examination Project
The idea behind the Galactic Examination is to simulate a situation that can help us to use a self reference constructive criticism, in order to find out if we can be considered as legitimate members of the union of the intelligent civilizations of our Galaxy. ... The possibility of making a fundamental change in this language, as a natural continuation of the simultaneous discovery of Non-Euclidean Geometry in 1823, can help us to pass the minimal criterion of the Galactic Examination. In our opinion, this simulation is one of the most important actions that any intelligent species has to initiate as a natural part of his own development. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יכלתי לנחש שזה המושג הכללי כבר מההודעה שפורסמה כאן (מה מניע אדם לפרסם הודעה שכזו בדיון הזה - לאלוהים פתרונים). אולי אתה יכול להביא לי דוגמה של מתמטיקאי בעל רעיונות מתמטיים מבריקים שהמניעים שלו היו פסיכיים בתכלית? בטח יש לפחות אחד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בטח יש? אין לי מושג. יש כמה מתמטיקאים מפורסמים שיצאו מדעתם באיזשהו שלב, אבל לרוב זה גם היה הקץ של היצירה המתמטית שלהם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המממ, מה עם פיתגורס? (למרות שבמקרה שלו לא כל כך ברור שהתגליות שמיוחסות לו היו שלו ולא של תלמידיו, שמצד שני היו אמורים להיות פסיכיים בערך כמוהו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קצת רחוק מכדי לשפוט. חוץ מזה, רעיונות קוסמיים-נומרולוגיים היו הרבה פחות פסיכיים אז משהם נראים היום. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עם דורון הסליחה. אני רואה שהוא הוזכר בדיון, וזה מספק תשובה אפשרית אחת לשאלה שהעליתי בסוגריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע אם לכך אתה מתכוון, אך המתמטיקאי ההודי רמנוג'ן טען כי את הרעיונות שלו הוא מקבל בחלום מן האלה נאמאקאל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טים גאורס מנהל דיאלוג (מדומה) עם פדנט: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי כבר עדיף לחסוך את כל הדיון הזה וללמוד אחת מהבניות הפורמליות המקובלות של המספרים הממשיים. הן לא כל כך נוראיות (כלומר, סטודנט למתמטיקה מסוגל להבין אותן עוד לפני סוף הסמסטר הראשון). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שהנקודה של גאוורס היתה *להצדיק* את הצורך בלימוד ההוא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז השתכנעתי, אם כי לא ברור לי למה כתבת את ההודעה הזו דווקא כאן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגלל שחיפוש על 0.9999 העלה את התגובה הזאת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(וברכות לאייל הצעיר ולי, ששאלות שלנו היו כנראה כה טובות שעכשיו הן חלק מהאינטרודוקציה) | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי |  |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |