בתשובה לGod eat God, 16/07/02 14:03
 |
|
 |
||
|
||||
 |
מעניין. אני חושב שמצאתי פתרון אחר לחלוקה לשלוש, שלא דורש רקורסיה עם פוטנציאל לאינסוף. הקוראים מוזמנים למצוא את הטעות שבטח יש בפתרון שלי. השחקנים: אבי, בני וגבי. אבי מתחיל. הוא חותך מן העוגה שליש אחד בלבד (כלומר, הוא לא מחלק אותה לשלושה שלישים, אלא לשליש ולשני שלישים). נקרא לשליש A ולשני-השלישים BC. בני מודיע אם הוא מעדיף לקבל את A, או מחצית מ- BC. גבי מודיע אם הוא מעדיף לקבל את A, או מחצית מ- BC. כעת, ישנן 4 אפשרויות: I. אם בני וגם גבי מעדיפים מחצית מ- BC: אבי מקבל את A (הוגן לדעתו, כי הוא יצר את השליש הזה); בני וגבי מתחלקים ב- BC ע"פ הפתרון הידוע לחלוקה בין שניים. II. בני רוצה את A, גבי חצי מ- BC: בני מקבל את A, גבי ואבי מתחלקים ב- BC. הוגן לדעת כולם. III. בני רוצה חצי מ- BC, גבי רוצה את A: גבי מקבל את A, בני ואבי מתחלקים ב- BC. IV. גם בני וגם גבי רוצים את A: זה כמובן המקרה הבעייתי. הפתרון: גבי מקטין את A (נקבל A'), ואת החלק שהוריד מעביר ל- BC (שהפך כעת להיות BC'). בני מודיע אם הוא מעדיף כעת את A' (המוקטן), או מחצית מ- BC' (המוגדל). IVa: אם בני מעדיף את A', הוא יקבל את A', ואבי וגבי יתחלקו ב- BC'. הוגן לדעת אבי, כי לדעתו BC היה במקור שני-שליש, וכעת הוא יקבל חצי מ- BC', שהוא יותר משני-שליש לדעתו. הוגן לדעת בני, כי הוא בחר וקיבל את A', ששווה לשליש או גדול ממנו לדעתו. הוגן לדעת גבי, כי הוא תיקן את A כך שהתוצאה - A' - תהיה שווה לשליש לדעתו, והוא יקבל חצי מהשאר (כלומר, חצי משני-שליש). IVb: אם בני מעדיף חצי מ- BC', גבי יקבל את A', ובני ואבי יתחלקו ב- BC'. הוגן לדעת אבי - מאותם שיקולים כמו מקודם; הוגן לדעת בני - כי BC' גדול משני-שליש לדעתו, והוא יקבל חצי; הוגן לדעת גבי, כי הוא תיקן את A והפך אותו ל- A' כדי שיהיה שליש לדעתו, כלומר הוא קיבל שליש המקובל עליו. זהו. האם ניתן להרחיב שיטת פתרון זו משלושה משתתפים ל- N? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שלא זאת הבעיה. אם אני זוכר נכון את הבעיה, היא לא נובעת ממגבלה טכנית, כלומר שחלוקת העוגה אינה מדויקת, ולא יכולים לחלק את העוגה לשלושה חלקים שווים, אלא פסיכולוגית - כל אחד מעוניין לקבל חלק גדול יותר מהעוגה, כך שסך כל הרצונות עולה על 1. (למרות שכולם יודעים שכאשר סך הבקשות גדול מ1, אזי גודל העוגה קטן, וסך המימושים קטן מ1) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון. אבל שים לב לאופן הפתרון עבור שניים, לבעיה זו בדיוק: אחד חותך, השני בוחר חצי. הראשון משתדל ששני החלקים יהיו שווים, וכך אף צד לא מפסיד. אני חושב שהפתרון שלי פועל באופן דומה עבור שלושה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חותכים חתך אחד בעוגה (רק חתך אחד מהמרכז החוצה, לא פלח שלם). אח"כ מסיעים את הסכין באיטיות מנקודת החתך סביב ההיקף עד שמישהו מהשלושה אומר "די", ואז חותכים במקום שבו נמצאת הסכין וזה שדיבר מקבל את הפלח שנוצר משני החתכים. חוזרים על התהליך פעם נוספת בין שני המשתתפים הנותרים, וזהו. כולם מרוצים כי הם ורק הם אחראים לגודל הפרוסה שקיבלו, ואין פה שום דבר רנדומלי. זה אפילו עובד עם כל מספר משתתפים. מה רע? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרבה יותר מדי תחרות. ברור שהשלושה יחכו עד שיגיעו לנקודת השליש, ואז זו תהיה תחרות פסיכולוגית של מי ידבר ראשון - שלושתם ינסו להשיג יותר משליש, ולכן שלושתם יאפשרו לסכין לחלוף על נקודת השליש. שלא לדבר על הויכוח במקרה ששני אנשים יגידו ''די'' ביחד, דבר שעשוי להיות יותר ויותר בעייתי ככל שיש יותר אנשים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוודאי שזו תחרות פסיכולוגית. משהו רע בזה? אין פה שום בעיה אמיתית. שניים צעקו "די" ביחד? הולכים קצת אחורה ועוברים עם הסכין עוד יותר לאט. בסופו של דבר יהיה אחד שיצעק לפני האחרים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יכול להיווצר מצב בו אחד מהמשתתפים מרגיש שהחלק שלו קטן מהחלק של האחרים (זה שרצה לצעוק, אבל הקדימו אותו, למרות שהיה מקבל בשמחה את החלק שקיבל חברו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בדיוק הרעיון בשיטה הזאת: אם אתה רוצה לצעוק, צעק, ואם יש לך ביצי ברזל ואתה מעדיף לקחת סיכון ולחכות שפלח העוגה יגדל ויגדל, אל תלין על כך שמישהו אחר הסתפק בפחות וצעק לפניך. נשמע לי הוגן הרבה יותר מאשר הגרלות ובחירות רנדומליות למיניהן. השיטה מבוססת בעקרון על שיטה אמיתית לפיה מכרו פרחים בהולנד כבר במאה ה-16 (מה שנקרא Dutch Auction). המוכר היה מציע, נניח, אלף פרחים במחיר מסוים. מי שהסכים לקנות פרחים במחיר הנקוב היה צריך רק להכריז על כמות הפרחים שהוא קונה והיה מקבל אותם במקום. מחירם של הפרחים שנשארו היה הולך ויורד כל כמה דקות, כאשר בכל רגע נתון היה כל אחד מהקונים רשאי לרכוש כל כמות מהפרחים שנשארו במחיר שמוצע באותו רגע. כך זה היה ממשיך עד שלא היו נשארים יותר פרחים. גם כאן, כמו במקרה של העוגה, אם המחיר נראה לך גבוה מדי יכולת לשבת בשקט ולחכות שהוא ירד, אבל היה בזה סיכון שמישהו אחר יסכים לשלם את המחיר הגבוה בעיניך ולקנות לפניך את כל הפרחים שנשארו. זה לא רק פרקטי, זה גם מאד הוגן בעיני, גם עבור הקונים (שקובעים בעצמם באיזה מחיר יקנו) וגם למוכר שמקבל תמורה מירבית על הפרחים שלו ביחס לביקוש באותו יום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה עליה הצבעתי היא מה קורה כאשר שניים צועקים ''ביחד'', ברור שזה שלא קיבל (לא משום שלא רצה לצעוק, אלא משום שזמן התגובה שלו היה יותר איטי) לא יהיה מרוצה (בזמן שבשיטה שתוארה במאמר, כביכול כולם מרוצים). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בארהב ישנה (היתה?) רשת חנויות בגדים שפעלה בדיוק באותה השטיה | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בלונדון ראיתי פעם חנות דיסקים קטנה שעובדת (בערך) ככה. יש שם קיר מלא דיסקים חדשים במחיר מלא, מאחוריו יש קיר של דיסקים שכולם עולים פאונד אחד פחות, וכך הלאה עד לקיר של דיסקים במחיר שני פאונד. החנות מעבירה כל כמה זמן את כל הדיסקים שלא נמכרו מכל קיר לקיר שמאחוריו, כך שמיושם מנגנון של aging על כל הדיסקים (מהקיר האחרון הם פשוט מושלכים לתוך ארגז גדול של 'הכל בלירה'). בפועל זה אומר שלפעמים אותו דיסק ממש נמצא בחנות הזאת על יותר מקיר אחד, והוא נמכר במחירים שונים בהתאם לקיר שממנו שלפת אותו. זה מדרדר אותי במדרונות האוף-טופיק הישר לשאלה שמזמן רציתי לשאול מישהו שגר בארה"ב: במקומות של מזון מהיר בארה"ב מוכרים שתיה בכוסות בכמה גדלים, כשלכל גודל כוס יש מחיר שונה, אבל על כולן יש free refill. מה הרעיון פה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנחנו גם דנים בזה כל פעם שאנחנו הולכים לסרט. הרעיון הוא, לפחות בקולנוע, שאין הפסקה במהלך הסרט, ולכן אנחנו הרבה פעמים קונים את הקולה הכי גדול בשביל לא לצאת בזמן הסרט למלא. כל פעם אנחנו נשבעים שנקנה קטן/בינוני, נשתה אותו מייד(חם בחוץ ובאנו ברגל), נמלא שוב ונכנס לאולם, אבל אנחנו אף פעם לא עושים את זה... לעומת זאת, אנחנו תמיד מתחלקים בקולה ענק (עולה פחות משניים בינונים), ותמיד לוקחים בלי קרח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(באיחור של שבועיים - אבל שווה להזכיר, ולו רק כי הדיון בראשיתו עסק בספרים). הספרייה הלאומית בגבעת-רם מוכרת (אחת לחצי שנה, כמדומני) את ספריה העודפים בשיטה דומה. המכירה נמשכת חמישה ימים, כשביום הראשון כל ספר עולה 30 ש"ח, בשני 20, בשלישי 10, ברביעי 5, ובחמישי 3 ש"ח. (המחירים מצוטטים מהזכרון, ונכונים ללפני ארבע שנים בערך). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם בבית אריאלה בתל אביב מכירה דומה. ביום הראשון 10 שקלים, אח"כ 8, 6, 4, 2. לחיילים - 5, 4, 3, 2, 1. למי שמוצא חן בעיני המוכר - מהיום הראשון הכל בשקל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתור מי שכמעט אף-פעם לא אוכלת במסעדות מזון מהיר, אולי חסרה לי האינפורמציה המדוייקת. המקום היחיד בו אני מוצאת את עצמי בעיתות משבר הוא מקדונלדס, ושם אין ריפיל. עם זאת, בבתי-קולנוע יש ריפיל, אבל מי השתגע לקנות כוס קטנה ואז לקום באמצע הסרט בשביל למלא מחדש? פשוט קונים את הגדולה שתחזיק מעמד שעתיים. (ד"א, בבתי הקולנוע כאן מוכרים ארוחות מלאות במזנון ובמכונות אוטומטיות של פיצה וצ'יפס.) בנוסף, יש לזכור שהאמריקאים הם לא ישראלים. גם עיתונים נמכרים במכונות אוטומטיות, בהן אתה מכניס כסף ונפתחת גישה לכל העותקים של העיתון. עם זאת, כל אחד לוקח רק עותק אחד (למרות שתיאורטית אתה יכול לקחת 30, ואז למכור אותם בפינת הרחוב). במוזיאונים אחדים בעיר (ניו-יורק) הכניסה היא בחינם, כשהמבקר בוחר איזה סכום הוא רוצה, אם בכלל, לשלם על הביקור במוזיאון. והם כולם משלמים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחרי כמה שנים בחו"ל מפסיקים להגיד "והם כולם משלמים" ואומרים "ואנחנו כולנו משלמים"? ואגב, כשאני הייתי בניו-יורק, בפירוש לא כולם שילמו על הנסיעה בתחתית, לא פעם ולא פעמיים ראיתי חבר'ה קופצים מעל המתקן אליו אתה אמור לשלשל את האסימון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודק. למה כתבתי "הם"? בנוגע לתחתית - לא ראיתי קפיצה מעל המתקן מעולם. אבל כן ראיתי הרבה שוטרים בתחתית, יכול להיות שהשניים קשורים. ועוד אנקדוטה על ישראלים וכסף בניו-יורק (במסגרת ה"אנחנו" ו"הם") - כבר כתבתי כאן בעבר בנוגע לנורמת הטיפים הנדיבה הניו-יורקית. אחד מהחוקים הבלתי-כתובים הוא שנהג מונית מקבל תמיד טיפ. שני האנשים היחידים שפגשתי בניו-יורק אשר באופן עקרוני לא נותנים טיפ לנהגי מונית הם שני ישראלים, שהיו טורחים בתום כל נסיעה להוציא מהארנק את הסכום המדוייק (עד לרמת הסנט הבודד). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשהייתי בקנדה ביקרתי במוזיאון שפעל בדיוק בצורה הזו. כשיצאתי, איש רע שכמוני, לא השארתי כלום. אחרי זה, במשך כמה ימים, היה לי חלום שביציאה משם אני נופל וכל הכסף שהיה לי (שמשום מה בחלום הוא כולו במטבעות של לוניז וטוניז) מתפזר לכל עבר. ואם אנחנו בענייני ספרים, כשעברתי באחת העיירות שם ראיתי שלט שהפנה למכירת ספרים משומשים. כמובן שעצרתי ונכנסתי, ביליתי שעתיים בין המדפים בבחינת מאות ספרים שמעולם לא שמעתי עליהם, ולבסוף יצאתי עם שלושה. כשבאתי לקופאית (לא הייתה קופה, אבל היא ישבה ליד היציאה), שאלתי אותה כמה זה ביחד. היא אמרה שאין מחיר. מה זאת אומרת? מסתבר שזו מכירת צדקה, ולכן אני משלם כמה שאני רוצה. זכרונות ממערכונים של הגשש עלו לי מיד בראש, אבל אני הדחקתי אותם והסברתי לה שאני לא מכאן, ואני לא יודע מה יהיה סביר, אז ביקשתי שתיתן לי הערכה. היא אמרה שהיא לא יכולה לעשות את זה, אבל אני התעקשתי. לבסוף היא הביטה על הספרים שבידי, ולבסוף הפטירה - "3 דולר". שלושה דולר לשלושה ספרים? הרגשתי נורא רע עם זה, מה גם שזכרון המוזיאון עוד היה טרי במוחי. אז השארתי ארבעה דולר, שזה היה כל הכסף הקטן שהיה לי בכיס. אוף, אני קמצן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם בבורגר ראנץ' אימצו את רעיון הfree refill. הרעיון הוא כנראה שאף אחד לא ימלא יותר משתי כוסות כתוצאה מהתמלאות במשקה, במיוחד כשמדובר בגזים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן ירבו. אני לגמרי בעד עקרון ה-free refill. מה שטרם הבנתי זה מדוע הם מוכרים את השתיה הקלה במחירים שונים (לפי גודל הכוס) כאשר ניתן למלא את הכוסות שוב ושוב בחינם. בקולנוע זה עוד איכשהוא הגיוני, אבל במקומות אחרים שבהם המילוי מחדש לוקח שניה וחצי, זה מוזר. ובאותו עניין: ביפן נמכרת שתיה קלה בכוסות בגדלים שונים שלכולן אותו מחיר, אבל ללא זכות free refill. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז למה המחיר אחיד? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הניחוש שלך טוב כמו שלי. אולי זה קשור לאיזו פילוסופיה הוליסטית שאומרת שאתה משלם סכום קבוע כדי להפסיק להיות צמא בלי קשר לשאלה כמה צמא היית? נדמה לי שהיה פה איזה יפני בסביבה, אבל הוא בטח הלך כבר לישון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, יש בעיה עם זה. הרעיון הוא לא לחפש דרך כך שאנשים לא יוכלו להתלונן *חוקית* על גודל החתיכות שלהם ("אם תתלוננו אנחנו נשחט אתכם" תהיה דרך קצרה יותר להשיג את זה), אלא ממש שכולם יצאו מרוצים, ואף אחד לא ירגיש שהוא נדפק לעומת אחרים, מכל סיבה שהיא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם נתעלם מהבעיות הפסיכולוגיות והטכניות, הרי שזהו פתרון מצוין עבור חלוקת עוגה - אבל לא עבור הנמשל (למשל, חלוקת אוסף חפצים אקראי - ירושה, נניח). הכל התחיל מהכתבה ששי הפנה אליה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שבפתרון הזה יש יותר בעיות פסיכולוגיות מאשר בפתרונות אחרים שכוללים למשל הנחות והימורים על האינטרסים של הצד השני וכו', ואני לא חושב שיש בו יותר בעיות טכניות מאשר בפתרונות שדורשים תיקונים טכניים בגודל הפרוסות אחרי שכבר נחתכו. אתה צודק בהחלט שהפתרון דורש רציפות במוצר שאותו מחלקים (המסלול של הסכין חייב להיות רציף ככל האפשר), ושזה פוסל אותו משימוש לצורך חלוקה הוגנת של אוסף חפצים אקראי. שים לב, עם זאת, שהפתרון לא דורש אחידות של המוצר, כך שאם לדוגמא יש על העוגה הזאת רק דובדבן אחד, ויש משתתף שהדובדבן חשוב לו יותר משאר חלקי העוגה, סביר שהוא יצעק לפני האחרים אחרי שהסכין יעבור מעל הדובדבן וכך יבטיח לעצמו פרוסה קטנה יותר אך גם ''איכותית'' יותר בעיניו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השחקנים 1...N (הסדר רנדומלי) N חותך חלק שהוא חושב כראוי מהעוגה, א. במידה ואף אחד אחר לא רוצה את החלק, N מקבל אותו (ועברנו לבעיה זהה עם N-1). ב. במידה ורק M (שהוא לא N) רוצה את החלק, M מקבל את החלק (ושוב, עברנו לבעיה זהה עם N-1). ג. במידה ויותר משחקן אחד שאינו N רוצה את העוגה, אחד מהם (שוב באופן רנדומלי) מקטין את החלק, כך שעדיין ירצה את השארית (וההקטנה, חוזרת לעוגה הכללית), ואז: ג.i. אם אף אחד מלבד המקטין לא רוצה את החלק המוקטן, המקטין מקבל אותו (ושוב, עברנו לבעיה זהה עם N-1). ג.ii. אם רק אחד (מלבד המקטין) רוצה את החלק המוקטן, הוא יקבל אותו (ושוב, עברנו לבעיה זהה עם N-1). ג.iii. במידה ויותר מאחד (מהתת קבוצה שנקבעה בג.) רוצה את החלק המוקטן, אחד מהם (רנדומלית) יקטין שוב את החלק, ואז נחזור לג.i. עבור התת קבוצה החדשה (לא כולל את המקטין, על מנת למנוע אין סופיות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יקטין שוב את החלק! זה, כמובן, מה שהיה חסר לי כדי לפתור את הבעיה הכללית. תודה! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. במידה והראשון חתך שליש מדוייק, ובמידה ושני האחרים יודעים את זה, אף אחד מהם לא יסכים להוריד חלק נוסף מהשליש, ושניהם יכריזו שהם רוצים את השליש (ולא מצליחים להוריד ממנו כלום). במקרה כזה צריך (לדעתי) לתת את השליש לראשון (וההכללה ליותר משלוש היא ברורה). 2. אם נחזור לשני אנשים, למה הפיתרון של מחלק ובוחר נחשב לצודק? הרי ברור שאם המחלק מכיר את האינטרסים של שני הגורמים, ואם האינטרסים שלהם שונים, יש לו יתרון עצום. נסו לחשוב על פיתרון כזה לסיכסוך הישראלי פלשתינאי, ברור (ואם לא, אז נניח) שלישראל יש אינטרס לשלוט על תל-אביב, ירושלים וחיפה, ולכן המחלק הפלשתינאי יחלק את המדינה כך שהחלק שכולל את הערים האלה יהיה קטן בהרבה מהחלק שלא כולל אותם. וההפך, ברור (ואם לא, אז נניח) שלפלשתינאים מאד חשוב השלטון בעזה, מזרח ירושלים וחברון, ולכן המחלק הישראלי יחלק כך שהחלק שכולל את הערים האלה יהיה קטן בהרבה (אם כי, לא קטן בצורה שיהיה לפלשתינאים אינטרס שלא לבחור בה) מהחלק שלא כולל אותם (וכולל את תל אביב, חיפה ומערב ירושלים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. נדמה לי שאתה מכניס לכאן את דילמת האסיר: אחרי שבני אמר שהוא רוצה את A, גבי, אם הוא חושב ש-A קטן משליש, יכול להחליט "לדפוק" את אבי (החותך). כל אחד צריך לדאוג לשליש של עצמו. 2. כמו שעניתי לאסף - קרא את המאמר ששי הפנה אליו. הדוגמא שלהם היא של זוג מתגרש; הבעל עשוי לחלק את הרכוש כך: חלק א' - הילדים, ללא מזונות וללא שום דבר נוסף; חלק ב' - כל השאר. יש כאן כמובן סיכון מצידו - האשה עשויה לבחור ב"כל השאר", בניגוד לציפיותיו. כלומר, לא תמיד השיטה עובדת: היא נכשלת כשצד אחד מכיר את האינטרסים של הצד השני, ויכול לתמרן לפיהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. לא ממש, פשוט יכול להיווצר מצב שגם בני וגם גבי מוכנים לקבל את ה"שליש", אבל שניהם מצהירים שקבלת אגורה אחת פחות לא תשאיר אותם מרוצים (ולכן, אף אחד מהם לא יסבים להקטין את החלק, ולכן, נתקענו). 2. קראתי. השיטה תיכשל כשיש לאחד הצדדים אינטרס "עליון", שידוע לצד השני (ושהצד השני מיחס לו חשיבות פחותה). הדוגמא עם הילדים פחות מוצלחת, משום שגם הבעל וגם האישה יעדיפו את "הילדים" על פני "כל השאר". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אם השליש הראשון הוא מדוייק, לשני האחרים יש אינטרס לנסות את מזלם עם חלוקת השני שליש, כי אולי הם ישיגו חלק גדול יותר משליש, ולכן הם צריכים לבחור בשני-שליש (או ש"לא יהיה להם אכפת", ואז אבי מקבל את השליש שהוא חתך. 2. הבעיה היא שבמצב כזה המחלק לוקח סיכון. נניח שאני רוצה לדפוק את הפלסטינים, שמאוד חשוב להם עזה, חברון וירושלים, אז אני יכול לחתוך יפה יפה מסביב לשלוש הערים הללו, ולהשאיר בצד השני את כל השאר. ואז, אני אחייך אליהם חיוך לועג, והם יחייכו חזרה אלי, ויקחו את כל שאר ישראל. אופס. בקיצור, אני צריך לחתוך בצורה שתיראה הוגנת לשני הצדדים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. ראה למעלה. 2. ככל שאתה מכיר את הצד השני טוב יותר, כך הסיכון שלך נמוך יותר. אם תצליח להעמיד את עצמך במקום הצד השני, ולמצוא את המקום בו הוא יבחר את החלק הקטן יותר, כל מה שתצטרך זה להוסיף מקדם ביטחון קטן, ולהציע את החלוקה הזו. ברור שמי שינהג בחמדנות יתרה, מסתכן, אבל מי שינהג בתבונה, יצליח להשיג את החלק הגדול יותר (במידה והוא המחלק), ולגרום לצד השני לקבל את החלק הקטן יותר (ולדעת שהוא קיבל את החלק הקטן יותר). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפתרון ''הוגן'' במשמעות האינטואיבית, אבל הפרמטר שנקבע במאמר היה אפס קנאה. יתכן בהחלט שבחלוקה בין בני לגבי אחד מהם יקבל חלק שלדעת אבי שווה הרבה יותר מהחלק שלו (כלומר, הוא היה מחלק את השני שליש לגמרי אחרת), וכך מוצא את עצמו אבי עם שליש מהעוגה, אבל הוא מקנא בבני שקיבל הרבה יותר (למרות שגבי עדיין מרוצה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המממ... אני לא בטוח, אבל נראה לי שאתה צודק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סוף סוף דיון מתמטי באייל... 1. הפתרון של טל, כמו גם ההכללה של סמילי ל- n שחקנים מספקים חלוקה הוגנת. אבל הדרישה היא למצוא חלוקה ללא-קנאה, וזה הרבה יותר קשה. פתרון העברת הסכין נגוע באותה בעיה בדיוק, ובנוסף הוא דורש רצף של החלטות, הרבה יותר גרוע מהסדרה האינסופית של המאמר. (תארו לעצמכם לחלק עוגה בשיטה זו באי-מייל: "הסעתי את הסכין 1.2 סנטימטרים. יש קונה? הסעתי בעוד סנטימטר. יש קונה? ....") 2. תרגום לעברית של הבעיה: נתונות n מידות f_1,...,f_n רציפות הדדית של עוגה X. צריך למצוא חלוקה X=A_1 U ... U A_n כך ש: * בעיית החלוקה ההוגנת: (f_i(A_i הוא לפחות 1 חלקי n. * בעיית החלוקה ללא-קנאה: (f_i(A_i הוא המקסימלי מבין (f_i(A_1),...,f_i(A_n. 3. ב"בעיה" של חלוקת ארץ-ישראל לשניים אין שום בעיה. אם המחלק הפלשתינאי יציע פרוסה דקה מאד סביב תל-אביב וחיפה, והיא תהיה עדיפה לישראל על-פני הפרוסה השניה, מה לא בסדר כאן? נקודת המוצא שבגללה נראה שמשהו בפתרון שגוי, היא שלישראל כביכול מגיע הרבה יותר מחצי. פויה. 4. דוגמא של חלוקה הוגת ולא נטולת-קנאה: שחקן א' מחשיב תפוז כשווה לשני תפוחים, וכן כשווה לשני-שליש אגוז. שחקן ב' מחשיב אגוז כשווה לשני תפוזים, וכן כשווה לשני-שליש תפוח. שחקן ג' מחשיב תפוח כשווה לשני אגוזים, וכן כשווה לשני-שליש תפוז. הם צריכים לחלק אגוז, תפוח ותפוז; ונקבע שא' יקבל תפוז, ב' אגוז וג' תפוח. כל אחד קיבל שליש מהשלל (לשיטתו), אבל תמיד יש מישהו שקיבל יותר. 5. שעורי בית: א) מצא שיטה לחלוקה הוגנת לשני חלקים, אם מוסכם מראש על הצדדים של-A מגיע 60% ול-B מגיע 40%. כל אחד מהם מעריך דברים שונים בעוגה, וצריך למצוא פתרון שבו כל צד סבור שקיבל לפחות מה שהוסכם ביניהם. ב) הכלל לחלוקה הוגנת של n שחקנים כאשר הפרופורציות מוסכמות מראש. ג) (אם כבר:) הראה שאם נוותר על דרישת הרציפות ההדדית של המידות, אז לא תמיד קיימת חלוקה הוגנת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
3. הבעיה היא אם המחלק היה ישראל, היא הייתה מקבלת שטחים נוספים לחלק אותו היא קיבלה כבוחרת. אין לזה קשר לפוליטיקה, תחשוב על חלוקת סיפריה 1 בין בני זוג, היא אוהבת ספרי מד"ב הוא אוהב ספרי בישול 2, ובספריה יש סיפרי בישול, מד"ב ומתח (ששניהם מחבבים, אבל לא כמו האהבה). אם היא תחלק, חלק אחד יכלול את ספרי הבישול בלבד, והחלק השני גם את ספרי המד"ב, וגם את ספרי המתח. אם הוא יחלק, ספרי המתח יעברו לחלק של ספרי הבישול. כך שלמרות שחלוקה צודקת תהיה חלוקה של ספרי המתח בין שניהם, בצורת החלוקה הזו, ספרי המתח יעברו תמיד למחלק. --------------------------- 1 וכך האוף טופיק יהיה פחות בוטה. 2 GeG, ככה נותנים דוגמא שוביניסטית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה היא, כמובן, שיש הרבה חלוקות הוגנות: כל חלוקה שבה הוא יקבל את ספרי הבישול והיא את ספרי המד"ב היא הוגנת, כי כל אחד מסכים שקיבל לפחות חצי מהספריה ("אני קיבלתי את הקיבריאדה והוא תקוע עם שלושים רות סירקיס"). ברור שהצד שקובע את החלוקה (ההוגנת) מרוויח, כי הוא יכול לקבל הרבה יותר מחצי (בעוד שהשני יקבל רק חצי או מעט יותר). אתה בעצם מציע להגדיר סוג חדש של חלוקה: "חלוקה צודקת", שבה החלק שלי, לפי הערכתי, שווה לחלק שלך, לפי הערכתך (ובמלים: (f_1(A_1)=f_2(A_2). חלוקה כזו עלולה להיות גם: הוא מקבל את המד"ב וחצי מספרי המתח, והיא את ספרי הבישול וחצי מספרי המתח (ושניהם לא יהיו מרוצים, אלא אם מדובר במשפט גירושין קשה במיוחד). אבל אז אפשר להחליף, ותתקבל חלוקה שהיא גם צודקת וגם הוגנת. משפט. אם f_1,f_2 שתי מידות רציפות של עוגה X וקיימת פונקציה מדידה ורציפה [g:X->[0,1, אז קיימת חלוקה צודקת של X ביחס ל- f_1,f_2. הוכחה. נגדיר פונקציה (([h(t)=f_1(g^{-1}([0,t]))-f_2(g^{-1}([t,1. קל לבדוק ש- h(0)=-1 ו- h(1)=1. לפי הרציפות של h קיים t כך ש- h(t)=0; החלוקה לפי t היא צודקת. השיטות לחלוקת העוגה בעזרת סכין נע מספקות חלוקה הוגנת, שהיא בדרך כלל לא צודקת. יתרה מזו, בשיטת הסכין הנע אף שחקן אינו מגלה את ההעדפות שלו לאחרים. בפועל, כשמחלקים עוגה בין שני שחקנים, השחקן הראשון יעצור את הסכין מיד אחרי שקיבל חצי עוגה, והשני עלול לקבל הרבה יותר (לשיטתו שלו); נראה לי שבמציאות הוא לא ימהר להודות בכך... אני לא רואה כרגע דרך לתרגם את הוכחת הקיום של חלוקה צודקת לתהליך אינטרקטיבי שימצא כזו (אפילו עבור שני שחקנים). שעורי בית (הוכח או הפרך): תמיד קיימת חלוקה צודקת לשלושה שחקנים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההבדל המהותי בין חלוקה הוגנת (או נטולת קנאה, מה שבשני שחקנים הוא אותו הדבר) לבין חלוקה צודקת, הוא שחלוקה הוגנת תלויה עבור כל שחקן בהעדפות שלו, והוא לא צריך להניח שום דבר על האחרים. אפשר להשיג חלוקה צודקת לשני חלקים בעזרת שופט, שמזיז את הסכין ושני הצדדים מדווחים לו באופן שוטף מה החלק שהוקצה עד-כה להערכתם; הוא יעצור את הסכין כשסכום ההערכות יהיה אחד. בלי שופט בלתי תלוי ואמין, זה לא ילך (ההתייחסות היא לדוגמת הספריה, כמובן). לחלוקה הצודקת, אגב, יש יתרון נוסף, והוא שהיא יחידה (ליתר דיוק, יש בדיוק שתי חלוקות צודקות: אחת, שאינה הוגנת, בה כל אחד מקבל פחות מחצי, והשניה, ההוגנת, בה כל אחד קיבל יותר מחצי). (הוכחה: הפונקציה h מן המלבן הקודם היא מונוטונית עולה). אני יכול להראות שתמיד קיימת חלוקה צודקת לשלושה חלקים, אבל לא ברור לי איך להפוך חלוקה כזו להוגנת (יתכן שכולם חושבים שקיבלו רק עשירית). באופן מוזר, המקרה של חלוקה לארבעה חלקים נראה הרבה יותר מסובך. האם תמיד קיימת חלוקה צודקת לארבעה חלקים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי שלא להשאיר את כל האינטרנט במתח: תמיד קיימת חלוקה צודקת. ההוכחה היא כזו. בונים מערכת של סכינים n-1 התלויות כולן בראשונה, באופן כזה שהפרוסה ה-i שווה (לדעתו של השחקן ה-i) לפרוסה הראשונה (לדעת השחקן הראשון). באופן כזה נוצרת חלוקה צודקת של חלק מהעוגה ל- n-1 שחקנים. הפרוסה הנותרת נופלת בחלקו של השחקן האחרון. בתחילת התהליך השחקן האחרון מקבל את כל העוגה, ובסופו (כאשר הסכין האחרונה מגיעה לסוף העוגה) הוא נשאר בלי כלום. לפי משפט ערך הביניים קיים זמן שבו ערך הפרוסה הנותרת לשחקן האחרון (לשיטתו) שווה לפרוסות שחילקנו, וזוהי חלוקה צודקת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני רק טענתי שלא מדובר בחלוקה ללא קינאה. ז"א הבעל ידע מראש שיקבל את כל רות סירקיס, (הוא מכיר את זוגתו לשעבר מספיק זמן לדעת שאין לה מה לעשות עם ספרי בישול, היא פשוט זוכרת הכל) והאישה ידעה שתקבל את סדרת המוסד במלואה (גם היא מכירה את בן זוגה, ויודעת שזה לא מעניין אותו), ולכן מראש כל ה"עימות" היה על ספר המתח אוסף ספרי בתיה גור (שהם קיבלו כמתנה). ולכן, ברור (?)שהבוחר/ת יקנא במחלק/ת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגדרנו "קנאה" כמקרה שבו צד אחד חושב שהיה עדיף לו להתחלף עם השני, וזה לא יכול לקרות בחלוקה הוגנת של שני שחקנים (כי כל אחד מהם כבר קיבל לפחות חצי). אני מסכים שלא כל חלוקה היא "צודקת" (חלוקה כזו שבה החלק שאני מקבל לשיטתי שווה לחלק שאתה מקבל לשיטתך). כפי שכתבתי לעיל, שיטת המחלק-בוחר *אינה* נותנת חלוקה צודקת, ואני מסכים בזה עם הביקורת שלך עליה. עם זאת, אפשר לגייס שופט שימצא חלוקה צודקת (למשל 12 ספרי מתח לכל אחד). אני רוצה לתקן טעות במה שכתבתי קודם: חלוקה צודקת *אינה* יחידה (היא יחידה בהנחה שקבענו מראש את כיוון הסעת הסכין; אבל כל החלטה כזו תספק חלוקה צודקת (אחת ויחידה) אחרת). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה, חומד (אני אשם שאנשים לוקחים הערות אגב שלי ברצינות, ותגובות שלמות כהערות אגב?). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |