בתשובה לנוור מיינד, 20/08/06 20:56
 |
|
 |
||
|
||||
 |
יש ציטוט מפורסם של מתמטיקאי ידוע בשם קרונקר שאמר "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים - כל השאר הוא מעשה ידי האדם". לדעתי הוא מחדד היטב את הנקודה המרכזית בדיון (העמוק והמורכב הזה, שאיני מסוגל אפילו לגרד את קצהו) - מה זה בעצם אומר, שמספר "קיים" או "לא קיים"? המספרים הטבעיים הם המספרים 1,2,3,... אפילו על קיומם אפשר להתווכח. מישהו ראה פעם "שתיים"? אנחנו רואים זוגות של גרביים, שני שקל, שתי תלמידות בית ספר, פעמיים בוסקילה - אבל "שתיים" לא "קיים" בעולם הפיזי. המושג "שתיים" הוא הפשטה שבאה לתאר משהו שמשותף לכל החבר'ה שלעיל - ה*כמות* שלהם. במקום אחר באייל דיברו לא מזמן על כך שלא מלמדים בבית הספר ש"מספר הוא יחס שקילות" - וזה בדיוק הרעיון שבא לידי ביטוי כאן. אם כן, מספר בא לתאר תכונה של משהו "בעולם האמיתי". לכן אנחנו מקבלים בלי היסוס את המספרים הטבעיים. מכאן יש שתי דרכים להמשיך - האינטואיטיבית, והמתמטית. האינטואיטיבית תיתקע במרוכבים, אבל למעשה היא תיתקע עוד קודם: במספרים השליליים. מישהו ראה אי פעם מינוס מסתובב ברחוב? יש בדיחה ידועה על מתמטיקאי שרואה איש אחד נכנס לבית וכעבור זמן מה שני אנשים יוצאים מאותו הבית, ואז הוא אומר "אם אדם אחד בדיוק ייכנס עכשיו לבית, הבית יהיה ריק". אין במינוסים שום הגיון. זאת אומרת, אין שום הגיון כל עוד המתמטיקאי אינו תפרן. ברגע שהוא באוברדראפט המשמעות של מינוס הופכת להיות מאוד ברורה - אבל אז לא מדובר במינוס, אלא בפלוס בתחפושת. במקום שהבנק יהיה חייב לי 100 שקלים, אני חייב לבנק 100 שקלים. כאן מזדלחת מעבר לפינה הגישה הפורמלית, המתמטית. בעצם לקחנו את המספרים הטבעיים, יצירי אלוהים, והצמדנו להם תחילית של סימן מינוס. אנחנו יודעים איך "להתעסק" עם מספרים שליליים שכאלו - שלוש ועוד מינוס שתיים זה כמו שלוש פחות שתיים. חיבור עם מספר שלילי הופך לחיסור. הדברים הללו נראים לנו טבעיים, אבל יש עומק פורמלי שעומד מאחוריהם. למה מינוס כפול מינוס זה פלוס? כאן האינטואיציה כבר נתקעת, אבל יש הוכחה פורמלית לא מסובכת. השלב הבא הוא מעבר למספרים רציונליים. חצאים, שלישים, דברים כאלו. כל מה שניתן לבטא בתור מספר שלם אחד מחולק במספר שלם אחר. קל לחשוב על דוגמאות: חצי עוגה, חצי שקל. כאן המעבר לפעולות פורמליות קצת יותר מסובך - כשמחברים צריך להתעסק עם מכנה משותף ודברים משונים שכאלו. למרות זאת, מה שקיבלנו הוא פשוט: כל מספר רציונלי הוא בסך הכל זוג של מספרים שלמים (מונה ומכנה) עם פעולות מיוחדות של חיבור וכפל שמוגדרות עליהם. פעולות החיבור והכפל הללו מתבססות על זה שאנחנו כבר יודעים איך לבצע חיבור וכפל במספרים שלמים (מה עם חילוק וחיסור? במובן מסויים אפשר לראות אותם כסוגים מיוחדים של חיבור וכפל). למספרים הממשיים עדיין יש המחשות נאות בחיי היום יום: ציירי ישר - את מצפה שאפשר יהיה לתת מספר לכל אחת מה"נקודות" שבתוכו, נכון? במציאות שלנו הישר מורכב מאוסף סופי של נקודות בדידות, ולכן בתיאוריה מספיק לתת מספר טבעי לכל אחת מהן - אבל הישר המתמטי הוא אידאלי, ו"רציף" (מושג שפרנס דיון מאוד ארוך במקום אחר באתר הזה) ולכן אנחנו צריכים להשתמש במספרים הממשיים, שההגדרה הפורמלית שלהם הרבה יותר מסובכת. אבל אי אפשר להימנע מלהיתקל במספרים ממשיים. אם מציירים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 1 (מספר טבעי שאפילו קרונקר היה מאשר), מקבלים שהאלכסון של הריבוע הוא השורש של שתיים - מספר שאינו רציונלי (והאגדות מספרות שחסידיו של פיתגורס הטביעו את חברם שגילה את התגלית הזו - אבל ייתכן שזה לא היה שורש שתיים אלא שורש חמש). גם כאשר מציירים מעגל עם קוטר 1 (וכל מה שצריך בשביל זה הוא מחוגה פשוטה) מקבלים שההיקף שלו הוא פאי - שגם הוא לא רציונלי. לרוע מזלם של המרוכבים, קשה לספק להם אינטואיציות דומות. בגיאומטריה "רגילה" הם לא צצים מכורח הנסיבות - אבל גם מספרים שליליים לא. ההבדל הוא שמספרים שליליים נולדים כתוצאה מהפעלה של פעולת החיסור, שהיא פשוטה מאוד - הפעולה הנגדית לחיבור. לעומת זאת, כדי להגיע למספרים מרוכבים צריך להוציא שורש, וזו פעולה קצת פחות פשוטה. לדעתי האישית (שכנראה אין לה קשר למציאות), עיקר הקושי הוא בהיפוך הסדר. בחיסור אנחנו שואלים "מה נקבל אם נחסר 3 מ-2?" ומשאין לנו תשובה במספרים טבעיים אנחנו "ממציאים" את מינוס 1. מה העניין כאן? שאין לנו צורך במספר הזה כדי לבצע את החישוב. פשוט מחסרים מה-2 הזה את ה-2 הראשונים מתוך ה-3 ומקבלים 0, ואז נשאר לנו עוד 1 לחסר. די טבעי. לעומת זאת, כאשר אנו מוציאים שורש למינוס אחד, אנחנו בעצם עוצרים ושואלים את עצמנו "מה המספר שכאשר נעלה אותו בריבוע נקבל מינוס אחד?" - כלומר, אנחנו צריכים למצוא את הפתרון ו"לבדוק אותו". מכיוון שאנחנו לא מכירים שום דבר שעושה את זה, אנחנו מסיקים ש"אין פתרון". ---- ובכל זאת, למה אין בעיה עם המרוכבים? כי מה שקורה איתם די דומה למה שקורה עם המספרים הרציונליים: אנחנו לוקחים זוגות של מספרים ומגדירים עליהם פעולות מיוחדות של חיבור וכפל (במקרה של הרציונליים החיבור היה הפעולה ה"בעייתית"; במקרה של המרוכבים זה דווקא הכפל). צורת החשיבה הזו גם מאפשרת לנו לדמיין מספרים מרוכבים בתור נקודות במישור. למשל, הקוארדינטה (1,1) היא המספר i+1. ההגדרות הללו הן די פשוטות, ואין בהן שום סתירה מתמטית. הבעיה היחידה היא שקשה לנו למצוא דברים בחיי היום-יום שמתאימים אליהם. לצערי, אני עדיין לא מכיר את הדוגמה שכן מתאימה. אם תרצי, אני יכול לנסות ולהגיד עוד כמה דברים על ההגיון המתמטי שמאחורי המרוכבים, אבל קרוב לודאי שכבר דיברתי יותר מדי. באשר לשאלה הנוספת שלך: אם המשוואה שלך היא x^2+1=0 לא תצליחי למצוא פתרון למשוואה שאינו מספר מרוכב (אלא אם תמציאי משהו חדש שעליו לא חשבתי...). גם במשוואות ממעלה שלישית המדוברות שהזכרתי קודם, *עד כמה שידוע לי* השימוש במרוכבים הוא הכרחי. ייתכן שפשוט לא הבנתי את ההוכחה שראיתי בשעתו. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי המשפט שלך "קשה לנו למצוא דברים בחיי היום-יום שמתאימים אליהם [מספרים מרוכבים]" זה די ברור למה. מערכות פיזיקליות מוגדרות ככה שהתוצאות שלהן יהיו ממשיות, או במלים אחרות, כשהפיזיקאים פיתחו תאוריה פיזיקלית הם חיפשו יצוג מתמטי כזה, שהתוצאה הנמדדת בסופו של דבר תהיה תמיד ממשית, אפילו אם בחישובים היו הרבה מספרים מרוכבים. נקודה נוספת היא הבעיה של פונקציות מרוכבות. קל לרובנו לדמיין גרף של פונקציה ממשית. גם לא נורא קשה לדמיין פונקציה מהמרוכבים לממשיים או אפילו פונקציה סקלרית של המרחב (למשל הטמפרטורה בכל נקודה על כדור הארץ). פיזיקאים בדרך כלל מצליחים גם לדמיין פונקציות וקטוריות של המרחב (למשל כיוון הרוח ועוצמתה בכל נקודה על כדור הארץ). לעומת זה פונקציות מרוכבות יוצרות בעיה לאינטואיציה. קשה לדמיין פונקציה שמעתיקה נקודות במישור למישור אחר. אנחנו לא חיים במרחב דו מימדי והעתקה כזאת לא מתאימה לנסיון ולאינטואיציה של רובנו. (לי עדיין יש סיוטים מהקורס בפונקציות מרוכבות) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"קשה לדמיין פונקציה שמעתיקה נקודות במישור למישור אחר" מה שמזכיר לי חבר לקורס "פונקציות מרוכבות" שלא הכין בשיעורי הבית את השאלות שדרשו גרפים של הפונקציות. התירוץ שלו היה שב"דיונון" בדיוק אזל הנייר המילימטרי ה־4 ממדי. (איך שכחתי את שמו של הבחור החכם הזה?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, לעולם לא תראה (אלא אם כן אתה בטריפ רציני) שתיים הולך מחובק עם מינוס אחת. אבל כולנו יודעים מה זה מינוס אחת ומה זה שתיים, אנחנו המצאנו אותם והם הפכו להיות הבסיס למתמטיקה. כלומר חשבון פשוט הוא והחוקיות שלו, הבסיס שכולנו מבינים בכל רחבי עולם, וגם ילד קטן יבין אותו. מספר מדומה/מורכב, לעומת זאת, סותר לנו את כל החוקיות של החשבון (של מספרים מינוס אחת ושתיים) "שהמצאנו", הוא כופה עצמו בכוח ובכך סותר את מה שקבענו מלכתחילה שהוא טבעי ונכון. זה מה שאני לא מבינה במספרים מרוכבים, נדמה כאילו הם מביאים איתם חוקיות אחרת, שונה מזו שאנחנו מכירים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה חוקיות של החשבון סותר מספר מרוכב? מה זאת אומרת "כופה עצמו בכוח"? איך הוא "סותר את מה שקבענו מלכתחילה"? מה זה "טבעי ונכון"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החוקיות שאם נעלה מספר שלילי בחזקת שתיים תמיד התוצאה תהיה מספר חיובי, כלומר שורש ריבועי של מספר לעולם לא יתן מינוס... טבעי ונכון זה מה שקבענו שהוא -אחת, שתיים, אחת כפול מינוס אחת שווה מינוס אחת, מינוס חצי כפול מינוס חצי שווה רבע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החוקיות "שאם נעלה מספר שלילי בחזקת שתיים תמיד התוצאה תהיה מספר חיובי" נשמרת גם עם המספרים המרוכבים. במילים אחרות, ה"כלומר" שלך פשוט לא נכון, יש לך פשוט טעות לוגית. (האם, למשל, זה שמספר חיובי ועוד מספר חיובי תמיד יהיה גדול מאפס גורר שסכום של שני מספרים לעולם לא יהיה אפס?) לא יודע למה זה "טבעי ונכון", אבל, איפה במספרים המרוכבים יש משהו שלא עומד בתנאים האלה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, אם מעלים מספר שלילי בחזקת שתיים מקבלים מספר חיובי. אבל מספר מרוכב אינו מספר שלילי, אז החוקיות לא נשברת... דוגמה נוספת לשבירת חוקיות: אני יודע שמספר a ועוד מספר b זה תמיד מספר חיובי שגדול מ-a. פתאום מוסיפים לי "מספרים איכסיים" שאם מחברים אותם למספר חיובי a, מקבלים מספר ש*קטן* מ-a. איכס! כלומר, "שבירת אינטואיציה" יש בכל הרחבה של מערכת המספרים שלנו. למעשה, זוהי ה*מוטיבציה* להרחבת מערכת המספרים. אגב, לא ברור לי למה לא קישרתי לכאן קודם, אם כי זה אולי טכני מדי: (ותודה לעוזי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מספר *חיובי* a ועוד מספר *חיובי* b, כמובן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כפי שסמיילי שאל, מה לא חוקי במספרים מרוכבים? פעולות החיבור והכפל איתם הן קוהרנטיות עם שאר המתמטיקה. בפרט, אפשר לחשוב על כל מספר ממשי בתור מספר מרוכב (אם מספר מרוכב "כללי" הוא a+bi, אז מספר ממשי הוא מספר מרוכב עם b=0) ובמקרה הזה כללי החשבון של מספרים מרוכבים *מכלילים* את כללי החשבון של המספרים הממשיים. הטענה "כולנו יודעים מה זה מינוס אחת ומה זה שתיים, אנחנו המצאנו אותם..." היא הסיבה שבגללה הבאתי את הציטוט של קרונקר למעלה. לנו, אנשים שגדלו בסוף המאה ה-20 ונחשפו למתמטיקה מסויימת, המושג של "מספר שלילי" נראה טבעי וברור. עד לפני מאה, מאתיים שנים זה כלל לא היה כך, והיו אנשים שדחו את המספרים השליליים בשאט נפש (גם מתמטיקאים פוריים ונבונים). שלא לדבר על הכבשה השחורה שטרם דיברתי עליה - האפס, שעכשיו נראה לנו ברור וטבעי, אבל לאנשים רבים כלל לא היה כזה. דוגמה לכך אפשר לראות בזה שאין "שנת אפס" (בין 1 לספירה ו-1 לפני הספירה), למרות שאני מניח שהאינטואיציה של כולנו אומרת לנו שצריכה להיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''שנת אפס'' יש ויש. אולי בגילך אינך מכיר כאלה עדיין, אבל אנשים יותר מבוגרים נאלצים להתמודד עם הדבר הזה בלא מעט לילות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין שום סיבה שתהיה ''שנת אפס'' לספירה כי שנה היא קטע בזמן ולא נקודה. נקודת אפס לספירה קיימת - הרגע שבו מסתיימת השנה המינוס אחת ומתחילה השנה הראשונה. ואם האינטואיציה של כולנו אומרת לנו שצריכה להיות שנת אפס, אז - כפי שאמר פעם אחד המרצים שלי באוניברסיטה (ליתר דיוק, הוא סיפר לי שאחד המרצים שלו אמר את זה פעם) - לפעמים צריך לתקן את האינטואיציה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא שוכנעתי. בשבילי "שנה" על ציר המספרים היא הקטע שמתחיל ב-n ונגמר ב-n+1. אני מקבל את הרושם שאצלך זה מתהפך במעבר אל "לפני הספירה", כלומר שאם n שלילי, אז שנה היא הקטע שמתחיל ב-n ומסתיים ב-n-1, ואז 0 הוא באמת נקודה בלבד. הבעיה היא שגם סדר החודשים והימים צריך להתהפך (כלומר, לפני ה-1 בינואר 1 בא ה-1 בינואר מינוס 1). דרך אחרת לחשוב על זה: נניח שמגלים שישו נולד שנה אחת מוקדם יותר (אם איני טועה הוא נולד 4 שנים מוקדם יותר) ו"מזיזים" את כל השנים צעד אחד קדימה בגלל זה - השנה 1 הופכת לשנה 2, השנה 2 הופכת לשנה 3 וכדומה. במקרה הזה השנה מינוס 1 צריכה להפוך לשנה 0 (ואז לא תהיה לנו את השנה 1) אלא אם נחליט שאותה נקדם דווקא פעמיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא כנראה בטרמינולוגיה. אם אתה מתיחס ל1 בינואר שאחרי הולדתו (לכאורה) של ישו בתור "תחילת הספירה" אז השנה שהחלה באותו 1 בינואר היא בהחלט השנה הראשונה לספירה. ה1 בינואר שקדם לו היה שנה לפני הספירה. איך אתה מחליט למספר אותן, זו כבר שאלה אחרת. בכל מקרה, ה1 בינואר הבא הוא תחילתה של השנה ה2007 לתחילת הספירה וזה נכון. באותו אופן, חורבן בית ראשון קרה 586 שנה לפני הספירה, כך שצורת הספירה הזאת (ללא שנת 0) היא אולי לא אינטואיטיבית, אבל כשרוצים לדבר על תזמון של ארועים בצורה טבעית, היא הכי נוחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי זה ככה: כשחושבים על השנים כבאות "לפני תחילת הספירה" ו"אחרי תחילת הספירה" אז אי השימוש באפס הוא מתבקש. לעומת זאת, כשחושבים על השנים פשוט בתור מספרים שהולכים בצורה סדרתית, נדמה לי שיותר טבעי להכניס גם את האפס לעניין, כי בימינו כולם יודעים שבין אחד ומינוס אחד בא אפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוד לא הביאו קישור לויקיפדיה? http://en.wikipedia.org/wiki/Year_zero
A year zero does not exist in the Christian Era and its Gregorian calendar or its anterior Julian calendar. A year zero does exist in ISO 8601:2004 and in the astronomical year numbering with a defined year zero equal to 1 BC, as well as in some Buddhist and Hindu lunar calendars. Astronomers include a year 0 immediately before year 1. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |