בתשובה לדורון שדמי, 27/10/05 15:08
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"כמו למשל אקסיומת ההקפיות אומרת שהמודל מקיים איזה שהוא קשר בין שוויון לשיכות. שני הדברים - שוויון ושייכות הם יחסים כלשהם במודל, כששוויון הוא יחס הזהות, ושייכות הוא יחס אחר." מה המשממעות של "איזה שהוא קשר" ? מה המשמעות של "ושייכות הוא יחס אחר" ? מה ניתן להבין מתוך הנוסח המעורפל: "אקסיומת ההקפיות אומרת שהמודל מקיים איזה שהוא קשר בין שוויון לשיכות." ? מזה "מקיים איזה שהוא קשר" ? מזה "מודל" ? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, בעברית כותבים "מה זה", ולא "מזה". 1. מה המשממעות של "איזה שהוא קשר" ? המשמעות היא הקשר הכתוב באקסיומה הזו. (כלומר יש שוויון בין קבוצות אםם כל איבר ששייך לאחת שייך גם לאחרת). זה די דומה לחוק הדיסטריביוטיבי במספרים השלמים שקושר בין הכפל לחיבור. 2. מה המשמעות של "ושייכות הוא יחס אחר" ? שייכות היא איזה שהוא יחס דו מקומי. אם מדובר על מודל כלשהו של ZFC, אזי הוא מקיים את כל האקסיומת שכתובות שם. 3. מה ניתן להבין מתוך הנוסח המעורפל: "אקסיומת ההקפיות אומרת שהמודל מקיים איזה שהוא קשר בין שוויון לשיכות." חזור ל1. 4. מזה "מקיים איזה שהוא קשר" ? כנ"ל. 5. מזה "מודל" ? מודל הוא קבוצה בה האקסיומות של תורה כלשהי מתקיימות. למשל, כל קבוצה היא מודל של התורה הריקה (שלא אומרת דבר). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקסיומת ההיקפיות: 1) יש זהות בין קבוצות אםם כל איבר ששייך לאחת שייך גם לאחרת. 2) יש שוני בין קבוצות A ו-B, אם קיימת קבוצה C ב-A אך לא ב-B או ב-B אך לא ב-A. מ-(1) ו-(2) אנו למדים כי זהות בלבד אינה מספיקה כדי להבחין בייחודיות קבוצות עפ"י הקבוצות המוכלות בהן, ולכן אקסיומת ההיקפיות אינה יכולה לומר משהו הקשור רק ליחס שבין זהות לשייכות. (1) ו- (2) מתקיימות אםם ניתן להבחין בין זהות לשונות, לדוגמא: אם אנו מבחינים *רק* בשונות הריי ש-{a,a,a,a} מובחן כ-{}. אם אנו מבחינים *רק* בזהות הריי ש-{a,b} מובחן כ-{}. לכן מובחנות היא שילוב של זהות ושונות לכלל מערכת אחת (זיהוי-שונות) המאפשרת הבחנה בייחודיות קבוצה עפ"י איבריה (שלפי ZF הן קבוצות). אקסיומת ההיקפיות "לא תמיד עובדת" ב-(2) לדוגמא: אם אנו בוחנים את יכולתה של אקסיומת ההיקפיות לקבוע את היחודיות בין {1} ל- {2}, אז היות ו-C אינו משתנה חופשי הריי שהוא חייב להיות שונה מ |{{}}|(=1) או שונה מ- |{{{}},{}}|(=2), אך היות וב-{1} ו-{2} אין יותר מאיבר אחד בכל קבוצה, הריי ש-C אינו יכול להתקיים כלל (אפילו לא כקבוצה ריקה), ולכן אקסיומת ההיקפיות תקיפה רק אם A או B הן קבוצות זהות, או שיש הפרש של לפחות איבר אחד בין A ל-B המקיים את C. איזה טעם יש לשמר אקסיומה זו, עם בכל מקרה היא מבוססת על יכולת זיהוי-השונות הטמונה בנו, ואנו משתמשים בכל מקרה ביכולתנו כדי "לסתום חורים" שבהם אקסיומת-ההיקפיות לא-עובדת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 ו2 הם אותו דבר. דורון, אפילו כשאתה כותב {a,b} אתה משתמש באקסיומת ההקפיות. בלעדיה, אולי יש עוד קבוצה שאיבריה הם רק a ו b ? ואם יש כזו למה אתה מתכוון כשאתה כותב {a,b}? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אח של סמיילי: "אפילו כשאתה כותב {a,b} אתה משתמש באקסיומת ההקפיות" אח של סמיילי: "בעולם יש רק 2 איברים ({{1},{2}}). אף אחד מהם לא שייך ל {1}, ואף אחד מהם לא שייך ל {2}. לכן אם אקסיומת ההקפיות היתה נכונה, 2 הקבוצות הנ"ל היו שוות. אבל הן לא." אח של סמיילי הסבר נא את הסתירה הקיימת בדבריך כי אתה טוען דבר והיפוכו, במקרה דנן: {a,b} הינה צורה כללית המייצגת בין השאר גם את {{1},{2}}, אז הסבר נא איך {{1},{2}} אינה מקיימת את אקסיומת ההיקפיות (כדבריך) *וגם* מבוססת (כדבריך) על *הגדרה* המשתמשת באקסיומת ההקפיות ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבר שאלת אותי את זה ועניתי לך. לא זוכר איפה, אז אני עונה שוב: מותר להשתמש באקסיומה כדי למצוא מודל שבו היא אינה מתקיימת. אין כאן כל סתירה. במקרה שלנו מגדירים את המודל (= העולם) בעזרת אקסיומת ההקפיות, ובעולם זה אקסיומה זו אינה מתקיימת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הפעם הבנתי אותך, תודה. אנא עיין בתגובה 341846 |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |