בתשובה לדורון שדמי, 08/10/05 22:49
 |
|
 |
||
|
||||
 |
הרשה לי להשיא לך עצה. להבא, כשאתה רוצה לעניין מתמטיקאי בעקרונות השיטה שלך, אני ממליץ *להתחיל* מן ההצהרה ש"לאוסף אינסופי אין העתקת זהות". הטענה הזו מתייחדת משאר טענותיך בכך שאתה והמתמטיקאי מסכימים זה עם זה בנוגע לפירושה של כל מלה בנפרד (למעט המלה "אין"). בנוסף, היא מעבירה בחטף הררים של אינפורמציה נסתרת. המתמטיקאי יבין מיד (אחרי שיבקש ממך לחזור על הטענה, למקרה ששמיעתו אינה כתמול שלשום) שאתה לא מקבל את האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, ובפרט את אלו שמאפשרות לבנות קבוצה מרעותה; ושאתה קונסטרוקטיביסט קיצוני שאינו מקבל את קיומן של קבוצות אינסופיות (למעט אולי מקרים פרטיים). יתכן שבשלב הבא הוא יתהה לדעת האם אתה מתיר לקבוצת המספרים הטבעיים להתקיים (תגובה 335742, "the collection of the Natural numbers"), או שאתה שייך לפלג שכופר גם בקיומה של זו (תגובה 335784, "אוסף *כל* המספרים הטבעיים לא קיים, פשוטו כמשמעו"). בין כך ובין כך תוכלו שניכם לחסוך זמן יקר. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שהמתמטיקאים שד''ש שלח אליהם את יצירתו חסכו את הזמן הזה ממילא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שהאדם היחיד באתר הזה עם כלים מתאימים לדיון הנוכחי זו אשתך. אני מציע להזעיקה בדחיפות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"שאתה לא מקבל את האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, ובפרט את אלו שמאפשרות לבנות קבוצה מרעותה; ושאתה קונסטרוקטיביסט קיצוני שאינו מקבל את קיומן של קבוצות אינסופיות (למעט אולי מקרים פרטיים)." עוזי אינני קונסטרוקטיביסט קיצוני אלא מבחין בפשטות רבה (הניתמת להבנה ע"י כל החפץ בכך) כי אוסף אינסופי אינו מהווה מערכת איברים שלמה כאשר הוא מושווה לרצף מוחלט, כי העוקב של אוסף אינסופי חורג *תמידית* (כמו צל בין-ערביים)מתחום האוסף. חריגה תמידית זו מקיימת אוסף אינסופי, ואוסף זה הוא אינסופי מכיוון שהערך המדוייק של הקרדינל שלו אינו קיים. קנטור וחבריו לא הבינו כי אי-קיומה של העתקת זהות הינה בדיוק התכונה המפרידה קטגורית בין אוסף אינסופי לאוסף סופי, ומתוך אי-הבנה זו הם כפו תכונות של אוסף סופי על אוסף אינסופי. אני מציע לך לעיין בזהירות רבה בתגובה 332759 תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"העוקב של אוסף אינסופי חורג תמידית מתחום האוסף." לא, העוקב חורג מכל קבוצה חלקית סופית של האוסף. או ליתר דיוק: בכל קבוצה חלקית סופית של האוסף, קיים איבר שהעוקב שלו אינו איבר בקבוצה. זו ה"הפרדה הקטגורית" (לפחות הגדרה אפשרית אחת) בין קבוצות סופיות לקבוצות אינסופיות: בקבוצה סופית לא ניתן להגדיר "עוקב" לכל איבר, ובקבוצה אינסופית אפשר. חבל שאתה לוקח תכונות שמתקיימות עבור קבוצות סופיות, ומניח אותן אוטומטית עבור קבוצות אינסופיות. ככה אתה מגיע לתוצאות שגויות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנראה פספסתי את החלק שבו אתם מגדירים מהו "עוקב". האם ההגדרה היא זו: לכל איבר קיים איבר אחר שנקרא ה"עוקב" שלו כך שקיים איבר אחד שאינו עוקב של אף איבר אחר, ואיבר אינו יכול להיות עוקב של שני איברים גם יחד? כי אם היא לא, קל מאוד לתת קבוצות סופיות עם עוקבים לכולם (קח את Z_3). בכלל, מה זה "עוקב של אוסף"? הקבוצה של כל העוקבים של כל אברי האוסף? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההגדרה שלי לעוקב, היא פונקציה כלשהי (שנסמן בטאג) שעבור כל x מקיימת: x'≠x עבור יחס מלא כלשהו.x'≥x עבור אף קבוצה סופית אין פונקצית עוקב. עבור כל קבוצה אינסופית קיימת פונקצית עוקב (ע"פ אקסיומת הבחירה). הביטוי "עוקב של אוסף" הוא ניסוח מתמטי לא מדויק של דורון. באופן מפתיע ההגדרה הסטנדרטית שלך דווקא מתאימה למה שהוא רצה לומר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, רגע. מה זה "יחס מלא"? הכוונה שלך ליחס סדר לינארי (כלומר, כזה שבו כל שני איברים ניתנים להשוואה?) זה נראה לי טיפה בעייתי, כי אקסיומת הבחירה אמנם תיתן לך פונקצית עוקב אבל על ידי זה שהיא תגדיר יחס סדר (טוב) משל עצמה. קח למשל את הקבוצה N+w (הטבעיים עם איבר אחרון) - מוגדר עליה יחס סדר מלא, אבל אין עליה פונקצית עוקב (מה העוקב של w?) ובשביל שתהיה לך פונקצית עוקב תצטרך לשנות את יחס הסדר. קטנוני למדי (לא קשה לתקן את ההגדרה כך שתתקיים עבור סדר טוב, ואולי סתם התבלבלתי) אבל בדיון הזה אי אפשר להבין כלום אם ההגדרות לא ברורות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התכוונתי "סדר מלא". עוקב לא צריך להיות מוגדר עבור *כל* סדר מלא. הטענה היא שעבור כל קבוצה אינסופית קיים סדר מלא, שעבורו קיים עוקב. למשל עבור N+w קיים סדר כזה (כל מספר גדול מ-w, והיחס בין כל שני מספרים הוא יחס הסדר הרגיל). וכן, עבור סדר טוב תמיד קיימת פונקצית עוקב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, ברור שתמיד קיים סדר מלא שעבורו יש פונקצית עוקב כי קיים סדר טוב, והוא בפרט מלא. אם מתעלמים מהסדר הקיים על הקבוצה אז N+w היא פשוט N (והדבר היחיד שמבדיל בין קבוצות הוא הקרדינליות שלהן). הבעיה היא שדורון מדבר על *ה*עוקב, וכאן ההגדרה דווקא משאירה מקום תמרון להרבה עוקבים שונים. ניחא, עכשיו צריך לברר מה הכוונה ב"צל בין-ערביים". אבל עזוב, כנראה אנחנו אהבלים כמו קנטור וחבריו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אמור לי מי חבריך, ואומר לך מי אתה.'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה "עפ"י אקסיומת הבחירה"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יכול להיות שאפשר להוכיח את הטענה בלעדיה. צריך לחשוב על זה. בעצם עכשיו אני כבר לא בטוח שאפשר להוכיח את זה גם עם אקסיומת הבחירה: צריך קודם להוכיח שעבור כל קבוצה קיים סדר מלא כך שלכל איבר יש איבר גדול ממנו. אם נניח שהוכחנו את הטענה הזאת, אז זה פשוט: עבור כל איבר קיימת קבוצה לא ריקה של כל האיברים הגדולים-ממש ממנו לפי הסדר המלא שלנו. בוחרים איבר כלשהו מהקבוצה (למשל: מסדרים את הקבוצה הזאת ע"פ סדר טוב, ולוקחים את האיבר המינימלי). הפעולה הזאת היא פעולת העוקב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל לא כל סדר טוב הוא סדר מלא? וזה יש לך ממילא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא סתם סדר מלא. "סדר מלא כך שלכל איבר יש איבר גדול ממנו". וגדי נתן הוכחה יפה לטענה בתגובה 337425. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, עדיין כל מה שנותנת לך כאן אקסיומת הבחירה זה את משפט הסדר הטוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפט הסדר הטוב שקול לאקסיומת הבחירה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון מאוד. לכן לא ברור לי איזה שימוש נוסף יש כאן לאקסיומה הזאת. (ואגב, האם לא נראה לך שזו בחירה חופשית?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה צריך להיות לה שימוש נוסף? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל סדר טוב הוא סדר מלא על פי הגדרה. אקסיומת הבחירה מבטיחה שיש לך סדר טוב לכל קבוצה. אם הקבוצה אינסופית אין בעיה לקבל את הסדר המלא שאתה מחפש: פשוט תוציא מהקבוצה שלך תת קבוצה בת מניה, תסדר בסדר טוב את האיברים שנשארו, ותוסיף "בסוף" הקבוצה את תת הקבוצה בת המניה שלך כשהיא מסודרת בסדר הטוב הבסיסי (כלומר, איזומורפית ל-N). ככה אתה מבטיח שלא יהיה לך איבר אחרון בקבוצה, ולכן לכל איבר יש עוקב. בלי אקסיומת הבחירה אני לא חושב שאתה יכול להסתדר עם קבוצות שלא ברור איך למצוא להן "ידנית" סדר טוב, כמו R (שאם אני לא טועה, *הוכיחו* שלא ניתן להציג בצורה מפורשת את הסדר הטוב שלה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, צודק. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |