 |
|
 |
||
|
||||
 |
הבנתי שאי-כריעות של משפט זו תכונה נבזית מאוד. השאלה שלי: האם יש משפטים שהם, נאמר, אי-כריעים מסדר שני? נגיד, יכולה להיות הוכחה שאם "הנחת זוגות הראשוניים" היא אי-כריעה, אז אין הוכחה לאי-הכריעות שלה? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שמשפט כזה יכרע תחת נטל ההוכחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהחלט, השאלה היא איפה, כלומר באילו מערכות? יש אצלך כבר כמה רמות של "הוכחה", וחשוב להפריד ביניהן. הפסוק "השערת הזוגות-הראשוניים אינה כריעה ב-PA" (חייבים לציין איזושהי מערכת אקסיומות; נניח שנתחיל מ-PA) שקול לפסוק "אין ב-PA הוכחה ל-TP ואין ב-PA הוכחה ל-not-TP". זהו פסוק אריתמטי רגיל. הוא לא יכול להיות יכיח ב-PA: היא לא מסוגלת (אם היא עקבית) להוכיח שום דבר מהצורה "אין ב-PA הוכחה ל...". אבל לא בלתי-אפשרי שהוא יהיה יכיח במערכת T, "חזקה" יותר מ-PA, מערכת המוכיחה את עקביות PA. אם זה המצב, T מוכיחה שהשערת הזוגות הראשוניים אינה כריעה ב-PA. זוהי הוכחת-אי-כריעות מסדר ראשון. אתה שואל, האם ייתכן שגם הפסוק הנ"ל עצמו יהיה לא כריע? כן: יכול להיות שאפשר להוכיח ב-T ש-PA לא מכריעה את הפסוק "PA לא מכריעה את TP". למעשה, חצי מההוכחה של זה כבר בידינו: T מוכיחה ש-PA לא מוכיחה את הפסוק הנ"ל. אבל צריך גם להראות ש-PA לא מוכיחה את *שלילתו*; אני לא רואה מניעה עקרונית לעשות זאת, אבל אני צריך לחשוב על הנקודה הזו: אולי אני טועה, ואי-כריעות מסדר ראשון גוררת אי-כריעות מסדר שני באותה מערכת. אפשר להרחיק לכת ולשאול, האם ייתכן שהפסוק אינו כריע אפילו ב-T, אותה מערכת חזקה שבה מוכיחים אי-כריעות ב-PA? יכול מאוד להיות, אבל את זה צריך כבר להוכיח במערכת חזקה-עוד-יותר S. כלומר, הוכחת-אי-כריעות-מסדר שני כזו היא כבר יצור קצת מסורבל: אנו מוכיחים ב-S את המשפט "המשפט "TP אינו כריע ב-PA" אינו כריע ב-T". יש פה כבר שלוש מערכות פורמליות, והטענה בעליל רחוקה מלהיות "אבסולוטית": היא רק אומרת משהו על יכולתן של מערכות מסויימות להראות דברים מסויימים. אני לא בטוח שזו טענה מעניינת, אבל היא לא בלתי-אפשרית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוה, אז לא הבנתי משהו. איך יכול להיות שPA "לא מסוגלת (אם היא עקבית) להוכיח שום דבר מהצורה 'אין ב-PA הוכחה ל..."'? היא הרי בוודאי מסוגלת להוכיח "אין ב-PA הוכחה ל0=1", לא? אולי התכוונת שPA לא מסוגלת (אם היא עקבית) להוכיח שום דבר מהצורה "אין ב-PA הוכחה לX וגם לא לשלילתו"? אם לזה התכוונת, אם אני רואה את משפט גדל באור חדש: תורה עקבית שמוכיחה את PA וגו' לא מסוגלת להוכיח שמשפט בה לא כריע. עד גדל חשבו שזה בגלל שהתורות שלמות, ומגדל והלאה הבינו שזה דווקא בגלל שהתורות לא-שלמות. הבנתי נכון? בכל מקרה, לא התכוונתי להוכחה של "TP לא כריעה, וגם הכריעות שלה לא כריעה". התכוונתי למשהו כמו (תודה על התיקונים בנוגע לתורה בה מוכיחים) "אם TP לא כריעה בPA, אז המשפט 'TP לא כריעה בPA' לא כריע בT", בT. זאת אומרת, שאי-כריעות מסדר שני לא גוררת אי-כריעות מסדר ראשון. הטענה שמעניינת אותי היא כן טענה אבסולוטית: אנחנו הרי לא באמת יודעים (כרגע, לפחות) שTP לא כריעה בPA, אבל מדגדג לי שיכול להיות שגם לעולם לא נדע. זה אפשרי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"TP לא כריעה, וגם הכריעות שלה לא כריעה" - זו סתירה כמובן. (ולמה לא?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, היא לא מסוגלת להוכיח "אין ב-PA הוכחה ל0=1" - אילו עשתה זאת, היתה מראה שהיא עקבית (אתה רואה למה?), וכידוע, היא לא. את הפסקה השנייה לא לגמרי הבנתי, אבל אולי לאור התיקון לפסקה הראשונה זה פחות חשוב... "אנחנו הרי לא באמת יודעים (כרגע, לפחות) שTP לא כריעה בPA, אבל מדגדג לי שיכול להיות שגם לעולם לא נדע. זה אפשרי?" - בטח שזה אפשרי. מה שלא תהיה המערכת בה אנו עובדים - PA, ZFC, או משהו אחר - יש במערכת הזו משפטים אריתמטיים שאי-אפשר להוכיח. משפט כזה יכול להיות באותה מידה TP עצמה או "TP לא כריעה ב-PA" - אין הבדל מהותי בין שני המשפטים הללו. למעשה, הייתי אומר ש(למרבה הצער) זו אפילו אפשרות סבירה יחסית - כלומר, אם כבר יש משפט ספציפי שהוא באמת לא כריע, יותר סביר בעיני ש*לא* נוכל להראות זאת מאשר ש*כן* נוכל להראות זאת. הוכחות אי-כריעות הן דבר די מסובך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וואו. מחברת העבודה, "מנהלת פורום פילוסופיה ב-BSH הפורטל הישראלי לצרכנות", ביקשה להתבונן בטקסט מתמטי מנקודת ההשקפה של ביקורת התרבות. היא בחרה באקסיומות פאנו ותרגמה, לדבריה, את הנוסח של האקסיומות אצל ראסל, ואח"כ השוותה את התרגום עם מקורות אחרים; לבסוף הגיעה ל"טקסט כלשהו בעברית, הנקי מהדידקטיקה הנחוצה לאוניברסיטה הפתוחה". הנה, למשל, אקסיומת האינדוקציה (+n הוא העוקב של n): ה. אינדוקציה: אם p תכונה של מספרים, ול-n יש את p אז גם ל +n יש את p. כמה קשה לרשום נכונה - אולי אפילו להבין - אקסיומה כה פשוטה? אני מניח שזו סתם צרות-מוחין מצדי להתעקש שאם רוצים לבקר את הטקסט של פאנו, יש לעיין בטקסט של פאנו. לא מדובר סתם בשגיאת-כתיב מתוחכמת - המחברת מסיקה מסקנות מהעיוות הזה: "(האקסיומה) מתסכלת את מבקר התרבות: כל תכונה שיש ל"ראשון", ויש גם ל"שני", יש לכל אחד מהמספרים". זה כלום לעומת כמה שהשטויות של מבקר התרבות מתסכלות את המתמטיקאי. בהמשך מוצאים את הכמות הצפויה-עד-יאוש של היגדים סתומים, שגויים וביזאריים. הנה פסקה טיפוסית, מתוך ה"הדרן" (המאמר הקצר מסתיים בלא פחות מאשר סיכום-ביניים, הדרן וסיכום, צבועים בצבעים עליזים): "העוקב, בהיותו מכיל יותר ממה שהיה אמור להכיל, יכול להיראות כשגיאת כתיב: אם מתייחסים אליו כ-n עדיין אינו +. ואם הוא + אז הוא כבר לא n. העוקב הוא "שגיאת כתיב" במובן שאין הוא הדבר שהיינו מצפים למצוא בסוג הזה של כתיבה. פיאנו ממלכד את עצמו, מפקיר את עצמו לגחמותיה של שגיאת הכתיב בכך שהוא נשאר עם ריבוי המשמעויות שהיא מביאה עליו". אני לא יודע מה לומר. אם העבודה הזו - המבקשת לנתח טקסט מתמטי בלי להבין אותו ואפילו בלי לצטט אותו נכונה, וזרויה אמירות חסרות שחר וחסרות פשר - התקבלה, זהו ריקבון אקדמי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת - אני חייבת להביע את הערצתי על כך שהצלחת בכלל לקרוא את הטקסט המדהים הזה. הבאתי אותו לאחר רפרוף קל, בהנחה שהוא יכול לשעשע את הקהל. ומעניין מה אמר על זה עדי אופיר. בכל אופן, עדיין אינני מצליחה להחליט אם היא פשוט מעופפת בספרות עמומות משהו (אם להתבטא בעדינות) - או שזו פשוט הלצה בנוסח האוסטרלים האלה עם הטקסט הפוסט מודרני המעורבל שלהם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מנסיוני הדל, זו לא נראית כמו הלצה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חבל. במקרה הזה, אם זה לא מצחיק, זה באמת עצוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאתה סתם מקנא. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה מתקבל על הדעת. והמסקנה היא שאתה משליך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינדוקציה, שמינדוקציה, העיקר שאת דרידה היא אוהבת. על ההבדל בין המאמר של הפילוסופית ההיא לבין משהו עם משמעות נאמר: ויו לה פטי דיפר@נס! (ואני מתערב איתך שהיא קיבלה ציון טוב מאד על העבודה ההיא) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא חסרה לכם שם קצת ביקורת על הסגנון? על "המבט" של פיאנו? על הלא-מודע שלו? לדעתי, לפחות, הפרנויה שלו זועקת לשמים עם כל הדגש הזה על עוקבים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(גם בי מנקר החשש הזה, אבל אין לי באמת מושג. מישהו מכיר את עדי אופיר?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמת, זה חשש סביר: לו הציון היה גרוע, לא כל כך הגיוני שהיא הייתה רצה לפרסם את העבודה ברשת. ואינני מכירה אישית את עדי אופיר, אבל משתיים-שלוש הרצאות ששמעתי ממנו, זה ייתכן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה לא מתוסכל מדי, יש עוד אחד: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לך שמץ על מה היא מדברת? למשל, מאיפה היא לקחה את איסור המדידה? איזה אוקסימורון היא הצליחה לחלץ משם? אתמהה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגאומטריה אקסיומטית *מותר* למדוד, אלא שאסור להסתמך על תוצאות המדידה (מתוך הבנה מוקדמת של מה שיגלו רק הרקונסטרוקציוניסטים אלפיים שנה מאוחר יותר, שמדידה עשויה - עקרונית - שלא לדייק). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "הבנה מוקדמת"? אין מוקדם ומאוחר בדקונסטרוקציה! (ואתה הצלחת לראות את האיסור הזה בטקסט שהיא הביאה?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 234872 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(גם בהמשך לתגובה 393691 מאת יוני) האמנם רק משהו על יכולתן של מערכות מסויימות להראות דברים מסויימים? אולי ניתן לבנות מערכות הולכות וחזקות T, S, וכן הלאה (בהן מתאפשרת [/או מובטחת], אם גם בסרבול רב, הוכחת אי כריעות מסדר ראשון, שני וכו' בהנתן PA ו-TP שאינו כריע בה)? האם יש T, S, וכו' כאלה "מינימליות" או "מתבקשות"/"טבעיות" במובן כלשהו? או לפחות בניית T, S, וכו' כאלה יכולה להעשות אופן "אוטומטי" גם אם "לא טבעי"? ולחליפין אולי אפשר לומר משהו על *כל* סדרה T, S, ... כזו? לדעתי גם תשובה שלילית לכל הנ"ל, אם ניתן להפיק כזו, תהיה מעניינת. משהו כמו: אנו *בהכרח* מוגבלים ל-"לדבר על יכולתן של מערכות מסויימות להראות דברים מסויימים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר בוודאי לבנות מערכות הולכות וחזקות כאלה, פשוט ע"י הוספה "בכוח" של האקסיומות המתאימות (למשל, הוסף ל-PA כאקסיומה את הטענה "TP אינה תלויה ב-PA"). יהיה קשה מאוד לדעת אם המערכות הללו עקביות. איני טוען ש*בהכרח* לא ניתן להגיע למשהו עמוק יותר מ"יכולתן של מערכות מסויימות להראות דברים מסויימים", התייחסתי רק לדוגמה שנוצרה בעקבות השאלה של עדי. אם הנושא מעניין אותך, כדאי לך מאוד לנסות ולקרוא את Inexhaustability של Torkel Franzen. הוא מדבר די בדיוק על הנושאים האלה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |