בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 15/07/05 21:47
 |
|
 |
||
|
||||
 |
(אתה לא צריך להתנצל, זה לא *כל כך* אוף-טופיק). דרך אחת לפרש את השאלות שלך היא להתחיל ממערכת אקסיומות לגיאומטריה מישורית הכוללת את אקסיומת המקבילים, להוציא את האקסיומה הזו, ולראות מה קורה. המערכת ממנה כדאי להתחיל איננה זו המקורית של אוקלידס, כי יש בה באגים; הילברט, נדמה לי, היה הראשון לבנות מערכת נקיה לגמרי. 1) במערכות מהסוג שתיארתי יש אקסיומות המביעות באיזשהו אופן את העובדה שהמישור הוא עשיר בסימטריות: כל הנקודות "נראות אותו דבר". יש לזה, כמובן, ניסוח פורמלי מדוייק. לכן, זה דווקא כן לגיטימי לדון בשאלה כמה מקבילים לישר נתון עוברים דרך נקודה נתונה באופן גנרי, בלי להתייחס לישר ספציפי ונקודה ספציפית. אם מניחים שיש יותר מישר אחד כזה, אפשר, אם אינני טועה, אכן להוכיח שיש אינסוף. זה תרגיל נחמד בגיאומטריה, שלא ניסיתי לפתור. למשל, נסה להעביר חוצי-זווית בין הישרים שלך; נראה לי שאחד מהם גם הוא לא יחתוך את הישר המקורי - שוב, צריך לבדוק שאכן זה עובד. הסיבה שאני סבור כך היא שבאמת אין, ככל הידוע לי, גיאומטריה העונה על כל שאר האקסיומות אבל יש בה רק 17 ישרים מקבילים דרך נקודה מחוץ לישר נתון. 2) ישרים שאין נקודה החלה בשניהם. "חילה" היא מושג-היסוד באקסיומות גיאומטריות: יש שני סוגי אובייקטים, ישרים ונקודות, ויש יחס חילה ביניהם - לכל נקודה, וכל ישר, או שהם חלים זה בזו, או שלא. 3) אני חושב שלא ניסחת טוב את השאלה; אלו נראים כמו ניסוחים פופולריים של משהו ה*סותר* את אקסיומת המקבילים, או את מושג ה"מקבילות" באופן כללי. תוכל לשאול שוב? 4) אם אינני טועה, ואני כמעט בטוח שאני לא טועה, כל שלוש הגיאומטריות המישוריות (האוקלידית, הספרית וההיפרבולית) הן שלמות. כלומר, ברגע שאתה קובע עם איזו מהגרסאות של אקסיומת המקבילים אתה עובד, יש מודל יחיד העונה על האקסיומות שלך. סתם, שתדע: הגיאומטריה האוקלידית ה"רגילה" היא היחידה מבין השלוש שבה אי-אפשר לחשב שטח משולש מהזוויות שלו. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. בכל הנוגע לשאלה 3, בשבילך ובשביל האייל (מתמטיקה!) האלמוני אני אעתיק לכאן את הציטוט שהיה הטריגר לשאלה שלי: "תורות חדשות יותר בתחום המדע שרקמו גידים ראשונים בתחילת המאה ה-20, מתעסקות פחות במשפטים אפריוריים וסינטתיים, ולעיתים אף מתקנים אותם. לדוגמא, הנחת בסיס גיאומטרית בעולם הסובב אותנו היא כי שני קווים מקבילים לא יפגשו (מה שמגדיר מרחב אוקלידי), אך מה אם והם לא? ובכן ישנה מתמטיקה שלמה סביב הנושא הזה שפותחה ע"י גאוס, גרין, סטוקס ועוד רבים אחרים (בינהם גם איינשטיין), כשלימים התגלה כי מרחב בו אנו חיים הוא לא כל כך אוקלידי, כלומר ששני ישרים מקבילים כאן (בסביבה ה"קרובה" לנו) יתכן ויתחברו בנקודה אחרת במרחב (תלוי איך המרחב נראה)" אם כבר הבאתי את הציטוט, מה הקשר של גרין וסטוקס לעניין? (פרט לדמיון האסוציאטיבי שנובע מזה שלומדים באינפי 3 את משפטי גאוס וסטוקס, ושהם מכלילים את גרין). עכשיו ממה שהבנתי מהציטוט הזה ומעוד דומים לו שנתקלתי בהם, אקסיומת המקבילים נתפסת כטענה כי שני ישרים מקבילים לא נפגשים לעולם - טענה שנראתה לי בתור ה*הגדרה* של שני ישרים מקבילים, ולכן שאלה 2 שלי. מכאן שבאף גאומטריה, גם לא אוקלידית, לא יהיה מצב שבו שני ישרים מקבילים נפגשים. עושה רושם שיש אנשים שתופסים את הגאומטריות האוקלידיות ככאלו שבהן ישרים מקבילים נפגשים. בכל הנוגע ל"שני ישרים מקבילים כאן ייפגשו בנקודה אחרת במרחב" יש דוגמאות מתמטיות נחמדות לזה אם הבנתי אותן נכון, דוגמת הספירה של רימן (הקומפקטיפיקציה בעזרת נקודה אחת של המישור המרוכב), אבל לא כל כך ברור לי מה הקשר לאקסיומת המקבילים. בקשר ל-4, האם אתה מתכוון למודל יחיד עד כדי איזומורפיזם? והאם לא ייתכן שיהיו לתורה עקבית ושלמה שני מודלים לא איזומורפיים, כי הם לא מאותה עוצמה? (זו שאלה לקורס לוגיקה, ואני חושב שפעם ידעתי את התשובה לה, אבל...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הייתי מתאמץ מדי להבין את הציטוט הזה. אין לי מושג מה הוא רוצה מגרין וסטוקס. אקסיומת המקבילים, כפי שאמרת, היא לא הטענה ששני ישרים מקבילים לא יפגשו. השאלה אם היקום התלת-ממדי שלנו הוא אוקלידי או לא היא לגיטימית לגמרי (צריך לזכור שגיאומטריות תלת-ממדיות יש יותר מאשר השלוש שהזכרנו). לא ברור לי מה זה "שני ישרים מקבילים כאן ייפגשו בנקודה אחרת במרחב" - מקבילות איננה תכונה לוקאלית, שיכולה להיות נכונה פה ולא נכונה באיזור אחר של הישר. הספירה של רימאן היא דוגמה למרחב טופולוגי, או אנליטי, ואיננה מישור גיאומטרי במודל עליו אנו מדברים (למשל, שני ישרים יכולים להיחתך בשתי נקודות על הספירה הזו). גיאומטריה שבה אין מקבילים בכלל ממדלים ע"י שמביטים על ספירה (אוקלידית) ומגדירים "נקודה" כצמד נקודות אנטיפודיות ו"ישר" כמעגל גדול. כאן, בבירור, כל שני ישרים נחתכים (גם אם הם "נראים כאילו הם מקבילים" באיזור קטן של המישור). בקשר ל-4, ודאי עד כדי איזומורפיזם, ואני לא בטוח בקשר למודלים מעצמות שונות של הגיאומטריה. מה שברור הוא שהתורה שלמה במובן הפשוט שלכל שאלה על קונפיגורציות של ישרים, מעגלים, משולשים, מרובעים וכו' יש תשובה הנגזרת מהאקסיומות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בדיוק נכון - הראשון שהתחיל להתעסק עם גאומטריה חדשה היה רימן שפיתח את הגאומטריה הכדורית - גאוס עלה על משהו אבל השתפן בשנייה האחרונה - ישנן 2 גאומטריות עדכניות "לא אוקלידיות" נכון להיום אשר מתבססות על עקרונות אוקלידיים דווקא להוכחותיהן מלבד אקסיומת המקבילים שאגב אף פעם לא הוכחה-------גאומטריה בה המישור הינו מאין בלון - כדורי והשנייה של פואנקרה בא המישור הינו דמוי אוכף האחרונה קצת יותר משמעותית ונקראת גאומטריה היפרבולית - בה מקבילים נפגשים אך קרוב לאינסוף - לכן חישובים "אוקלידיים " נכונים בקירוב בלבד בקני מידה גדולים - תיקוני הלווינים כיום נעשים ע"י ההיפרבולית של פואנקרה - איינשטיין שאב השראה דווקא מהכדורית של רימן בין היתר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ממש הבנתי מה לא נכון במה שכתבתי ומה אתה מנסה לומר בהודעה שלך. בכל אופן, עד כמה שידוע לי זכות הבכורה ההיסטורית על המצאת ''גאומטריה חדשה'' שייכת ללובצ'בסקי ולבולאי, לא לרימן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
>אם אינני טועה, ואני כמעט בטוח שאני לא טועה, כל שלוש הגיאומטריות המישוריות (האוקלידית, הספרית וההיפרבולית) הן שלמות. כלומר, ברגע שאתה קובע עם איזו מהגרסאות של אקסיומת המקבילים אתה עובד, יש מודל יחיד העונה על האקסיומות שלך. <ציטוט> HUMPERDINCK : Unless I am wrong, and I am never wrong, they are headed dead into the Fire Swamp. </ציטוט>ולענין: זה שהתורות שלמות לא אומר שיש מודל יחיד. למעשה, מכיון שאנו יודעים על קיומו של מודל מעוצמת הרצף הרי שיש לפחות גם מודל אחד נוסף, בן-מניה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואללה. סליחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תתנצל בפני. השפל מבטך ויחל למחילה מאלוהי המתמטיקה! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בדיוק מה שעשיתי, O Lord. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |