בתשובה לאלון עמית, 06/06/05 3:36
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315618
האייל האלמוני • בתשובה לאלון עמית יום א', 10/7/2005, 17:10
"תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט,"
מדוע דווקא הטבעיים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315652
אלון עמית • בתשובה להאייל האלמוני יום א', 10/7/2005, 18:45
יש מושגים מתמטיים יותר ראשוניים ופחות מעורפלים מאחרים. אני אישית מאמין שלבעייה כמו "האם יש אינסוף twin primes" יש תשובה חד-משמעית; לבעייה כמו השערת-הרצף, אני פחות בטוח: היא נשענת (באחד הניסוחים) על המושג "קבוצה-שרירותית-של-מספרים-טבעיים", שהוא מושג פחות ברור מ"מספר טבעי".

בכל אופן, אני לא מתכוון לומר שהטבעיים "קיימים" במובן שניתן למצוא אותם זרוקים באיזה מחסן במעלה-החמישה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315661
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לאלון עמית יום א', 10/7/2005, 19:15
שאלה לא הכי קשורה על משהו שמציק לי: יש שמועות מרושעות שהשערת גולדבך עלולה להתגלות בתור אחד מהדברים הללו שאי אפשר להוכיח או להפריך במערכת של ZFC. עכשיו, אני יכול לקבל את זה שייתכן שלא נוכל להוכיח שההשערה נכונה אף פעם, אבל לא ברור לי האם זה גורר שקיימת מערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה נכונה, ומערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה לא נכונה. אם תגיד לי שזה לא גורר את זה, אני אשתוק. אחרת, יש לי שאלת המשך.

לצורך ההקבלה - אם הבנתי נכון, יש מערכת שמכילה את ZFC (או אולי ZF? או פאנו? אני לא ממש יודע) שבה השערת הרצף נכונה, ואחת שמכילה את ZFC שבה היא לא נכונה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315666
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום א', 10/7/2005, 19:32
לשמועות מרושעות אסור להאמין. הם עוד ישכנעו אותך להתנתק מ-ZFC או לנתק את C מ-ZF, ואז אנא אתה בא?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315670
אלון עמית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום א', 10/7/2005, 19:44
דיברנו על זה פעם, חפש "גולדבך" בדיון על הטרחנים הכפייתיים. יש פה כמה דקויות שצריך להיזהר מהן.

השערת גולדבך GC היא פסוק מהצורה "לכל n מתקיים ש-...", כש-"..." היא נוסחה הניתנת לבדיקה פשוטה בזמן סופי לכל n נתון. לכן, אם GC אכן לא תלויה באיזושהי אקסיומטיזציה של המספרים הטבעיים כמו PA או ZFC, אז בפרט היא *נכונה* עבור המספרים הטבעיים הסטנדרטיים (כי אם לא, היתה דוגמה נגדית, ודוגמה כזו ניתנת להוכחה בכל מערכת סבירה כזו). מכאן שאם אפשר *להוכיח* ש-GC לא תלויה ב-PA, למשל, זו תהיה הוכחה (משונה קצת) לנכונותה של השערת גולדבך הטבעית. המצב הוא אחר לגמרי עבור טענות אחרות על הטבעיים, כמו twin primes.

שים לב גם שאם *מוכיחים* ש-GC לא תלויה במערכת X, זה גורר שהמערכת X היא עקבית, ולכן לא ניתן לבצע את ההוכחה ב-X עצמה. אפשר, למשל, להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-PA, אבל אי אפשר להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-ZFC - בשביל זה צריך מערכת אחרת שבה אפשר להוכיח את עקביות ZFC, ואין מי יודע מה מערכות כאלה שאנשים נוטים לקבלן כמובנות-מאליהן.

הניסוח שלך, "מערכת שמכילה את ZFC" אינו מדוייק. צריך לומר "מודל של ZFC שבו השערת הרצף נכונה, ומודל אחר שבו לא". וכן, זה אכן המצב.
הערונת 315770
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לאלון עמית יום ב', 11/7/2005, 1:35
לגבי הוכחות אי תלות ועקביות, אתה כמובן צודק, אבל הטיעון הנ"ל נכון לכל משפט שעליו אומרים "הוכחנו עקביות" או "הוכחנו אי תלות". בדרך כלל לא מתחילים ממערכת פורמלית חזקה יותר, אלא עובדים ב-ZFC ומוכיחים עקביות יחסית כלומר מוכיחים את המשפט הפורמלי:
Con(ZFC)->Con(ZFC+CH)
הערונת 315791
אלון עמית • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ב', 11/7/2005, 5:51
נכון, במיוחד ל-ZFC. נדמה לי שהוכחות אי-תלות ב-PA דווקא לעיתים נעשות פשוט ב-ZFC (או בחלק שלה), למשל משפט גודסטין הזכור לטוב.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315673
עוזי ו. • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום א', 10/7/2005, 19:50
1. אני לא יודע מה רוצים מהשערת גולדבך. קצת קשה אז נשברים? אני לא רואה שום סיבה לחשוב שהמשפט הזה לא נובע (הוא או שלילתו, אבל רק האפשרות הראשונה סבירה) מ- ZFC.

2. השערת גולדבך אינה סימטרית. אם היא *לא נכונה*, אז אפשר להשתכנע בכך בזמן סופי (יש מספר זוגי N כך שלכל מספר ראשוני קטן יותר, N-p אינו ראשוני), ולכן זה נובע מ- ZFC. לעומת זאת אם היא כן נכונה אבל משום-מה לא יכיחה ב-ZFC, אפשר לצרף אותה (או טענה אחרת שההשערה נובעת ממנה) כאקסיומה נוספת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315712
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לעוזי ו. יום א', 10/7/2005, 22:43
1. תאשים את הספר ההוא על "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", שהמרצה שלי ללוגיקה אהב לרדת עליו. תמים ככל שיהיה, שמעתי שמועות מרושעות על שני אנשים שעזבו את הפקולטה למתמטיקה אחרי שקראו אותו. כן, אני בטוח שהם היו עוזבים גם ככה. כן, אני לא צריך להקשיב לשמועות מרושעות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315675
אלון עמית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום א', 10/7/2005, 20:00
בקשר ל-‏1 של עוזי, כדאי גם להזכיר (שכחתי קודם) שהשערת גולדבך כבר "כמעט" הוכחה (ביותר ממובן אחד), והיא נראית בהישג-יד. לאור זאת היא באמת לא מועמדת מוצלחת מדי להשערה-אולי-לא-תלויה. מועמדות מוצלחות הרבה יותר הן P=NP או בעיית ה-‏3n+1, למשל.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315771
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה לאלון עמית יום ב', 11/7/2005, 1:38
כמובן שהבחירה בגולדבך היא בגלל שקילקלו לנו את פרמה ואין שום קשר לסבירות של תלותיותה. אתה יכול לפרט (או ללנקק) בקשר לכמעט הוכחה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315781
האייל האלמוני • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ב', 11/7/2005, 3:50
מה זה "קלקלו לנו את פרמה"? בזה שהוכיחו אותו?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315807
אורי גוראל-גורביץ' • בתשובה להאייל האלמוני יום ב', 11/7/2005, 10:55
אכן.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315790
אלון עמית • בתשובה לאורי גוראל-גורביץ' יום ב', 11/7/2005, 5:48
2. תגובה 212764.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315668
האייל האלמוני • בתשובה לאלון עמית יום א', 10/7/2005, 19:34
טוב שהבהרת שזה לא במעלה החמשה. נדמה לי ששם מחזיקים רק את האלכסון של קנטור.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות