בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 06/10/04 17:03
 |
|
 |
||
|
||||
 |
הפרדוקס של זנון נובע מהקביעה של פרמנידס שהכל אחד. תדמיין עולם אפשרי בו הזמן/מרחב לא קיים. החיים הם אוסף של נקודות כמו חוט על שולחן. כל רגע ורגע קיים בו זמנית. למעשה מין תפישה של אל זמניות. לולא הייתה לנו תפיסה של זמן הרי שלא היה כאן פרדוקס. ייתכן שהתפיסה שלנו היא אשלייתית. למעשה, הפרדוקס מאלץ אותך לבחור בין תופעת הריבוי (ריבוי בזמן ובמרחב - תנועה ואירועים) לתופעת הייחוד, בין השלם לחלקיו. יום, קאנט (שפתרונו הוא בקצרה מה שכתבתי) והגל הציעו פתרונות משלהם. יום בחר בחלקים, הגל טען שההפרדה שקרית. כיום יש השקפה אחרת שנובעת ממתמטיקה ומדעים וכוללת את מה שגילו במהלך המאות על מספרים (יש לנו הרבה יותר סוגים ממה שזהנו הכיר), גיאומטריה וסדרות. אני מניח שלו הייתי במקום זנו הייתי מתעקש שהפרדוקס לא נפתר כי כאשר סדרה שואפת לגבול אין היא מגיעה למעשה לגבול אלא באינסוף. ומבחינת מטה-מציאות זה לא פתרון אלא התחמקות. בסכומו של יום, זנו טוען שהמציאות היא אשליה וקיומנו אינו תלוי בזמן מרחב... למיטב הבנתי. לך תוכיח :) |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זה עם אכילס והצב? כי זה, בפשטות, לא פרדוקס בכלל, ולא צריך גיאומטריה והתכנסות בשביל זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך זה "לא פרדוקס", בלי טורים והתכנסות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך זה כן? הטיעון לרוב הולך ככה: "עד שאכילס יגיע ל-A, הצב כבר יהיה ב-B עד שאכילס יגיע ל-B, הצב כבר יהיה ב-C עד שאכילס יגיע ל-C, הצב כבר יהיה ב-D ...אכילס לא ישיג לעולם את הצב." זה לא פרדוקס, זה non sequitur. הטיעון מציג אינסוף דוגמאות למצבים בהם אכילס יהיה באמת מאחורי הצב, שזה טוב ויפה אבל איך מסיקים מכך שהוא לא יהיה לפני הצב בשעה עשר וחצי, בנקודה Z? איפה הפרדוקס? אין פה דקויות של טורים מתכנסים, יש פה טיעון שלא מראה את מה שהוא טוען שהוא מראה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קרא את ההגיון שהצגתי בתגובה 251185. אם מתעקשים להתעלם מהסתירה החשבונית, ומנחים שהטור המדובר אכן מתבדר, הפרדוקס מראה בדיוק את מה שהוא טוען שהוא מראה: אכילס לא ישיג את הצב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צריך לזכור שבתקופתו של זנון, הרעיון של "טור מתכנס" היה בלתי נתפס. הסופי הרי אינו יכול להכיל את האין-סופי. מרגע שזנון הצביע על אינסוף דברים שצריכים לקרות *לפני* שאכילס ישיג את הצב, דברים שקורים בזה אחר זה, הוא הוכיח שאכילס לעולם לא ישיג את הצב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את הקושי האינטואיטיבי אני מבין, אבל לא את הקשר שלו לטורים מתכנסים. אם מישהו באמת סבור שאינסוף מאורעות מוכרחים לקחת אינסוף זמן סתם כי יש אינסוף מהם, איך ההגדרה המתמטית של טור מתכנס אמורה לעזור לו? יש אפילו יותר מהגדרה אחת כזו (סכומי צ'זארו, למשל). ההגדרות הללו הן מתמטיות, והן באות למלא חלל מתמטי: עד שלא הגדרת בדיוק מהו סכום של טור, אין לסכומים אינסופיים שום מובן. אבל מי שיש לו בעייה עם הסיטואציה הפיזיקלית, למה שיסכים בכלל שההגדרה הפורמלית קשורה אליה? אני חושב שמי שסבור שהנימוק של זנון אכן מצביע על איזושהי בעייה, צריך לעזור לו לתקן את האינטואיציה הזו: כשאני חובט בכף ידי על השולחן, היד חלפה בדרך באינסוף מקומות שונים, כלומר קרו אינסוף מאורעות מהסוג "היד שלי היתה פה", אבל אין שום סיבה להסיק מכך שלקח לי אינסוף זמן לעשות זאת. לשון אחר, גם אם יש אינסוף היגדים נכונים מהצורה "בשעה תשע ושלושים ועשרים שניות ועוד אחד חלקי שבע עשרה השנייה, היד שלי היתה מרוחקת מהשולחן", אין שום סיבה להסיק מכך שהיד שלי לא היתה צמודה לשולחן בשעה תשע ושלושים ועשרים ואחת שניות. זה נראה לאלמוני אינטואיטיבי? מצויין. זה נראה לפלמוני לא אינטואיטיבי? הבה ננסה להבין את שורש הקושי של פלמוני, אבל אני אישית לא הייתי מתחיל מ"סכום של טור אינסופי מוגדר כגבול, אם יש כזה, של סדרת הסכומים החלקיים...". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. בטור בעל איברים חיוביים, כל שיטות הסומביליות מגיעות לאותה מסקנה (אם הטור חסום הוא מתכנס, אחרת לא). 2. נניח שאתה פוגש את זנון, ורוצה לפתור לו את הפרדוקס. הוא מסביר לך בלהט שהסופי אינו יכול בשום אופן להכיל את האינסופי (ולכן אין תנועה). איפה היית מתחיל? (אני הייתי מתחיל בהגדרה של סדרות מתכנסות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. חיוביים: בהחלט. 2. (אני לא). הייתי מצייר קטע, ושואל: כמה נקודות יש עליו? יש מכאן כל מיני המשכים אפשריים, אבל מט בשלושה מסעים לכל היותר נראה לי ודאי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כבר נשמע מוזר. זנון לא שאל את עצמו בדיוק את אותה שאלה? הרי לפני שזרקו את אותו תלמיד סורר לנהר, הפלטוניסטים "הבינו" שיש התאמה בין מספרים רציונליים לנקודות שעל הקטע, ובלי ספק ידעו שיש אינסוף מספרים רציונליים (אחד-חלקי-n למשל) ושהקטעים הם סופיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז איך הוא מסביר בלהט שהסופי אינו יכול בשום אופן להכיל את האינסופי? לא הבנתי את מה זנון קיבל ואת מה הוא דחה. אם בזה (קטע סופי כולל אינסוף נקודות) הפרדוקס, אז: 1. אין צורך לסבך עוד יותר עם "תנועה", 2. איך ההגדרה של סדרות מתכנסות עוזרת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כנראה שהפרדוקס קשור יותר למהות הזמן מאשר לאינסוף. (הפרדוקס הוא שאפילו כשיש לך מספר סופי של דברים לעשות, לא תמיד יש זמן לכולם). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אז זנון היה מסכים שבקטע יש אינסוף נקודות, אך כופר בכך שבדקה יש אינסוף רגעים? 2. איך ניתן לבאר קשיים במהות הזמן ע"י ההגדרה של סדרות מתכנסות? (שני סימני השאלה הם מהסוג התמים, לא הרטורי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1,2. אני לא בטוח שהבנתי את ההוא-אמינא של זנון. (אני מקווה שלא החמצת את התירוץ הנאה שאני מכין לך, בסוגריים של ההערה הקודמת). (עוד הערה: איך זה שיש רק סוג אחד של סימן שאלה?). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהחלט הפרדוקס קשור למהות הזמן. לפי זנו/פרמנידס הזמן לא קיים בפני עצמו אלא כתלות בתודעה ובחושים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה יכול לנסח את הפרדוקס של החץ מנקודת המוצא הזו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל הפרדוקסים של זנו הם גרסאות לאותה הבעיה. הפרדוקסים של זנו מנסים להבהיר את האמירה של פרמנידס על אי שינוי. פרמנידס אומר כך: 1. היש ישנו והאין איננו. 2. אין משהו, יש הכל או לא כלום. 1. די ברור כי כיצד ניתן לומר שמשהו שאיננו קיים? 2. מדגיש את אותה נקודה... אם יש משהו, אז יש משהו אחר וביניהם יש מעין אין. (או שהם ממלאים את הכל ואז הם הכל ובלתי ניתנים להבדלה, או שלא ואז יש אין). לזה אתה יכול לקשור את האמירה של דקארט שאומרת שיש משהו - מכאן שיש הכל. במילים פשוטות התיאוריה היא תיאוריה של גשטלט, השלם ולא החלקים. הפרדוקסי של זנו מפרקים את השלם לחלקים ומראים את הגיחוך שבכך. איני יודע לאיזה מהפרדוקסים של החץ אתה מתכוון, אבל הכי קל לי לדבר על אכילס והצב. תדמה שהיית מצייר את כל תהליך המירוץ של אכילס והצב ברצף. נניח שהיית מסוגל להבחין בפרטים ברורים במריחה המתקבלת, הרי שהיית רואה 3 מצבים יחסיים. המצב הראשוני - אכילס מפגר אחרי הצב. מצב שני - אכילס והצב כתף אל כתף, מצב שלישי- אכילס עקף את הצב שנמצא כעת מאחוריו. זנו בא וטוען שהציור המתקבל הוא המציאות. אין אלה שלושה מצבים נפרדים כמו שנראה לי ולך (ולזנו) אלא מצב אחד - כמו ציור אחד. כך שכל שינוי כמו לידה, מיתה, עליית אימפריה, נפילתה וכו' הוא כזה רק משום שהתודעה תופסת אותו ככזה. למעשה כל הדברים מתקיימים בו בזמן ומכאן שניטלת המשמעות מהמילה זמן. הזמן לפי זנו אינו קיים ואם הוא קיים הרי שאינו משפיע על המציאות שלנו, בדיוק כפי שהתמונה התלויה אצלך על הקיר הייתה אותה תמונה לפני 10 דקות היא אותה תמונה עכשיו ותישאר אותה תמונה בעוד מיליון שנה (בהתעלם משינויי מיקרו של הרכב המולקולות בתמונה שלך שמנקודת המבט של זנו ממילא לא קיימים.). הזמן לפיכך הוא המצאה של התודעה שהיא רק נקודה (או אפיון משני של נקודה) בציור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר: זנון אומר שאפשר לחשוב על העולם בארבעה ממדים, כולל מימד הזמן, בבת-אחת? מהבחינה הזו, אין "תנועה", אלא חץ שנמצא ב{נקודה A בזמן 0} וחץ שנמצא ב{נקודה B בזמן 1}; {אכילס אחרי הצב בזמן 0}, {אכילס כתף-אל-כתף עם הצב בזמן 1}, {אכילס לפני הצב בזמן 2}. האמנם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למעשה אין צורך בזמן. הוא פיקטיבי. לפי זנו. החץ הזה - תודעה מוגבלת שלא מסוגלת לתפוס את כלל התמונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך הזמן יכול להיות פיקטיבי, ומה שומר שהחץ לא יהיה בכל המקומות בבת-אחת? האופן שבו אני מבין "פיקטיבי" הוא שמשום מה זנון רוצה להתבונן בהיטל התלת-ממדי של העולם הארבעה-ממדי שהרגע הגדרנו. אני לא רואה את הקשר לתודעה (אפשר לתת לזנון עצמו לשחק את תפקיד החץ). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מבין היטב. הזמן לטענת זנון לא קיים. החץ הוא שיוצר אותו. אם תקרא לחץ אלוהים/יקום תוכל לטעון שהוא בכל המקומות. זנון טוען שמה שאתה קורא לו הגדרה 4 מימדית היא שקרית. המימד הרביעי אם קיים כמהות הוא התודעה ובוודאי שאינו משקף את המציאות כולה. הפרדוקס מציג את הגיחוך בהתייחסות לחץ כזה כהתגלמות המציאות. יש ויכוחים שונים על מהות הזמן, ההצעה של זנו היא אחת מיני רבות. אתה יכול להציץ בקישור שנתתי בדיון קודם, או בכל קישור שתמצא בעניין הדיון הפילוסופי על הזמן. ה-"משום מה" אלה הטיעונים/הנחות של פרמנידס שהזכרתי קודם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את זה אפשר לתרגם לטענה שכאשר שום דבר ביקום אינו משתנה, גם הזמן לא זז (ועד כמה שאני מבין הטענה הזו נובעת מחוקי הפיזיקה שאנחנו מכירים היום). מה בעצם ניסה זנון להוכיח בפרדוקס שלו? (ככל שאנחנו חוזרים ומנסחים את הפרדוקס, הוא נשמע כמו התקפה על הנחות היסוד של פרמנידס. אולי הפתרון הוא להניח להן?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ברור לי איך אתה מגיע מהפרדוקסים של זנו להתקפה על ההנחות של פרמנידס. הרי פרמנידס טוען דבר שאפשר לנסחו בקצרה - הכל הוא אחד. אם ממה שכתבתי משתמע ההפך, הטעות כנראה שלי ועליך לפנות לספרות שמסבירה זאת טוב יותר. בסך הכל פרמנידס וזנו טוענים ליקום חסר זמן - יקום מטריאליסטי (איני יודע מה יחסם לנשמה - כנראה התגלמות של חומר) שלמרות שלתפיסתו של חלקיק ביקום (האדם, ומהי התפיסה הזו - עוד נושא גדול לדיון) הוא משתנה, הרי שאין זה כך. חוקי הפיזיקה והמדע כולו לא יוכלו להבנתי להפריך את הפרדוקס, משום שהם עוסקים במראית העין, בעולם המתגלה לנו בעד החושים והמכשירים שהם שלוחותיהם. השפה שלנו מנוסחת כך שהיא מגלמת בה תפיסה של זמן וחומר ולכן הפרדוקס נראה מוזר. אם היית ממציא שפה בעלת משמעות שאינה כוללת את התפיסות האלה - הפרדוקס היה אמיתה פשוטה. מאחר והמציאות שלנו כוללת תפיסה של זמן (קאנט והקטגוריות) שפה כזו אינה סבירה במיוחד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי בכל זאת הבנתי אותך. זנו משתמש בפרדוקסים שלו כדי להראות שאם ניגשים בהנחות הפוכות לאלו של פרמנידס - כלומר השתנות כביטוי של תנועה וזמן הרי שבאופן לוגי אנו מגיעים ליקום שתוצאותיו סותרות את הנראות לעין ולא מסבירות אותן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק לזה התכוונתי. תודה על ההבהרות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. לי שיטת האריה במדבר נראית נגישה יותר. ______ ברוך השב |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
_________________ תודה, אבל לא ממש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בניגוד לקונספציה המוכרת, זנון לא יצא נגד היכולת לתנועה, אלא נגד הרעיון שניתן לחלק את הזמן (ואת המרחק) לאינסוף, ונגד רעיון האינסוף באופן כללי. הפדוקסים שלו פשוט נועדו להראות שאם יש אינסוף, לא יכולה להתקיים תנועה. אנחנו יודעים שיש תנועה, ולכן אין אינסוף. כלומר, על השאלה שלך, סביר להניח, הוא היה עונה "הרבה, אבל לא אינסוף". אני עדיין לא הבנתי מה הפתרון לפרדוקס החץ. (תזכורת: חץ נורה מקשת. את פרק הזמן שהוא עף באוויר אפשר לחלק לאינסוף נקודות בזמן. בכל אחת מאינסוף הנקודות הללו, החץ נמצא במקום אחד בלבד (תנועה היא פונקציה של זמן, ולכן אם אין זמן, אין תנועה). אז מתי הוא נע מנקודה אחת לשניה?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי ודאות? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי ודאות חלה על אובייקטים בגודל של חץ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי ודאות על מדידת זמן מתחת ל(נניח) עשר במינוס 40 שניות. (לא, אני לא חושב שזה הפיתרון לפרדוקס). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני הדיוט מוחלט, אבל אנסה בכל זאת: מה אתה בדיוק מחפש כשאתה שואל "מתי הוא נע מנקודה אחת לשנייה"? פרק זמן מיקרוסקופי שבו החץ נמצא בשני מקומות בו זמנית? אני חושב שבציפייה שיהיה פרק זמן שכזה, וש"תראה" תנועה (איך אפשר לראות את זה, באמת?) יש בעייתיות , ולא צריך ללכת אפילו לאינסוף בשביל זה. נניח שאנחנו מחלקים את הזמן לא לאינסוף חלקים, אלא ל"אטומי זמן" - היחידה הבסיסית ביותר של זמן. באטום זמן איקס החץ יהיה בנקודה כלשהי, ובאטום זמן איקס ועוד אחד החץ יהיה בנקודה אחרת. איך הוא עבר ביניהן? האם הוא עבר בזמן ש"בין" שני האטומים? אבל אם אלו אטומים, איך יש זמן ביניהם? ההבנה שלי בפיזיקה אפסית, אבל אם מניחים שהמרחב הוא ארבע ממדי, כשהממד הרביעי הוא זמן, לא צריך בכלל לצפות שנראה "תנועה", נכון? הרי כל מה שקיים בארבע הממדים הללו, תמיד קיים. בגישה שכזו, אין שום בעיה בכך שמשהו לא נע מנקודה אחת לשנייה - פשוט בקוארדינטת זמן אחת, קוארדינטות המרחב שלו הן כך וכך, ואילו בקוארדינטה אחרת הן אחרות. זה לא משונה, בדיוק כפי שלא משונה לשאול איך ייתכן שמשהו שבגובה מסויים הוא בעל היטל מסויים על המישור, ואילו בגובה אחר ההיטל שלו על המישור הוא אחר. כמובן שאני טועה, אבל יהיה מעניין לשמוע את אלו שמפריכים אותי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה מניח שהזמן מחולק לאטומי זמן, אתה יכול להניח שהמרחב מחולק לאטומי מרחב. מכיוון שהמרחב והזמן אינם רציפים, אפשר להגיד שבכל ''אטום זמן'' החץ מסוגל לדלג על כמות מסויימת של ''אטומי מרחק'' (שזו המשמעות של מהירות - היחס בין אטומי הזמן לאטומי המרחק). זה, לפחות, ההסבר שמצאתי עבור עצמי לפני שנים רבות, כשדברים כאלו עוד הטרידו את נפשי הרכה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל זה נהדר, אבל זה לא עונה לי על השאלה. מה הפרדוקס כאן? איך אפשר לדבר על "פרדוקס" בכל הנוגע לזנון מבלי לערב את המציאות הפיזית בעניין? ובהנחה שאי אפשר, איך אפשר לדרוש "וצריך להפריך אותו באופן לוגי" בזמן שברור שהדבר אינו אפשרי, שכן מבחינה לוגית טהורה אין בפרדוקס שום בעייה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ככה: ההעתק, כפונקציה של הזמן, הוא x(t)=v*t לא אטרח להראות שאם מהירותו של אכילס גדולה מזו של הצב, אחרי זמן מאד סופי העתקו של אכילס מנקודת ההתחלה צריך להיות גדול יותר משל הצב. אך אם נלך לפי הגיונו של זנון, נגלה שלא כך הדבר. סתירה ופרדוקס, בלי מציאות.אבל אני לא רואה איך "פותרים" אותו בלי להתייחס לכך שהסכימה האינסופית של המרחקים אינה מוגדרת היטב אצל זנון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, רגע, רגע, מאיפה בדיוק הגיעה הנוסחה הזו? האם זנון טוען שהנוסחה נכונה? האם מהמכניקה שזנון מציע עולה הנוסחה הזו? אני יכול כרגע גם להביא את נוסחאות התנועה של תורת היחסות ולהגיד שהן סותרות את אלו של המכניקה הניוטונית. האם זה ייצור פרדוקס במכניקה הניוטונית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בכלל לא קשור לזנון או למכניקה. אפשר לראות בפרדוקס פרדוקס מתמטי (''לוגי'' לצורך העניין). אפילו לא צריכים את מושג ה-''מרחק'' בשבילו (על אף שהוא מתמטי לעילא), מספיק לדבר על כפל וחיבור של מספרים רציונליים. הקשר לזנון, או למציאות, הוא בפירוש של ''מספר רציונלי'' כ-''אורך קטע''. אבל הפרדוקסיליות אינה נובעת מפירוש זה, ולכן הוא אינו מעניין בהקשר הפרדוקס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצטער, אבל למרות שמתמטיקה ולוגיקה לא זרות לי, לא הבנתי עדיין מה פרדוקסלי פה. אנא הסבירי לי מדוע הפרדוקס הוא פרדוקס מתמטי. ממה שאני יודע, כדי שמשהו יהיה פרדוקס, עלינו לצאת מהנחות יסוד שנראות לנו נכונות, להשתמש בכללי היסק שנראים לנו נכונים, ולהגיע לסתירה. אם את מסכימה להגדרה זו, הצביעי על הסתירה וההנחות שיש אצל זנון. אם את לא מסכימה, אנא הסבירי לי מה ההגדרה שלך לפרדוקס. תודה מראש, וסליחה על הטרטור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המילה פרדוקס משמשת לתיאור כל מהלך מחשבתי שמסקנתו סותרת את "השכל הישר", גם אם אין בו שום סתירה לוגית (למשל "פרדוקס יום ההולדת"). אבל זה לא המקרה אצל זנון. אזכיר (לפחות לעצמי): הפרדוקס אומר ש-"כאשר יגיע אכילס למקום ממנו התחיל הצב לרוץ, הרי זה יהיה כבר הלאה, במרחק הקטן מן המרחק הקודם ביניהם כיחס מהירויותיהם". זנון הניח שסדרת הפרשי המרחקים בין אכילס לצב מסתכמת ליותר מכל מרחק שהוא (כלומר "אחרי 100 מטרים" אפשר להמשיך לסכם את סדרת הפרשים כנזכר לעיל כך שיתקבל יותר מ-"100 מטרים", וגם שם כמובן שאכילס יהיה מאחורי הצב לפי אותו היגיון). למעשה ההנחה הבעייתית אצל זנון היא "סכום של אינסוף מספרים חיוביים אינו יכול להיות מספר סופי" (או לפחות: הסכום הזה אינו יכול). למעשה, סכום סדרת המרחקים ביניהם הוא טור גיאומטרי, שמתכנס (לפי הגדרה שלא הייתה זמינה עבור זמון) בדיוק כאשר אכילס מהיר מהצב, בדיוק למקום בו אכילס "אמור" להשיג את הצב (ואותו הדבר עבור סדרת הזמנים). למה זנון בכלל "אמור" להשיג את הצב, אם מתעלמים מהמציאות? אם נפשט עוד את סיפורו של זנון, ונסתכל על מקרה פרטי שלו (אכילס מהיר פי 2), נקבל משהו כזה: 1. נבחר מספר. 2. נתחיל מחצי מהמספר שבחרנו (זה יהיה ההפרש ההתחלתי בין אכילס לצב). 3. נוסיף למספר שכבר יש לנו, חצי מההפרש בינו לבין המספר שבחרנו (זה יהיה המרחק החדש). 4. חזור ל-3. מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה. אם לא נניח שהסכום בהכרח מתבדר, נוכל אולי להסכים שאכילס כן ישיג את הצב, במרחק השווה למספר אותו בחרנו בתחילה. זה הפרדוקס, למיטב הבנתי. הסתירה אינה נובעת מה-"הפרשנות" של החשבון, אלא מהחשבון עצמו. נותר רק לברר אם אני עושה מעצמי צחוק בשיחה הזו. כנראה שזה תיכף יתגלה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההצגה שלך את הפרדוקס של זנון אינה מדוייקת. לא קראתי אותו במקור, אבל בכל התאורים של הפרדוקס שכן קראתי1, זנון לא דיבר על מהירויות או יחסים. טיעון המחץ הוא תמיד משהו בסגנון מה שכתבתי למעלה: Thus, whenever Achilles reaches somewhere the tortoise has been, he still has farther to go. Therefore, Zeno says, swift Achilles can never overtake the tortoise. אם הפרדוקס מנוסח כך, אז הוא פשוט לא קיים. המילה "never" במשפט האחרון אינה מנומקת ואינה מוצדקת. בכל אופן, זנון לא דיבר על טורים מתכנסים ומתבדרים.אם רוצים, אפשר לדון בפרדוקס אחר, שהוא זה שהצעת: איך ייתכן שסכום של אינסוף מספרים יצא מספר סופי. כאן, המשפט "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה" לא לגמרי ברור לי: סתירה למה, בדיוק? ברור שאתה מתכוון ל"סתירה להגיון הפשוט" או ל"שכל הישר", אבל לי דווקא נראה שרוב האנשים יסכימו בקלות שאם אתה מדביק חצי דף לרבע דף לשמינית דף וכו', לעולם לא תקבל יותר מדף אחד. אני חושב שאם משהו מפריע ל"שכל הישר", הגדרה מתמטית (כמו ההגדרה הפורמלית של טור מתכנס) לא יכולה לפתור את הבעייה. מדוע שתקבל את ההגדרה המתמטית, אם הגיונך אומר לך אחרת? הדרך הנכונה היא להשתכנע בסבירות של ההנחה. 1 כולל כאן, בויקיפדיה http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסוח הפרדוקס כפי שהצגתיו לעיל לקוח מתוך "תולדות הפילוסופיה היוונית - הפילוסופים הקדם סוקרטיים" של שמואל שקולניקוב, אך הוא לא מוצג כציטוט ולא מצאתי התייחסות למקורותיו. בכל מקרה, אין זה משנה אם זנון דיבר על יחסים ומהירויות או לא (טורים ברור שהוא לא הזכיר במפורש...). גם בהצגת הפרדוקס שהבאת אתה, המילה Never עשויה להיות מוצדקת ועשויה להיות לא מוצדקת. כדי לברר זאת לא מספיק להתבונן בה ולהחליט לפי תחושת הבטן אם "זה נראה נכון" או לא (הטענה לא יסודית מספיק, רחוק מכך), יש לפרקה ולנסות להבין מה עומד בבסיסה, וזאת - לדעתי - ההנחה שסכום הפרשי המרחקים בין אכילס לצב בקטעים המדוברים (אכילס עומד במקום בו הצב היה קודם, והצב עומד הלאה היכן שהספיק להגיע בינתיים), כל עוד אכילס עומד מאחורי הצב (כלומר המרחק שאכילס עובר כל עוד לא השיג את הצב) יכול לגדול ללא הגבלה. פירוש הדבר, אם ההנחה נכונה, שאין זה משנה "כמה רחוק" אכילס ילך, הצב עדיין יהיה לפניו - ואכילס לעולם לא ישיגו. המילה "פרדוקס" מתאימה לתוצאה סופית של סכום אינסופי בערך כמו שהיא מתאימה ל-"פרדוקס ימי ההולדת". כלומר לא כמציינת סתירה, אלא לכל היותר דבר שאנשים עלולים לראות כ-"לא הגיוני" עד שיוסבר להם. המילה "סתירה" במשפט "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה" מתייסת להנחה אותה טענתי שזנון הניח במובלע, דהיינו "הסכום האינסופי אינו מספר סופי". הגדרות מתמטיות פורמליות הן דרך מצויינת ליישב בעיות של ה-"שכל הישר". כאשר יודעים *בדיוק* על מה מדברים (מגדירים אותו פורמליות), אפשר לטפל בו תוך שמירה על עיקביות ובהירות מקסימליות. החוכמה היא כמובן להגדיר את המושג באופן נכון (שיהיה מעניין ועשיר מצד אחד, ושיתפוס מספיק מה-"מושג האינטואטיבי" מצד שני). בכל מקרה, הדרך הנכונה להשכנע בסבירותה של הנחה כלשהי כוללת בוודאי התייחסות לעיקביותה ולכושר הכללתה. "השכל הישר" יוצא נבוך ומובס לעיתים קרובות (מובס בידי "ההגיון הנוקשה"). דווקא טורים מתכנסים מהווים דוגמא נהדרת לכל זה, לטעמי - והרבה בזכות זנון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאמור מדובר בפרדוקס של חלוקה, האם ניתן לחלק את הזמן מרחב עד אינסוף? אם כן, נובע שסכום של אפסים (ואולי עדיף להסתכל על השאלה מצד שני - האם אוסף של נקודות שלפי הגדרה מימדן אפס, יוצר משהו? כך נמנע מהאמירה שואף לאפס) הוא מספר ואם לאו נובע שקיים חומר שלא ניתן לחלק אותו. 2 המסקנות סותרות את החושים. לומר שאין פה כלום זה מצחיק, כי הנה אנחנו יושבים פה אחרי 2500 שנה... ואגב, בהצגה של 2 חיצים הנעים זה מול זה ביחס לחץ נייח יש הצגה של תנועה ויחסיות. ההצעה של זנו פרדוקסלית ביחס למציאות הנראית ונשאלת השאלה למה? אתה קורא/שומע את הפרדוקס ואומר... אני יודע שיש פה טעות... אבל איפה? כל תקופה באה עם ההגדרות שלה ומנסה לפחות להכיל את הפרדוקס ולומר, לפי הגדרות אלה אין לנו בעיה. הזכרתי את יום והפתרון שלו נראה כושל, אבל קאנט והגל ספקו תשובות נאות. באשר לגבולות, ולצפיפות המספרים... ייתכן שהאלגנטיות של הפתרון חולפת מעליי... ולכן אני אומר שזנו יכול לטעון שמספר השונה באפסילון קטן כפי רצוננו מהמספר הנבחר, כלומר שואף לו קרוב כפי רצוננו, אינו המספר הנבחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"2 המסקנות סותרות את החושים", "ההצעה של זנו פרדוקסלית ביחס למציאות הנראית". האם עכשיו אתה טוען שללא המציאות, לפרדוקס אין תקפות ואין קיום (בתור פרדוקס)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קישור פועל לערך בויקיפדיה: http://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s%5Fparadoxes | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפרדוקס ימי ההולדת אכן לא הייתי קורא פרדוקס של ממש, פשוט תוצאה לא אינטואיטיבית. עכשיו, בהודעה שלך לא הסברת מדוע יש כאן סתירה. אם מקבלים את ההנחה שהסכום אינו מתכנס, נובע מכך שאכילס לא ישיג את הצב וכולם מרוצים - אלא אם מישהו פתאום קופץ ואומר "מה, אבל ראיתי אתמול את אכילס והצב רצים, ואכילס נתן לו מקדמה וניצח!" את אומרת "מהתהליך ברור שלעולם לא נעבור את המספר שבחרנו, למרות שסכמנו אינסוף מספרים. סתירה". לי זה נשמע, בתרגום חופשי, כמו "סכום של אינסוף מספרים חסום על ידי מספר כלשהו. סתירה". זה בעייתי, כי איך אפשר לדבר על סכום של אינסוף מספרים באמצעות ההגדרות של זנון ומבלי לגלוש לאינפי? אם זנון מניח בתור הנחת יסוד את זה שסכום של אינסוף מספרים (אני משער שהכוונה למספרים חיוביים) הוא אינסוף, די קשה לסתור את זה באמצעות ההגדרה של זנון לחיבור של אינסוף מספרים. אפשר לראות שזה בעייתי אם משתמשים בסכומים חלקיים וכדומה, אבל אז כבר גולשים לאינפי, ובאינפי ממילא לא מקבלים את ההנחה של זנון. נסי להסביר לי מה היה הפרדוקס *על פי זנון*. כלומר, מה הוא הצביע עליו כבעייתי, ולא מה אנחנו, כתלמידים חכמים שמכירים אינפי, רואים בו כבעייתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל ניסיתי להסביר, ונכשלתי בברור (או שאולי נכשלתי להבין). אנסה לנסח שנית: זנון: "ההיגיון שהצגתי מראה שעבור כל מרחק שלא נבחר, כשאכילס יהיה שם - הצב יהיה לפניו". אני: הנה, בחרתי מרחק (אותו מצאתי במקרה), והראיתי שהצב לעולם לא יגיע לשם בדרך שלך. מכיוון שזנון מניח שהצב בסופו של דבר יגיע לנקודה רחוקה כרצוננו בדרך הזו (למעשה, זו ההנחה שהוא מנסה להפריך, ובמובן מסויים הוא הצליח), מתקבלת סתירה. הרי אם מניחים "אכילס לא ישיג את הצב עד לנקודה הזו, שם הוא משיג את הצב" לא נשאר הרבה מהטיעון... קשה לי להאמין שהפעם הצלחתי לשכנע יותר מקודם. אולי אתה תצליח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי את השורה של "אני". איך הוכחת לזנון שהוא טועה בדרך שלו? מבחינה מתמטית טהורה, אני צריך לראות הוכחה (רצוי מתמטית) שמתבססת על האקסיומות של זנון. להפריך את זנון באמצעות אינפי (במקרה זה - סכום של טור אינסופי יכול להיות מספר סופי/סכום של טור אינסופי חסום על ידי החסם של סדרת הסכומים החלקיים שלו) זו לא בעיה, אבל אז זה לא פרדוקס או אפילו סתירה, פשוט שתי תורות מתמטיות שונות שנותנות תוצאות שונות - כלומר, זה כבר *הפתרון* של הפרדוקס (השינוי שצריך לעשות בהנחות היסוד כדי שהפרדוקס יתפוגג בעשן). ==זהירות, פסקה טרחנית ומטופשת== אני אנסה להסביר גם מה ההבדל, לדעתי: אם בא גאוס ומציג גיאומטריה לא אוקלידית, ואז בא אוקלידס ומציג גיאומטריה אוקלידית, האם אוקלידס יכול לומר לגאוס "הא! הוכחתי שאתה סותר את עצמך!"? ודאי שלא. לעומת זאת אוקלידס כנראה יאמר לגאוס "הא! כל בר דעת שעיניו בראשו רואה שדרך נקודה אחת ניתן להעביר רק מקביל אחד לישר! אתה טועה!" (זאת בהנחה שהעולם שלנו למראית עין מקיים את הגיאומטריה האוקלידית. וכן, אני יודע שזה לא מדוייק לומר, בלשון המעטה). כך גם ניוטון לא יכול לבוא לזנון ולהגיד לו "אתה טועה! התורה שלך סותרת את עצמה כי בתורה שאני פיתחתי רואים שאתה לא צודק!" אבל הוא כן יגיד לו "שמע נא, אתמול נתתי לצב מקדמה של חצי שעה וכיסחתי לו את הצורה". ולזה יענה זנון "בדיוק, לכן התפיסה שהצבתי פרדוקסלית - היא לא מתאימה למציאות שאנחנו מכירים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הטיעון של זנון הוא טיעון נגד התנועה. כדי להפריך אותו אי אפשר להצביע ולומר "הנה, יש תנועה" או לחילופין "הנה, אכילס השיג את הצב". אלה רק "סברות השווא של בני תמותה" כפי שניסח זאת פארמינדס. הטיעון הוא שההיגיון חזק מהחושים, וההיגיון מורה ש-"שהגורל אילצו [את היש] להיות כוליות ונטול תנועה", לכן החושים טועים. כדי להתווכח עם זנון, אין ברירה אלא להראות שהוא טועה, לוגית. לא *כל* הגדרה היא לגטימית. רק הגדרה שעקבית עם שאר ההגדרות המקובלות עליך. לטענתי זו של זנון אינה כזו. "זה לא הגיוני" שהצב יגיע כך לכל נקודה, כי הראיתי על סמך טיעון "פשוט יותר" שהוא לעולם לא יעבור נקודה מסויימת. כדי לנסח את הדברים בדרך פורמלית יותר מזו שניסחתיהם קודם, אאלץ להתנסח בטרחניות וסרבול מהן יש ברצוני להמנע. לא נראה לי שהדבר יבהיר את עמדתי, כי אם נהפוכו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי להתווכח עם זנון לא בהכרח מספיק להראות שהוא טועה (אם הוא בנה את הטיעון שלו היטב, הוא אינו טועה) אלא להראות מהן הנחות היסוד שלו שאינן מקובלות עלינו. אני סברתי עד עכשיו שזנון, במודל שהוא מציג, אינו טועה, והמודל קוהרנטי ואכן אינו מאפשר תנועה, ועל כן הבעייה היא בדיסוננס שבין המודל שלו ובין מה שהחושים אומרים לנו. את אומרת שההגדרה של זנון אינה לגיטימית, אבל עדיין לא הוכחת את זה בשום צורה. אני חושב שאם לא תנסי להראות בצורה מפורשת כיצד מדבריו של זנון נובעת סתירה, לא יובהרו עמדותייך. כבר עכשיו ברור *מה* את מנסה לומר, אבל כלל לא ברור למה מה שאת אומרת הוא נכון. את בעצם אומרת "זנון טועה ומה שהוא אומר מוביל לסתירה, ואפשר להראות את זה באמצעות שימוש באקסיומות של זנון עצמו". כלומר - כל אדם, גם בימיו של זנון, היה יכול לבוא אליו ולהראות לו למה הוא מקשקש שטויות. מאחר שזה לא קרה, אני לא בטוח אם זה אכן אפשרי, ולכן אשמח אם תראי לי, ואפילו אם זה יהיה טכני ומסורבל, כיצד את עושה את זה *בהתבסס על הנחות היסוד של זנון*. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נחמד לעקוב אחרי הפינג פונג שלנו. לשאלתך גדי, כן... ללא המציאות מה הטעם בפרדוקס? הרי כל העניין התחיל מכך שמציאות החושים אינה הגיונית. נדמה לי שזה מרומז גם בחלק מטיעוניך בהשוואה בין גאומטריה אוקלידית לזו של גאוס. אם עקבתי היטב אחרי הוויכוח בינך לילדה, אנסה להציע מודל נוסף. נאמר שאין זמן ואין מרחב. כל הנקודות שאנו קוראים להן זמן מרחב קיימות בו זמנית ומשום מה אנו תופסים אותם כרצף. לכן אין אפשרות לומר לזנו... עצם העובדה שהצב קיבל פור מראה שהייתה תנועה לפני הפור. מתן הפור הוא רק לצורך המחשה. אם כל הנקודות קיימות במקביל הרי שבלי קשר בין נקודה לנקודה קיימות 3 מיקומים יחסיים. א- הצב נמצא לפני זנו. (התבלבלתי אבל אם הוא נותן לנו כל כך הרבה עבודה אז שירוץ:)) ב- הצב וזנו נמצאים באותה נקודה. ג- זנו נמצא לפני הצב. במציאות כזו זהנו נמצא ב-3 הייחוסים בו זמנית ובאותה מידה אפשר לומר שאין הוא נמצא באף אחד מהם. ולכן אין משמעות למרחב ולתנועה והקיום הוא כמו מין ספר רציף או שלא... לפי רצונכם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי אין ויכוח עם כך שהפרדוקס של זנון תלוי מאוד במציאות. התחלתי את הפינג פונג בעקבות האמירה שלך ''פרדוקס זנו הוא לוגי וצריך להפריך אותו באופן לוגי''. כמובן שלא כל פרדוקס זקוק למציאות (הפרדוקס של ראסל הוא דוגמא טובה לפרדוקס שמצביע על הכשל הבסיסי בהנחות של התורה שבה הוא מנוסח, וזוהי תורה מתמטית לחלוטין). את המודל הנוסף שלך לא הבנתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהי בעצם המציאות? מה שהחושים מעבירים לנו. מהי הפרשנות למציאות? ניתוח המוח של קלט החושים, וגם זה חלק מהמציאות. מה עוד יש לנו? הסקות של המוח לגבי הניתוחים שהוא ביצע. עוד נדבך במציאות. הבעיה היא בין 2 ניתוחים. האחד ישיר - המשמעות כפשוטה, השני עקיף, התנגדות למציאות כפשוטה מתוך ידיעה שחושינו מטעים אותנו, ידיעה שמביאה למחשבה שאולי יש שם משהו אחר. היות ומדובר בהתנגשות בין 2 רעיונות של המוח (ניתוחים שלו) ביקשתי הפרכה לוגית. גם את זאת ביקשתי רק משום שהתרשמתי מתגובות שאנשים חיפשו בניסוי הפרכה או אישור לפרדוקס. שום ניסוי מציאותי לא יכול להביא להפרכה של מודל מטה-מציאותי. אם נוכל למצוא כשל רעיוני בתפיסה שאומרת שהעולם אינו מה שהחושים מראים, נפריך את טענת זנו. לגבי המודל, אחרי שהגבתי כאן, קראתי רשומה על פרמנידס שאספק אותה בתגובה הבאה... אני מקווה שזה יהיה מספק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
http://www.iep.utm.edu/ אפשר לבדוק תחת פרמנידאס למודל, גם הערך זנו מופיע שם, ותחת הערך הזה יש רפרנס למושג הזמן שאני אחטט בו מחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכילס, לא זנו. כמו כל פילוסוף שמכבד את עצמו זנו ישב בכורסא ונתן לאכילס ולצב להזיע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
:) כאמור... נתתי לו לרוץ מתוך בלבול ואחר כך זה מצא חן בעיניי. כורסאות של ממש לא נראה לי שהיו אז, ובכל מקרה, אחד הדברים היפים בפילוסופיה היוונית ובתקופה ההיא, היא האינטראקציה שלה עם החברה. פיתגוראס, פרמנידס, זנו, אפלטון ושות' היו די פעלתנים, נעו הרבה והפיצו "אור". היום יש לנו מולטימדיות וכפר גלובלי... גם נחמד. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |