בתשובה לאלון עמית, 19/01/04 19:14
מהלך שיכור 191507
גלעד ברזילי • בתשובה לאלון עמית יום ג', 20/1/2004, 10:22
ארר... למה?
(שיכור במרחב לא חוזר לראשית, that is).
אינטואיטיבית אני מרגיש שאפשר לפרק את התנועה שלו לשלושת מרכיביה, תנועה בכיוון X Y וZ, ושבכל אחד מהם אני אמור לקבל תוחלת אפס לאינסוף צעדים, כמו במקרה החד מימדי. זה שקצב הצעדים בכל כיוון יהיה קצת שונה, כל לא בכל n הוא צועד על הציר, לא אמור לפגוע. (על פניו).
מהלך שיכור 191513
אלון עמית • בתשובה לגלעד ברזילי יום ג', 20/1/2004, 10:53
שים לב שגם אם הוא נדון לחזור לראשיתו של כל ציר בנפרד, זה לא מחייב אותו לחזור לראשית *סימולטנית* בשלושת הצירים, שזה מה שדרוש כדי לחזור לראשית של המרחב. ייתכן שהוא חוזר שוב ושוב למישור X=0, וגם למישור Y=0, וגם ל-Z=0, אבל אף פעם לא לנקודה X=Y=Z=0.

זה, כמובן, לא הסבר אינטואיטיבי לכך שהשיכור המרחבי לא חוזר לראשית, זה רק הסבר אינטואיטיבי לכך שההסבר האינטואיטיבי שלך לא עובד.
מהלך שיכור 191514
גלעד ברזילי • בתשובה לאלון עמית יום ג', 20/1/2004, 10:55
זה דווקא כן הסבר אינטואיטיבי למה שיכור מרחבי לא יחזור לראשית (או לפחות לא בהסתברות 1) - תודה,לא ראיתי את זה ככה.

מצד שני, ההסבר הזה נשמע תקף גם במישור - אז למה במישור הוא כן חוזר סימולטנית?
מהלך שיכור 191517
אלון עמית • בתשובה לגלעד ברזילי יום ג', 20/1/2004, 11:05
בדיוק בגלל זה אמרתי שזה *לא* הסבר מספק לאי-החזרה :-)

זה ששמנו לב שכדי לחזור לראשית במישור, נניח, צריך לחזור לראשית בכל ציר בנפרד, לא אומר שזה לא קורה. נניח (וזה לא נכון) שהשיכור חוזר לראשית, בממוצע, כל אלף צעדים בהילוך החד-ממדי. אז בהילוך שבו בכל רגע יש לו גם סיכוי של 50% לעמוד במקום, הוא חוזר לראשית כל 2000 צעדים בממוצע. אם כך, אז בהילוך המישורי, אחת ל-‏4,000,000 צעדים בממוצע, שני ההילוכים (X ו-Y) חוזרים לראשית וניצחנו.

שוב, זה לא המצב, כי בהילוך החד-ממדי החזרות לראשית הולכות ונהיות נדירות (אם כי *תמיד* הסיכוי ש*לעולם* לא נשוב יותר לראשית הוא *אפס*). עכשיו רואים שיש פה שאלה עדינה קצת של עד כמה סביר ששניים כאלה יקרו סימולטנית.

אני מסכים לגמרי שזה לא אינטואיטיבי לראות שבמימד 1 ו-‏2 כן, וב-‏3 ומעלה לא. זה היופי בתוצאה (של Polya, אגב, אם זכרוני אינו מטעני). איני מכיר, ואיני מצליח לחשוב על, הסבר אינטואיטיבי למצב עניינים מפתיע זה. אם אתה מעוניין בהוכחה היפה, תגיד. נראה לי שעדיף שנצא מהחדר קודם, לבל ניסקל.
מהלך שיכור 191519
אלון עמית • בתשובה לגלעד ברזילי יום ג', 20/1/2004, 11:08
כרגיל, לא חשבתי מספיק, גם בסעיף הזכרון וגם בסעיף הלחשוב, ועוזי וראובן הראו לך הסברים מצויינים. אני באמת עייף.
מהלך שיכור 191515
עוזי ו. • בתשובה לגלעד ברזילי יום ג', 20/1/2004, 11:02
נסמן ב- (P(n את הסיכוי שאחרי n צעדים אנחנו חוזרים לראשית, בפעם הראשונה. ברור שהסיכוי לחזור לראשית אי-פעם שווה לסכום של כל המספרים האלה. בדרך כלל קשה לחשב את (P(n, והרבה יותר קל לעבוד עם ההסתברויות (p(n, שהן הסיכוי שאחרי n צעדים אנחנו נמצאים במצב ההתחלתי (בלי להתחשב בהסטוריה).
מסתבר שהסכום
P(1)+...+P(n)+...
שווה ל- 1 אם ורק אם הסכום
p(1)+...+p(n)+...
אינו מתכנס.

בהילוך שיכור רגיל, קל להעריך את המספרים (p(n: כפי שציין אלון, המרחק מן הראשית אחרי n צעדים (בציר X, למשל), הוא בעל סטיית תקן שורש-n, ולכן הסיכוי להמצא בראשית הוא בערך 1-חלקי-שורש-n. הטור הזה אינו מתכנס.

במישור, צריך להגיע לראשית בשני הצירים *בו-זמנית*, ולכן הסיכוי שווה לריבוע הסיכוי הקודם, דהיינו בערך 1-חלקי-n. גם זה לא מתכנס.
במרחב, צריך להגיע בשלושה צירים בו-זמנית, והסיכוי הוא בערך 1-חלקי-שורש-n-בשלישית; זה כבר מתכנס, ולכן הסיכוי לחזור אי-פעם לראשית אינו 1.

(הנימוק הזה מראה שהסיכוי לחזור לראשית אינו 1 ברגע שהמרחב ממימד גדול במשהו מ- 2, הרבה לפני שהוא נהיה 3).
מהלך שיכור 191521
גלעד ברזילי • בתשובה לעוזי ו. יום ג', 20/1/2004, 11:16
נחמד מאד, תודה רבה לשלושתכם.

נדמה לי שבאמת ראיתי משהו כזה בפרק של תהליכים מרקוביים מהקורס מבוא לאותות אקראיים (הכוונה למשפט בתחילת דבריך). חבל שלא נתנו לנו כבר את הפוש האחרון ליותר מימדים.

שנה אחרי המבחן ונשאר רק זכרון מעורפל...
מהלך שיכור 191523
אלון עמית • בתשובה לעוזי ו. יום ג', 20/1/2004, 11:24
ונותר רק לשאול, מה מימדו של הילוך השיכור הרעיוני הקרוי "האייל הקורא", והאם מובטח שב(אינ)סוף אפשר יהיה למצוא בארכיון דיונים ב*כל* המשפטים במתמטיקה?
מהלך שיכור 191528
ראובן • בתשובה לאלון עמית יום ג', 20/1/2004, 11:34
לא יודע, אבל נדמה לי שעוזי(?) ( מנוע, מנוע) הסביר פעם מה זה התפלגות זיף באמצעות מספר התגובות למאמר באייל.
מהלך שיכור 191534
ערן בילינסקי • בתשובה לראובן יום ג', 20/1/2004, 11:59
תגובה 107150
(וגם טל: תגובה 105120)
מהלך שיכור 191516
ראובן • בתשובה לגלעד ברזילי יום ג', 20/1/2004, 11:04
כן אבל זה צריך לקרות בו זמנית.
תחשוב ככה ‏1 - אנחנו כבר יודעים שאחרי N צעדים יש מין ענן בקוטר של בערך שורש N שם השיכור כבר היה. במישור, אם תדחוף N צעדים בעיגול בקוטר שורש N, יש סיכוי טוב שתפגע בכל הנקודות ( ופוליה מוכיח שב N הולך לאינסוף, בוודאות פוגעים במרכז), בשלושה מימדים, *חייבים* שיהיו חורים- כדור בקוטר שורש N מכיל N בחזקת 1.5 נקודות אבל יש לנו רק N צעדים של השיכור. ולכן הסיכוי חייב להיות קטן מ 1
. כמה קטן- זה כבר עבודה.

‏1 הנימוק היותר מסודר הוא של פוליה כמובן.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות