בתשובה לאלון עמית, 11/01/04 20:07
יש שלוש דלתות 189978
קורא נבוך • בתשובה לאלון עמית יום ב', 12/1/2004, 9:41
טיעונים. אם מדובר בנוסחאות אז בכלל חבל''ז.
ייתכן 190316
אלון עמית • בתשובה לקורא נבוך יום ד', 14/1/2004, 4:11
אבל עדיין סבורני שישנן שאלות מתמטיות המתאימות למדיה האיילית. ננסה (אולי) ונראה.
אוקי, בוא תן אחד פרטיזני, שנראה במה מדובר. 190338
קורא נבוך • בתשובה לאלון עמית יום ד', 14/1/2004, 11:47
ננסה את הצפרדעים. 190449
אלון עמית • בתשובה לקורא נבוך יום ה', 15/1/2004, 0:02
כולם נראים מיואשים מהחידות הקשות של החודש, ולמרות שאני בהחלט עוד מתעניין אני תקוע לגמרי. אז הנה חידונת קטנה שאינה דורשת ידע, רק נייר, עפרון והגיון בריא (ואם אין נייר ועפרון, אפשר גם רק עם הגיון‏1). מי שמכיר (ויש לפחות אייל אחד שאני *יודע* שמכיר, אז דיר באלאק) מוזמן לקשור את ידו המתקתקת.

יש זן של צפרדעים שלא יודעות ללכת, רק לקפוץ, ורק אחת מעל השנייה. כשצפרדע רוצה לקפוץ, היא מביטה באחת מחברותיה, קופצת מעליה, ונוחתת מעברה השני - באותו מרחק בדיוק. הן לא קופצות ביחד כדי שלא יהיה בלגן, רק אחת אחת, והן צפרדעים מאוד חכמות ממוצא יהודי.

ארבע צפרדעים כאלה עומדות בארבע פינותיו של ריבוע מטר על מטר. הן רוצות לתכנן סדרה של קפיצות שתביא אותן בסופו-של-דבר לעמוד בקדקודיו של ריבוע שני-מטר-על-שני-מטר, לא חשוב איפה ולא חשוב באיזו אוריינטציה (כלומר, לריבוע החדש מותר להיות מוטה בזווית ביחס לריבוע המקורי).

האם תצלח תכניתן בידן?

‏1 "The reverie alone will do, if bees are few"
ננסה את הצפרדעים. 190454
מאור גרינברג • בתשובה לאלון עמית יום ה', 15/1/2004, 0:13
נראה לי שהצלחתי להוכיח. לרוץ לספר?
ננסה את הצפרדעים. 190456
אלון עמית • בתשובה למאור גרינברג יום ה', 15/1/2004, 0:19
אם הצלחת, יפה - זה היה מהר (הבאה תהיה יותר קשה...). אולי בדואל, כדי שאחרים יוכלו גם?
ננסה את הצפרדעים. 190460
מאור גרינברג • בתשובה לאלון עמית יום ה', 15/1/2004, 0:28
שלחתי, מקווה שזה נכון.
שיחקת אותה. 190463
אלון עמית • בתשובה למאור גרינברג יום ה', 15/1/2004, 0:47
יפה מאוד. אוקיי, האינטלקט הקולקטיבי לא הכזיב. חכו חכו...

עם זאת, דיון לא היה פה בינתיים, וזה חבל. אולי זו באמת לא דוגמה מוצלחת לחידה שיכולה לעורר דיון. המממ.... בכל אופן, פותרים אחרים מוזמנים לשלוח רעיונות וכיוונים.
אני חושב שפתרתי 190459
האייל האלמוני • בתשובה לאלון עמית יום ה', 15/1/2004, 0:25
אבל אני לא רוצה לקלקל לכולם, ולכן אני שולח במייל.

האם צדקתי?
אני חושב שפתרתי 190464
אלון עמית • בתשובה להאייל האלמוני יום ה', 15/1/2004, 0:53
חוששני שלא דייקת. הנה חידוד של השאלה: הצפרדעים מנסות להגיע לריבוע יותר גדול מהמקורי, לאו דווקא 2 על 2. האם הן יכולות?
קליידיוסופיה 190503
ראובן • בתשובה לאלון עמית יום ה', 15/1/2004, 12:04
טוב, לא הגעתי רחוק. רק חשבתי להדביק מראות לכל צפרדע ולבדוק אילו צורות יכולות להווצר.
שלחתי גם אני את תשובתי 190511
ראובן • בתשובה לראובן יום ה', 15/1/2004, 12:52
אבל היא די מחופפת. אולי זה מספיק מחופף כדי להתחיל דיון?
יריה ציבורית 190579
ראובן • בתשובה לראובן יום ה', 15/1/2004, 22:12
אחרי שירבוט מספר וקטורים הגעתי למסקנה שכל שלוש צפרדעים יוצרות משולש עם אותו השטח, לפני ואחרי הקפיצה. הסתכלתי על משולשים שונים ושכנעתי את עצמי שכל קפיצה כזאת שומרת על הבסיס והגובה של המשולש. יש לי גם הוכחה יותר מכוערת‏1, אבל אני חושב שזה מספיק.

‏1 משהו עם דטרמיננטות של מטריצות אם זה מעניין משיהו.
יריה ציבורית 190597
אלון עמית • בתשובה לראובן יום ה', 15/1/2004, 22:50
אבל מה דין משולש שחברות בו שתי צפרדעים לא קופצות ואחת קופצת? גם הוא, שטחו נשמר?
סתם רעיון - 190601
העלמה עפרונית • בתשובה לאלון עמית יום ה', 15/1/2004, 22:58
מה לגבי ריבוע באוויר? לא תלת מימדי או משהו, (כי אז זה לא יהיה ריבוע) אלא פשוט ריבוע לגובה.
גם תופס?

_________
העלמה עפרונית, ונחיתה כואבת.
סתם רעיון - 190606
אלון עמית • בתשובה להעלמה עפרונית יום ה', 15/1/2004, 23:04
סחתיין על היציאה מהקופסה, אבל השאלה איננה מהסוג המתחכם. הצפרדעים קופצות בביצה מישורית, ומנסות לעמוד בפינותיו של ריבוע אופקי גדול יותר מהמקורי.
שיפור 190631
אלון עמית • בתשובה לאלון עמית יום ו', 16/1/2004, 0:02
כמה פותרים הציעו פתרון הולם לחידה כפי שהיא מנוסחת כאן, וזו אשמתי שהפכתי אותה לטיפה יותר קלה מהרגיל - הייתי צריך לומר שהצפרדעים מנסות להגיע לריבוע יותר גדול מהמקורי, אבל לאו-דווקא 2x2. סליחה שאני משנה את החוקים באמצע.
יש! 190670
ח.גב • בתשובה לאלון עמית יום ו', 16/1/2004, 1:46
מצאתי את הפתרון ואני חייב לרוץ לספר לחברה, אבל לא רוצה לקלקל...
איזו דילמה נוראה.
אז שלחתי דואל לא''ע.
ננסה את הצפרדעים. 190672
ילדה • בתשובה לאלון עמית יום ו', 16/1/2004, 2:48
מזל. מזל גדול שחוקים של ג'נטלמנים לא כובלים אותי מלרוץ ולספר לחבר'ה.

---- ספויילר (?) ----

אם אלה היו שיעורי בית, הם לא היו נראים ככה. יש בפיתרון הנ"ל הרבה נפנופי ידיים, אבל נדמה לי שהם בגבולות הסביר בהתחשב במדיום. אני רק מקווה שמרוב נפנופי ידיים אף אחד לא קיבל סתירה. התשובה: לא.

טענה 1: צפרדעים קופצות רק על הרשת.
נסתכל על ארבעת הצפרדעים מסודרות בריבוע. נדמיין רשת אינסופית של קוים אנוכיים ואופקיים אשר המרחק ביניהם שווה לאורך צלע הריבוע הזה, כאשר הצפרדעים יושבות על ארבעה צמתים כלשהם. הטענה היא שלא קיימת סדרת קפיצות אשר בסופה צפרדע כלשהי לא תשב על צומת. הוכחה מרושלת: נסתכל על שתי צפרדעים אשר אחת מהן קופצת מעל השניה כעל שתי נקודות במישור, המשרות וקטור:
א. קפיצה שומרת על גודל הוקטור, ועל כיוון הוקטור עד כדי סימן.
ב. לכן קפיצה שומרת על הגודל של רכיבי הוקטור.
ג. לכן אם שתי הצפרדעים עמדו מראש על הרשת, גם לאחר הקפיצה הן תעמודנה על הרשת.

טענה 2: הכל הפיך.
אם נתון שהצפרדעים יכולות להמצא בשני מצבים שונים, אז הן יכולות לעבור מכל אחד מהם לשני. פשוט מסתכלים על סדרת הקפיצות שהביאה אותן לשם מהסוף להתחלה: כל צפרדע שוב מסתכלת על הצפרדע מעליה היא קפצה קודם, וקופצת מעליה באותו אופן.

כעת, אם הצפרדעים יכולות להמצא בריבוע שאורך צלעו 2 (או כל גודל אחר שונה מ-‏1), אז מכך שבהתחלה הן נמצאו בריבוע שאורך צלעו 1 ומטענה 2 נובע כי הן יכולות לעבור מהריבוע שגודלו 2 לריבוע שגודלו 1. אבל זו סתירה לטענה 1 על פיה המרחק בין 2 צפרדעים לא יכול להיות קטן מ-‏2.
ננסה את הצפרדעים. 190676
אלון עמית • בתשובה לילדה יום ו', 16/1/2004, 5:32
נו טוף. חבל שקלקלת, אבל אין מה לעשות. הנה הפתרון כפי שאני הייתי מסביר אותו:

הצפרדעים יכולות לקפוץ לכל מיני מצבים, אך לעולם לא תגענה לריבוע גדול יותר (וגם לא קטן יותר). נמקם אותן בהתחלה על דף משובץ, בקדקודי משבצת, ונשים לב שבכל קפיצה צפרדע קופצת מפינה של משבצת לפינה של משבצת אחרת, אבל אף פעם לא ל*תוך* משבצת. אם, למשל, א' קופצת מעל ב' הנמצאת שתי משבצות ימינה ושלוש למעלה, היא תנחת שתי משבצות ימינה ושלוש למעלה מ-ב', וזה נכון מה שלא יהיו הערכים של "2" ו-"3" כאן.

נניח שהצפרדעים מבצעות סדרת קפיצות המסתיימות בריבוע גדול. נסריט את המהלך, ואז נקרין אותו לאחור. מה נראה? צפרדעים מתחילות מריבוע גדול, וקופצות *לפי החוקים* עד שהן מגיעות לריבוע יותר קטן. אבל זה לא ייתכן: אם כך, אפשר להתחיל גם מהריבוע המקורי, בגודל משבצת, ולהגיע לריבוע יותר קטן ממשבצת - וזו סתירה למה שהראינו למעלה.

הפותרים נכונה שכתבו לי: מאור גרינברג, שוטה הכפר הגלובלי, וח.גב. האייל האלמוני פתר (כמעט) נכונה את החידה המקורית, עם ריבוע 2x2.

חוששני שלא שכנעתי שחידות מסוג זה מתאימות לאייל. נהניתם? רוצים עוד? יש כמה שאולי יותר מתאימות ליצירת דיון.
ננסה את הצפרדעים. 192325
ילדה • בתשובה לאלון עמית יום ו', 23/1/2004, 2:13
קלקלתי? באמת?
סליחה.

בכל מקרה, בקריאה חוזרת, אם היה עלי לנסח את הפיתרון שנית, הייתי עושה זאת אחרת משנינו (מכל מערך התחלתי שהוא, לאו דווקא ריבוע, ולכל מספר של צפרדעים - המרחק המינימלי הנתון תמיד נשמר, ותמיד מינימלי, אחרי כל סדרת קפיצות).

אם סלחת, אפשר אולי לשמוע את הפיתרון הפרטי למקרה של 2x2?
ננסה את הצפרדעים. 192340
אלון עמית • בתשובה לילדה יום ו', 23/1/2004, 3:04
הפתרון הכללי שלך כללי מדי, ואינו נכון. קחי שלוש צפרדעים על קו ישר, המרחק בין א' ל-ב' מטר, ובין ב' ל-ג' מאה ואחד סנטימטר, כש-ב' יושבת כמובן בין א' ל-ג'. ג' קופצת ונוחתת ממש מול אפה של א', במרחק קצר יותר מהמרחק המינימלי ממנו התחלנו. התכוונת לומר שלא ניתן להגיע סמוך יותר מאורך הצלע של הסריג הגס ביותר המתאים למצב ההתחלתי.

את 2x2 אפשר לפתור משיקולי זוגיות: שימי אותן על הסריג הרגיל, ושימי לב שהזוגיות של הקואורדינטות נשמרת בכל קפיצה.
ננסה את הצפרדעים. 192651
ילדה • בתשובה לאלון עמית שבת, 24/1/2004, 20:40
אתה כמובן הרבה יותר צודק משאני אי פעם אהיה. תודה!
ננסה את הצפרדעים. 192678
אלון עמית • בתשובה לילדה שבת, 24/1/2004, 22:22
את טועה. להיות צודק אפשר להיות רק לגמרי, ורק באופן משעמם אחד. לטעות, לעומת זאת, אפשר ללא גבול, ובמגוון אינסופי של דרכים.
מכת צפרדעים 192755
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלון עמית יום א', 25/1/2004, 9:01
האם אתה יכול להוכיח כי בחידה המקורית (הצפרדעים בקודקדי ריבוע) אין אפשרות שצפרדע אחת תנחת על אחרת לאחר אחת מהקפיצות?
________________
שכ"ג מנסח את השאלה כאילו *הוא* יודע להוכיח את זה, ומקוה שעד שמישהו ירגיש, אלון או איזה וישנאי יספקו את ההוכחה והוא יחייך כאילו ידע אותה בעצמו. נאיבי.
מכת צפרדעים 192762
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום א', 25/1/2004, 9:46
כן. ההוכחה כבר כתובה בפתיל...
מכת צפרדעים 192765
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלון עמית יום א', 25/1/2004, 9:53
כמובן.
_____________
שכ"ג ממשיך את הבלוף. מישהו אחר כבר ישאל על מה, לכל הרוחות, אלון מדבר.
מכת צפרדעים 192860
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום א', 25/1/2004, 14:44
זוגיות, שטיא, זוגיות. במקום על סריג, הנח לצפרדעים לשחק על לוח-שח גדול (ניחא, אינסופי), ששורותיו צבועות שחור-לבן ואדום-ירוק לסירוגין, וראה זה פלא, כל צפרדע בכל קפיצה שומרת על צבעה משל היא רץ בשחמט (סגולה גדולה להוכיח זאת). והנה, בראשית ניצבת כל אחת על צבע אחר, אז היאך תגיע זו שעל הירוקים לבקר את חברתה שעל הלבנים? אללי, באים חוקי המתמטיקא הרעים והקרים וניצבים בינן לבין שאיפתן האחת - להתנשק ולהפוך לשתי נסיכות מאוהבות.
מכת צפרדעים 192874
שועל • בתשובה לאלון עמית יום א', 25/1/2004, 15:17
כל תיאוריה שמונעת משתי נשים את שאיפתן להפוך לשתי נסיכות מאוהבות אינה מקובלת עלי. בחזרה לשולחן השרטוטים...
כמובן 192884
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלון עמית יום א', 25/1/2004, 15:33
לזה התכוונתי מלכתחילה :-)
ננסה את הצפרדעים. 192785
שוטה הכפר הגלובלי • בתשובה לאלון עמית יום א', 25/1/2004, 10:41
אם אני מבין נכון את המשפט ''לא ניתן להגיע סמוך יותר מאורך הצלע של הסריג הגס ביותר המתאים למצב ההתחלתי.'' הוא לא נכון. תאר לך שלוש צפרדעים על קו ישר אחד ובמרחק שווה - קפיצה של אחת מהקיצוניות מביאה אותה למרחק אפס מזאת שבקצה השני. פלאץץץ. אפשר להכליל את זה בקלות כך שגם הדוגמא שהבאת מסתיימת בכאב ראש רציני לאחת מהצפרדעים.
ננסה את הצפרדעים. 192865
אלון עמית • בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי יום א', 25/1/2004, 14:53
תקן ל"לא ניתן להגיע למרחק חיובי קצר יותר" וגו'. ההוכחה לחידה המקורית בנויה משתי אבחנות: אחת, אם הצפרדעים יושבות על סריג, הן נשארות עליו, ושתיים, אפשר להפוך את חץ הזמן. האבחנה הראשונה (שהיא בעיני החלק הקל בחידה) אומרת בין היתר ששתי צפרדעים *שאינן באותו מקום* (אתה צודק) תהיינה מרוחקות לפחות אורך-הצלע של הסריג. מזה הסקת שהן לא יכולות ליצור ריבוע קטן יותר מההתחלתי, ובגלל חץ הזמן - וזה החלק היפה עליו מגיעות לך ולפותרים האחרים תשואות - גם לא ריבוע גדול יותר.
ננסה את הצפרדעים. 205452
אלון עמית • בתשובה לאלון עמית יום ב', 15/3/2004, 9:47
(אנקדוטה המשעשעת בייחוד אותי, אז אפשר להתייחס לתגובה זו כאילו היא חלק מבלוג). חידת הצפרדעים מופיעה בספרו המוצלח של פיטר וינקלר שכבר הזכרתי כאן אד נוזאום, והוא מנסה כהרגלו לספר מנין הגיעה לאוזניו: הוא שמע אותה ממיקל תורופ, ששמע אותה מאסף נאור, ששמע אותה מ"תלמידי מחקר באוניברסיטה העברית בירושלים". אני די בטוח שתלמידי המחקר הללו הם אנוכי. כמובן שלא אני המצאתי את החידה, אך הנסיבות בהן נתגלגלה לידי לוטות קצת בערפל.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות