בתשובה להפונז, 20/05/16 0:58
 |
|
 |
||
|
||||
 |
יש פה נקודה שאני מתקשה להבין. אם על מסך המחשב אני רואה מעגל מושלם, או אטם גומי או כל דבר אחר, זה לא נחשב שראיתי מעגל מושלם? אני לא יכול לחשב את שטחו על פי עקרונות הגיאומטריה? אי אפשר לקרוא לו עיגול? ומה בדבר משולשים? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא בדיוק עם הנקודה. המעגל (המתמטי) מוגדר כאוסף נקודות שמרחקן מנקודה אחרת (מרכז המעגל) זהה. נקודה (מתמטית) היא גוף חסר ממדים. אין לה אורך, רוחב או עובי. לכן לקו שיוצר את המעגל המתמטי אין עובי ואי־אפשר לראות אותו. מעבר לכך, המעגל על צג המחשב אינו מדויק מכיוון שיש גבול לדיוק התצוגה. התצוגה בצג היא רשת גדולה של פיקסלים: מלבנים קטנים שכל אחד מהם יכול להיות דלוק או כבוי (או ליתר דיוק: בצבע כלשהו). לכן אתה רואה מעגל מפוקסל. זו רק מגבלה אחת. יש אוסף שלם של מגבלות על הדיוק בהצגה של המעגל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן אין שם בעיה, כי המעגל המתמטי נוצר כהדמיה והשתקפות של אפשרות פיזית. אם בנית גלגל שבין הציר לסוליה יש מרחק שווה בכל נקודה שתמדוד, הרי זה מעגל מדויק, וכך תוכל לחשב את שטחו של הגלגל או לגרום לו להתגלגל בצורה הקלה והמושלמת ביותר. ההגדרה המופשטת של אוסף הנקודות המקיפות את הנקודה המרכזית, נועדה להסביר, לתאר ולתכנן את המבנה הפיזי הזה. ולמה הנקודה היא גוף חסר ממדים? אם היא עגולה, אז יש לה אורך ורוחב שהם שווים בכל מקום בו תמדוד את האורך והרוחב. איך תגלה את האורך והרוחב? תקריב ברזולוציה גבוהה, כשם שאתה עושה לפיקסלים. אם איננה עגולה, אלא רבועה כמו הפיקסלים החמודים שלנו, הרי שהמרחק בין הנקודות משתנה בין הנקודות שנמצאות במקביל לקודקוד הנקודה הרבועה, לבין הנקודות שנמצאות במקביל לצלעה השטוחה של הנקודה הרבועה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נקודה מתמטית היא גוף חסר ממדים: ככה היא מוגדרת. כתם הדיו שעל הנייר (או אוסף הפיקסלים על הצג) הוא ייצוג מקורב שלה. העניין הוא שהדיוק של המתמטיקאי לא מוגבל. הוא לא מוגבל ביכולתו "לעשות זום אין". נניח שהחלטת שכתם ברדיוס של 0.1 מ"מ (בקושי נראה) יהיה מספיק "נקודתי", הרי שהמתמטיקאי יוכל תמיד להגיד: „אני רוצה להסתכל על הסביבה ברדיוס של 0.01 מ"מ סביב מרכז הכתם״. לדוגמה, <קישור https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_zo... הנה> תוצאה של זום אין כזה (גם אם בתוספת הזזה) על המבנה המורכב שנקרא קבוצת מנדלברוט [ויקיפדיה]. אי אפשר להניח כתם בעובי של 0.1, או 0.01 או אפילו 0.00001 ולקוות לקרוא לו "נקודה": עם זום מספיק גדול הוא יראה כמו כתם ענקי. לכן אין בררה אלא להגיד שהנקודה המתמטית נשארת ללא עובי בכל זום שלא נבחר: אין לה עובי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וכל זה משחק בהגדרה הפשוטה של מעגל, שמדמה את הגלגל או שימושים אחרים בעולם המציאותי. לכן באמת אין לך ברירה אלא להגיד שהנקודה המתמטית נשארת ללא עובי, בגלל ההקבלה לעולם האמיתי. אם תנסה להפוך את הנקודה לרבועה, תהיה לך בעיה - בגלל ההקבלה לעולם האמיתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדיון הכללי אני לא יכול להוסיף - קשה לי להבין את כל הצדדים. אז אתמקד בנקודה הספציפית הזו: אחת הדרכים האלגנטיות ביותר לתקוף את הנושא, היא לחשוב על נקודה כאוסף מקסימלי של סביבות עם חיתוך לא ריק. זו הפרספקטיבה של "דואליות סטון" - ומנקודת המוצא הזו, שלכאורה אינה קשורה כלל לויזואליזציה הרגילה של נקודות וצורות, מתקבל קשר מפתיע ועמוק בין גיאומטריה, אלגברה ולוגיקה. למשל, אפשר לנסח אנלוגיה מפורשת ויפה בין ידע קונקרטי על העולם לבין נקודות גיאומטריות. כך שבאופן כללי, כנראה שלא נכון לומר שעל נקודה תמיד אפשר להתמקד עוד ועוד - כי ישנם מרחבים בהם זה לא נכון (ישנן דוגמאות קלות למקרים כאלה, כמו למשל מרחב בין 2 נקודות המצוייד בטופולוגיה דיסקרטית). אבל איך שלא הופכים בעניין, די ברור שבאמת לנקודות אין עובי בשום מובן מעניין. אפשר למצוא כאן הסבר קצת יותר מפורט שכתבתי על דואליות סטון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המעגל על מסך המחשב הוא אחד הבלתי מושלמים ביותר שיכולת למצוא, מפוקסל ומעוות לגמרי. תעשה זום או תסתכל בזכוכית מגדלת על אחד מחלקיו, ותראה שלא היית מזהה אותו כמעגל אם היית רואה אותו ברזולוציה הזאת, סתם כאוסף ריבועים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לכן גם המחשבון השולחני הפשוט הוא כל כך לא מושלם כי הוא משמיט כמה ספרות אחר הנקודה. לא צריך לנטפק ולראות הכל ברזולוציה הגדולה ביותר כדי לקבל את ממשות הדברים. להיפך. לפעמים כשאתה רואה דברים ברזולוציה גדולה מדי, אתה לא רואה מים אלא אוסף של מולקולות שחלקן בכלל לא שייכות למים אלא ליצורים זעירים שחיים בהם. אז אין מים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מפספס את ההקשר, תקרא את כל הפתיל קודם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה היה ההקשר. אגיב שם בנפרד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, ולמעגל אין שטח. זה ההבדל בין מעגל לעיגול. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |