בתשובה להפונז, 02/09/15 13:50
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אם אני יכול לצפות שהוא יהיה עגול? הנה החישוב: המספר הזה הוא בין 4900 ל־6400. לכן אם הוא ריבוע, הוא ריבוע של שבעים ומשהו. הוא מסתיים ב־9 ולכן המספר מסתיים ב־3 או ב־7. די סביר שמדובר על 73 ולא על 77. עכשיו צריכים רק לבדוק. 73 בריבוע: אפשר לעשות את זה עם כפל ארוך. אפשר גם לחשב לפי הנוסחה של (a+b)^2 = a^2 +2ab +b ^2 או בפרט: (10a+b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2. לכן: 73^2 = 100 * 49 + 20 * 21 + 9 = 4900 + 420 + 9 = 5329 מה מקיצורי הדרך שבהם השתמשתי נראה לך סביר לתלמיד ששולט במידה סבירה בחומר? אבל עכשיו כשאני חושב על זה, יכולתי לחזור אחורה לפי אותה הנוסחה: (5329 - 4900) / (2 * 70) = 429 / 140 = 3 + 9/140 = 3 + 3^2/140 ולכן התשובה היא 73. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
יש שם שורה שיושרה לכיוון הלא נכון: A: (5329 - 4900) / (2 * 70) = 429 / 140 = 3 + 9/140 = 3 + 3^2/140 (משום מה שימוש ב־LRM לא עזר שם. לא ברור לי למה)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל זה נחמד, אבל אפילו אם זה לוקח לך עשר דקות (כתבתי שם 'זמן סביר') מתוך שאלה, שיש לך 30 דקות לענות עליה, זה נראה לי בזבוז זמן במקום הלא נכון. ותחשוב מה קורה בכל החישובים שכתבת אם במקרה התחלפה לך ספרה בטעות. בשביל לבדוק את יכולת הכפל שלך בחשבון עשינו מבחנים כאלה בכיתה ד' או ה'. לבזבז את זמנך על זה בפתרון בעית תנועה או גיאומטריה אנליטית בכיתה י"א נראה לי מיותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לקח לי זמן להסביר את זה. לא לקח לי כמעט זמן להשתכנע שזה כנראה 73. הבדיקה לקחה עוד כשתי דקות. ומה אם התחלפה לך בטעות ספרה בהקלדה במחשבון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, צפריר, אתה יודע, זה יכול היה גם להיות 519841. הענין הוא שאתה כתבת הרבה יותר ספרות (בערך פי חמש) מאשר הארבע ספרות המקוריות שצריך להכניס למחשבון וללחוץ שורש. וחוץ מזה לא כולם תותחים כמוך :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין הוא שרוב החישוב היה בבדיקה. הניחוש הראשון היה די מיידי. ואם טועים בחישוב הבדיקה, זה פחות נורא. לעניין 519841: זה באמת לקח קצת זמן, למרות שנתת לי מספרים פשוטים יחסית (במיוחד לאחר הפעם הקודמת) מסתכלים על ההפרש מ־490000, (29841) מחלקים ב־700*2 = 1400 . מקבלים קצת יותר מ־20. (28000) ליתר דיוק: קצת יותר מ־21 (29400). ליתר דיוק: ההפרש הוא 441: 21 בריבוע. כלומר, המספר הוא 721 בריבוע. אבל גם בלי לזכור את הריבוע של 21: כבר אחרי שרואים שזה "קצת יותר מ־20", נשרארנו עם שתי אפשרויות לפי הספרה האחרונה: 721 או 729. אבל קל לפסול את 729: סכום הספרות לא מתחלק ב־9, ובכלל, הוא רחוק מדי. (טוב. אני מוותר מראש על מספרים גדולים יותר) אני לא חושב שמדובר על "תותח". מדובר על כך שאני טורח מדי פעם לתרגל חישובים (אבל כנראה שלא מספיק. הוצאת השורש הזו הייתה עבורי חידוש). לכן אני לא נרתע אוטומטית אם נדרש חישוב ללא עזרת המחשבון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה מאד. יש לי בכל זאת הערה יותר כללית - למרות הבלבול הנפוץ, מתימטיקה, וודאי מתימטיקה 'גבוהה', איננה חשבון. עם זה שיש קורלציה כלשהיא בין אנשים בעלי יכולת חישוב מספרית לבין מתימטיקאים טובים, שתי הקבוצות האלה אינן חופפות. יש אנשים שיכולים להכפיל בראש שני מספרים של 5 ספרות במהירות הבזק, אבל הם לא מתמטיקאים דגולים למרות זאת. ומולם יש פרופסורים למתימטיקה שיכולת החשבון שלהם - גם אם היא מן הסתם גבוהה קצת מהממוצע - איננה מן המרשימות. היכולות שנדרשות בלימוד מתימטיקה באוניברסיטה (והייתי גוזר מכך שראוי שגם קצת בתיכון במגמה מוגברת) מערבות הפשטה, ראייה1 גאומטרית ומרחבית, הבנה של מושגים בדרגות שונות של קושי, הבנת ומציאת הוכחות למשפטים, תפיסות חדשות של מערכות שרחוקות מאד מעולם המספרים ה'טבעיים', קישורים בין תורות שונות ועוד ועוד. ולכן, דוקא מתוך גישה אוהדת למורי התיכון, אני חושב שההתמקדות בבעיות יותר 'מתימטיות' ופחות בבעיות של חשבון, בכיתות הגבוהות, היא בכיוון הנכון. 1 לעניות דעתי ככלל מתימטיקה דורשת סוג של 'ראייה' או המחשה/ויזואליזציה במח, שהקשר שלהן לפעולות החשבון הבסיסיות הוא חלש אם בכלל. אפילו בתיכון בגיאומטריה אנליטית או בהנדסת המרחב, היכולת ליצור בראש תמונה של הבעייה נראתה לי תמיד קודמת וקריטית יותר מהשלב של השמת הפרמטרים והחישוב הסופי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העניין הוא שהמנגנונים הקיימים במוחות של מתמטיקאים נבנים ונתמכים בחלקם על ידי חישובים פרוצדורליים שכאלה. כמובן שתלמיד ממוצע לא יהפוך לזוכה מדליית פילדס כי למד לעשות 79 * 24 מהר, אבל יש ראיות מסויימות לכך שהוא כן יהפוך לבעל כישורים מתמטיים טובים יותר (שעוזרים גם למהנדסים, כלכלנים, מתכנתים, עוזרות גננת וכו') אולי דוגמא טובה יותר - האם אתה באמת חושב שללמוד איך, עקרונית, פותרים מד"ר ולראות דוגמא, נחרת בזכרון כמו לפתור כמה עשרות דוגמאות? מקנה לך הבנה של אופי הפתרונות כמו להסתכל על כמה בקרביים? כמובן שאני יכול לשאול: אבל אני לא חושב שאני לומד מזה משהו על תכונות של הפתרונות וגם אם כן, אני לא חושב שיש סיכוי ש(לפחות מתמטיקאי גרוע כמוני) יזכור איך עושים את זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המאמר נשמע מעניין, אשמח להתעמק בו במועד מאוחר יותר, ואז אולי להגיב באופן מושכל. באשר לשאלה שלך - אין לי ספק שעשרות דוגמאות זה הרבה יותר טוב, ואתה מתפרץ פה גם לדלת פתוחה - אני עקבי בטענתי, מול דעות נפוצות לאחרונה, שלימוד שכולל שינון וחזרה הוא רב ערך ומהותי ביכולות שהוא מקנה למוחו של הלומד. והוא לא אורתוגונלי ל'הבנה' שמועלית לאחרונה על נס כמלכת הלמידה. אבל אני חושב שזאת שאלה קצת אחרת מזו שדיברנו עליה (למשל כי שינון ועשרות דוגמאות אפשר ליישם גם על חישובים מספריים וגם על בעיות במתימטיקה גבוהה במרחבים מופשטים שרחוקים מאד מחשבון כמותי מסוים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצטרף אליך, כתמיד, בעניין השינון והחזרה. לטעמי יש דבר אחד בעולם שאין לו תחליף והוא הניסיון. אמנם שינון וחזרה הם צורה נמוכה יחסית של ניסיון, אבל טוב ציפור אחת ביד. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |