בתשובה להאייל האלמוני, 26/12/13 14:11
 |
|
 |
||
|
||||
 |
זאת אומרת שאין במה שכתבת ממש טעויות, כמו שהדברים פשוט לא כל כך קשורים לאיזשהי מציאות. אפשר לחשוב שהפקולטות למתמטיקה מאוכלסות ב-"גאומטריקאים פורוייקטיבים" וב-"גאומטריקאים היפרבוליים" שנוהמים זה לעבר זה בבוז ובעוינות משל היו הם אריאנים ואלכסנדרונים בועידת ניקיאה. בכלל, הניסיון לקטלג אקסיומות מתמטיות כ-"רציונאליות" או כ-"לא רציונאליות", או לגזור ביניהן אנאלוגיה לערכים מוסריים (או אפילו להנחות פיזיקליות) הוא... נו, כבר כתבתי: Not even wrong. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה, כן? אפילו האובייקטים הכי פשוטים במתמטיקה, מספרים, יכולים להיות רציונליים או לא רציונליים. והטענה שלך ש"הדברים פשוט לא כל כך קשורים לאיזשהי מציאות" גם היא תמוהה בעיני, על מספרים ממשיים ודמיוניים (שלא לדבר על מספרים סוריאליסטיים) שמעת? שמעת. ובאשר לערכים מוסריים, מהו משפט הסדר הטוב אם לא טענה מוסרית? ויונתן אורן נ.י היה בטח מזכיר כאן לכולנו שהרציונליות עצמה לא ניתנת להצדקה באופן רציונלי בלי ליפול למלכודת הטיעונים המעגליים (אמנם בהעדר רציונליות אין בכך שום רע, אבל זה לא מוביל אותנו לשום מקום). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה? קראתי שוב את תגובה 626217 וממש לא ברור לי מה גרם לך לחשוב שאני טוען "שהפקולטות למתמטיקה מאוכלסות ב-"גאומטריקאים פורוייקטיבים" וב-"גאומטריקאים היפרבוליים" שנוהמים זה לעבר זה בבוז ובעוינות". לא ברור לי גם איפה אתה מוצא שאני "מקטלג אקסיומות מתמטיות". בכלל, לא ברור לי מה הקשר בין התגובה שלי לשלך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במתמטיקה יש לא מעט דיונים רציונליים על הדרכים לקבלת אקסיומות. מעבר לכך הדוגמה שנתת על שאלת המשולש מטעה: בשתי המערכות השונות קוראים לצורה מסוימת "משולש" ומדברים על "שטח", אולם ההגדרות של שני המושגים יכולות להיות שונות. אם תגדיר את המושגים בצורה מדויקת תוכל לדבר גם במסגרת הגאומטריה האאוקלידית על הצורה השקולה למשולש של הגאומטריה היפרבולית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מעבר לכך הדוגמה שנתת על שאלת המשולש מטעה: בשתי המערכות השונות קוראים לצורה מסוימת "משולש" ומדברים על "שטח", אולם ההגדרות של שני המושגים יכולות להיות שונות" - אתה בטוח ש"מטעה" היא המילה בה רצית להשתמש? אני הייתי משתמש ב"מדוייקת" (ז"א "הדוגמה שנתת על שאלת המשולש מדוייקת: בשתי המערכות השונות...", זה הרי מה שרציתי להגיד, זה מה שאמרתי, ולגמרי לא ברור לי מה מטעה בזה) (אגב, אתה יודע שגאומטריה היפרבולית וגאומטריה פרויקטיבית הן לא אותו הדבר?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנקודה היא שכאשר מדברים על "משולש" ועל "שטח" מדובר על קיצור נוח למושגים של "משולש לפי הגאומטריה האיאוקלידית"1 ו"שטח לפי הגאומטריה האיאוקלידית" ובהקשר אחר על "משולש לפי הגאומטריה ההיפרבולית"1 ו"שטח לפי הגאומטריה ההיפרבולית"1. כאשר פועלים לפי כללי הדיון המתמטי המושגים צריכים להיות מוגדרים היטב ולכן אין סכנה של בלבול בין זוגות המושגים. כלומר: הדיון בשאלה "במהם המושגים שבהם נשתמש" גם הוא דיון רציונלי. הוא לא בהכרח דיון מתמטי פורמלי, אבל הוא רציונלי. אין משהו דומה ל"חוג חובבי אאוקלידס" ו"פרוייקט הפרוייקטיביות" שיעשו נפשות לשימוש בגאומטריה דווקא לגרסתם. (כן, אני יודע. זה הפך את הדוגמה לפשוטה יותר) 1 או ליתר דיוק: של מושג יותר מסובך. אבל הכוונה ברורה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נפתח בשלוש עובדות: 1. דיברתי על הגיאומטריה הפרויקטיבית (ולא ההיפרבולית). 2. בגיאומטריה פרויקטיבית אין למשולשים שטח. 3. כשכתבתי את תגובה 626217 התכוונתי ל-1 וידעתי את 2. עכשיו, תחת הנחת הענווה שהעלה ירדן למטה, ותוך כדאי ידיעת שלושת העובדות שלמעלה, אני מציע לך לקרוא את התגובה שלי שנית ולחשוב מחדש מה רציתי להגיד, ולמה הדוגמא שנתתי לא רק לא "מטעה", אלא מדוייקת (ורק ענווה מונעת ממני מלומר "מבריקה"). אם זה עדיין לא יהיה ברור, אשמח להסביר את עצמי, אבל לא מנקודת הנחה שאני אדיוט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי בעיון את אותה התגובה. התייחסתי בעיקר למשפט "אחרי שנבחרו האקסיומות באופן לא רציונלי, ואחרי שהסכמנו על הסקה לוגית כהסקה לגיטימית יחידה". אתה מוזמן להסביר. כמוכן בדוגמה שלך "שטח" אמור להיות מושג לא מוגדר באחד מ"עולמות המושגים". אתה גם יכול לנסות לנהל דיון על משמעותו של נפח המשולש. גם זה יהיה דיון עקר למדי למרות ש"נפח המשולש" נשמע מושג תקין לפי כללי השפה העברית ושיש משולשים (לדוגמה: הכלי המוזיקלי) שיש להם נפח. המשפט האחרון היה סתם בלבול מוח שנובע משימוש במושגים לא נכונים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קראתי שוב את הפסקה השניה שלי, ואת התגובות שלך ושל עומר ואני חייב להודות שאני ממש לא מבין. מדובר בפסקה מאד קצרה, מאד חד משמעית, שבמפורש לא אומרת את מה שאתם חושבים שהיא אומרת, וממש אומרת את מה שרציתי שתאמר. ובכל זאת, אתם מתעקשים להבין אותה בדרך אחרת, דרך שלגמרי לא ברורה לי. אולי יעזור לי אם תגידו לי מה אתם חושבים שכתוב שם. לצורך העניין, בו נגיד שאנחנו לא מדברים על השאלה אם האקסיומות של המתמטיקה נבחרות באופן רציונלי, אלא על השאלה האם צריך לאפות לחם לפני האכילה שלו. אם אני לוקח את הפסקה השניה שלי כמו שהיא, בדיוק את אותו מבנה לוגי ולשוני, ורק מחליף את הנושא, יוצא לי משהו כזה: "כמובן שצריך לאפות לחם לפני האכילה, אחרי שהתפחנו את הבצק, ואחרי שאפינו את הלחם, אז אפשר לאכול את הלחם. ברור שאכילת בצק שלא נאפה היא לא אכילת לחם. אכילת לחם יכולה להתקיים רק לאחר האפיה." עכשיו, תסבירו לי איך עומר רואה בזה שאני טוען שאנשים נוהגים לאכול בצק לא אפוי?! ואיפה אתה רואים כאן דוגמא מטעה?! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא רוצה לכתוב בשם עומר. מה שאני רואה כאן הוא הנחה מובלעת שלך שהבצק נאפה. אני חולק על ההנחה הזו. אני חוזר להגד "אחרי שנבחרו האקסיומות באופן לא רציונלי, ואחרי שהסכמנו על הסקה לוגית כהסקה לגיטימית יחידה". אתה יכול להסביר למה אתה טוען שהאקסיומות לא נבחרות בצורה רציונלית? לטעמי הדיון על בחירת האקסיומות וכללי ההיסק במתמטיקה הוא דיון רציונלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אין לי שום הנחה מובלעת1 (מלבד להנחות המובלעות הרגילות שקיימות בכל תגובה2) בדיוק כמו שלא היתה לי דוגמא מטעה. אם משפטים כל כך פשוטים וחדי משמעות עוברים אצליך איזה פרשנות לא מובנית (לי) איזה סיכוי יש לי להביא נימוק למשהו בצורה שתבין אותו, ולך נימוק שישכנע אותי שאני טועה בצורה שאני אבין אותך? הייתי רוצה שלפני שנמשיך בדיון תסביר לי בדיוק מה מטעה בדוגמא שלי (שכאמור, מביעה בדיוק את מה שרציתי לומר) ואיך יש לי הנחנה מובלעת (שהיא הרי תנאי מפורש), או שתסכים איתי שלא היו דברים מעולם. (מצד שני, בהתחשב בפער ההבנה ההדדי ביננו, יכול להיות שאנחנו בכלל מסכימים... לי ברור שאתה לא מבין את מה שאני כותב, שאתה מוצא דוגמאות מטעות והנחות מובלעות במקום בו הן לא קיימות, אז אין לי סיבה להניח שאני מבין את מה שאתה כותב) 1 ובפרט, לא ההנחה שהבצק נאפה, או, אגב, בכלל שקיים בצק. 2 שימוש בשפה עברית, קבלה של הסקה לוגית, אי אמירה של המובן מאליו וכו'3 3 ועל פניו, אלה היו הנחות מוטעות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסוח מחודש של שאלת ההבהרה. בתגובה 626217 כתבת "כמובן שמתמטיקה עצמה היא שיטה רציונלית, אחרי שנבחרו האקסיומות באופן לא רציונלי, ואחרי שהסכמנו על הסקה לוגית כהסקה לגיטימית יחידה, אז אפשר לדון דיון רציונלי על המסקנות.". אתה יכול לתת דוגמה לבחירת אקסיומות לא רציונלית (כלומר: לתהליך לא רציונלי של בחירת אקסיומות)? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(ז"א שאתה מסכים שהדוגמא שלי לא היתה מטעה?) מה משנה ה"תהליך"? אני לא נמצא כאן על תקן של פסיכולוג או היסטוריון. אם אין לך ביסוס לוגי לאקסיומות, אז הן לא נבחרו באופן רציונלי. אם יש לך ביסוס לוגי לאקסיומות, אז הן לא אקסיומות. איזה ביסוס לוגי יש לאקסיומה הראשונה של אוקלידס? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מניח שיש לך השכלה מתמטית סבירה ואתה מכיר את הביסוס של האקסיומות האוקלידיות על סמך הגאומטריה האנליטית שגם אותה אפשר לפתח ממערכת אקסיומות בסיסית יותר. האם זה אומר שהן לא אקסיומות? זה נותן להן בסיס רציונלי: הן מתאימות לעולם שלנו והן בדוקות ומוכרות. לדוגמה: הן כלי לימודי לא רע להבנת ההוכחות המובנות, כמו שצוין באחד הדיונים הקודמים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הן מבוססות על אקסיומות אחרות הן לא אקסיומות. נקודה. אמנם אפשר היה לבנות את הגיאומטריה האוקלידית בעזרת אקסיומות אחרות, אבל אז הן האקסיומות, והאקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית הם משפטים (ולא אקסיומות) במערכת הזאת. אין שום דבר ''בסיסי יותר'' באקסיומות של הגיאומטריה האנליטית, הן פשוט מערכת אקסיומתית אחרת (שגם היא נבחרה באופן לא רציונלי), שגם אותה אפשר לבנות בעזרת מערכת שלישית (או בעזרת הגיאומטריה האוקלידית). לא, זה לא נותן להן ביסוס רציונלי. הן אמנם כלי נהדר, אבל זה לא הופך אותן לרציונליות. אם היה להן ביסוס רציונלי לא היית יכול לבנות מערכת אקסיומתית עם אקסיומות שסותרות אותן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שחוסר ההסכמה בינינו מובן. למיטב הבנתי הפירוש שלך למילה ''אקסיומה'' אינו הפירוש המקובל. גם המובן של ''לא רציונלי'' לא נראה לי ברור. נתתי דוגמה לשיקולים שנראים לי רציונליים ואתה דוחה אותם בטענה שאינם רציונליים. יכול להיות שאתה מבלבל בין ''בניה פורמלי'' לבין ''שיקולים רציונליים''. נראה לי שזה הזמן להסכים שלא מסכימים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ויקיפדיה אומרת ש"במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. טעות נפוצה היא שאקסיומות הינן "אמת אינטואיטיבית ובסיסית הברורה מאליה", אולם אקסיומות אינן מחייבות ניסוח שכזה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אשר עליה אין מנסים לערער (שכן מדובר בקביעה). " אתה מכיר הגדרה אחרת?! ואתה טוען שהיא מקובלת?! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובה 626306 כתבת שאם אקסיומות הגאומטריה האוקלידית ניתנות להסקה מאקסיומות אחרות הן אינן אקסיומות. כאן אתה כותב שאקסיומה היא הנחה בסיסית במערכת לוגית מסוימת. כלומר: במערכת הלוגית של הגאומטריה האוקלידית, חמש האקסיומות הן אקסיומות. אני עדיין לא מבין מהי אקסיומה לדעתך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקסיומה "לדעתי" היא: הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. מכאן יוצא שאם היא ניתנת להוכחה הרי שהיא לא הנחה בסיסית אלא משפט באותה מערכת לוגית. כאילו, דה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האקסיומות נבחרו בדרך רציונלית מפני שהן חלק ממודל מועיל. הגאומטריה האוקלידית היא מערכת אקסיומטית, יש בה אקסיומות וחוקי גרירה ומשפטים. ביחד כל אלו הם מודל שמיצג את המציאות. התועלת שבמודל היא שהוא מאפשר חישובים ובניות שניתן להשליך מהן על המציאות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זאת ההגדרה האישית שלך ל''רציונלי''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למיטב ידיעתי אתה טועה. ההגדרה המקובלת של רציונליות היא התנהגות המקדמת את המטרה. ראה http://lesswrong.com/lw/31/ ראה סעיף 1 ב-http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%9... ראה http://en.wikipedia.org/wiki/Rationality |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוודאי לא במתמטיקה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מהי רציונליות במתמטיקה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסקה לוגית מאקסיומות בלי קשר ל''תועלת'' שלהם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאתה מבלבל בין רציונליות להסקה פורמלית. לטעמי הרציונליות היא של שיקולי המתמטיקאי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסבר1 פרט2 ונמק3... 1 למה אתה מתכוון: "שיקולי המתמטיקאי"? 2 לאיזה שיקולים אתה קורא רציונלים ואיזה לא? 3 הבא מקום בו מישהו מתייחס ככה לרציונליות במתמטיקה - ובפרט בהתייחסות לתגובה שפתחה את הפתיל תגובה 626213 |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |