בתשובה למיץ פטל, 17/02/02 22:20
 |
|
 |
||
|
||||
 |
לנוחות הקוראים (?) אני מפרסם את תשובתי בחלקים. העדר מוזמן להגיב כבר עתה לחלק הראשון, אך אני אשיב רק בסוף החלק האחרון. ובכן, חלק א' ------ תחילה אתאר משחק קוביות השקול לבעיה הנתונה. זהו משחק לשחקן אחד. בכל תור השחקן מטיל קוביה. אם יוצא לו 6 - הוא עובר בשער הניצחון והמשחק מסתיים. אם יוצא לו 1 או 2 - הוא עובר בשער ההפסד והמשחק מסתיים. שאלה: חיים משחק במשחק. מה הסיכוי של חיים לנצח? תשובה: נסמן ב-H את המאורע "חיים מנצח" שאת הסתברותו אנו מעוניינים לחשב. ב- Hy נסמן את המאורע " חיים מנצח בתור y" וב- Dy את המאורע "המשחק מסתיים (מסיבה כלשהי) בתור y". למען הסדר הטוב נסמן ב- D את המאורע הוודאי, ונקרא לו "המשחק יסתיים (מתישהו)". אם תרצו - יש כאן הנחה נוספת. P(H1997 | D1997) = 1/3 החוקים לא משתנים עם התורות, לכן לכל yP(Hy | Dy) = 1/3 מובן גם שP(H | Dy) = P(Hy | Dy) ועכשיוP(H) = sum over all turns y of P(Dy)*P(H | Dy) ניתן להוציא את הגורם השני אל מחוץ לסכום, כי הוא לא תלוי ב- yP(H) = P(H | D1997) * (sum over all turns y of P(Dy)) מובן שהסכום שווה להסתברות של D, כלומר ל-1 ולכןP(H) = P(H | D1997) = P(H1997 | D1997) = 1/3 האמנם זהו הסיכוי לנצח במשחק?תשובה: כן! המשך בחלק ב' |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
יותר מכך, נאמר ששני חייזרים נוחתים באולם בו שקועים מאות אנשים במשחק הקוביות הדכאוני דלעיל. החייזרים מנסים לגלות מה הסיכוי לנצח במשחק, בלי לדעת מהם החוקים. חייזר אחד סופר כמה אנשים עוברים בשער הניצחון, וחברו - כמה עוברים בשער ההפסד. מסתבר להם שמספר העוברים בשער ההפסד כפול ממספר העוברים בשער הניצחון. משמע, על כל שלושה אנשים שיוצאים מהאולם, רק אחד מנצח. מסקנה: הסיכוי לנצח הוא שליש. האמנם זהו הסיכוי לנצח במשחק? תשובה: כן! עתה עוברים החייזרים לאולם אחר, בו שקועים מאות ישראלים במשחק הקוביות הדכאוני דלעיל. ישראלים הם עם חמום-מוח וחסר סבלנות, כפי שיסתבר לחייזרים במהרה. ישראלי שלא מצליח לנצח לאורך חמישה תורות, קם ועוזב בזעם דרך שער ההפסד. ראשית, נחשב לעצמנו את הסיכוי לנצח בגרסה הישראלית של המשחק. כל החישוב שעשינו לעיל נכון, בהבדל אחד - ההסתברות P(Hy | Dy) = 1/3 נכונה רק עבור חמשת התורות הראשונים. אחרי חמישה תורות אין שום סיכוי לנצח. לכן את הביטוי: (sum over all turns y of P(Dy יש להחליף בביטוי: (sum over the first five turns y of P(Dy כזכור Dy הוא המאורע "המשחק מסתיים (מסיבה כלשהי) בתור y". בתור הראשון המשחק מסתיים אם יוצא 1, 2 או 6 - כלומר הסיכוי לסיום המשחק הוא חצי. לכאורה זה גם הסיכוי לסיום המשחק בכל תור אחר. למעשה, התשובה שונה. הסיכוי לסיים את המשחק בתור השני הוא חצי *בהינתן שהמשחק לא הסתיים קודם לכן*. הסיכוי שהמשחק לא הסתיים קודם לכן הוא חצי, ולכן:P(D2)=P(D2|NOT D1)*P(NOT D1)=0.5*0.5=0.25 באופן דומהP(D3)=0.125 כמובן שהרבה יותר קל לחשב תחילה מה הסיכוי שהמשחק *לא* יסתיים במרוצת חמשת התורות הראשונים:p(D4)=0.0625 p(D5)=0.03125 P(not D)=(0.5)^5=1/32 ולכן הסכוםP(D1)+P(D2)+...+P(D10)=1-P(not D)=1-1/32=31/32=0.96875 ולכןP(H) = P(H | D1997) * (sum over the first five turns y of P(Dy))= אז זה הסיכוי *האמיתי* לנצח במשחק הישראלי. אבל מה ימדדו החייזרים?= 1/3 * 0.96875= 0.323 תשובה בחלק ג'. אם יש קוראים הם מוזמנים לענות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כבודו מבלף. כבודו סימן ב- D את המאורע הוודאי, שהוא קרא לו "המשחק יסתיים (מתישהו)". ואילו עתה כותב כבודו כי P(not D) = 1/32 אולם ידוע כיP(not D) = 1-P(D) = 1-1 = 0 אבקש לתקן את הטעות לפני שאני ממשיך לקרוא את הדברים, ובפרט לשים לב לכך שלא כל דבר שנראה כמו נוסחת ההסתברות השלמה הוא נוסחת הסתברות שלמה.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, עשיתי לך הנחה והמשכתי לקרוא. יצויין כי מה שקראת לו "הסיכוי *האמיתי* לנצח במשחק הישראלי" הוא למעשה הסיכוי שךל לנצח במשחק *א-פריורי*. הוא המקבילה ל"הסיכוי של זכר ישראלי בן 0 למות מסיבה חיצונית מתישהו מעכשיו והלאה", משהו שאיננו יכולים לחשב בעזרת נתוני הלמ"ס העומדים לרשותנו, גם אם נניח את הנחה א'. זאת מכיוון שבניגוד לדוגמא שלך, לנו אין הנתון "זכרים שגילם z: מספר פטירות ל-100,000 בשנת y, לפי סיבות" עבור אף ערך של z,y, ובוודאי שלא עבור כל ערכי z לכל ערכי y או אפילו כל ערכי z ל-y כלשהו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
*תיקון טעות*: במקום P(not D) = 1/32 צריך להיות P(not D1, not D2, not D3, not D4, not D5) = 1/32 כלומר, הסיכוי שהמשחק לא יסתיים בחמשת התורות הראשונים. זה בדיוק הסיכוי שהמשחק כן יסתיים אחרי חמשת התורות הראשונים, כלומר בעזיבה זועמת של הישראלי את אולם המשחקים.מרוצה? יופי, כי אני לא הבנתי למה אתה מתכוון בסיכוי א-פריורי לנצח במשחק. בפרט, דומני שהשאלה 'מה הסיכוי (של זכר) למות מסיבה חיצונית בארץ המזופתת הזו' שקולה אמנם לשאלה 'מה הסיכוי של זכר ישראלי בן 0 למות מסיבה חיצונית מתישהו מעכשיו והלאה'. אחרת, התשובה שאתה הצעת לא טובה, מכיוון שהיא אינה מתחשבת בגיל או בתוחלת חיים. מתושלח חי שנים רבות יותר, לכן היה לו סיכוי רב יותר למות מסיבה חיצונית, אך המודל שלך נותן תשובה *קבועה* עבור זכר אקראי עם תוחלת חיים ממוצעת. לנו, אמנם, אין נתונים על גיל הנפטרים. אם להשלים את האנלוגיה לטובת הקוראים האחרים (???), הנתונים מהלמ"ס שקולים לנתונים שאוספים החייזרים באולם המשחקים הישראלי. אנחנו לא יודעים את חוקי המשחק, אך אנו יודעים כמה יצאו מהאולם מנצחים (נאמר 41) וכמה יצאו ממנו מפסידים (נאמר 480). המנצחים שקולים לנפטרים מסיבה חיצונית. המפסידים שקולים לנפטרים מסיבות אחרות, ובפרט העוזבים בזעם אחרי חמישה תורות שקולים לנפטרים משיבה טובה. אז מה ימדדו החייזרים באולם המשחקים הישראלי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהמשחק ההסתברותי מיצה את עצמו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי אפשר לדעת מה ימדדו החייזרים, כיוון שזה תלוי בהרכב אוכלוסיית השחקנים בשעה שהם מבצעים את המדידה. אם האולם מלא מפה לפה בשחקנים ותיקים (תור חמישי), התוצאה תהיה שונה מאשר אם הוא מלא בעוללים שזה אך מקרוב באו. בכל מקרה - האולם סופו שיתרוקן, המדידות סופן שלא תעמודנה בהנחה א', ואילו מדינת ישראל אינה מתרוקנת (ככה זה כשצוהלים). בקיצור, אי אפשר לחשב את התשובה לאחת השאלות לפי התשובה לשאלה האחרת מבלי להיעזר בעוד נתונים רבים (למשל: הרכב האוכלוסיה לפי גיל). מבין שתי השאלות, השונות, היחידה שנתוני הלמ"ס והנחה א' מאפשרים לענות עליה היא השאלה "מה הסיכוי של זכר למות מסיבה חיצונית", ואת התשובה עליה כבר סקרתי. אולי יעזור לך לחשוב על השאלה "מה הסיכוי של אזרח ישראלי להיות בעל זכות-בחירה" כדי להבין את המצב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה מתעקש, הפעל את הנחה א' על האולם - התפלגות תורות קבועה באולם, שטף הנכנסים שווה לשטף היוצאים. הן זה המובן של הפעלת הנחה א' על האוכלוסיה בישראל. למעשה, גידול האוכלוסיה הוא הסיבה המרכזית לכך שמספר המתים למאה אלף צנח מ~800 ל~500 משנת 1970 עד 1997. כליל צעיר ממך, לכן מספר השנים שנותרו לחייו גדול יותר משלך, לכן מספר 'הגרלות המוות המוקדם' שנותרו לו לעבור רב משלך. לכן הסיכוי שלו לזכות מתישהוא גדול משלך. לא יתכן שהסיכוי המשוקלל שלך הוא אחד לתריסר, וגם הסיכוי שלו הוא אחד לתריסר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שגם החלת הנחה א' על האולם והוספת "נכנסים" לא מאפשרת לקבוע מה תהיה התוצאה (הקבועה כעת) של המדידה החייזרית, ואם במקרה כן - אז אפשר לשכלל קצת את המשחק באופן שלא. אני לא יכול לאשר או להכחיש שאני יכול בכלל לקבוע אם כליל צעיר ממני. לא יודע מה זה "סיכוי משוקלל", אם אתה מתכוון, שוב, להסתברות מותנית, כלומר א-פוסטריורית, אז הרי שעליך לציין את התנאי. מובן שלגבי כל זכר ישראלי, בדיוק אחד מבין "הנ"ל ימות מתישהו מסיבה חיצונית" ו"הנ"ל ימות מתישהו מסיבה שאינה חיצונית" מתקיים *בוודאות*. השאלה היא, אם אתה מתעקש, מה הסיכוי שבבחירה אקראית של אזרח יתקבל "הנ"ל ימות מתישהו מסיבה חיצונית", ור' הדוגמא מקודם והדוגמא להלן: שווה בנפשך מדינה בה אזרחים אינם משנים את עמדתם הפוליטית לעולם, והיא אחת מבין "כן לזקן" ו"קול לאשכול". האם ניתן לשאול לגביה מה הסיכוי שאזרח הוא בעל עמדת "כן לזקן"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חייזרים שקדנים דיו ימדדו סיכוי של 0.3229 לנצח במשחק הישראלי. שקדונתם נחוצה, כמובן, כדי לספור מספיק אנשים על-מנת לקבוע ארבע ספרות אחרי הנקודה. אני לא יודע למה אתה רוצה לשכלל את המשחק, אך זוהי מדינה חופשית ולכל ארנב מותר להציע בה משחקים משוכללים כרצונו. סיכוי משוקלל וכו' - הסיכוי הכולל למות מסיבה חיצונית ביתרת חייך, בהינתן שאתה בן y שנים וטרם נפטרת. הדוגמא שהצעת שקולה למשחק הראשון שהצעתי, והתשובה חיובית. המשחק הישראלי שהצעתי שקול לדוגמא הבא: שווה בנפשך מדינה בה אזרחים אינם משנים את עמדתם הפוליטית עד גיל 80, והיא אחת מבין "כן לזקן" ו"קול לאשכול". בהגיעם לגיל 80, כל האזרחים מפסיקים לסמוך על זקנים כדוגמתם ומצביעים רק "קול לאשכול". שאלה: האם עכשיו ניתן לשאול לגביה מה הסיכוי שאזרח הוא בעל עמדת "כן לזקן"? תשובה: בודאי! אלא שעכשיו התשובה תלויה בגיל המצביע. ככל שהוא מבוגר יותר, הסיכוי שנדגום אותו בעמדה "כן לזקן" הולך וקטן. אפשר לומר שקיים סיכוי פחות או יותר קבוע למות בכל שנה מתחת לגיל שבעים ומשו, והוא נמוך מחצי אחוז. לעומת זאת, מעל גיל שבעים ומשו עולה באופן משמעותי הסיכוי למות מזיקנה. לכן הלמ"ס (החייזרים) מודד סיכוי של חצי אחוז למות מכל הסיבות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"סיכוי משוקלל וכו' - הסיכוי [...] בהנתן" - דהיינו הסתברות מותנית, כשהתנאי תלוי בבחירת הזכר הישראלי. בקיצור, אתה מנסה לענות על שאלה לגבי הסתבורת מותנית, למרות שהשאלה המקורית שניסחת, והיא השאלה היחידה שאפשר לענות עליה לפי נתוני הלמ"ס בצירוף הנחה א', היא שאלה על הסתברות בלתי-מותנית. תודה ושלום. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בסה''כ צריך לברר, או להעריך, כמה מתים מסיבות שאינן זיקנה. או-אז ניתן יהיה לומר מה הסיכוי למות בטרם-עת, ובפרט מה הסיכוי למות מסיבה חיצונית (ולא, נאמר, מסרטן). החישוב שונה מזה שהצעת, והתוצאה כמובן קטנה יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז ניתן לומר מה הסיכוי *של מי* למות בטרם עת? אני אגיד שוב: אם השאלה היא "בחר זכר ישראלי באופן מקרי. מה הסיכוי שהוא ימות בטרם עת?", הרי שהתשובה היא "לא יודע. תלוי במי בחרת. למשל, זה תלוי אם בחרת במישהו שעושה את דרכו כעת מהגג של עזריאלי העגול לדרך פ"ת בנפילה חופשית, או לא". אם השאלה היא "מה הסיכוי שזכר ישראלי שנבחר באקראי ימות בטרם עת", הרי שאת התשובה (בהנחה א') כבר הצגתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה הסיכוי שזכר ישראלי בן Y שנבחר באקראי ימות בטרם עת או יותר נכון (בכפוף להנחה א') מה הסיכוי שזכר ישראלי שנבחר באקראי ימות בטרם עת במרוצת X שנים התשובה, כמובן, תלויה בX. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הראשונה תלויה ב- Y, השנייה תלויה ב -X, ועל שתיהן הנחה א' והנתונים שברשותך לא מספיקים כדי לענות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מיץ ואנוכי הצלחנו לפתח פיתרון לבעיה מעט מורכבת יותר. בבעיה המקורית הניח מיץ "שטבלאות הלמ"ס לכל שנה זהות לטבלה עבור 1997". הנתונים בבעיה היו: 1. הסיכוי Q של זכר ישראלי למות מסיבה כלשהיא במשך שנה. 2. הסיכוי Z של זכר ישראלי למות מסיבה חיצונית במשך שנה. והנעלמים היו: א. הסיכוי Y של זכר ישראלי למות מסיבה חיצונית בשלב כלשהוא בחייו. בבעיה הנוכחית חלה אותה הנחה, אך נוספת לה הנחת הפשטות הבאה: לזכר הישראלי סיכוי קבוע R למות בכל שנה. זאת עד אשר יהיה בן L שנים, או-אז ימות הנ"ל בשיבה טובה, ובאופן ודאי. כנגד שני הנעלמים שנוספו לבעיה, L וR, נוסף נתון אחד בלבד, הוא תוחלת החיים בלידה T של זכר ישראלי בשנת 1997. הנתונים אם כן: 1. Q=521.4/100000 הנעלמים:2. Z=41.1/100000 3. T=75.9 years א. אורך-חייו L של זכר ישראלי שמת בשיבה טובה. ב. הסיכוי R של זכר ישראלי שגילו נמוך מ-L, למות בכל שנה. וכמובן: ג. הסיכוי X של תינוק ישראלי שאך זה נולד, למות מסיבה חיצונית בשלב כזה או אחר בחייו. הצלחנו לכתוב שלוש משוואות אלגבריות עבור שלושת הנעלמים. הפתרון יפורסם, אי"ה, מתישהוא מחר. עד אז מוזמנים הקוראים החרוצים לשלוח ידם בפירסום פתרונות משלהם. לאחר שיפורסם הפתרון יקיץ הקץ, בתקווה, על החידון, וכולם יוכלו לנשום לרווחה. הולך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לראות בתגובה זו של ליאור גולגר משום הסכמה (או אי-הסכמה) שלי לנכונות הטענות בה, ובפרט ''הצלחנו'' ו''פתרון''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להלן פתרון החידה, או לפחות מה שיש לי ממנו כרגע. בכל שנה קיים סיכוי קטן R למות בטרם-עת. זה נקרא משתנה אקראי מטיפוס ברנולי - כמו הסיכוי להוציא 6 בהטלת קוביה. מי שחי L שנים משתתף ב-L הגרלות כאלו. סכום של הרבה ברנולי נקרא משתנה אקראי מטיפוס בינומי - כמו הסיכוי לזכות בלוטו אם ממלאים טופס כל שבוע. בפרט, אם הסיכוי 'לזכות' R הוא קטן ומספר 'ההגרלות' L הוא גדול, כך שמכפלתם R*L היא מסדר גודל של יחידה, ניתן לקרב את המשתנה הבינומי למשתנה פואסוני עם פרמטר R*L. הסיכוי לא לזכות באף אחת מ-L ההגרלות הוא בקירוב הפואסוני (exp(-R*L. לכן הסיכוי לזכות בהגרלה אחת או יותר, קרי למות לפני הגיעך לגיל L, הוא אחד פחות (exp(-R*L (ניסיתי לכתוב זאת מפורשות, לשווא). הסיכוי למות מסיבה חיצונית הוא Z. אם נפטרת בטרם-עת, הסיכוי שעשית זאת מסיבה חיצונית הוא Z/R. לכן הסיכוי X למות מסיבה חיצונית הוא: X=(1-exp(-L*R))*(Z/R) איך מוצאים את L ואת R?מתוך המשוואות הבאות: א. משוואת ההסתברות הכוללת למות בשנה: Q= [(1-exp(-R*(L+1))/(1-exp(-R)] כאשר לפי הלמ"ס Q=521/100000.ב. משוואת תוחלת החיים: T=(1/R)(1-EXP(-R*L)) כאשר לפי הלמ"ס T=76.את המשוואות האלה ניתן לתרץ היטב, אך אין בידי כרגע הזמן הנדרש. אולי מיץ יאות לכך. בכל אופן, ממשוואה ב' ניתן לחלץ את L כפונקציה של R, ולהציבו במשוואה א'. מקבלים קשר פשוט למדי שאיני מצליח לרשום בצורה קריאה באייל, אך למרבה הצער הפתרון שקיבלתי באמצעות האקסל הוא R קטן מאד מאד, פחות מאחד למיליון. אם אין לי שגיאה זו כמובן בשורה משמחת, אך סבורני שפשוט טעיתי בדרך. טוב, חייב לזוז. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משוואה א' שגויה, איך לא. כיוון שלא הסברתי אותה, גם מי שטרח לקרוא את הודעתי לא היה יכול לעלות על השגיאה. נציג זאת בפשטות באופן הבא. נניח שהאוכלוסיה הכוללת היא O. מנתוני הלמ"ס אנו למדים שמספר המתים בשנה הוא O*Q. עם זאת, מן ההנחה כי הסיכוי למות לא משתנה עם השנים מתחייב שגודל האוכלוסיה לא משתנה (לחשוב בבית: מדוע?). האוכלוסיה נשמרת קבועה רק אם מספר הנולדים בשנה N משתווה למספר המתים, דהיינו עומד על N=O*Q. לכאורה גודל האוכלוסיה O הוא נתון נוסף שיש לחלוב מן הלמ"ס, אבל זה לא חוכמה למצוא שלושה נעלמים על-סמך ארבע משוואות. במקום זאת ננסה לבטא את האוכלוסיה הכוללת O באמצעות מספר הנולדים וכך לצמצם את O מן המשוואה. תחת הקירוב הפואסוני, הסיכוי לשרוד לאורך i שנים (כלומר - להפסיד ב- i הגרלות) הוא (exp(-R*L. מכאן הסקתי שמתוך N אנשים בגיל 0 ישרדו רק N כפול (exp(-R*L. בגיל i. מכאן שהאוכלוסיה הכוללת O היא: =N*sum(i=0:L) [exp(-R)^i] זהו סכום סדרה הנדסית שערכו:=N*[(1-exp(-R*(L+1))/(1-exp(-R)] בהצבת N=O*Q תתקבל, לכאורה, משוואה א'. למען האמת איפה שהיה Q היה צריך להיות 1 חלקי Q, אך ממילא ההיסק המקורי שלי שגוי בתכלית. מספר האנשים שיגיעו לגיל i אינו N*(exp(-i*R, אלא N בהסתברות (exp(-i*R. יחי ההבדל הקטן. יש לסכום על ההסתברויות השונות, ובמילים אחרות - לחשב את תוחלת מספר האנשים שיגיעו לגיל i. לא בשמיים היא, אך לטובת כל הצדדים אני עוצר כאן וחוזר, אם בכלל, רק עם תוצאה סופית. לילה טוב.
|
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |