בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 28/04/10 22:29
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אנסה פעם נוספת. נתאר לעצמנו שמישהו יוכיח ש (A) במערכת שמקיימת <בלה בלה טבעיים> קיימות טענות (משפטים מסדר ראשון) שלא רק אינן יכיחות (בתוך המערכת המסוימת), אלא אינן ניתנות לידיעה1. אין צורך להביא טענה ספציפית כזו - ההוכחה לא צריכה להיות קונסטרוקטיבית או משהו. לכאורה קשה להבין איך אפשר להוכיח דבר כזה, אבל מצד שני קשה גם להבין (עד שרואים את ההוכחה) איך אפשר להוכיח שטריסקציה של זוית כלשהי עם מחוגה וסרגל היא בלתי אפשרית. אז בוא רק נתאר לעצמנו מצב בו מישהו הצליח להראות שקיימת טענה (מסדר ראשון וכו' וכו') שלא ניתן *לדעת* אם היא נכונה או לא. עם ההנחה הזו, מה משמעות הטענה "לכל משפט יש ערך אמת" (או השאלה "האם יש לכל משפט ערך אמת")? עכשיו, יש כאן באיזה מקום באתר הזה מאמר מרשים ומחכים שמדבר על פסאודו-מסקנות ממשפטי גדל, ואני מניח שגם ה"נתאר לעצמנו" שפתחתי בו נופל ברשימה, למרות ש"בלתי יכיח" מתקרב בצורה חשודה ל"בלתי ניתן לידיעה" (אני מבין שיש כשל של "זה לא בלתי יכיח, זה רק בלתי יכיח במערכת מסוימת", ולמרות שיש לי כמה שאלות על זה אשאיר אותן בצד בינתיים). אז אתרחק מאמירה שגדל כבר הוכיח את (A), ונדמיין איזה קורט אחר שיוכיח אותה עוד שנה ושבעה חדשים. אז בלי קשר לגדל, לכו בבקשה לקראתי ובואו נניח שמישהו אכן הוכיח את (A). במצב כזה, הדרך היחידה שאני מצליח לפרש את "לכל משפט יש ערך אמת" היא דרך איזה אלוהים שאכן יודע את ערך האמת של כל משפט (מסדר ראשון בלה בלה בלה), אבל מונע בערמומיות מבני תמותה לדעת אותו. כך שעבור אתאיסטים, לא ברור איך יכול "להתקיים" ערך כזה. אם אתם איתי עד כאן, ואם שום דבר ממה שאמרתי אינו שטות איומה ונוראית, אז עבור חילוני, האמירה של אלון "לכל משפט מסדר ראשון בלה בלה בלה יש ערך אמת" מיתּרגם לאמירה "ערך האמת של כל משפט ניתן לידיעה". זו אמירה שלעניות דעתי היא חזקה מאד, ואי אפשר להפריח אותה "סתם" לחלל האויר בלי הוכחה או לפחות נימוק משכנע. נימוקים מסוג "כי אם לא אז העולם יהיה מקום איום ונורא לחיות בו" לא יתקבלו. מקווה שלא טירחנתי יותר מידי, אבל זה גם הקשר לרעש של העץ ביער: אם יש אלוהים, אז מספיק ש*הוא* שומע, וכיוון שהוא שומע הכל אז העץ מרעיש בנופלו. אם אין אלוהים, אז אין מי שיקרא לשינויים בלחץ האויר שאנחנו *מאמינים* שהיו כשהעץ נפל "רעש", ולכן השאלה "איזה קול העץ עושה" פחות טפשית לדעתי מאשר לדעת גדי. 1 הכוונה ל"ערך האמת" שלהן. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
יש לי בעיה חמורה ביותר עם ההנחה שלך שיש טענה ש"אינה ניתנת לידיעה". בראש ובראשונה כי לא ברורה לי המשמעות של "לדעת" בהקשר הזה, ואיך היא מאפשרת קיום טענות בלתי-ניתנות-לידיעה שכאלו. למשל, נניח שהשערת גולדבך היא טענה ש"אינה ניתנת לידיעה כזו". עכשיו באים אלי אריק ובנץ. אריק אומר לי "אני יודע שהשערת גולדבך נכונה". בנץ אומר לי "אני יודע שהשערת גולדבך אינה נכונה". ברור לי שלפחות אחד משניהם מקשקש בקומקום, אבל איך אני יכול לומר ששניהם מקשקשים? בלי מושג פורמלי וקונקרטי של "ידיעה" אין על מה לדבר בכלל - בדיוק כשם שבניות בסרגל ומחוגה מוגדרות היטב מבחינה מתמטית, *ורק בגלל זה* אפשר להוכיח שהן בלתי אפשריות; בדומה, כדי להראות שדברים אינם ניתנים לחישוב הכרחי קודם כל לדבר על מודל קונקרטי של חישוב. לטעמי האישי, אגב, "ידיעה" פירושה "קיים אלגוריתם שמחזיר את התשובה הנכונה". מסיבות טכנית זה גורר שכל טענה כמו גולדבך ניתנת לידיעה באופן תיאורטי (בדיוק עם שטות סטייל אריק ובנץ) ודברים שאי אפשר לדעת תמיד מתייחסים למחלקה אינסופית כלשהי של בעיות - למשל, אי אפשר לדעת, בהינתן תוכנית מחשב, אם היא עוצרת או לא. ברור שבמקרים קונקרטיים מסויימים אפשר לדעת את זה, אבל *באופן כללי* לא ניתן לדעת. אם מקבלים את ההגדרה שלי לידיעה, אז לא - אני עדיין לא מסכים שזה שלא ניתן לדעת דברים מסויימים גורר שלא ניתן לייחס להם ערך אמת. המכונה עוצרת או לא עוצרת, בלי קשר לשאלה אם ביכולתנו לדעת זאת או לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק שהטענה "נכונותה של השערת גולדבך אינה ניתנת לידיעה" היא טענה קשה לעיכול. לכן הדגשתי שאין הכרח שאפשר יהיה להחיל את המשפט (המדומה שקורט X יוכיח עוד שנה ורבע) על שום טענה *קונקרטית*. כל מה שהנחתי שקורט יודע להוכיח היא ש*קיימת* טענה שאינה ניתנת לידיעה, לא שטענה מסוימת היא כזו או שניתן לסווג טענה ספציפית כלשהי ככזו. משפטי קיום בעלי אופי זה קיימים וידועים. למעשה, עד כמה שידיעתי מגעת, במשך כעשרים שנה לא היתה שום דוגמה קונקרטית למשפט בלתי כריע (אם טעיתי זה לא מאד רלוונטי לטיעון הכללי) השערת גולדבך יכולה להיות טענה כזו, אבל יתכן שאין כלי שיודע לומר האם היא באמת כזו. כשאריק ובנץ באים אליך, אם לאריק יש הוכחה (נכונה) הרי שהוא הראה ש: א': השערת גולדבך אינה מסוג "השערת קורט" ב': דווקא בנץ מקשקש בקומקום. אם לאף אחד מהם אין הוכחה הרי ששניהם מקשקשים (מה זאת אומרת "אני יודע"? מותר לשאול "איך אתה יודע", ובמתמטיקה, התשובה הלגיטימית היחידה היא "הנה ההוכחה"), והשערת גולדבך יכולה להיות מטיפוס "קורט X" ויכולה לא להיות כזו. לגבי בעית העצירה שאתה וצפריר התייחסתם אליה, אני חושב שזה לא ממש רלוונטי. עד כמה שהבנתי מגעת, מה שטיורינג הראה זה שלא קיים אלגוריתם *כללי* שיודע לומר אם אלגוריתם כלשהו עוצר או לא. זה כשלעצמו לא מוכיח שאי אפשר לדעת אם אלגוריתם *מסוים* עוצר או לא. למעשה, אין סיבה לא לחשוב שלגבי *כל* אלגוריתם ניתן למצוא אם הוא יעצור או לא1, אלא שלא יתכן אלגוריתם *כללי* שיתן תשובה כזו. ה־gedankenexperiment שאני תיארתי מניח שקורט X "הוכיח" שקיים לפחות משפט אחד שאינו ניתן לידיעה, גם אם אינו מצביע על משפט מסוים כזה. אני חושב שהמשפט האחרון שלך הוא בדיוק המקום בו איני מבין. >> אני עדיין לא מסכים שזה שלא ניתן לדעת דברים מסויימים גורר שלא ניתן לייחס להם ערך אמת כשאני קורא את המשפט הזה הוא נקרא לי כטאוטולוגיה פשוטה, בזמן שאתה אומר שהוא פשוט לא נכון. מה זה נקרא "ניתן לייחס לו ערך אמת"? בעולם שלי, "ניתן" זה "מישהו יכול". אם משהו הוא "לא ניתן לידיעה", אז איך "מישהו יכול" לדעת? כאן בדיוק נכנס אלוהים מהדלת הקדמית והעץ ביער מהדלת האחורית (no pun intended). שורה תחתונה: אני מבין את הצהרתו של אלון "לכל משפט מסדר ראשון יש ערך אמת" כ"ניתן לדעת את ערך האמת של כל משפט מסדר ראשון". כאמור, זו אמירה חזקה מאד וקשה לקבל אותה בלי הנמקה. (נדמה לי שזה גם האפיטף של הילברט, אבל לא היו לו מספיק שוליים לרשום את ההוכחה) 1 לפחות עד שמישהו יבוא עם הוכחה שקיים אלגוריתם לגביו אי אפשר לדעת. אם יבוא מישהו כזה, להבנתי הוא יהיה בדיוק ה"קורט X" שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זכור שהמשפט הלא יכיח של גדל עצמו נבנה באופן קונסטרוקטיבי. זה בכל מקרה לא משנה כלום - אם יש משפט "שלא ניתן לדעת" X, אז אריק ובנץ חוזרים על התעלול שתיארתי עם X. במתמטיקה התשובה ל"איך אתה יודע" היא בהחלט *לא* רק "יש לי הוכחה". זו בדיוק הנקודה שאנחנו מנסים להדגיש שוב ושוב כאן. זו גם הסיבה שאני אומר שעלייך להיות מאוד מדוייק עם ההגדרה שלך למושג "ידיעה". אני חושב שלב העניין הוא במשפט הזה שלך: "מה זה נקרא "ניתן לייחס לו ערך אמת"? בעולם שלי, "ניתן" זה "מישהו יכול". אם משהו הוא "לא ניתן לידיעה", אז איך "מישהו יכול" לדעת?" אני לא טוען שמישהו *ידע* מה ערך האמת של המשפט, אלא רק שזה לא פוסל את קיומו של ערך האמת הזה. ערך אמת של משפט, לטעמי, בכלל לא קשור לידע של אדם זה או אחר. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |