 |
צריך להיות זהירים מאוד כאן. מה זה אומר "ערך אמת בתורת המספרים"? תורת המספרים היא תורה מתמטית - אוסף של אקסיומות שמהם אפשר לגזור משפטים. אין משמעות לדיבור על "ערך אמת" של משפט בתורה הזו, אלא לדיבור על האם המשפט יכיח או לא יכיח בתורה הזו.
ההקשר שבו מדברים על ערך אמת של משפטים הוא ביחס למודלים השונים והמשונים שיש לתורות שלנו. למשל, הטבעיים הם מודל אחד אפשרי של תורת המספרים. כל עוד אנחנו עוסקים בלוגיקה מסדר ראשון יש לנו את משפט *השלמות* של גדל, לפיו אם משפט כלשהו הוא בעל ערך אמת *בכל המודלים* של התורה שלנו, אז הוא יכיח ממנה, ואז, במובן הזה, יש זהות בין "בעל ערך אמת חיובי" ובין "יכיח". אבל ייתכן מאוד שלתורה שלנו שני מודלים שונים עקרונית, שבאחד מהם המשפט נכון ובשני הוא אינו נכון. זו גם הסיטואציה שמתרחשת במשפט אי השלמות של גדל. במילים אחרות - המשפט של גדל הוא נכון לגמרי במודל של המספרים הטבעיים; אבל מה שגדל מראה הוא שבהכרח לתורת המספרים קיים עוד מודל, לא סטנדרטי, שבו המשפט אינו נכון.
|
 |
RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש