בתשובה לאפופידס, 26/12/01 13:21
לוגיקונים חדשים 49854
ב1+א. תודה!

ב2. וודאי.

ג+ד. אין לנו שום דרך לדעת איך הוא היקום (ואם בכלל הוא קיים מעבר למחשבותינו). איננו יכולים לפרוץ את מגבלות תבונתנו אנו, אבל אנו יכולים להוסיף כאינשטיין עוד מימדים באם הם תנאי הכרחי לתיאוריות שלנו [וראה פיתרונו המבריק של ויטגנשטיין לבעית יד-ימין יד-שמאל של קאנט].
אין לנו ביטחון שכך הוא היקום ואיננו מסוגלים כלל לתפוס 4 עד 11 מימדים. זה פשוט מה שפותר את משוואותינו, ואל יקל הדבר בעיניך.

דומני שעניתי לך לתגובה ההיא.
לוגיקונים חדשים 50061
האם אתה יכול להרחיב בבקשה בנושא ויטגנשטיין והידיים?
תודה.
ויטגנשטיין וקאנט שלובי ידיים. 50173
קנט שאל: "איך זה שיד שמאל זהה לחלוטין (עקרונית) ליד ימין, ובכל זאת, כמה שלא נהפוך אותה היא לא תקביל ליד השנייה?" כולנו למדנו גיאומטריה סיבובית בכיתה ד' והבנו שהמשולש a, b, c שווה הצלעות, שקודקודו פונה כלפי מעלה, חופף למעשה למשולש A, B, C שבסיסו פונה כלפי מעלה, אם פשוט מניעים אותו (בסיבוב) על המישור. לכן, שאל קנט מדוע לא ניתן לסובב את הידיים כך שיד ימין תתאים לחלוטין ליד שמאל? נסי ותיווכחי: זוכרת את ריקוד המאקארנה? ובכן משהו דומה לזה, הושיטי את ידיך קדימה ממש לפני שיגעו במסך המחשב. סובבי את כפות הידיים כך שיפנו לכיוון התקרה וגב היד לכיוון הרצפה. כעת, הניחי את כף יד שמאל על כף יד ימין והתאימי, אגודל שמאלי לאגודל ימני, זרת שמאלית לזרת ימנית וכו'. הצלחת! עכשיו, מה הבעיה? אם תשימי לב, החלק העליון של יד ימין חלק ואילו החלק העליון של יד שמאל שעיר! [כזכר, קל לי יותר להבחין בכך. ירדן, אם אתה מקשיב, העובדה שגם כפות ידיך שעירות נובעת מסיבה אחרת לחלוטין!]. אצל יד ימין, *כף* היד כלפי מעלה... ואילו אצל יד שמאל, *גב* היד כלפי מעלה! לא הצלחנו! עכשיו, נדרש ויטגנשטיין לשאלה, למה?
ובכן, דמייני לך מרחב חד מימדי. פשוט קו ארוך. על גבי הקו מונח קטע קצר (המורכב כידוע מנקודות) אשר בניגוד לספרי המתמטיקה, הנקודה השמאלית שלו בצבע אדום במקום שחור. סנטימטר משמאלו, מונח עוד קטע, באותו אורך, אלא שדווקא הנקודה הימנית ביותר שלו היא האדומה. שני הקטעים, את בטוחה, חופפים, ואת ניגשת מיד למלאכה. במסגרת מגבלות המרחב שלך את מזיזה את הקטעים ימינה ושמאלה במרץ רב, אבל חפיפה אין. תמיד הנקודה האדומה מופיעה אצל קו אחד מצד ימין, וכאילו להכעיס, אצל רעהו בצד שמאל! מה עושים? כאן ויטגנשטיין נכנס לפעולה, ומציע לך *להוסיף מימד*. כעת, הקו הוא רק חלק ממישור, ואת מסובבת את אחד הקטעים *אנכית* ...וואלה! הקטעים חופפים!!
מיד לאחר מכן, מצטיירת על גבי המישור האות L, ואת נדרשת לחפוף אותה עם צורת המראה שלה. מה עושים? את מנסה לסובב אותה בכיוון השעון, נגד כיוון השעון, אך ללא הואיל! ה L, (בהנחה שהקו התחתון שלה קצר יותר מהקו האנכי) לא חופפת לדמות המראה שלה! בייאושך, את אומרת לעצמך, הבה ננסה את פתרונו של ויטגנשטיין; *את מוסיפה עוד מימד* ומסובבת את דמות המראה של L על צירה! הן חופפות!!
כפפה של יד ימין, אמר ויטגנשטיין, תתאים ליד שמאל *אם נסובבה במרחב ארבע-מימדי*.
כל בוקר לומדים משהו חדש 50203
אז רגע, אז אי-החילופיות של מולקולות צ'יראליות (chiral) בטבע מלמדת על מרחב תלת-מימדי? ושאלה נוספת - נניח שאמנם קיימים מימדים קומפקטיים נוספים כפי שמציעה תורת המיתרים, האם חלקיקים הקטנים מרדיוסם של המימדים הקומפקטיים, יוכלו להתחלף עם בבואתם?
כל בוקר לומדים משהו חדש 50285
הרחב בבקשה.
כל בוקר לומדים משהו חדש 50440
You have suggested that mirror-particles of one another, i.e. particles which look like the mirror image of one another, are actually commutative if we introduce additional dimensions. For instance, a 2D spiral with right orientation can be turned upsidedown in 3D to produce a 2D spiral with left orientation (clockwise rotation of the spiral) (1). I asked whether the existence of zillions of chiral molecules, i.e. molecules which are mirror images of one another, hints that no extra spatial dimensions exist in molecular scales.
Moreover, string theory suggests there are several additional spatial dimensions which are 'comapctified' - like a closed string with a small but finite radius. Thus, chiral particles smaller than the radius of these dimensions should be able to switch to their mirror-particles and back, i.e. their wavefunction should commute with the mirroring operator.

(1) Riddle of the Day - Why is the counterclockwise direction defined as the positive mathematical direction?
כל בוקר לומדים משהו חדש 50441
הרעיון אכן מגניב ויכול בהחלט לגרום לשנינו להתעשר וכך, כמובן, להשיג בנות.

אולם, אני מאוד מתקשה מושגית עם הרעיון של מימדים זעירים: תורת המיתרים לא זרה לי, ובכל זאת אינני מבין איך מימד יכול להיות סופי, לאורכו. בנוסף, לא ירדתי לסוף דעתך, כיצד קיומן של מולקולות צירליות סותר את קיומם של מימדים נוספים בסקאלה זו.

לא הבנתי, כמו כן, כיצד ביצעת את הקפיצה הקוונטית בין "Thus, chiral particles smaller than the radius of these dimensions should be able to switch to their mirror-particles and back" ל "their wavefunction should commute with the mirroring operator".
I'm skeptical about the money 50449
I'm not deeply familiar with string theory, but I can imagine a small closed loop, let's say a circle, which looks from a distance like a dot. I can also imagine a cylinder with a finite small radius which looks from a distance like a line. That cylinder has one infinite dimension running along it, which is visible at any scale, and another compact dimension which is visible only on a scale small enough. This compact dimension must be quantized, as phi(r,z) should be equal to phi(r+2pi*n*R,z) for any r, where R is the radius of the comapct dimension.

The mirroring operator (let's tag it P) simply flips x with -x, like a mirror. which means Px=-x (that's an eigenvalue equation, -1 is the eigenvalue of P). Please warn me if I'm relating to stuff you haven't previously encountered, when I say for instance that x^2 is conserved under mirroring, thus x^2 commutes with P. Px^2=x^2P, thus [P,x^2]=0 - the commutator is 0. Any symmetric function surely commutes with P.
If a particle has an extra dimension through which to flip upsidedown to its mirror image, then it should be conserved under mirroring. Its wavefunction should commute with P.

Now, since we know chiral molecules do not spontaniously switch to one another, then I assume we can deduce they have no extra dimension to 'flip through'. If string theory allows particles to 'flip through' those compact dimensions, which is something I honestly don't know, then we can limit the radius of these dimensions to the lowest scale at which we can tell that a particle doesn't flip to its image. Spin-up electrons do flip to spin-down states, but molecules don't flip to their mirror-molecules.
ויטגנשטיין וקאנט שלובי ידיים. 50391
רק לציין שהתשובה הפשוטה יותר לשאלה של קאנט "איך זה שיד שמאל זהה לחלוטין (עקרונית) ליד ימין, ובכל זאת, כמה שלא נהפוך אותה היא לא תקביל ליד השנייה?" היא:

"יד שמאל אינה זהה לחלוטין ליד ימין (גם לא עקרונית), או שהינו מסוגלים להקבילה ליד השנייה"
ויטגנשטיין וקאנט שלובי ידיים. 50436
קאנט, בסוגיה זו, ניסה להמיר את תורת הקבוצות לעולם הגיאומטרי (כמובן שאז לא היתה תורת הקבוצות במובנה כיום): אם לכל אטום ביד ימין ניתן למצוא אטום זהה ביד שמאל (מבחינת המיקום, [אטומים הרי זהים] בהתחשב בתמונת המראה, שלא אמורה להיות רלוונטית לעניין קבוצות). ע"י כך, ניסה קאנט *להגיע למושג 'ימין/שמאל'*, והבן זאת היטב! לכך היתה כוונתי בדיון עם ירדן, שהוספת מימדים (או חלקיקים יסודיים, למשל), פשוט פותרת לנו משוואות. ואל יקל הדבר בעינך.
קאנט מאבד מידע על ידיים 50537
אם אתה רוצה לעשות רדוקציה לאובייקט שנקרא "יד ימין" מול האובייקט "יד שמאל", אז אתה צריך להגדיר אותן כקבוצת כל האטומים והמיקומים שלהם, *ביחס לאותה מערכת צירים*. אם אתה לא מתחשב בתמונת המראה, אתה מבסס זהות בין דברים שונים.

לפי אותו הגיון, אני יכול להגיד שכדור הזהב שלי במשקל גרם אחד, זהה לעלה הזהב המרודד שיצרתי ממנו (גם גרם, תתפלא כמה זול להשיג זהב וירטואלי בימנו). הרי לכל אטום בכדור הזהב ניתן למצוא אטום זהה בדיסקה (מבחינת המיקום, [אטומים הרי זהים] בהתחשב במעבר למערכת צירים דו מימדית, שלא אמורה להיות רלוונטית לעניין קבוצות).
גלעד מאבד מידע על מערכת צירים. 50559
כדור הזהב שלך, שמעכת לפיסה, איבד מידע שהיה בו לגבי מיקומים שהיו בין אטום X לאטום Y. ביד ימין/שמאל, אותה צורה נשארת--- כמעט. פרט לתכונת המראה. *לכן* זה לא רלוונטי לתורת הקבוצות (תלוי מאוד, כמובן, איך אתה מגדיר את הקבוצה). ישנה זהות *פרט* לתכונת המראה, והשווה לגיאומטריה סיבובית: המשולש הראשון *לא שווה* לשני, שהרי אחד, קודקודו פונה מעלה, והשני, בסיסו. לגיאומטריה סיבובית ישנה דרך להגדיר 'זהות' *בהתחשב* בשוני הספיציפי. כך עשה גם קאנט, ובכך *בודד את התכונה "שמאל"*.
ויטגנשטיין וקאנט שלובי ידיים. 50396
תודה. מרהיב.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים