בתשובה ליזהר, 17/07/05 13:27
 |
|
 |
||
|
||||
 |
"כל מדעי הטבע, פחות או יותר, בנויים כמערכת אקסומטית" - למה אתה מתכוון כשאתה אומר "מערכת אקסיומטית"? כן, יש טענות מסוימות שהמדעים האלה רואים כאמיתיות, אבל "אקסיומות" זו לא המילה המתאימה לתאר אותם. "אקסיומות" הן הנחות יסוד שלא זקוקות להוכחה, והכרחיות לצורך הוכחת טענות אחרות. הטענות שעליהן אתה מדבר אינן עונות על אף אחת מהדרישות. אלה פשוט "חוקים". יתרה מזאת, נניח שקיימת טענה פיזיקלית שלא ניתן להוכיח אותה מתוך חוקי היסוד, אבל כן ניתן להוכיח אותה באמצעות תצפית. אז מה? איזו השפעה יש למשפטי גדל על הפיזיקה? לא ניתן לומר ש-"ZFC עקבית אבל לא ניתן להוכיח את זה" 1, כי אנחנו לא יודעים ש-ZFC עקבית. הטענה הנכונה היא "אם ZFC עקבית, אנחנו לא יכולים להוכיח את זה". וכן, אין מושג כזה "אמת על פי האקסיומות". מה שנובע מאקסיומות הוא מה שניתן להוכיח מהן. "אני חשבתי שמשפט גדל אומר שיש פסוקי אמת שאין להם הוכחה. או בצורה שקולה - שיש פסוקים שאין הוכחה לא להם ולא לשלילתם." - שים לב לסתירה הפנימית בטענה ששני הניסוחים שקולים: הניסוח השני יוצר _סימטריה מוחלטת_ בין הטענה לבין שלילתה, ואתה טוען שהוא שקול לניסוח הראשון, על-פיו הטענה נכונה, ושלילתה לא! 1 השתמשתי ב-ZFC כי אאל"ט (ויש סיכוי טוב שאני טועה) ניתן להוכיח את עקביות PA ב-ZFC, כך שהעקביות של PA "אמיתית" אם ZFC עקבית. כשמשתמשים ב-ZFC הטיעון הרבה יותר ברור, אבל ההבדל, למעשה, סמנטי בלבד. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בקשר לתיאוריות פיזיקליות: קשה לי להבין את מה שכתבת, ומה הבעיה (לדעתך) בכך שתיאוריות פיזיקליות מנוסחות ע"י אקסיומות. אז פשוט אתן דוגמא: יחסות פרטית: שתי אקסיומות. 1) כל מדידה, בכל מערכות הייחוס הנעות אחת יחסית לשנייה במהירות קבועה, ימדדו את אותם חוקי טבע. 2) אקסיומה (1) חלה לגבי משוואות מקסוול בכך שמהירות האור שווה בכל מערכות הייחוס. עכשיו, אפשר להתווכח האם התורה הזאת נכונה אמפירית או שאולי היא לא נכונה בכלל, או האם ישנם מקומות ביקומנו הקטן ומוקף האוייבים (רמז: ועוד איך ישנם!) שהאקסיומות לא נכונות, או לא רלוונטיות לגביהם. כל זה פיזיקה, והיא נורא חשובה, אבל על זה אנחנו לא מדברים בכלל. לגבי האופי המתימטי של התיאוריה, זה לא משנה כלום. כי מה שאי אפשר (לדעתי) להתווכח, היא שתורת היחסות הפרטית יוצאת משתי אקסיומות, ומהם היא מוכיחה את מה שהיא מוכיחה. תסלחו לי, אבל הוויכוח הזה הוא עקר. אני מציע שנתמקד בויכוח השני: "יש פסוקי אמת שאין להם הוכחה." "יש פסוקים שאין הוכחה לא להם ולא לשלילתם." שני הטיעונים שקולים לחלוטין, אם אתה מקבל את הנחת היסוד, שבהנתן הנחות יסוד מסויימות, כל פסוק הוא או פסוק אמת או פסוק שקר (ואז שלילתו הוא פסוק אמת). נשארת שאלה עקרונית והיא נורא חשובה: האם משפט גדל אומר שקיימות תורות עקביות, ובהן פסוקי אמת שאין להם הוכחה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מבחינת האינטואיציוניסטים, למשל, הטיעונים אינם שקולים: הם אינם מקבלים הוכחות על דרך השלילה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"כל פסוק הוא או פסוק אמת או פסוק שקר" - נכון, אבל לא נכון 1. אמנם, בכל מופע של האקסיומות, כל פסוק או נכון או לא נכון, אבל יש פסוקים שנכונותם לא שקולה עבור כל המופעים. לדוגמה, ע"פ האקסיומות של תורת החבורות, חבורה A (תחת כפל) מקיימת את החוקים הבאים: (0) סגירות (1) אסוציאטיביות (2) קיום יחידה (3) קיום הופכי לכל איבר האם A קומוטטיבית או לא? כמובן, שעבור כל חבורה A, הטענה הזאת היא נכונה או שאינה נכונה, אבל הנכונות שלה לא שקולה לכל המופעים. הטענה הזאת בלתי תלויה באקסיומות. בהנתן *רק* האקסיומות הכלליות של התורה, שאלת הקומוטטיביות אינה כריעה. בתורת המספרים, למשל, אנחנו מתעניינים למעשה במופע מסוים של אקסיומות פאנו, כי אנחנו מכירים את המספרים הטבעיים מהמציאות ויודעים (או לפחות חשים) שהם קיימים. לכן, כל טענה אריתמטית היא נכונה או לא, גם אם אינה כריעה. במובן הזה, אי הכריעות של "השערת גולדבך האקסיומטית" גוררת את נכונות "השערת גולדבך הטבעית". בתורת הקבוצות, לעומת זאת, אנחנו לא עוסקים במופע ספציפי. לכן אלון מצא לנכון להפריד את שתי התורות בתגובה 317241 מבחינת ה"קיום" של האוביקטים שבהם התורות עוסקות. האם אתה יכול לומר שהשערת הרצף או שלילתה "אמיתית"? 1 אתה מוכרח להודות שזה ניסוח נחמד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אנחנו לא מדברים על זה, נכון? אנחנו מדברים על פסוקים שיש נכונות או להם או לשלילתם. האם לפסוקים כאלו יכול להיות שאין הוכחה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"במובן הזה, אי הכריעות של "השערת גולדבך האקסיומטית" גוררת את נכונות "השערת גולדבך הטבעית"." - נכון, אבל זהירות: לא כל פסוק אריתמטי הוא מהסוג הזה. אי-הכריעות של Twin Primes לא תגיד לך איזו משתי האפשרויות היא הנכונה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שאין לי מושג מה הולך כאן. כמה שאלות הבהרה: נניח שיש טענה (אוקי, פסוק) שהראו עליה שהיא לא כריעה. נניח שהפסוק הוא מהטיפוס " לא קיים טבעי כך ש בלה בלה". אם הפסוק היה שקר, אז על יד חיפוש מספיק ארוך הייתי יכול למצוא את הדוגמא הנגדית, מה שסותר את זה שהפסוק לא כריע, ולכן נובע שהפסוק הוא אמיתי. נכון? לא נכון? מצד שני, אם הפסוק הוא מהטיפוס " קיימים אין סוף טבעיים כך ש בלה בלה", אי אפשר להסיק (בשיטה הזאת) מהאי כריעות כלום. זה מה שהתכוונת להגיד? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמעט נכון. השאלה היא מה זה "בלה בלה". למשל, את Twin Primes אפשר לנסח כך: לא קיים טבעי כך שאין זוגות-ראשוניים בהפרש 2 מעליו. הנקודה היא שאם אני טוען שיש טבעי כזה, ואפילו מרחיק-לכת ונותן לך אותו (הנה, קח: 100^10^10), אין לך דרך סופית לבדוק אם הוא אכן מקיים את הדרישה. תוכל לחפש ראשוניים כאלה מעליו, אבל כל עוד לא תמצא, לא תדע אם להמשיך או להתייאש. בגולדבך זה לא כך: אם אני נותן לך מספר, אתה בקלות מוודא שהוא זוגי, ובקלות (כלומר, בתהליך חד-משמעי שיכול לקחת מיליארד שנים) בודק שהוא אכן לא סכום שני ראשוניים - מספיק להביט על הראשוניים הקטנים ממנו, ומספרם של אלה סופי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מאוד אוהבת את ה"קלות" הזאת. וכי מהן מיליארד שנים ביני ובינך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. התלבטתי ביני לבין עצמי האם להוסיף משפט שאומר ש''בלה בלה'' פירושו משהו שאפשר לוודא במספר סופי של צעדים, אבל ויתרתי מתוך עצלות. אגב, אני לא יודע אם אמרו לך, אבל אחלה מאמר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מרוב עניין, שכחתי גם אני לומר לך כמה המאמר מרתק. עכשיו שראובן הזכיר זאת, אני אומרת - ומודה לך.:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובהכללה: טענה שאם גרסתה ה"טבעית" אינה נכונה, ניתן להוכיח זאת מתוך המערכת האקסיומטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אקסיאומה היא דבר שאתה מקבל כנכון ללא הוכחה, ובלא שניתן יהיה להוכיח או לשלול אותו. מהירות האור קבועה לכל צופה (לפחות עד כמה שהצלחנו למדוד), זו לא אקסיאומה, זו השערה שאומתה באינספור ניסויים, במידה וימצא מקום בו היא לא תקפה (בבטן של לוויתן שנופל לתוך חור שחור המתאחד עם חור לבן) אז פשוט נאלץ לכתוב השערות חדשות שיכללו את היחסות הפרטית כמקרה פרטי. גם 1) אינה אקסיאומה, אלא מסקנה על סמך הנסיון של מיכלסון ומורלי למדוד את מהירות כדור הארץ ביחס לאתר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בזמנו היה כאן פתיל עם דוגמא קונקרטית לטענה שהיא "טענת גדל", ולא ניתן להוכיח אותה במסגרת המערכת בה נוסחה, אבל ניתן להוכיח אותה במערכת אחרת (באמצעות שימוש באורדינלים). האם גם במקרה כזה יש סימטריה בין הטענה לבין שלילתה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם התכוונת ל-Goodstein's theorem ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, גם פה יש סימטריה (אחרת היה אפשר לתת דוגמא נגדית גם ב-PA, ואי-אפשר). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מבחינה פורמלית יש סימטריה בין הטענה ושלילתה. ההבדל נעוץ בכך שאנו מקבלים את האקסיומות של מערכת חזקה יותר (ZFC) כנכונות. מ-ZFC נובע 1 שהסדרות המוגדרות שם מתכנסות לאפס. 1 למעשה, ממערכות חלשות בהרבה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |