בתשובה לאייל בדוי, 28/05/05 11:31
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני לא בטוח שאני מבין את רוב מה שאמרת, פילוסופי מדי לטעמי, אבל כמו שעוזי אמר, ההסתברות היא לא שום דבר חלקי אינסוף ולא שואפת לכלום, אלא אפס. אם תרצה, זה אותו אפס מ"אינטגרל על קטע מנוון הוא אפס", או "מידה של קטע מנוון היא אפס", ששניהם הם האפס שאנחנו מכירים, לא שאיפה ולא כלום. אם אתה מתעקש לתת לזה פרשנות, אפשר לפרשן הסתברות אפס לא כהסתברות של "אין שום סיכוי" אלא כהסתברות של "כמעט ואין שום סיכוי". כמובן שזו פרשנות סמנטית, לא מתמטית, והיא גם מאוד לא מדוייקת. אם אני בוחר מספרים מהתחום [0,1] בהתפלגות אחידה, ברור ש"אפס" של בתוך התחום זה לא כמו "אפס" של מחוץ לתחום. לכאן אולי לא כדאי להיכנס לזה. ואני עדיין לא מבין מה זה סכום סופי חלקי אינסוף. אני מקווה שבתואר שני, לפחות, מלמדים מה זה מספר סופי חלקי אינסוף, כי אצלי עדיין אף אחד לא הגדיר את זה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בפעם המי-יודע כמה, אני ממליץ לקרוא את On Numbers and Games של J.H.Conway. מנער קצת את המושגים המקובלים בקשר לדברים ש"אי אפשר" להגדיר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הספר כבר אצלי (רק נשאר לקרוא אותו, כמובן) ולא זכור לי שטענתי ש''אי אפשר'' להגדיר משהו. ההפך, הגדרות מהסוג שעליו אנחנו מדברים הן דווקא מעניינות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מנער קצת את המושגים המקובלים בקשר לדברים ש"אי אפשר" להגדיר." אז השם המקורי של קונווי הוא ויטגנשטיין? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קונווי מוכיח משפטים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם וויטנגשטיין חשב שהוא עושה את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי קונווי, גם אנחנו חושבים שהוא עושה את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הסכום היה סכום כסף, כנראה הומור פרטי בלבד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מוכרח לציין שדי מטריד אותי העניין הזה שלא כל האפסים הם אותו דבר. חשבתי ש- 0=0 אומר שמותר להציב אחד במקום השני בכל ביטוי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני חושב ככה, ולא רואה למה משהו ממה שאמרתי סותר את זה. מה שכן, אשמח אם מישהו (עוזי? אלון?) יחדד את ההבדל בין האפס של פנים הקטע לאפס של חוץ הקטע, אם קיים כזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בין האפסים אין שום הבדל. ההבדל הוא בין המאורעות {X=0.5} שהוא מאורע אפשרי (בעל הסתברות 0), לבין {X=2} שהוא מאורע בלתי אפשרי. הבדל חשוב יותר: לפונקצית הצפיפות של ההתפלגות יש ערכים שונים (1 בנקודות בתוך הקטע, 0 מחוץ לקטע). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כלומר, הערך של ההסתברות של מאורע לא אומר האם הוא אפשרי או בלתי אפשרי? זה כמובן מסבך בשבילי את הפרשנות האינטואיטיבית שאני מייחס למספר שאנו קוראים לו "ההסתברות של מאורע". אני חושב שיש בעיה (קטנונית מאוד) עם השורה השנייה שלך: אני יכול לתת לפונקצית הצפיפות של ההתפלגות ערכי 0 גם בתוך הקטע ולא יקרה כלום, כל עוד זה על קבוצה ממידה אפס (או רק עבור קבוצה סופית? אני לא בטוח שאני לא מתבלבל). אני חושב שהגישה של אלון (מוכל בתוך קטעים קטנים כרצוננו עם הסתברות חיובית) היא די משכנעת, אבל האם לא ניתן לבנות עבורה דוגמה נגדית? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההסתברות כן אומרת אם המאורע אפשרי או לא אפשרי - אלא אם במקרה מדובר בהסתברות אפס... את פונקצית הצפיפות אפשר לשנות, אם אתה מוכן לוותר על חלק מהתכונות היפות של הפונקציה f(x)=1 (למשל, זה שהיא רציפה). כמובן שמבחינת מרחב ההתפלגות הערכים במקומות ממידה אפס לא רלוונטיים, ואתה יכול לשנות אותם כאוות נפשך. למה הכוונה ב"דוגמא נגדית" להסבר של אלון? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הסתברות אפס אין פירושה בהכרח שהמאורע בלתי אפשרי, איך ומתי ההסתברות אומרת שהמאורע הוא בלתי אפשרי? נראה לי שהיא מסוגלת רק לומר "המאורע הזה אפשרי בודאות", אבל לעולם לא תוכל לומר "המאורע הזה בלתי אפשרי בודאות". אם אני יכול לשנות את פונקצית הצפיפות, איך בא לידי ביטוי ההבדל בין הנקודות שמחוץ לקטע לנקודות שבתוכן? במחשבה שנייה על ה"דוגמא נגדית" די ברור לי שהיא לא יכולה להתקיים. אם נקודה לא מוכלת בקטעים קטנים כרצוננו בעלי הסתברות חיובית, הרי שקיים קטע בו היא מוכלת שהסתברותו הוא אפס, ולכן אין סיכוי שהנקודה תיבחר. לכן נראה לי שהגישה של אלון היא פתרון טוב לבעיה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כללי המשחק החדש לא ברורים לי. המאורע אפשרי אם יש בו נקודה ששייכת למרחב המדגם; אם ההסתברות גדולה מאפס, הוא בהכרח אפשרי, אבל לא להיפך. פונקצית צפיפות מגדירה מרחב התפלגות, אבל מרחב התפלגות בדרך כלל לא מגדיר פונקצית צפיפות. יותר מזה, אם ההבדל בין שתי פונציות צפיפות הוא רק במקומות ממידה אפס, אז הן מגדירות את אותה התפלגות. בפסקה השלישית, אני מסכים שזו גישה טובה (בוודאי יותר מאשר בחינה של ערכים מבודדים בפונקצית הצפיפות), אבל אל תבלבל בין "אין סיכוי" ל"לא אפשרי" (אפשרי, בהסתברות אפס). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה של התפלגות אחידה על הקטע [0,1] אין בעיה להגדיר את מרחב המדגם בתור כל הישר הממשי, לא? ואז אנחנו שוב חוזרים לשאלה: מה מבדיל בין משהו שבבירור הוא לא אפשרי (כלומר, מחוץ לקטע) לבין משהו שהוא אפשרי אבל הסתברותו אפס (נקודה בתוך הקטע)? אני מסכים עם מה שאתה אומר על פונקציות צפיפות, וזו בדיוק הנקודה שלי: בגלל שהרבה פונקציות צפיפות יכולות להגדיר את אותה התפלגות, קשה להסתמך על התכונה "פונקציית הצפיפות היא 1 בתוך הקטע ו-0 מחוצה לו" כדי לשים את האצבע על ההבדל בין הנקודות שמחוץ לקטע ואלו שמחוצה לו. האם "אין סיכוי" זה מה שיש לומר על נקודות מחוץ לקטע, או ש"לא אפשרי" הוא הביטוי המתאים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה שואל "מה מבדיל בין משהו שבבירור הוא לא אפשרי... לבין משהו שהוא אפשרי"? אולי כדאי שתחדד את השאלה. איזה סוג של הבדל אתה מחפש? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תכונה כלשהי של נקודות שמתקיימת עבור נקודות בתוך הקטע אבל לא עבור נקודות מחוץ לקטע. למשל, התכונה "ההסתברות של המאורע שבו נבחרת הנקודה הוא 0" היא תכונה שמשותפת לשני סוגי הנקודות, ולכן לא טובה, ואילו הדוגמא שאתה הבאת כן מבדילה בין שני סוגי הנקודות, ולכן היא כן טובה. אני לא בטוח אם הניסוח הזה טוב, אבל אני אנסה בכל זאת: תכונה שמבטיחה לי, בהינתן פונקציית צפיפות של ההסתברות, שאני אוכל לדעת אילו נקודות יכולות להתקבל ואילו לא. כשאני עוצר וחושב על זה, אני בכלל לא בטוח שתכונה כזו חייבת להתקיים. נניח שאני בוחר להגריל נקודה מתוך הקטע [0,1], חוץ מהנקודה 1/2 שאותה אסור להגריל. פונקצית הצפיפות יכולה להיות זהה לזו של התפלגות אחידה על כל הקטע, ולא ברור לי איך אפשר יהיה להרגיש בהבדל בכלל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסיון להסבר פשוט יותר: "בהנתן הפונקציה" - זה כולל את כלל ההתאמה, וגם...את תחום הגדרתו. שם תמצא את ההבדל ("מאורע שנמצא בו - אפשרי, מאורע שאינו נמצא בו - אינו אפשרי"). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בהחלט לא עושה את העסק ברור יותר. אין בעיה להרחיב את תחום ההגדרה כדי שיכיל עוד נקודות שעליהן פונקצית הצפיפות מקבלת אפס. עם זאת, ייתכן שלא הבנתי למה בדיוק התכוונת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אפשר לדבר על קטע [קטן כרצוננו] שהנקודה נמצאת בו, וההסתברות שלו כבר ממש גדולה מאפס. זה מבדיל בין הנקודות בתוך הקטע [0,1] לאלה שבחוץ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כי זה מוריד את הנקודות 0 ו-1. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא. הקטע המדובר יכול להיות סגור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני התייחסתי לקטע סגור, כי כך סימנת אותו. ל-1 ול-0 בקטע הסגור אין קטעים קטנים כרצוננו המכילים אותם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא משנה (גם הנקודה 1 מוכלת בקטע (סגור) שההסתברות שלו חיובית), אבל כמדומני גדי כבר הראה למה הרעיון הזה נכשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שזה בדיוק מה שאלון הציע, אבל זה לא עובד: קח את ההסתברות ה"אחידה" שלא ניתן לבחור בה 1/2 שהצעתי קודם. תחת ההסתברות הזו, הנקודה 1/2 מוכלת בסדרה קטנה כרצוננו של קטעים בעלי הסתברות חיובית - אבל אין סיכוי שהיא תיבחר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק בשתי הנקודות שהעלית. על הראשונה כבר עשיתי את ה''חרמפפפ'' המתבקש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הנגזרת מימין של {P{a<X<a+t כפונקציה של t, באפס. (זה מבדיל בין נקודות בתוך הקטע לנקודות מחוץ לקטע). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תן לי לישון על זה. זה עובד גם עבור ההתפלגות ה"אחידה" שהעיפו ממנה את 1/2? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1/2 הוא אי-רציפות סליקה (שהנגזרת שלי מסלקת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההסתברות של נקודה בתוך הקטע היא אפס; מחוץ לקטע - גם אפס (אותו אפס. אפס יש רק אחד). מאף אחד משני ההיגדים האלה לא ניתן להסיק שהנקודה האמורה יכולה או לא יכולה להתקבל כתוצאה מניסוי מסויים (כפי שעוזי ציין, "הסתברות אפס" זה לא "לא יכול להיות"). הנקודה בתוך הקטע מוכלת בקטעים קטנים כרצוננו בעלי הסתברות חיובית. הנקודה מחוץ לקטע לא. מפיס? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עם כל הכבוד לעמיתי המלומד... התכונה שנתת תלויה גם בטופולוגיה של הממשיים, ולא רק במבנה המדיד שלהם. אפשר לשנות את הטופולוגיה כך שגם הנקודה מחוץ לקטע תקיים את התנאי הזה או להיפך, מבלי לשנות שום דבר אחר. אין בכך משום סתירה לדבריך אבל חשוב להבין שמנקודת מבט מידתית גרידא, אין שום הבדל בין 0.5 ל-2. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי שזו קצת רמאות לדבר על מידת לבג של הישר ואז לשנות פתאום את המבנה הטופולוגי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רמאות שלי? זה אלון שהתחיל לדבר טופולוגית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא נכון - מידת לבג היתה ברקע הדיון כל הזמן (והיא מחזיקה במרתף את הטופולוגיה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מחזיקה במרתף את הטופולוגיה? לא בדיוק. אין דרך לשחזר את הטופולוגיה על הממשיים רק בהנתן מידת לבג (ראה תגובתי לאלון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני לא הבנתי את עווני. *איזה* מבנה מדיד של הממשיים? נראה שגם לי לא ברורים חוקי המשחק, ומה השאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בהנתן מרחב המידה (R,B,\mu) כאשר R זה הממשיים, B זה שדה בורל, \mu המידה האחידה על הקטע [0,1], אי אפשר להבדיל בין הנקודה 0.5 לנקודה 2 (או בין כל שתי נקודות). ההבחנה שנתת זקוקה לטופולוגיה בנוסף למבנה המדיד. זה כל אשר אמרתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב ויפה, אבל למה אתה כן מרשה לדבר על שדה בורל, ולא על הטופולוגיה? מנין בא שדה בורל זה? שוב, אני לא מבין מה המשחק. אילו תכונות של R מותרות ואסורות בהסבר שמחפשים להבדל בין חצי לשתיים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כי שדה בורל הוא חלק מהמידה (התחום עליו היא מוגדרת). גדי תהה מה ההבדל מבחינה הסתברותית בין 0.5 ל-2, והתשובה של עוזי גרמה לו לחשוב1 שיש הבדל כזה - שלשתי הנקודות יש הסתברות 0 אבל 0.5 "אפשר" לקבל ו-2 "אי אפשר". מבחינה סתברותית גרידא, ונושא היום הוא הסתברות, אין הבדל. 1 אני חושב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע. קודם כל אני מקבל את האבחנה (המעניינת) שאי אפשר לשחזר את הטופולוגיה מהמידה; אני הנחתי שהשאלה של גדי מתייחסת לממשיים מכף-רגל ועד ראש (שדה סדור, מרחב טופולוגי, מרחב מידה, הכל). שנית, אני ניסיתי לפרש את הטענה כך: נקודות בקטע [0.49,0.51] אפשר לקבל (ההסתברות ליפול שם היא חיובית), ו-0.5 נמצאת באיזור הסכנה הזה (למרות שהסיכוי לקבל דווקא אותה הוא כמובן 0). נקודות בקטע דומה סביב 2 אי אפשר לקבל - ולכן, 2 היא במצב אחר מ-0.5. האם אתה טוען אפשר לבנות על R טופולוגיה כזו שתשרה את אותה אלגברת בורל, אבל כזו שבה כל סביבה של 2 תכיל סביבה בעלת הסתברות חיובית? זה דווקא מעניין (שוב, אני לא חושב שגדי חיפש קריטריון כל כך עדין). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קח את האוטומורפיזם (של המידה) המחליף בין 2 ל-0.5 . קח את הטופולוגיה שהוא משרה (כלומר הטופולוגיה בה 2 ו-0.5 התחלפו). טא דאם! אפשר לעשות דברים גרועים בהרבה בלי לשנות את המבנה המדיד, נגיד להפוך את {0.5} לקבוצה פתוחה או לחבר את 0 לאינסוף. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר להדביק את 2 ו-0.5, ואז להפוך את נקודת החיתוך לנקודה כפולה. אחרי ההכפלה זו כבר לא טופולוגיה מטרית, אבל נראה לי שמתקבלת אותה אלגברת בורל, עם אותה מידה. אם זה נכון, אז מבחינת תורת המידה (כשלעצמה) באמת אין הבדל בין הנקודות, וזה די סביר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דוקא את זה1 אי אפשר לעשות - בשדה שמתקבל אין קבוצה שמפרידה בין שתי הנקודות. אבל, כמו שכתבתי לאלון, אפשר לעשות הרבה דברים אחרים. 1 אם הבנתי נכון |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא כל טופולוגיה מוכרחה להיות T_0. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן, אבל לא תקבל את שדה בורל המוכר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עצור כאן. לא איכפת לי שתעברו לדבר על שדות בורל ומידות טובות, ובלבד שבסוף תסבירו את המסקנה שלכם גם בלשון בני אדם. עשינו עסק? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שזה מה שעשינו :-) בקיצור, מחר, אם אלון לא יקדימני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |