בתשובה לאפופידס, 21/05/05 20:50
 |
|
 |
||
|
||||
 |
עוד לא למדתי פורמלית שום דבר בתורת המידה, אבל אני חושב שאתה טועה. ''מידה'' באה לבטא ''אורך'' יותר משהיא באה לתאר ''כמות'', ואם אני לא טועה כל קבוצה בת מנייה היא מה שמכונה ''ממידה אפס'' (אם כי אולי זה תלוי בהגדרת פונקציית המידה. טרם למדתי, כאמור). ה''טריק'' הוא שאפשר לכסות את כל המספרים הרציונליים על ידי קטעים שגודלם הולך וקטן, ובכך להשיג כיסוי של כל הרציונליים שהגודל שלו הוא אפסילון. כלומר, אפשר לכסות את כל הרציונליים באמצעות אוסף קטעים שהאורך הכולל שלהם שואף לאפס, ולכן המידה שלהם היא אפס. היכולת שלנו להשיג את הכיסוי הזה נובעת מכך שהרציונליים הם בני מנייה, כלומר ניתן לכתוב אותם כסדרה (ואז לאיבר הראשון נתאים כיסוי באורך חצי אפסילון, לשני באורך רבע אפסילון, לשלישי שמינית אפסילון וכו' - זה טור גאומטרי שמתכנס לאפסילון). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
אם משחקים בלהכריח את ''יותר'' להודות שיש ''יותר'' רציונליים מטבעיים, אפשר להסתכל על המידה של הסגור בממשיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יפה, אבל באותה מידה אפשר לוותר לגמרי על מידה ולהסתכל על העוצמה של הסגור של הרציונליים. אבל זו גישה יפה: כאן הצפיפות של הרציונליים, שהיא מה שגורם להבחנה האינטואיטיבית בינם ובין הטבעיים, היא גם זו שמשמשת כדי ליצור את ההפרדה בין ה"גדלים". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, וכמובן, איך אפשר בלי להזכיר את קבוצת קנטור: שמכילה רצף של איברים (=לא בת מניה), אבל המידה שלה היא אפס (כלומר, אפשר לכסות אותה בדרך דומה לכיסוי של הרציונליים שהצגתי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כאמור, אני מתכחש לתגובתי הקודמת. אז נלך בדרך אחרת: הסיכוי להגריל מספר טבעי מתוך הרציונליים הוא אפס ומכאן שמידת-אפופידס של הטבעיים ביחס לרציונליים היא אפס. במסגרת מידה זו, שימוש במיפויים אסור (כדי שלא תמפה לי את הרציונליים לזוגיים למשל). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המממ, סליחה על הניטפוק, אבל מה בדיוק פונקצית ההסתברות שלך? אין פונקצית הסתברות אחידה על הרציונליים (עד כמה שידוע לי), ואם אתה לוקח הסתברות אחידה על הממשיים (גם אם נתעלם מכך שהיא צריכה להיות מוגדרת על אוסף סופי של קטעים סופיים), ההסתברות לבחור מספר רציונלי כלשהו היא אפס, אז הם והטבעיים באותה סירה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הם באותה הסירה כמו שקבוצת הטבעיים וקבוצה סופית נתונה הן באותה עוצמה בטענה שעוצמת הממשיים גדולה מעוצמות שתיהן פי אינסוף... ואם נחזור לעניין המידה, אזי מעל מידת הטבעיים יש את מידת הרציונליים ומעליה מידת הממשיים ובינהן כמובן מידות ביניים, לא טוב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אינני טועה, יש באמת מתמטיקאים שמנסים ''לעדן'' את החלוקה הקיימת של עוצמות, משום שקריטריון השקילות באמת קצת ''גס'' מדי לעניין זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שימוש באורדינלים (מספרים סודרים) מהווה "עידון" שכזה. הבעיה היא שכאן אנחנו מוסיפים לקבוצה גם יחס סדר חלקי, וקצת מתרחקים מהרעיון האינטואיטיבי של "אותו גודל" שנובע פשוט מהיכולת לסדר את אברי שתי הקבוצות שאנחנו משווים בזוגות זוגות. (אין לי מושג אם ה"עידונים" שעליהם אתה מדבר כאן הם אכן האורדינלים. יש מתמטיקאי באיזור?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי לאורדינלים והרעיון של ''אותו גודל'' המבוטא באמצעות שקילות לא כל כך אינטואיטיבי בעיניי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה לא, בעצם? אמנם, אי אפשר לשכנע או לטעון טיעונים מתמטיים כאן, אבל מה נראה יותר נכון, אינטואיטיבית, מאשר "לכל איבר בקבוצה אחת מתאים בדיוק איבר אחד ויחיד בקבוצה השנייה"? במקרה הסופי זה בדיוק מה שאנחנו מצפים שיהיה, ואלמלא הדוגמאות בשטח שהיו מסבכות לנו את החיים במקרה האינסופי, ההגדרה הייתה כמעט ברורה מאליה. (אם ננסה לפרמל קצת יותר את מה שאני אומר: הגדרה "אינטואיטיבית" היא הגדרה שבה אומרים בהתחלה "הגיוני" ואחרי שרואים מה קורה בפועל אומרים "לא הגיוני". הגדרה "לא אינטואיטיבית" ששווה משהו היא כזו שבהתחלה אומרים "לא הגיוני" ואחרי שרואים מה קורה בפועל אומרים "הגיוני"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ראשית, הגדרה אינטואיטיבית נראית לי "הגיונית" בכל מקרה. שנית, ייתכן שעם מושג השקילות קרה לי משהו דומה מאוד למה שאתה מתאר שקורה להגדרות אינטואיטיביות: אחרי שסיפקתי לידיד רעיון איך להסביר אותה אינטואיטיבית לסטודנטים שלו, היא הפכה בשבילי ללא הגיונית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש כמה וכמה מקרים שבהם אני אמרתי על משהו ''הגיוני'' ואחר כך, כשראיתי את ההשלכות, אמרתי ''לא הגיוני'' אקסיומת הבחירה היא כמובן זו שקופצת מייד לראש, אבל גם בטופולוגיה הקבוצתית המעטה שלמדתי כבר היו כמה וכמה דברים. לכן, לפחות עבורי, ''אינטואיטיבי'' ו''הגיוני'' הן לא מילים נרדפות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אמרתי שאינטואיטיבי והגיוני הן מלים נרדפות: אתה קישרת ביניהן, ואני הסכמתי לקיומו של קשר מסוים. ומה בהשלכות של אכסיומת הבחירה "לא הגיוני" בעיניך? משפט הסדר הטוב? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מקובל להציע בהקשר הזה את הפרדוקס של בנך-טרסקי: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אחד המתמטיקאים באיזור מתקשה לפענח מהם העידונים הללו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אמרתי שיש כאלה, אלא רק שמנסים לייצר אותם.. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ידוע לי שמנסים (מי?). מצד שני, יש הרבה מאוד דברים שאינם ידועים לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מצטער, אבל אני לא בטוח שהבנתי מה זו ''מידת הרציונליים'' ואיך היא נבדלת מ''מידת הטבעיים''. ההגדרה שאני מכיר למידה מאפשרת, כאמור, להגיד הן על כל קבוצה של מספרים טבעיים, הן על כל קבוצה של מספרים רציונליים והן על מקרים מסויימים של קבוצות של מספרים ממשיים (כמו קבוצת קנטור) שהן באותה מידה - אפס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עזוב, חבל על המאמץ של שנינו. אני מניח שנושא זה כבר מוּצא עת תום ע"י המתמטיקאים וכל הפתיל הזה היה נחסך אם הייתי טורח להציץ בהגדרות בסיסיות בתחום - למשל http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%A...). | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |